FUNCIÓN CUADRÁTICA

Prof. Evelyn Dávila Proyecto MSP21- FASE II

Academia Sabatina

ax

x f )( c

bxaxx

2

l La forma general de una función cuadrática es; , donde a,b y c son números reales.

c bx ax x f ) ( 2

Ejemplos

9 12 4 ) (

2

x x x f l a= 4, b= 12 , c= 9

3 5 2 ) (

2

x x x f l a= 2, b= 5 , c= -3 l a= 1, b= 0 , c= 25

25 ) (

2

x x f

lLa gráfica de una función cuadrática es una parábola; ésta representa el conjunto solución de la función.

l La función cuadrática básica es

. l Su gráfica es la siguiente

) (

xxf

2

x

y 2

4 1

1 0

0 -1

1 -2

4

CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

lDada en la forma estándar

c bx ax x f ) ( 2

l Dominio- los números reales

Concavidad

El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parábola:

l Si a>0 . es cóncava hacia arriba

l Si a<0, es cóncava hacia abajo

a>0 a<0

Vértice

El vértice es el punto mínimoen una parábola cóncava hacia arriba y es el punto máximo en una parábola cóncava hacia abajo.

l La coordenada de el vértice es dada por :

ab ) ( f y b

2 x a 2

Vértice

Punto mínimo

Simetría

lLa parábola es simétrica con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice y cuya ecuación es dada por

b x . a 2

Interceptos en x

lLa parábola puede tener hasta un máximo de dos interceptos en x.

En general podemos encontrar uno de los siguientes casos:

l Tiene dos interceptos en x: la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice se encuentra bajo el eje de x ó es cóncava hacia abajo y su vértice se encuentra sobre el eje de x.

l Tiene un intercepto en x; el vértice se encuentra sobre el eje de x.

l No tiene intercepto en x: esta parábola no intercepta el eje de x y se encuentra en el primer y segundo cuadrante ó se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante.

Procedimiento para hallar el(los) interceptos en el eje de x

1. Igualar la función a cero y hallar las raíces

mediante el método de factorización o la fórmula cuadrática.

2. En esos valores ocurren los interceptos.

Fórmula cuadrática b b x a

ac

2

42

Intercepto en y

l La parábola tiene un intercepto en y y la coordenada de ese punto es (0,c).

Para ;

c bx ax x f ) ( , 2

c f ) 0

(

EJEMPLO 1

3 5 2 ) (

2

x x x f Parámetros a = 2, b = 5, c = -3

DOMINIO Números Reales

Concavidad a = 2 Cóncava hacia arriba

Vertice ( -1.25, -1.31 ) Punto mínimo

45 25 25 . 1 x 2 b x a 2

5 ) 25 . 1 ( 2 ) 25 . 1 (

2

f (a

b ) f y 2

3 6

325.6125.

EJEMPLO 1 (continuación)

5 5

2

x

3

5 2 ) (

2

x x x f 2 ( 2

)(2(4

Eje de simetría x = -1.25

5 25 5 Interceptos en el eje de x ( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )

4

24

1 2 5 x b b x 4 4

7

a

ac

2

42 412 5

2

3 x 4

7

EJEMPLO 1 (continuación)

3 5 2 ) (

2

x x x f Interceptos en el eje de y (0 , -3 )

GRAFICA

EJEMPLO 2

4 ) (

2

x x f

Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4

Dominio Números reales

Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo

Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo

b ) ( f y 2 a 0 ab

0 x 2 2 4 ) 0 ( f y

EJEMPLO 2 (continuación)

4 ) (

2

x x f

Interceptos en x f(x) = 0 4 x 2

) 4 )(1(

4 0 0

2

0

x Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula cuadrática.

4

)1(2

Fórmula cuadrática

2 x 2 4 b b x a

ac

2

42

2 x 2 Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )

EJEMPLO 2 (continuación)

4 ) (

2

x x f

EJEMPLO 3 (continuación)

)(3(

4 7 7

2

x )3

( 2 6 7 3 ) (

2

x x x f

Eje de simetría x = 1.17

72 49 7 Interceptos en el eje de x ( 0.67 , 0 ) y ( -3 , 0 )

2 4 11 7

6

x b b x 6 6 a

ac

2

42 18 11 7

3

x 6 6

EJEMPLO 3 (continuación)

6 7 3 ) (

2

x x x f

Práctica

9 12 4 ) (

2

x x x g Parámetros

Dominio

Concavidad

Vértice

Simetria

Intercepto(s) en x

Intercepto en y

GRAFICA

Práctica

9 12 4 ) (

2

x x x g Parámetros a = 4 , b = 12, c = 9

Dominio Números reales Concavidad a = 4 Cóncava hacia arriba Vértice ( -1.5,-14.9 ) Punto mínimo

) 5 . 1 (

2

g 23 812 212

9 9 . 14 9

)5.1(4

5 . 1 x ) 4 ( ) 9 . 14 ,5

. 1 (

14

Práctica –continuación

9 12 4 ) (

2

x x x g

Aplicaciones

Caida libre de un objeto l El modelo matemático para describir la posición de

un objeto en caída libre es dado por

21 ) (

stvatt

s 2 0 0

Donde a , es la constante de aceleración debido a la gravedad, velocidad inicial y la

posición inicial.0v

La constante de aceleracion es dada por

0 s

segpies 32

go

g 2

9

Un objeto es lanzado hacia arriba desde un edificio, a una altura de 100 pies a una velocidad inicial de 5 millas por hora.

lëCuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?

lëCuánto tiempo le toma al objeto tocar el piso?