Función cuadrática

2/11/2015 FuncincuadrticaWikipedia,laenciclopedialibre

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Funcincuadrtica

GrficadeFuncincuadrtica

Definicin

Tipo Curvaparablica

Dominio

Imagen

Clculoinfinitesimal

Derivada

Lmites ninguno

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FuncincuadrticaDeWikipedia,laenciclopedialibre

Enmatemticas, una funcin cuadrtica o funcindesegundogradoesunafuncinpolinmicadefinidapor:

con.1

Tambin se da el caso que se le llame Trinomiocuadrtico2

Las grficas de estas funciones corresponden aparbolasverticales(ejedesimetraparaleloalejedelas ordenadas), con la particularidad de que cuandoa>0,elvrticedelaparbolaseencuentraenlaparteinferior de lamisma, siendounmnimo (es decir, laparbola se abre "hacia arriba"), y cuando a



4.2Alternativadelclculodiferencial4.2.1Ejemplo14.2.2Ejemplo2

4.3Otrosprocedimientos5Presencia

5.1Presenciahistrica6 Determinar la ecuacin conocidos trespuntos7Referencias8Bibliografa9Vasetambin10Enlacesexternos

Races

Vasetambin:Ecuacindesegundogrado

Lasraces(oceros)deunafuncincuadrtica,comoentodafuncin,sonlosvaloresdex,paraloscuales.Son denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante definido como

.

Dossolucionesrealesydiferentessieldiscriminanteespositivo,:

CortalaparbolaalejeXendospuntosdiferentes.

Unasolucinreal(osolucindoble)sieldiscriminanteescero, :

LaparbolaestangentealejeX.

LaparbolanocortaalejeX.

Elnicocasorestanteesqueeldiscriminanteseanegativo, .

Entalcaso,lasracesnosonreales,sinoquesondosnmeroscomplejosconjugados:



Representacinanaltica

Haytresformasdeescribirunafuncincuadrtica,aplicablessegnelusoqueselequieradaralafuncin,unestudioanalticodelafuncinodelaecuacincuadrtica,unainterpretacinoconstruccingeomtricadelaparbola,etc.

Formadesarrolladaopolinmica

La formadesarrollada de una funcin cuadrtica (o forma estndar) corresponde a la del polinomio desegundogrado,escritoconvencionalmentecomo:

con.

Formafactorizada

Todafuncincuadrticasepuedeescribirenformafactorizadaenfuncindesusracescomo:

siendo a el coeficiente principal de la funcin, y y las races de . En el caso de que eldiscriminanteseaiguala0entonces porloquelafactorizacinadquierelaforma:

Enestecasoa se ladenominarazdoble,yaquesuordendemultiplicidades2.Si eldiscriminanteesnegativo,lassolucionessoncomplejas,nocabelafactorizacin.3

Formacannica

Todafuncincuadrticapuedeserexpresadamedianteelcuadradodeunbinomiodelasiguientemanera:

siendoaelcoeficienteprincipalyelparordenado(hk)lascoordenadasdelvrticedelaparbola.

Representacingrfica

Interseccinconelejey

Lafuncincortaelejeyenelpuntoy=f(0),esdecir,laparbolacortaelejeycuandoxvalecero(0):

loqueresulta:



la funcin corta el eje y en el punto (0, c), siendo c eltrminoindependientedelafuncin.

A este punto de la funcin tambin se lo conoce conOrdenadaalOrigen,yaquesedaenlostrminos.

Interseccinconelejex

Lafuncincortaalejexcuandoyvale0,dadalafuncin

esdecir:

las distintas soluciones de esta ecuacin de segundogrado, son los casos de corte con el eje x, que seobtienen,comoessabido,porlaexpresin:

.

Silafuncinnocortaalejex,lafrmulaanteriornotienesolucin(enlosreales).

Extremo

Enprincipio,enmatemticassenombracomoextremotantoalmximocomoalmnimo,porejemploenelconjuntoS={1,5,9,13,17}elmnimoes1yelmximo17,y losextremos son1y17.Paracalcularelextremodeuntrinomiocuadrtico,sepuedeusarunteorema,abordableenlgebraelemental,apoyndoseenelcomportamientodeunasumadeuncuadradodeunavariableconunnmerorealcualquiera.4

Teoremafundamentaldeltrinomiocuadrtico

Eltrinomiocuadrtico

tieneunvalorextremoqueloconsiguecuando

estevalorresultamnimosia>0,mximosia



Seaunodelossumandox,elotrosumandosersxysuproductop=x(sx)

p=x2+sx.

LuegoaplicandoelTFTCresultax=s/2entalcasosx=s/2.Enconsecuenciaelproductoalcanzaelvalormximosiambossumandossoniguales.Silasumaes30elproductosealcanzacuandolossumadosson15y15,cuyoproductoes225.6

Problema2

Setieneunaalambradade120metrosparacercaunterrenorectangular,hallarlamximareadeterrenoacercar.

Silosladosmidenx,ysetieneque2x+2y=100dedondey=50xyelreaes

A=x(50x)=x2+5oxyaplicandoelTFTCyelresultadoanterior,puestoquelasumax+(50x)=50elproductoAesmximocuandox=50x,obienx=25.

Luegolamximareaes

Alternativadelclculodiferencial

Todafuncincuadrticaposeeunmximoounmnimo,queeselvrticede laparbola.Si laparbolatieneconcavidadhaciaarriba,elvrticecorrespondeaunmnimodelafuncinmientrasquesilaparbolatieneconcavidadhaciaabajo,elvrticeserunmximo.

Dada la funcinensu formadesarrollada: , lacoordenadaxdelvrtice ser simplemente: .La

coordenadaydelvrticecorrespondealafuncinfevaluadaenesepunto.

Dadalaformacannica:,lascoordenadasexplcitasdelvrticeson:(h,k)

la derivada de la funcin, y se iguala a cero, la solucin a esta ecuacin son los posibles mximos ymnimosdelafuncin,enestecaso,partiendodelafuncincuadrtica:

calculamossuderivadarespectoax:

quesilaigualamosacero,tenemos:

dondexvaldr:

Parasabersiesunmximoounmnimoesnecesarioverladerivadasegundadelafuncin,veamos:



estoes:2aserpositivocuandoaseapositivoynegativosiaesnegativo,portanto,siladerivadasegunda2aespositivalaparbolaescncavayelpuntoserunmnimodelafuncin,siaesnegativalaparbolaserconvexayseaunmximo.

Ejemplo1

Dadalafuncin:

Observacin : Es indiferente notar "y" o notar "f(x)".Ambas expresiones hacen referencia a la imagen de xobtenidaatravsdelafuncintrabajada.

Calculamossuderivadaprimera:

Estaderivadavaldrcero:

cuando:

estoes:

Esta funcin presenta un extremo relativo para , veamos si es unmximo o unmnimo, calculando laderivadasegunda:

Quees6,dadoque6esunvalorpositivo,lafuncinescncava,yelextremorelativoquepresentepara:,esunmnimo.

Obs.Observandoelsignodelaconstante"a"podemossaberdeantemanosiestamosanteunmnimoounmximo.Entoncesparaa0unmnimo.

Ejemplo2

Dadalafuncin:



Para calcular sus extremos relativos calcularemos suderivadaprimera:

Estaderivadavaldrcerocuando:

estoes:

queresulta:

Para ,lafuncinpresentaunextremorelativo,comosabemosqueelcoeficientede ,esnegativoesunmximo.Sirealizamoselestudiodesignodeladerivadaprimera,nosdaqueen pasadeserpositivoanegativo,osealafuncincambiadesercrecienteadecreciente,porloqueconfirmamosqueesunmximo.Deotraformasepuedecalcularladerivadasegundaenestepunto,comprobandosilafuncinescncavaoconvexa.

Otrosprocedimientos

Siesposiblefactorizarenlaforma ,sehallaelmximodelproductodelosdosfactoresbinmicos,teniendoencuentaque

tal caso ocurre si los factores son iguales, luego haciendo se obtieneobien .7Elsignodeadeterminasiesmnimoomximo.

La forma cannica se puede escribir como , donde el segundotrminoconllevauncuadrado,quees0peroenelsegundomiembrosik/aespositivo,haymnimoconx=hsik/aesnegativo,seobtieneunmximosix=h.8Todoelloparalafuncing(x)=1/af(x).

Presencia

Encinemtica

enlaecuacindelespacioencasodelmovimientouniformeacelerado: ,dondeaaceleracin, ,velocidadinicial, espacioinicialyt,variabledeltiempo.,9

Engeometra

Enelreatotaldeuncilindro,comofuncindelradiodelabasedelmodoenelreatotaldelcono,enfuncindelradio.



Enelreatotaldeunprismacuadrado,funcindelladodelabase,alturaconstante,lomismoparalapirmidecuadrada.10

Presenciahistrica

Arqumedes calcul el rea de un sector parablico, limitado por un rectngulo, en trminosmodernossegnlafuncin .11

Determinarlaecuacinconocidostrespuntos

Partiendodelaformadelaecuacin:

yconocidostrespuntosdelplanoxyporlosquepasaunafuncinpolinmicadesegundogrado:

secumplirque:

conloquetenemosunsistemadetresecuacionescontresincgnitas,dondelasincgnitasson:a,byc,estesistematendrsolucinsieldeterminantedeloscoeficientesdelasincgnitasesdistintodecero.

Representandoelsistemaordenadodeformaconvencional:

Conloquepodemoscalcularlosvaloresdeloscoeficientes:



Referencias1. Lehmann:lgebra,LimusaWiley,MxicoDF.2. I.P.Natansn.ProblemaselementalesdemximoymnimoSumadecantidadesinfinitamentepequeas,Editorial

Mir,Mosc(1977)3. Notienesentidolapresenciadecomplejos,setratadefuncinrealdevariablereal4. HaaserLasalleSulivan.AnlisisMatemticoI5. NatansnOpcit.6. Natansn.Op.cit.7. Bruo:lgebrasuperior,edicinespaola8. G.M.Bruoibdem9. UCH.Fsicageneral,Lima(2005)

10. FrmulariodematemticasdeSchaumm,McGrawHill11. Apostol,Tom.Calculus

Bibliografa

1. GrupoEpsilon,ed.(9de1994).Estudiodefunciones:lafuncincuadrtica(1edicin).FundacinBancaja.ISBN9788488715067.

2. GallegoPalomero(7de1989).Funcincuadrtica(1edicin).EdicionesSM.ISBN9788434828698.

Vasetambin

EcuacincuadrticaParbolaMovimientoparablicoCompletarelcuadradoPolinomioFuncionesmatemticasGeometraanaltica

Enlacesexternos

Funcincuadrtica(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99041602/indice.htm)

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