Función Cuadrática

Profesor: Javier Trigoso T.

1

INTRODUCCIÓN

Las relaciones entre las variables dependiente e

independiente de una función no siempre siguen una

forma de crecimiento lineal. Una modalidad común de

estas relaciones es la familia de las llamadas

funciones cuadráticas, cuya representación gráfica

es una parábola.

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas

disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir

movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y

costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la

experimentación.

Para dar un ejemplo, si un jugador de un equipo

de futbol patea una pelota, como se ve en la

figura, y si la resistencia del aire y otras fuerzas

externas son mínimas, entonces la trayectoria de

la pelota es una parábola.

DEFINICIÓN

Las funciones de la forma 2f(x) ax bx c , donde a, b y c

son números reales, con a ≠ 0, se llaman funciones cuadráticas.

La representación gráfica de las funciones 2f(x) ax

, a ≠ 0, es una parábola. Si a > 0, la parábola está

abierta hacia arriba; si a < 0, la parábola está abierta

hacia abajo. El número a indica la abertura de la

parábola; es más abierta cuanto menor sea a en valor

absoluto. En la figura se muestran las

representaciones gráficas de 2f(x) ax , con a = ±

0,5, ± 1, ± 2.

El dominio de cualquier función lineal es todo ℛ y son continuas en toda la recta

real.


2

Su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, es una función

par: f(x) = f(-x)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Conocida la gráfica de la parábola 2f(x) ax , las gráficas de las parábolas del tipo 2f(x) ax c se obtienen trasladando verticalmente la parábola c unidades hacia

arriba si c > 0, y c unidades hacia abajo si c < 0. Por lo tanto su vértice es (0; c)

La representación gráfica de una función 2f(x) ax bx c ; a ≠ 0 es una parábola

con su vértice desplazado tanto

horizontalmente como verticalmente. Para

encontrar el vértice se puede utilizar la

técnica de completar cuadrados.

Así:

2 2

2 2

2

2 2

b cf(x) ax bx c a x x

a a

b b ca x

2a a4a

b 4ac ba x

2a 4a

Si llamamos b

h2a

y 24ac b

k4a

Obtenemos 2

f(x) a x h k , que es la

llamada forma estándar de la función cuadrática.

La gráfica de la función 2

f(x) a x h k , es una parábola con vértice

en V h;k . Si a > 0 se abre hacia arriba y si a < 0 se abre hacia abajo.

RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los

cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente

corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje X.

Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje X en:

a > 0

a < 0


3

2 raíces 1 raíz ninguna raíz

EJEMPLOS:

01. Grafica y analiza la función 2f(x) (x 3) 4

Como el coeficiente principal es

positivo (> 0), esto nos indica que la

parábola se abre hacia arriba.

El vértice de la parábola es el

punto (-3; -4)

Los interceptos con los ejes son:

o X: (-5; 0) , (-1; 0)

o Y: (0; 5)

02. Grafica y analiza la función 2f(x) (x 3) 4

Como el coeficiente principal es

negativo (< 0), esto nos indica que

la parábola se abre hacia abajo.

El vértice de la parábola es el

punto (3; 4)

Los interceptos con los ejes son:

o X: (1; 0) , (5; 0)

o Y: (0; -5)

Vértice (-3;-4)

Vértice (3;4)

Según el signo del discriminante

podemos distinguir:

Δ > 0, la ecuación tiene dos

soluciones, por tanto la parábola cortara

al eje X en dos puntos: x1 y x2.

Δ = 0, la ecuación tiene una única

solución en x1, la parábola solo tiene un

punto en común con el eje X, el cual es

el vértice de la función donde las dos

ramas de la parábola confluyen.

Δ < 0, la ecuación no tiene solución

real, y la parábola no corta al eje X.

IMPORTANTE


4

VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Si una función cuadrática tiene vértice (h; k), entonces la función tiene un valor

mínimo en el vértice si la parábola se abre hacia arriba y un valor máximo se abre hacia

abajo.

Sea f una función cuadrática con forma estándar 2f(x) a(x h) k . El valor

máximo o mínimo ocurre en x = h.

Si a > 0, entonces el valor

mínimo de f es f(h) = k

Si a < 0, entonces el valor

máximo de f es f(h) = k

… PARA LA CLASE

01. La gráfica de la función 2f(x) x 3 no pasa por el:

A. I y II cuadrante

B. I y III cuadrante

C. II y IV cuadrante

D. III y IV cuadrante

02. Halla el mayor de los coeficientes

de la función cuadrática f(x), si se sabe

que f(1) = 5, f(-1) = 3y f(0) = 3

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

03. Obtén las coordenadas del vértice

de la parábola 2f(x) 2x 12x 3 A. (3; 12) B. (3; -12)

C. (3;-15) D. (3; 15)

04. Halla el valor que genera el

mínimo valor de la función 2f(x) 3x 8x 3

A. -8/3 B. -4/3

C.4/3 D. 8/3

05. Si 1 es el mínimo valor de la

función 2f(x) x bx 5 , halla el valor

de b

A.± 4 B. -3; 4

C. -4; 3 D. ± 3

06. Dada la función cuadrática 2f(x) (x a) 6a . Halla el mínimo valor

de f(x), si 8a – 21 es la imagen de 2.

A. -30 B. -24

C. -18 D. -15

07. Una parábola corta el eje de

abscisas en x = –1 y en x = 3. La

ordenada del vértice es y = –4.

¿Cuál es la ecuación de esa parábola?

A. 2f(x) x 2x 3

B. 2f(x) x 2x 3


5

C. 2f(x) x 2x 3 D. 2f(x) x 2x 3

08. Determina el valor de k para el

cual el punto máximo de la gráfica de 2f(x) 5x 3x 2k tiene el mismo

valor para las coordenadas X e Y

A. 3/20 B. -3/10

C. -9/20 D.-3/40

EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES Hemos observado que el vértice de una parábola representa en el plano cartesiano, un

punto máximo o mínimo de la curva, dependiendo del tipo de concavidad de la función

cuadrática correspondiente. Tomando en cuenta lo anterior y el fundamento teórico

que caracteriza a las funciones cuadráticas, veremos a continuación algunas

aplicaciones de la función cuadrática.

EJEMPLO 1

Los alumnos de un colegio quieren ir de excursión. Una

empresa de turismo les cobra S./70 por persona si van 40

alumnos y les rebaja S/.1 por persona por cada alumno

adicional. Además, acepta que viajen 65 alumnos como máximo

y no la organiza si viajan menos de 40. ¿Cuántos alumnos

deben ir de excursión para que la empresa de turismo realice

el mejor negocio?

Solución

Elaboramos una tabla para obtener una expresión que nos permita hallar el

precio total que cobra la empresa de turismo según la cantidad de alumnos que

van de excursión.

Cantidad total de alumnos Precio por alumno (S/.) Precio total (S/.)

Si van 40 alumnos: 40 70 40.70

Si va 1 alumno más: 40 + 1 70 – 1 (40 + 1).(70 – 1)

Si van 2 alumnos más: 40 + 2 70 – 2 (40 + 2).(70 – 2)

Si van 3 alumnos más: 40 + 3 70 – 3 (40 + 3).(70 – 3)

Si van x alumnos más: 40 + x 70 - x (40 + x).(70 – x)

Observamos que el precio total depende de la cantidad de alumnos x que vayan.

Resolvemos f(x) = (40 + x).(70 – x) y obtenemos 2f(x) x 30x 2800

Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1

6

Como queremos averiguar el mayor precio total que puede cobrar la empresa

de turismo por la excursión, buscamos el máximo de la función.

Hallamos el vértice de la parábola: 2

2

2

2

f(x) x 30x 2800

f(x) (x 30x ) 2800

f(x) (x 30x 225) 2800 225

f(x) (x 15) 3025

El vértice es V(15; 3025), este es el punto

máximo de la función.

Interpretamos:

El mayor precio total (S/.3 025) se puede

cobrar cuando viajan 15 alumnos más.

Para que la empresa de turismo realice el mejor negocio, deberán ir de excursión

40 + 15 = 55 alumnos.

EJEMPLO 2

En el laboratorio productor de crías de trucha se requiere colocar canales

rectangulares de plástico para el aporte de agua de río a los tanques principales de

producción de juveniles. Se tiene una lámina larga, rectangular de PVC, de 12

pulgadas de ancho. Se doblan dos orillas hacia arriba para que queden

perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas deben quedar hacia arriba para que el

canalón tenga capacidad máxima?

Solución

En la figura se ve el canalón. Si x representa el número de

pulgadas verticales, en cada lado, el ancho de la base del

canalón es 12 - 2x pulgadas. La capacidad será mayor

cuando el área de la sección transversal del rectángulo

cuyos lados son x y 12 - 2x, tenga su valor máximo. Si f(x)

representa esta área, se obtiene que:

2

2

f(x) x 12 2x

f(x) 12x 2x

f(x) 2x 12x


7

Como f es función cuadrática, el valor máximo de f se obtiene en

b 12x 3 h 3

2a 2( 2)

Por lo tanto, se deben doblar hacia arriba 3 pulgadas de cada lado para alcanzar la

capacidad máxima.

Otra posibilidad para la solución es que la gráfica de la función f(x) = x(12 - 2x)

tiene abscisas en el origen x = 0 y x = 6. Por lo tanto, el promedio de ellas,

0 6x 3

2

es la abscisa del vértice de la parábola, y el valor que produce la capacidad máxima.

… PARA LA CLASE

09. Un rectángulo tiene 20 cm de

perímetro. Escribe la función que da el

área de ese rectángulo en función de

su base x.

A. 2A(x) x 10x B. 2A(x) 10x x

C. 2A(x) x 10 D. 2A(x) 10 x

10. En el problema anterior, ¿cuál es

el dominio de esa función?

A. (10; 0) B. (0; 8)

C. (0; 10) D. (0; 8)

11. Si la función ganancia de una

empresa de ventas está dada por 2G(x) 2x 60x 1500 , “x” en soles.

Encuentra la ganancia máxima.

A. 15 B. 1 500

C. 1 650 E.1 950

12. La utilidad que se

obtiene al producir y

vender maletas en

determinada empresa

está dada por: 2x

U(x) 40x10

,

donde x representa el número de

maletas y U(x) está dada en soles.

Halla la utilidad al vender 60 maletas.

A. S/.1 840 B. S/.1 960

C. S/.2 040 D. S/.2 060

13. En el problema anterior, si se

quiere obtener la máxima utilidad

posible, ¿cuántas maletas hay que

producir y vender?

A. 80 B. 100

C. 150 D. 200

14. Una pelota es lanzada

verticalmente hacia arriba desde lo

alto de un edificio. La altura que

alcanza viene dada por la fórmula 2h(t) 80 64t 16t (t en segundos y

h en metros). Halla la altura del

edificio.

A. 60 m B.80 m

C. 90 m D. 100 m

15. En el problema anterior, ¿En qué

instante alcanza su máxima altura?

A. 1 s B. 2 s

C. 3 s D. 4 s


8

… PARA LA CASA

01. Si el punto P (2; m) pertenece a

la función cuadrática 2f(x) 2x 5x 1 .

Encuentra el valor de m.

A. 11 B.13

C. 15 D.17

02. La función 2f(x) ax bx a b

cumple f(0) = 12 y f(-1) = 14.

Calcula f(2)

A. 20 B. 30

C. 40 D. 50

03. Halla el máximo valor que puede

tomar 2f(x) x 10x 21 A. 2 C. 3

D. 4 E. 5

04. Halla el menor valor entero del

rango de f, 2f(x) 3x 5x 2

A. -6 B.-5

C.-4 D. -3

05. Halla el rango de la función

definida por 2f(x) 4x 16x 17

A. 1;1 B. 1;

C. 1; D. 1;

06. Si 1 es el mínimo valor de la

función 2f(x) x bx 5 , halla el

valor de b

A.± 4 B. -3; 4

C. -4; 3 E. 4

07. Si el máximo valor de la función 2f(x) x 6x m es 20. Halla el

valor de m.

A.-11 B. -10

C. 10 D. 11

08. Halla a + h, si (h; -5) es el vértice

de la parábola representada por la

función 2f(x) ax 4ax 7 A. -2 B.-1

C. 1 D. 2

09. Si f es una

función definida por 2f(x) ax bx cuya

gráfica se muestra en la

figura. Entonces el valor

de M = ab es:

A.-8 B. -6

C. 6 D. 8

10. Determina el mayor valor entero

de “n”. Si la gráfica de la función: 2f(x) x nx 1 , es

A. -1

B. -2

D. 1

E. 2

11. Halla el valor de m ( < 0), de

acuerdo a la gráfica de la función 2f(x) (4 m)x 2mx 2

A. -6

B. -4

C.-2

D. 2

x

y


9

12. ¿Qué valores debe tomar a para

que la función 2f(x) ax (a 3)x 1

presente la siguiente gráfica?

A. a 0;1 9;

B. a 0;9 C. a ,1

D. a ;1 9;

13. La gráfica de la función

22f(x) x bx c

3 intercepta al eje X

en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje Y

en el punto (0; k). Entonces el valor de

b + c + k es: A. 26/5 B. 27/2

C.-46/3 D. 9/4

14. Si la función ganancia de una

empresa de ventas está dada por 2G(x) 2x 60x 1500 , “x” en soles.

Encuentra la ganancia máxima.

A. 15 B. 1 500

C. 1 650 E.1 950

15. Un fabricante de muebles puede

producir sillas a un costo de S/.10 cada

una y estima que, si son vendidas a S/.x

cada una, los usuarios comprarán

aproximadamente 80 – x sillas cada

mes. Expresa la utilidad mensual U del

fabricante en función del precio

A.U(x) (x 10)(80 x)

B. U(x) (x 10)(80 x)

C. U(x) 10x(x 80)

D. U(x) (x 10)(x 80)

16. De un cuadrado de 4 cm de lado,

se cortan en las

esquinas triángulos

rectángulos

isósceles cuyos

lados iguales miden

x. Halla el área del

octógono que resulta en función de x.

A. 2A(x) 2x 16

B. 2A(x) 16 2x

C. 2A(x) 2x 16

D. 2A(x) 16 2x

17. En el problema anterior, ¿cuál es el

dominio de esa función? ¿y cuál su

recorrido?

A. (0;2) y (8;16) B. (0;2) y (0; 16)

C. (0;2) y (4; 16) D. (0;4) y (0; 16)

18. En un triángulo cuya base mide

10u y su altura mide 6u se encuentra

inscrito un rectángulo cuya base está

sobre la del triángulo. Si el área A de la

región rectangular se expresa como una

función de su base x, halla el máximo

valor de dicha función.

A. 21 B. 18

C. 15 D. 14

19. La diferencia de dos números es

22. Determina dichos números de tal

modo que su producto sea mínimo.

A. 11 y 11 B. -11 y 11

C. 0 y 22 D. -10 y 12

20. Un fabricante vende

mensualmente 100 electrodomésticos a

400 euros cada uno y sabe que por cada

10 euros de subida venderá 2 menos.

¿Cuáles serán los ingresos si sube los

precios 50 euros?


10

A. 4 500€ B. 4 050€

C. 4 005€ D. 40 500€

21. En el problema anterior, ¿Qué

subida produce ingresos máximos?

A. 2€ B. 3€

C. 4€ D. 5€

22. Los gastos fijos mensuales de

una empresa por la

fabricación de x

televisores son

G(x) = 2000 + 25x, en

euros, y los ingresos

mensuales son

I(x) = 60x – 0,01x2, también en euros.

¿Cuántos televisores deben fabricarse

para que el beneficio (ingresos menos

gastos) sea máximo?

A. 62 B. 65

C. 620 D. 625

23. Si el número de turistas que

hace un recorrido en autobús a una

ciudad es exactamente 30, una empresa

cobra 20$ por

persona.

Por cada persona

adicional a las 30, se

reduce el cobro

personal en 0,5$.

¿Cuál es el número de turistas que debe

llevar un autobús para maximizar los

ingresos de la empresa?

A. 5 B. 35

C. 40 D.45

24. Para un partido de futbol, se

sabe que a S/.15 la entrada asistirían

25 000 personas. Pero si cada entrada

se vende por un

monto entre S/.15

y S/.40, por

experiencias

anteriores, se sabe

que la asistencia

disminuye en 500 personas por cada sol

que se aumente al valor de la entrada.

Halla la función T que proporciona el

ingreso de la

taquilla.

A. 2T(x) 400000 15000x 500x

B. 2T(x) 375000 17500x 500x

C. 2T(x) 35000 17000x 100x

D. 2T(x) 25000 50000x 100x

25. Se estudiaron los efectos

nutricionales sobre ratas que fueron

alimentadas con una dieta que contenía

un 10% de proteína. La proteína

consistía en levadura y harina de maíz.

Variando el porcentaje P de levadura en

la mezcla de proteína, se estimó que el

peso promedio ganado (en gramos) de

una rata en un período fue de f(p) ,

donde: 21f(p) p 2p 20

50 ;

0 ≤ p ≤ 100. Encuentra el máximo peso

ganado.

A. 19 gr B.20 gr

C.21 gr D. 22 gr

www.issuu.com/sapini/docs/

http://www.issuu.com/sapini/docs/

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Función Cuadrática