Fuerzas eléctricas y campo eléctrico - esi2.us.esGIOI)/Apuntes/2011-12/Fisica II/1_Fuerzas... · Ley de Coulomb (I) Fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra Está dirigida

Fuerzas eléctricas y campo eléctrico

Física II

Grado en Ingeniería de Organización Industrial

Primer Curso

Joaquín Bernal Méndez Curso 2011-2012

Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla

Índice

IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico

Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas

Ley de Gauss

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Introducción

“Elektron” es un vocablo griego que significa ámbarAl frotar el ámbar éste atrae pequeños objetos (pajitas, plumas,…)La electricidad es un fenómeno muy presente en la vida diaria:

Fenómenos de electricidad estáticaIngeniería: máquinas y motores eléctricos

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Índice



Ley de Gauss

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Carga eléctrica

Evidencia experimental:Dos barras de plástico frotadas con piel se repelen

Dos barras de vidrio frotadas con seda se repelen

La barra de vidrio y la de plástico se atraen

Se dice que las barras están cargadas

Hay dos tipos de carga:Carga positiva

Carga negativa5/58

Propiedades de la cargaCuantización

La carga esta cuantizada:

Donde e es la unidad fundamental de carga, que coincide con el valor absoluto de la carga del electrón

Usualmente N es muy grande

Conservación de la carga

Unidades: culombio (C)Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es del orden de 50 nC:

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Q Ne

191.60 10 Ce

911

-19

50 50 103 10

1.60 10

nC C

CN

e

Aislantes y conductores

Clasificación de la materia atendiendo a sus propiedades de conducción eléctricaConductores: la carga puede desplazarse por su interior con facilidad

Ejemplo: metales

Aislantes: La carga no puede moverse libremente

Cuando se cargan por frotación la carga queda confinada en la región frotada.Ejemplos: vidrio, caucho, madera.

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Índice



Ley de Gauss

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Ley de Coulomb (I)

Fuerza ejercida por una carga puntualsobre otra

Está dirigida a lo largo de la línea que las uneDisminuye con el cuadrado de la distancia que separa las cargasEs proporcional al producto de las cargasEs repulsiva para cargas del mismo signo y atractiva para cargas de signo contrario

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Balanza de torsión

Ley de Coulomb (II)

Representación matemática:

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1 21 2 122

12

ˆq q

F k rr

2 1 1212

2 1 12

ˆr r r

rr r r

98.99 102

2

Nm

Ck Constante de Coulomb

Medida experimentalmente

1 2F

Índice



Ley de Gauss

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Principio de superposición

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Cuando tenemos un sistema de cargas la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas

individuales ejercidas por cada una de las demás

cargas

Principio experimental

Índice



Ley de Gauss

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Campo eléctrico: introducción

La fuerza entre cargas puede verse como una acción a distancia.

Una visión alternativa es la del campo eléctrico:

Una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio: magnitud vectorial

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras cargas

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Campo eléctrico: definición

En un punto colocamos una carga de prueba: q0

No perturba la distribución de cargas original (q0→0)Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula

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0

FE

q

Magnitud vectorial

Dirección de

Independiente de q0

Unidades: N/C

F1q

2q

0q

1 0F

2 0F

F

Índice



Ley de Gauss

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Campo de una carga puntual

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• Tenemos una carga puntual qi

• Situamos una carga de prueba q0

• Ley de Coulomb:

00 2

îi ip

ip

q qF k r

r

0

0

ii

FE

q

2î

i ipip

qE k r

r

ipr

pr 0q

ir iq

Oi Punto fuente

p Punto campo

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL

x y

z

iE

Campo eléctrico de unadistribución de cargas puntuales

Principio de superposición para el campo eléctrico

Es una consecuencia del principio de superposición para la fuerzaEl campo eléctrico de la distribución de cargas es la suma vectorial de los campos de cada carga puntual

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3r3q

1r 1q

O

2r 2q

pr

2î

p i ipi i ip

qE E k r

r

x y

z

Índice



Ley de Gauss

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Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga

Las distribuciones de carga son siempre discretas (cuantización de la carga)Cuando un punto de la distribución de cargas contiene un número muy alto de cargas discretas la distribución puede tratarse como una distribución continua de cargaEjemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan como distribuciones continuas de masa

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0lim ii

mV

m dm

V dV

V

m m

V

dm dV m dV x y

z

Distribución volumétrica de carga

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x y

zdq dV

r

2ˆ

dqdE k r

r

VP

2ˆ

V

dqE k r

r

Campo debido a un dq:

Campo total debido a la distribución en V :

Distribución volumétrica de carga:

dq dV 2ˆ

V

dVE k r

r

Densidad de carga:

Distribuciones superficial y lineal de carga

Distribución superficial de carga:

Distribución lineal de carga:

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x y

z

x y

z

dq dS

r

P2

ˆS

dSE k r

r

dl

dq dl 2ˆ

L

dlE k r

r

r

P

Ejemplo: Campo sobre el eje de una carga lineal finita

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2 2( ) ( )xP P

kdq k dxdE

x x x x

2( )

L

x LP

dxE k

x x

Pu x x

du dx

2

P

P

x L

x L

duk

u

2 2 2 2

1 1 2x

P P P P

kL kQE k

x L x L x L x L

Px L

x

y

dx

x

Px

P

LL

2

Q

L Distribución uniforme:

xdE

Índice



Ley de Gauss

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Líneas de campo eléctrico

Representación gráfica para visualizar el campo eléctrico

El campo eléctrico es tangente a la línea de campo.

El módulo del campo eléctrico es mayor cuanto más próximas están las líneas de campo entre sí.

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Ejemplo: carga puntual

Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero existe el campo en todo el espacioRepresentación bidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo

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Ejemplo: carga puntual

Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero existe el campo en todo el espacioRepresentación bidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo

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Dos cargas positivas iguales

28/58

Cargas iguales con distinto signo: dipolo eléctrico

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Reglas para representar líneas de campo

Salen de las cargas positivas y terminan en las negativasSi hay exceso de carga positiva debe haber líneas que acaban en el infinitoSi hay exceso de carga negativa debe haber líneas que salen del infinitoPara cada carga puntual las líneas se dibujan entrando o saliendo de la carga y:

Uniformemente espaciadasEn número proporcional al valor de la carga

Dos líneas de campo no pueden cruzarse

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Ejemplo:

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Exceso de carga positiva: líneas que terminan en el infinito

Salen 16 líneas equiespaciadas

Entran 8 líneas equiespaciadas

Líneas salen de la carga positiva y entran en la carga negativa

Líneas a distancias grandes

A distancias grandes comparadas con la mayor distancia entre cargas del sistema:

Líneas igualmente espaciadasLíneas radiales

Equivalen a las líneas de una sola carga puntual con carga igual a la carga neta del sistema

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Índice



Ley de Gauss

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Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de un campo eléctrico:

Segunda Ley de Newton:

Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado

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q E

F qE

F ma qE

qa E

m

Ejemplo 1: electrón en campo uniforme

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q e

E

F eE F eEi ma

2

2

eE d xa

m dt

0( ) (0)

tv x v adt at

0 eEv t

m

dx

dt

2

0 0 2

t tx x atdt a

20 2

eEx x t

m

Movimiento uniformemente acelerado

x

y

Ejemplo 2: electrón con velocidad perpendicular al campo

Eje y : movimiento rectilíneo uniforme

Eje x : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

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q e

E

F eE

x

y

La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un

campo gravitatorio (tiro parabólico)

0 0y y v t

20 2

eEx x t

m

0v

Dipolo eléctrico

Dipolo eléctrico: dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una pequeña distancia L

Momento dipolar eléctrico:

Las moléculas de algunos materialesaislantes son dipolos (moléculaspolares)

Ejemplo: molécula de agua

Las moléculas no polares sometidas a un campo eléctrico se polarizan

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p qL

- + qq L

Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico

Campo eléctrico uniforme:No hay fuerza neta sobre el dipolo

Aparece un par de fuerzas:

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Un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo

p E

Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico

Campo eléctrico no uniforme:De nuevo hay un par de fuerzas que tiende a alinearal dipolo con el campo

Además aparece unafuerza neta sobre el dipolo

Ejemplo: atracción de trocitos de papel por un bolígrafo de plástico cargado

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Un dipolo eléctrico tiende a desplazarse hacia las zonas de campo eléctrico más intenso

Índice



Ley de Gauss

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Ley de Gauss

Ley general del electromagnetismo

Útil para calcular campos eléctricos

Sólo puede aplicarse para tal fin en situaciones en que la distribución de cargas tenga una alta simetría

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Flujo eléctrico

Magnitud proporcional al número de líneas de campo que atraviesan una superficie

Supongamos E uniforme y superficie perpendicular

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E

EA

A' 'E xE x ' 'A nA n

El flujo aumenta o disminuye proporcionalmente al número de líneas de campo que atraviesan la superficie

Definimos:

Si

Si

FLUJO

Flujo eléctrico

Supongamos una superficie no perpendicular:

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E

2A

1A

n̂

1 2 cosEA EA

E A

En general: ˆ cosE A E nA EA

A1 es perpendicular a las líneas de campo

A1 es atravesada por el mismo número de líneas de campo que A2 :

Flujo eléctrico

Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme

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Flujo total: ; en el límite :

E

în

iA

Tomamos tan pequeña que pueda considerarse:

Superficie plana

Campo eléctrico uniforme

iA

î i i iE n A

î i iiE n A

ˆS SE ndA E dA

0iA

Flujo en una superficie cerrada

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ˆSE ndA

n̂

Ley de Gauss

Suponemos una carga puntual en el centro de una esfera de radio R

El flujo es independiente de R

El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera

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2ˆ n

QE n E k

R

24R R

n nS SE dA E dA E R

Radial

4 kQ

Q

RS

R

Ley de Gauss

Supongamos otras superficies no necesariamente esféricas:

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Q

A todas las superficies las atraviesa el mismo número de líneas

Mismo flujo neto para todas las superficies:

4 kQ

RS1S

2S

Ley de Gauss

Supongamos un sistema de cargas:Principio de superposición:

Para la carga exterior:

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S

3q

1 2 1 2( )S

E E dA

1 24 ( )k q q

3 3 0SE dA

Todas las líneas de campo

que entran por un punto de la superficie salen por otro

1q 2q

Enunciado de la Ley de Gauss

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El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es veces la carga neta dentro de la superficie

4 k

int4nS SE dA E dA kQ

A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la permitividad del espacio libre:

0

14 k

12

0 8,85 102

2

C

Nm con int

0

Q

Aplicaciones de la Ley de Gauss

Es una Ley válida para cualquier superficie ycualquier distribución de cargaA veces es útil para determinar el campoeléctrico debido a una distribución de carga quetiene un alto grado de simetríaLa técnica consiste en emplear la ecuación de laLey de Gauss buscando una superficie deintegración (superficie gaussiana) tal que elcampo eléctrico pueda salir fuera de la integral

Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante onulo

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Simetría esférica

Carga puntualSimetría: campo radial

Superficie gaussiana: esfera de radio r

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24 4r r

n n nS SE dA E dA E r kq

2n

qE k

r

rS

rˆnE E n

Simetría esférica

Esfera de radio R con carga Q uniformemente distribuida en su volumen

Superficie gaussiana: esfera de radio r

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r R r R4

rnS

E dA kQ 24nE r

2n

QE k

r

33

int 34 3

rq r Q

R

34 3

Q

R

2int4 4nE r kq

3n

kQE r

R

Esfera con carga uniforme en volumen

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Simetría cilíndrica

Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( )Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea

Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la línea de carga

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1 2

ˆ ˆ ˆ ˆLS S S

E ndA E ndA E ndA E ndA

1S

2SLS

int

0

2n

qE rL

0

L

0

1

2nEr

r

Simetría plana

Plano infinito uniformemente cargadoSimetría: perpendicular al plano e impar en z

Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A

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x y

z n̂

n̂

( )E z

( )E z

n̂

1S

2S

LS

( )E z

1 2

ˆ ( ) ( ) 2 ( )S S

E ndA E z dA E z dA E z A

( ) ( )E z E z int

0

2 ( )q

E z A 0

A

0

22

E k

Simetría plana

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z

zE

Conductor en equilibrio electrostático

En el equilibrio el campo eléctrico en el seno de un conductor debe ser nulo

En caso contrario las cargas libres se desplazarían y no habría equilibrio

Esta situación se alcanza siempre que no exista una fuente de energía externa que mantenga una corriente (como en circuitos con fuentes)

Para buenos conductores (como el cobre) el tiempo que se tarda en alcanzar el equilibrio es del orden de nanosegundos

Consecuencia: la carga netade un conductor en equilibrioelectrostático se encuentraen su superficie

Se puede demostrarusando la Ley de Gauss

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ResumenLa magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es lacarga eléctrica

Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa).Está cuantizada.La carga se conserva.

La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Leyde Coulomb.La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcularla fuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua,ejerce sobre una carga.Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por unadistribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto delespacio.El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una expresiónintegral y se representa gráficamente mediante líneas de campo.La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puedeutilizarse para calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campoeléctrico creado por distribuciones de carga que posean un alto grado desimetría.El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrioelectrostático es nulo 59/58

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