FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

INTRODUCCION

Las vigas son elementos cuya disposición en las estructuras es principalmente horizontal, aunque también pueden ser inclinadas, pero que en todo caso tienen la importante función de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a estos elementos se pueden construir todo tipo de maquinaria y estructuras, tales como chasis de vehículos, soporte de maquinarias, vigas, de puentes y edificaciones, etc. Esta condición hace que las vigas estén sometidas a esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los esfuerzos de flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección a otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de soporte y la geometría, genera en el interior de la misma la aparición de cuatro fuerzas llamadas resistentes. Si consideramos un sistema espacial tenemos:

Fuerza cortante: se produce con dirección perpendicular al eje de la viga y su efecto es similar al generado por una tijera al cortar un papel, es decir una fuerza cortante paralela a la cara de la sección de la viga.

Fuerza axial: se produce cuando la disposición de las fuerzas externas no es totalmente perpendicular al eje de la viga. Existiendo componentes de ellas a lo largo del eje. Cuando aparece esta fuerza junto con la flexión, se genera un esfuerzo combinado de flexión con esfuerzo axial. Este estudio está fuera del alcance del presente trabajo.

Momento flector: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del solido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga un efecto de curvatura a largo de su eje.

Momento torsor: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del solido según un eje paralelo al eje longitudinal de la viga, y que produce sobre la misma un efecto de giro alrededor de su propio eje.

Fuerza Cortante (V):

Debe existir fuerzas internas en el plano de la sección y que su resultante debe ser igual a P. estas fuerzas internas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante en la sección. Dividiendo la fuerza cortante P por el área A de la sección obtenemos en el esfuerzo cortante promedio en la sección. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar varios miembros estructurales y componentes de máquinas.

•Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje de la viga (o elemento estructural) que actúan a un lado de la sección considerada.

•La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la sección tiende a subir con respecto a la parte derecha.

•Momento Flector (M):

Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

•Es la suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un mismo lado de la sección respecto a un punto de dicha sección.

•El momento flector es positivo cuando considerada la sección a la izquierda tiene una rotación en sentido horario.

Flexión por sobrecarga uniformemente distribuida:

Flexión de una viga simplemente apoyada:

Todo análisis estructural se realiza para:

a) Determinar la capacidad de soportar las cargas para las cuales fue diseñada la estructura,

b) Determinar las dimensiones más adecuadas para resistir, (comparar los esfuerzos que soporta el material contra los esfuerzos actuantes o los previstos.).

Los Esfuerzos en una sección dada pueden ser determinados sí se hace una sección imaginaria en un punto de interés, y se considera como un cuerpo rígido en equilibrio cada una de las partes en las que fue dividido el total. Estos esfuerzos podrán ser conocidos si se conocen todas las fuerzas externas.

Elemento estructural viga

•VIGA: es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos, y a través de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales las cargas aplicadas transversalmente a su eje, en algunos casos cargas aplicadas en la dirección de su eje.

•Convenio de signos.

•Diagramas de fuerza cortante y momento flector.

•Estos permiten la representación gráfica de los valores de “V”y “M”a lo largo de los ejes de los elementos estructurales.

•Se construyen dibujando una línea de base que corresponde en longitud al eje de la viga (Elemento Estructural, ee) y cuyas ordenadas indicaran el valor de “V” y “M” en los puntos de esa viga.

Esfuerzo Cortante

Si en un tramo del elemento estructural (viga, columna, inclinado) no actúa ninguna carga la curva de la fuerza cortante permanecerá recta y paralela al eje del elemento estructural.

Cuando en un tramo del elemento estructural se aplique una carga distribuida uniformemente, la línea de la fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente constante con respecto al eje del elemento.

Para Carga distribuida con variación lineal de su intensidad, la curva de fuerza cortante será una línea curva de segundo grado.

•En los puntos de aplicación de cargas concentradas (puntuales) EXISTIRÁ una discontinuidad en el diagrama de fuerza cortante.

Momento Flector

La Fuerza cortante (V) se toma positiva por encima del eje de referencia.

Los valores de momento flector (M) se consideran positivos por debajo del eje de referencia, es decir los diagramas se trazan por el lado de la tracción.

Los máximos y mínimos de un diagrama de momento flector corresponden siempre a secciones de fuerza cortante nula. Para poder obtener la distancia (X, Yo d)

donde el momento flector es máximo o mínimo se igualará a cero la expresión de Fuerza cortante, luego se despeja dicha distancia (X, Y o d).

Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de inflexión sobre la elástica.

Para elementos lineales perpendiculares tipo barra, el momento flector se define como una función a lo largo del eje neutro del elemento, donde "x" representa la longitud a lo largo de dicho eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Asimismo las cargas estarán completadas en secciones y divididas por tramos de secciones. En una pieza de plano medio, si se conoce el desplazamiento vertical del eje baricentro sobre dicho plano el momento flector puede calcularse a partir de la ecuación de la curva elástica

:

Dónde:

Es el desplazamiento vertical o desplazamiento de la curva elástica.

: Es el módulo de Young del material de la viga.

Es el segundo momento de área de la sección transversal de la viga.

Además el momento flector sobre una viga de plano medio viene relacionado con el esfuerzo cortante por la relación:

MÉTODO DE LAS SECCIONES

El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones, el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga, como la

pieza continúa en su lugar, se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga, por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. En el caso del momento, es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". Se debe contar cada fuerza, carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos.

MÉTODO DE LOS TRAMOS

Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

MÉTODO DE LA INTEGRACIÓN DIRECTA

Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen fuerzas puntuales y reacciones verticales aplicadas en los puntos, una carga distribuida continúa q(x) y momentos puntuales situados a la derecha de la sección, el momento flector total puede calcularse directamente como

•Relaciones entre cargas, fuerzas cortantes y momento flector.

El incremento de la fuerza cortante con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera de una viga o elemento estructural (situada a una distancia, x, y o d, de su extremo izquierdo) es igual al valor del área de la carga de dicha sección.

EJERCICIOS

1. Determinar las ecuaciones y diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector de la viga apoyada con voladizo de la figura, sometida a una carga uniforme q y a un par M, tal y como se indica:

SOLUCION

Obtención de las reacciones

En lo que sigue, para facilitar el cálculo, la carga uniforme q repartida sobre 2⋅ l/3 será considerada como dos cargas uniformes de longitud l/3 y de intensidad q; una en el voladizo y la otra hacia el interior de la viga.

Determinación de las fuerzas de sección

BIBLIOGRAFIA