Fuerzas Distribuidas, Centroides, Centros de Gravedad y Momentos de Ine3rcia

8/15/2019 Fuerzas Distribuidas, Centroides, Centros de Gravedad y Momentos de Ine3rcia.

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INTRODUCCIÓN

Una fuerza es una interacción mecánica que hace variar la velocidad de un cuerpocon masa. Existen múltiples clasificaciones de fuerzas, como pueden ser en función del tipo de interacción (fuerzas de contacto o fuerzas a distancia) o

en función de la superficie sobre la que esta se aplique (fuerzas distribuidas opuntuales), este último tipo de fuerzas es uno de los temas fundamentales de estetrabao.

Existen multitud de eemplos de fuerzas distribuidas, como por eemplo la queeerce el peso de la nieve sobre un coche tras una nevada, o la de un puente por la que pasan veh!culos continuamente. Una car"a distribuida puede ser por eemplo la representada en la si"uiente fi"ura#

$al % como puede observarse, esta fuerza tiene un valor q(x) para cadacoordenada x, lo cual supone un problema adicional. &ormalmente para hacer unsumatorio de fuerzas, simplemente sumamos vectores, pero cuánto vale la fuerzaque supone la car"a 'q' en su totalidad a respuesta es la si"uiente# el áreacontenida debao de la curva, que como %a muchos habrán intuido se puedecalcular mediante una inte"ración directa.

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional

de un cuerpo. *ás concretamente el momento de inercia es una ma"nitud escalar que reflea la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de part!culas enrotación, respecto al ee de "iro. El momento de inercia sólo depende de la"eometr!a del cuerpo % de la posición del ee de "iro+ pero no depende de lasfuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempea un papel análo"o al de la masa inercial en elcaso del movimiento rectil!neo % uniforme. Es el valor escalar del momento an"ular lon"itudinal de un sólido r!"ido.


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El Centro De GravedadEs un punto que ubica el peso resultante de un sistema depart!culas, comprende un sistema de fuerzas paralelas quepuede ser reemplazado por un solo peso resultante(equivalente) en el punto - de aplicación definido. El puntode aplicación de la fuerza peso en un cuerpo es siempreel mismo, sea cual sea la posición del cuerpo.

/ara determinar el centro de "ravedad ha% que tener en cuenta que toda part!culade un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción deuna fuerza, diri"ida verticalmente hacia el centro de la $ierra, llamada fuerza

"ravitatoria.

Existen cuerpos de dimensiones mu% pequeasen relación a la $ierra, por lo tanto se puede admitir que la fuerza de "ravedad que actúa sobre lasdiferentes part!culas del cuerpo son paralelas % dema"nitud constante. /or tal motivo se puedecalcular la ubicación del centro de "ravedadlocalizando la recta de acción de la fuerza resultantede este conunto de fuerzas. 0i el cuerpo eshomo"1neo, el centro de "ravedad coincidirá con su

centro "eom1trico. /or otro lado, si un cuerpo esmu% pequeo comparado con la aceleración de la "ravedad, esta ma"nitud será lamisma para todas las part!culas, entonces el centro de masa % el centro de"ravedad serán coincidentes.

Un cuerpo r!"ido está compuesto por un número infinito de part!culas % losprincipios usados para determinar las ecuaciones son aplicados al sistema depart!culas que componen un cuerpo r!"ido, resulta necesario usar una inte"raciónen vez de una suma discreta de t1rminos.

a fuerza más corriente que actúa sobre un cuerpo es su propio peso. En todo

cuerpo por irre"ular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en1l concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de "ravedad .

El centro de "ravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que seconsidere.

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El conocimiento de la posición de los centros de "ravedad, es de sumaimportancia en la resolución de problemas de equilibrio, porque son los puntos deaplicación de los vectores representativos de los respectivos pesos.

El centro de "ravedad de una l!nea está en el punto de aplicación de un sistema

de fuerzas paralelas aplicadas a cada uno de los fra"mentos elementales en quese puede considerar descompuesta la misma % proporcionales respectivamente alas lon"itudes de estos elementos de l!nea. 0i se trata de un elemento rectil!neo, elcentro de "ravedad se ha%a en su punto medio. El de un arco de circunferenciapuede calcularse mediante recursos de cálculo referencial, % se encuentra situadosobre el radio meio, a una distancia del centro.

En conclusión el centro de "ravedad es el punto en el que se encuentranaplicadas las fuerzas "ravitatorias de un obeto, o es decir es el pto. en el queactúa el peso. 0iempre que la aceleración de la "ravedad sea constante, el centro

de "ravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas2.

El equilibrio de una part!cula o de un cuerpo r!"ido tambi1n se puede describir como estable o inestable en un campo "ravitacional. /ara los cuerpos r!"idos, lascate"or!as del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente en t1rminosdel centro de gravedad. El 3entro de "ravedad es el punto en el cual se puedeconsiderar que todo el peso de un cuerpo está concentrado % representado comouna part!cula. 3uando la aceleración debida a la "ravedad sea constante, el centrode "ravedad % el centro de masa coinciden.

En forma análo"a, el centro de "ravedad de un cuerpo extendido, en equilibrioestable, está prácticamente cuenco de ener"!a potencial. 3ualquier desplazamiento li"ero elevará su centro de "ravedad, % una fuerza restauradora lore"resa a la posición de ener"!a potencial m!nima. Esta fuerza es, en realidad, unatorca que se debe a un componente de la fuerza peso % que tiende a hacer rotar elobeto alrededor de un punto pivote de re"reso a su posición ori"inal.

Un obeto está en equilibrio estable mientras su 3entro de "ravedad quede arriba% dentro de su base ori"inal de apo%o.

3uando 1ste es el caso, siempre habrá una torca de restauración . &o obstante

cuando el centro de "ravedad o el centro de masa cae fuera de la base de apo%o,pasa sobre el cuerpo, debido a una torca "ravitacional que lo hace rotar fuera desu posición de equilibrio.

os cuerpos r!"idos con bases amplias % centros de "ravedad baos son, por consi"uiente más estables % menos propensos a voltearse. Esta relación es

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evidente en el diseo de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienenneumáticos % centros de "ravedad cercanos al suelo.

El centro de "ravedad de este auto es mu% bao por lo que es casi imposible quese voltee.

$ambi1n la posición del centro de "ravedad del cuerpo humano tiene efectossobre ciertas capacidades f!sicas. /or eemplo, las mueres suelen doblarse %tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de las manos, con másfacilidad que los hombres, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo. En"eneral, los hombres tienen el centro de "ravedad más alto (hombros másanchos) que las mueres (pelvis "rande), % es por eso que es más fácil que elcentro de "ravedad de un hombre quede fuera de apo%o cuando se flexiona haciael frente.

3uando el centro de "ravedad queda fuera de la base de soporte, el obeto esinestable (ha% una torsión desplazadora).

En los circos usualmente ha% actos de acróbatas % lo que sucede es que elacróbata, cualquiera sea el acto que ha"a tiene una base de soporte mu% an"osta,o sea el área pequea del contacto de su cuerpo con su soporte. *ientras queel centro de "ravedad permanezca sobre esta área, 1l está en equilibrio, pero unmovimiento de unos cuantos cent!metros ser!a suficiente para desbalancearlo.

Aplicación Del Centro De GravedadEl centro de "ravedad sirve para calcular el equilibrio de un sistema, este sistemapuede ser infinidad de cosas, por eemplo una casa, % aqu! el centro de "ravedada%udar!a a calcular a la persona que "u!a la construcción, los puntos en los cualesponer las columnas % 4o la columna principal..

Relación Con El Moméntm

En al"unos problemas que contienen de materia o en ellos interfiere el momentolineal, o talvez se resuleven por sumatoria de momentos, el centro de "ravedada%uda a simplificar notablemente estos eercicios.

E!emplo"# 3alcule las fuerzas que se aplican al si"uiente sistema.

45 46

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78 29:" 69 :" 7;

$or momento"#

0matoria 7% < 9

78 =7; 29 2>? < 9

78 = 7; < 69?

0umatoria de momentos desde el punto 8 < 9

29x (45) = 2>?(46) 7;. ?46 7;) < 9

69 = @AA ? 7;


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a pila se caerá cuando su centro de masa no est1 más sobre su base de apo%o.$odos los ladrillos tienen la misma masa, % el centro de masa de cada uno estácolocado en su punto medio.

0i tomamos el ori"en en el centro del ladrillo inferior, la coordenada horizontal o de

masa (o centro de "ravedad) para los primeros dos ladrillos del rimero está dadapor la ecuación de 3* en donde m1


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Un concepto importante que cabe recordar es la definición de estática# /E' larama de la 01'ica 2e trata del 3alance de 0er4a' 'o3re n o3!eto 2epermanece en repo'o o en e'tado de movimiento ni0orme5"

Es importante notar que la estática es un caso particular de la dinámica (o

movimiento) % es tan importante que los in"enieros % los arquitectos la estudian ensus carreras %a que de lo contrario no podr!an conocer las fuerzas que conformanlas distintas estructuras, construcciones, etc., que disean % forman.

Una parte principal de sus aplicaciones está en los edificios estáticos % tiene quever con su definición como cuerpo r!"ido. as fuerzas actuando sobre este tipo deobetos (cuerpo r!"ido) tienen dos efectos#

2. &o importa dónde se est1n aplicando sobre el obeto, la suma vectorial dedichas fuerzas produce una aceleración lineal del centro de su masa.

6. Hependiendo dónde se aplican, pueden producir torcas que actúan pararotar el obeto.

/ara calcular el centro de masa de un sistema de cuerpos es necesario conocer lamasa de dicho cuerpo % la distancia respecto a la cual está actuando la fuerzaexterna+ 1sta depende de su posición de equilibrio+ es decir#

Honde m- es la masa del cuerpo uno % m* es la masa del cuerpo dos, - % * sonlas distancias respectivas a cada una, tomando en cuenta su punto de equilibrio.

Eemplo#

Un obeto de 6:" de masa se encuentra unido a otro con masa de 29:", por unavarilla de @9 cm, para sacar el centro de la masa de este sistema utilizarás lafórmula anterior, que resulta en#

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CentroideEl centro de "ravedad es Ia sumade los productos de los pesos decada part!cula multiplicada por susposiciones respectivas dividida entreel peso total del cuerpoJ.

$ambi1n se de0ine como el centro"eom1trico de un obeto. 0uubicación puede ser determinada apartir de fórmulas similares a lasusadas para obtener el centro de masa. En particular si el material que componeun cuerpo es uniforme u homo"1neo, la densidad o peso espec!fico seráconstante en todo el cuerpo, % por tanto este t1rmino saldrá de las inte"rales % secancelará a partir de los numeradores % denominadores de las ecuacionesanteriores. as fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo %a que sonindependientes del peso del cuerpo % dependen sólo de la "eometr!a de 1ste. 0econsideraran tres casos espec!ficos# centroides de l!neas, de superficies % demasa.

Centroide' De 61nea'

0i la simetr!a del obeto es parecida a la de una barra del"ada o alambre, la

relación ser!a con respecto a una l!nea, el equilibrio de las torcas o momentos delos diferenciales d6 con respecto a cada uno de los eescoordenados , 7 % 4 resulta en#

Centroide' De 8per0icie' O 9rea'

He manera similar el centroide del área superficial de un obeto, como una placa oun cascarón, se puede determinar subdividiendo el área en elementos dA %calculándolos de esos elementos de área con respecto a cada uno de los eescoordenados, esto es#

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Centroide' De :ol;mene'

0i un obeto es subdividido en elementos de volumen d:, la ubicación delcentroide para el volumen del obeto puede ser determinada calculando losmomentos con respecto a cada uno de los ees coordenados. as fórmulasresultantes son las si"uientes#

E!emplo

ocaliza el centroide del arco parabólico que forma la estructura de la fachada deledificio mostrado#

8olción

9rea 7 3ra4o' de momento

a lon"itud diferencial del elemento d6 puede ser expresada en t1rminos de lasdiferenciales d % d7 usando el $eorema de/itá"oras.

3omo < 7*, entonces d4d7 < *7. /or lo tanto, expresando d6 en t1rminosde 7 % d7, tienes#

El centroide está localizado en % 7.

Integracione'

8plicando las ecuaciones e inte"rando con respecto a 7 mediante las fórmulasanteriores, tienes que#

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9.?9?542.

BC> < 9.B29 m

9.ABAB42.BC> < 9.@CB m

7uerzas HistribuidasUna car"a distribuida puede ser por eemplo la representada en lasi"uiente fi"ura#

$al % como puede observarse, esta fuerza tiene un valor q(x) para cada coordenada x, lo cual supone un problemaadicional. &ormalmente para hacer un sumatorio defuerzas, simplemente sumamos vectores, pero cuánto valela fuerza que supone la car"a 'q' en su totalidad arespuesta es la si"uiente# el


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´ X = M

F

$ara na di'tri3ción rectanglar=

He esta forma cuando queramos realizar el cálculo de las reacciones de una vi"a,la contribución de las fuerzas distribuidas las calcularemos de esta forma cuandolas fuerzas distribuidas forman un rectán"ulo tenemos#

>UER?A RE8U6TANTE R=

R=∫0

L

dF

R=∫0

L

qdx=qL

MOMENTO=

M =∫0

L

qxdx=q L

2

2

DI8TANCIA DONDE ACTUA 6A >UER?A R=

´ X = M

F =

q L2

2

qL= L

2

ue"o el 'i'tema e2ivalente estar!a formando por una fuerza equivalente de q(área del rectán"ulo) situada a 46 del ori"en de coordenadas (coincidiendo con elcentro de masas).

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R=qL

M =q L

2

2

´ X = L

2

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$ara na di'tri3ción trianglar=

3uando se da una distribución de fuerzas con una forma trian"ular, se puedecalcular las formulas de la fuerza resultante, elmomento % la distancia en la que cae la fuerza,que vendr!a a ser en el centro de masas.

>UER?A RE8U6TANTE R=

R=∫0

L

dF

R=∫0

L

wdx=qL

w

X =w

0

L

w=w

0

L X

R=∫0

L

w0 L Xdx

MOMENTO=

M =∫0

L

x w 0

L xdx=

w0 L2

3


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R=w0 L2

M =w0 L

2

3


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´ X = M

F =

w0 L2

3

w0 L

2

=2 L

3

Entonces en una distribución de fuerzas de forma trian"ular tenemos que la fuerzaresultante es el área del trián"ulo que vendr!a a ser la base () multiplicado por lacar"a dividido entre 6, además esta fuerza está ubicada a 645 de % el momentoes el producto de la fuerza resultante con la distancia D.

$ara na di'tri3ción en na parUER?A RE8U6TANTE R=

R=∫0

L

dFR=∫0

L

wdx w

X 2=w

0

L2 w=

w0

L2 X

2

R=∫0

L w0

L2 X

2

dx

MOMENTO=

M =∫0

L

x w 0

L2 X

2

dx=w0 L

2

4

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´ X =2 L

3

R=w

0 L

3

M =w0 L

2

4


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´ X = M

F =

w0 L2

4

w0 L

3

=3 L

4

Entonces en una distribución de fuerzas de forma parabólica tenemos que lafuerza resultante es la inte"ral de la función que contiene a la parábola que

vendr!a a ser la base () multiplicado por la car"a entre 5, además esta fuerzaestá ubicada a 54B de % el momento es el producto de la fuerza resultante con ladistancia D.

MOMENTO DE INERCIAEl *omento de Knercia, tambi1n denominado 0e"undo *omento de Lrea+0e"undo *omento de Knercia o *omento de Knercia de Lrea, es una propiedad"eom1trica de la sección transversal de los elementos estructurales.

Inercia = a inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio ensu movimiento, %a sea en dirección o velocidad.

Inercia a la Rotación = 3ualquier cuerpo que efectúa un "iro alrededor de un ee,desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad derotación % la dirección de su ee de "iro. a inercia de un obeto a la rotación estádeterminada por su *omento de Knercia, siendo 1sta M la resistencia que un‟cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de "iro .‟‟

Momento de Inercia" E!emplo = El momento de inercia realiza en la rotación unpapel similar al de la masa en el movimiento lineal. /or eemplo, si con una honda

se lanza una piedra pequea % una "rande, aplicando la misma fuerza a cada una,la piedra pequea se acelerará mucho más que la "rande.El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que esaplicable a la rotación más que al movimiento lineal. a inercia es la tendencia deun obeto a permanecer en reposo o a continuar movi1ndose en l!nea recta a lamisma velocidad.a inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momentode inercia es, pues, masa rotacional % depende de la distribución de masa en un

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´ X =3 L

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obeto. 3uanta ma%or distancia ha% entre la masa % el centro de rotación, ma%or esel momento de inercia.El momento de inercia se relaciona con las tensiones % deformaciones máximasproducidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual estevalor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bao flexión unto

con las propiedades de dicho material.

Momento' de inercia de 0igra' plana'conocida' m


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C1rclo de radio R , respecto de cualquier ee que pase por su centro de "ravedad#

8emic1rclo de radio R , respecto de los ees que pasan por su centro de

"ravedad (el ee X paralelo al lado plano)#

Cadrante (3uarto de c!rculo) de radio R , respecto a los ees que, siendoparalelos a los lados planos, pasan por su centro de "ravedad#

CÓMO CA6CU6AR E6 MOMENTO DEINERCIA DE UNA >IGURA $6ANACOM$UE8TA =Eemplo 2 # plana compuesta # 3alcular el momento de inercia de la si"uiente

fi"ura

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-er pa'o= 0e divide la fi"ura compuesta en fi"uras planas sencillas de las que

conozcamos las fórmulas para calcular su área % su momento de inercia. En estecaso en particular podemos dividirla en 5 rectán"ulos#

*do pa'o= 0e determinan las áreas de estas fi"uras simples % se identifican comoA-, A* % A@A- < base por altura < 59 x 2,> < @C,99 cm6A* < base por altura < 2,2 x 5@,6 < 5A,C6 cm6A@ < base por altura < 59 x 2,> < @C,99 cm6Atotal < 82 = 86 = 85 < @C = 5A,C6 = @C < 2@6,C6 cm6

@er pa'o = 0e 3alcula la ubicación del centro de masa de la fi"ura compuesta #as coordenadas del centro de masa de una fi"ura plana compuesta vienen dadaspor las si"uientes formulas #

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Honde I8iJ es el área de la fi"ura simple estudiada, IDiJ es la abscisa del centro demasa de dicha fi"ura simple % IFiJ la ordenada del centro de masa de la mismafi"ura simple.

7iamos un sistema rectan"ular de coordenadas e indicamos la distancia que ha%desde el ori"en hasta el centro de masa de cada una de las fi"uras simples en lasque dividimos la fi"ura compuesta.Necuerde que el centro de masa de un rectán"ulo está ubicado a un medio de subase % a un medio de su altura.

/ara su posterior uso estas distancias son identificadas como #)- < 2@ cm)* < 2@ cm)@ < 2@ cm

- < 5A,9@ cm * < 2>,@ cm @ < 9,>@ cm

0ustitu%endo estos valores en las fórmulas#

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El centro de masa de la fi"ura compuesta estará ubicado en las coordenadas &-B ,

-"B(

0e confirma el enunciado que dice # I0i una fi"ura plana posee un ee de simetr!a,su centro de masa estará ubicado sobre 1ste.J

Esta fi"ura en particular posee un ee de simetr!a horizontal % un ee de simetr!avertical, lue"o su centro de masa estará ubicado en el punto de intersección de

sus dos ees de simetr!a.to pa'o= 0e calculan las distancias que ha% desde cada centro de masa de lasfi"uras sencillas hasta el centro de masa de la fi"ura compuesta.

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En este caso notamos que todos los centros de masa de las fi"uras sencillasestán contenidos en el ee IF-J del centro de masa de la fi"ura compuesta, lue"o#

)-G , )*G % )@G + cm

3on relación a las distancias con el ee ID-J #

-G + -F,BB cm *G + cm

@G + -F,BB cm

Bto pa'o = 0e calculan los momentos de inercia de las fi"uras sencillas conrespecto a sus ees (que serán paralelos a IF-J % ID-J)+ para lo cual utilizaremoslas fórmulas que se encuentran en la primera pá"ina de esta "u!a.

Rect


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to pa'o = 0ecalcula el momento de inercia de cadauna de las fi"uras sencillas respecto a los ees ID-J e I F-Japlicando el teorema del ee paralelo,es decir el $eorema de 0teiner.

%mo pa'o = 0e calculan los momentos de inercia de la fi"ura compuesta a partirde los momentos anteriores #

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