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8/18/2019 Función continua en un intervalo.docx

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Función continua en un intervalo

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de eseconjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua ∀ x ∈ (a, b).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función (x) = en el intervalo (!", ").

#or ser una función racional, la función es continua en cada n$mero real excepto los que anulan el denominador,

x = " y x = −". %omo esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (!",").

Ejemplo. Analice la continuidad de la función (x) = en el intervalo (!&, &).

'os posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = " y x = −".

A continuación se analia lo que sucede para cada valor

*n x = "

(") = (indeterminado)

'a función no est+ definida en este punto.

%omo f(x) no est+ definida en x = " pero existe

el límite para x → ", la función presenta

una discontinuidad evitable en x = ".

*n x = − "

(−") = no existe

%omo no existe el límite para x → −", la

función presenta una discontinuidad infinita en x = −"

#or lo tanto, la función es continua en (−&, −") ∪ (−", ") ∪ (", &).

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Ejemplo. Determine el intervalo m+s rande (o unión de intervalos) en el que cada función es continua

a) (x) = x- − -x

b) f(x) =

c) (x) = lo& x

d) m(x) =

a) 'a función (x) = x- − -x es una función continua en cada n$mero real por tratarse de una función polinomial, por lo

tanto es continua en (−∞ , ∞ ).

b) 'a función f / ! 0&1 → / 2 f(x) = es continua en todo su dominio de definición, es decir en

(−∞ , &) ∪ (&, ∞ ).

3u r+fica es

c) 'a función / → / 2 (x) = lo& x es continua en todo su dominio, es decir en (4, ∞).

3u r+fica es

d) 'a función m / → / 2 m(x) = es continua en los intervalos (−∞ , &) ∪ (&, ∞).

3u r+fica es

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Continuidad de una función en un intervalo cerrado

'a continuidad de una función en un intervalo cerrado 5a, b6 no es sencilla de analiar como en el caso de intervalosabiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado 5a, b6 la función no est+ definida a la iquierda de a comotampoco a la dereca de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. *sto ace que no se pueda definir lacontinuidad en esos dos puntos. 3e debe definir primero la continuidad por dereca y la continuidad por iquierda enun punto.

Definición. Una función es continua a la dereca de un n$mero a si y es continua a la iquierda de

a si .

Definición. 3e dice que f(x) es continua en 5a, b6 sí y sólo sí

a) f(x) es continua en (a, b)

b) = f(a) (continua a la dereca de a)

c) f(x) = f(b) (continua a la iquierda de b)

Ejemplo. Demuestre que la función f(x) = es continua en el intervalo 5!-, -6.

'a función f(x) = resulta de la composición de las funciones y = 7 ! x& e . 'a primera es una función

polinomial, definida para todo n$mero real y la seunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos losn$meros reales no neativos. #or lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los n$meros reales tales que 7 !

x& ≥ 4, o sea, todos los n$meros reales pertenecientes al intervalo cerrado 5!-, -6.

'a r+fica de la función f(x) es la siuiente

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*n la r+fica puede observarse que la función f(x) es continua en cada n$mero real perteneciente al intervalo abierto(− -, -).

Adem+s y

*sto implica que la función es continua a la dereca de !- y es continua a la iquierda de -. *n consecuencia,

f(x) = es continua en 5!-, -6.

Ejemplo. Analice la continuidad de la función (x) = . 8rafique.

3e analiar+ primero si la función es continua en el intervalo abierto (!",&) y lueo qu9 sucede en los extremos.

%omo cada tramo que define (x) es una función polinomial, el $nico valor posible de discontinuidad es x = ".

(") = : − &." = ; y

'os límites laterales existen pero son distintos. #or lo tanto, no existe el límite en x = ".

'a función no es continua en x = ".

. 'a función resulta continua a la dereca de x = −".

. 'a función resulta continua a la iquierda de x = &.

#or lo tanto, la función es continua en 5!", ") ∪ 5", &6.

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8r+ficamente se puede resumir lo planteado de la siuiente manera

'a función es continua en [a, b] .

'a función es continua en (a, b] .

'a función es continua en [a, b).

'a función es continua en [a, c]

y en el intervalo (c, b] .

'a función es continua en (a, b).

Problema. 'a fuera ravitacional ejercida por la es la masa de la


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• y . %omo los límites laterales existen y son iuales se puede aseurar

que el límite existe, es decir, .

• %omo = =(r) la función es continua en r = /.

*n consecuencia la función es continua.

Problema. 'a función que describe el radio (en metros) del flujo circular de petróleo que se derrama por una fisura de

un tanque lueo de t minutos est+ dada por r(t) = . Analice su continuidad y rafique r(t).

%ada tramo de la función es continuo ya que son funciones polinomiales. Debemos analiar la continuidad donde

cambian los tramos, es decir, en t = 4 y en t = &.

Analiando la continuidad en t = &

• r(&) = .&& 7 = &;

• = &; B = -4.

%omo los límites laterales existen pero son distintos, la función presenta una discontinuidad de salto en x = &.

Analiando la continuidad t = 4 por dereca

• r(4) = .4& 7 = 7

• = 7

*s continua en 4 por dereca. 3u r+fica es

Tipos de discontinuidades

'as discontinuidades se clasifican en

Discontinuidad evitable

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*n este caso no se cumple la condición (a) de la definición de continuidad, es decir existe el límite finito ' de f(x) en

x = a pero f(x) no est+ definida en a. 'a función puede modificarse adoptando como f(a) el valor ' correspondiente,

convirti9ndose así en una función continua en x = a.


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Ejemplo. Dada la función / → / 2 x → indique sus puntos de discontinuidad, si

existen, y clasifíquelos.

'os posibles puntos de discontinuidad son x = −& y x = -, ya que en los dem+s puntos (x) es continua, debido a que

las leyes que definen cada tramo son expresiones polinómicas.

*n x = −& = - − (−&)& = −" y = &.(−&) − " = −;. 'os límites laterales existen pero son

distintos, por lo tanto, no existe el límite cuando x tiende a −&. 'a función presenta una discontinuidad de salto en

x = −&.

*n x = - = &.- − " = ; y = - & = ;. 'os límites laterales existen y son iuales, por lo

tanto, el límite cuando x tiende a - es ;. 'a imaen de - tambi9n es ;, en consecuencia, la función es continua en

x = -.

*ste an+lisis puede visualiarse r+ficamente

Ejemplo. 8rafique la función m / → / 2 m(x) = y analice su continuidad en x = &.

3u r+fica es

3e observa que la función es discontinua en x = &.

m(&) = -.

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%alculando los límites laterales y

%omo los límites laterales existen y son iuales, entonces

'ueo ≠ m(&)

#or lo tanto, la función presenta una discontinuidad evitable en x = &.

3e puede volver a definir la función para que resulte continua en x = &. #ara ello se le asina como imaen de & el

resultado del límite, es decir

m / → / 2 m(x) =

'a r+fica de la función redefinida resulta

Ejemplo. Analice la continuidad de la función f(x) = .

#or ser un cociente de funciones polinomiales la función es continua para todo valor real de x, excepto en x = & ya

que este valor anula el denominador.

• f(&) = (indeterminado). #or lo tanto, en x = & la función no est+ definida.

•

%omo existe el límite pero la función no est+ definida en x = &, presenta una discontinuidad evitable en dico punto.

*s posible redefinirla para que resulte continua. #ara ello se le asina a x = &, el valor del límite.

/esulta f(x) = .

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