INTRODUCCIÓN

El presente trabajo denominado función cúbica tiene por objetivo el mostrar

que las funciones tienen mucha ingerencia en la vida cotidiana por lo general

este tipo de funciones se encuentran dentro del tipo de funciones polinómicas

motivo por el cual no es un tema muy tradicional como las funciones

cuadráticas o las lineales o trigonométricas.

En una primera parte trataremos de definir de donde el origen de las funciones

y de mostrar una pequeña clasificación que nos permitirá a nosotros saber en

que parte nos ubicamos después veremos nuestro tema en si que es la función

al cubo lo cual detallaremos con ejemplos ilustrativos que nos permitirá

comprender mejor nuestro tema asi como también el hecho de conocer

algunos casos aplicativos.

Cabe destacar que las funciones son modelos matemáticos con lo cual Un

fabricante desea conocer la relación o correspondencia entre las ganancias de

su compañía y su nivel de producción, un biólogo se interesa en el cambio de

tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un psicólogo

quisiera conocer la relación o correspondencia entre el tiempo de aprendizaje

de un individuo y la longitud de una lista de palabras, un químico le interesa la

relación o correspondencia entre la velocidad inicial de una reacción química y

la cantidad de sustrato utilizado, a un comerciante la relación o

correspondencia entre cada artículo de un estante con su precio, etc. En cada

caso la pregunta es la misma:¿cómo depende una cantidad de otra?. Esta

dependencia entre dos cantidades es la correspondencia entre diversos tipos

de fenómenos y se describe convenientemente en matemáticas mediante una

función.

I. FUNCIONES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por

primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar

una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried

Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva,

como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el

definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-

1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número

dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal

forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o

correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es

una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente

valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos

valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores

permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores

que toma Y constituye su recorrido".

1.- FUNCIONES

Piéncese en una función como una pistola toma sus municiones de un conjunto

llamado dominio y dispara sobre un conjunto como blanco. Cada bala le pega a

un único blanco puntual, pero puede ocurrir que varias balas le peguen al

mismo punto. Podemos, a la vez, establecer la definición con mayor finalidad e

introducir alguna notación.

Una función “f” es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto “x”

de una conjunto llamado “dominio” una valor único f(x) de un segundo conjunto.

El conjunto de valores así obtenidos se llama “rango” de la función.1

1PURCELL, Edwin. Cálculo con Geometría Analítica. 4º Edición. 1954. Prentice Hall

Hispanoamericana, S.A.

x f(x)

DominioRango

f

Nota: La definición no impone restriccióna los conuntos dominio y rango

El dominio puede consistir en el conjunto de personas de su clase de Cálculo y

el rango en el conjunto de calificaciones A, B, C, D, F, que se dan, y la regla de

correspondencia, el procedimiento que el maestro usa para asignar las

calificaciones.

De mayor importancia en Cálculo serán aquellos ejemplos, en los que tanto el

dominio como el rango consistía en un conjunto de números reales. La función

“A”, podría tomar un número real “x” y elevarlo al cuadrado para producir el

número real x2. En este caso, tenemos una fórmula que da la regla de

correspondencia, en concreto:

x

Dominio Rango

A(x)=x ²

f

2

1

0

-1

-2

4

1

0

2.- NOTACIÓN FUNCIONAL.

Se usa una sola letra como F(ó g ó f ) para determinar una función ,entonces

F(x), que se lee “F de x” o “ F en x”, designa el valor que “F” asigna a X . Por lo

tanto si

f x x 3 4 .

f 2 2 4 43

f 1 1 4 53

f a a 3 4 5

f a h a h a a h ah h 3 3 2 2 34 3 3 4

Ejemplo: Para f x x x 2 2 , encuentre y simplifique:

a) f 4 ,

b) f h4 ,

c) f h f4 4 ,

d) f h f

h4 4

Solución:

a) f 4 4 2 4 82

b) f h h h h h h h h4 4 2 4 16 8 8 2 8 62 2 2

c) f h f h h h h4 4 8 6 8 62 2

d) f h f

h

h h

h

h h

hh

4 4 6 66

2

3.- CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES2

La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos

matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Mención especial merece Leonhard

Euler, a quien debemos la notación y = f (x). Hacia el final del siglo XVIII, los

matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran

número de fenomenos de la vida real podrían representarse emdiante modelos

matemáticos consturidos a partir de una colección de funciones denominadas

funciones elementales. Las funciones elementales se distribuyen de la

siguiente manera:

F. POLINOMICAS

F. ALGEBRAICAS

F. RADICALES

F. RACIONALES

2 CALCULO. Larson, Hostetler y Edwards. Ed. Mc Graw Hill. México. 1999.

Aquéllas funciones que pueden expresarse mediante

un número finito de +, - , x , y ¯

conteniendo potencias Xn

FUNCIONES

ELEMENTALES

F. TRIGONOMETRICAS

F. NO ALGEBRAICAS

O TRASCENDENTES

F. EXPONENCIAL

F. LOGARITMICA

4.- FUNCIONES ALGEBRAICAS

Lo que sigue, como lo anterior, referente a la representación gráfica de

funciones sólo es una introducción al tema. La gráfica de algunas funciones

presentan caracteristicas especiales que para su estudio se requiere del

Cálculo. Tales características son, por ejemplo, las asíntotas horizontales y

verticales (se deducen a partir de límites); determinar los intervalos donde la

gráfica de la función es decreciente y dónde es creciente (cálculo diferencial);

precisar en qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es

hacia abajo, hallar los puntos de inflexión (puntos donde ocurre el cambio de

concavidad) (cálculo diferencial); máximos y mínimos; etc. El estudio de estos

temas seran estudiados seguramente mas adelante en nuestro curso, o tal vez

sean muy no tengan mucha inferencia con nuestra carrera.

Funciones algebraicas:

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito

de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación

y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x)= x, y a la función constante,

f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales,

racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

5.- FUNCIÓN POLINOMIAL:

El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.

Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función

polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo

grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).Es la más común de

las funciones algebráicas. Es de la forma:

Grado cero: f(x)=a función constante

Grado uno: f(x)=ax+b función lineal

Grado dos: f(x)=ax2+bx+c función cuadrática

Grado tres: f(x)=ax3+bx2+cx+d función cúbica

EJEMPLOS:

f(x) = -5

g(x) = 8x – ½

v(t) = 2t2 + 13t - 7

h(x) = x3 - 4x2 + 3

6.- FUNCIÓN POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE

NATURAL.

Definición.- Dado n� IN se define la potencia n-ésima de un número

real x como el producto de n factores iguales a x:

xn=x.x. ... n).x

Definición.- Dado n� N se define la función potencia n-ésima como la

función real de variable real que a cada x le asigna xn.

El cálculo con potencias tiene las siguientes propiedades:

1 (xy)n =xn yncualesquiera que sean x,y� IR.

2 xn xm =xn+m y si n>m entonces x n/xm=xn-mcon x� IR.

3 (xn) m =xn m con x� IR.

4 Si 0<x<y entonces 0< xn <yn. La función potencia n-ésima es por

tanto una función estrictamente creciente en el intervalo [0,+� )

y por lo tanto es inyectiva de IR+ en IR+ . Como consecuencia de esta propiedad se tiene

5 La función potencia n-ésima no está acotada

superiormente, es decir dado cualquier número real

M siempre existe x tal que xn>M, más concretamente

6 La función potencia n-ésima es una función continua

en IR

.

6 La función potencia n-ésima tiene derivadas

continuas

de cualquier orden:

La siguiente figura muestra la gráfica de varias funciones

potenciales de exponente natural

Las funciones polinómicas son continuas e indefinidamente

derivables en todo IR.

II. FUNCIÓN CÚBICA

Esta funcion es GENERALMENTE utilizada para relacionar VOLÚMENES

en determinados espacio o tiempo. Asimismo podemos decir que algunos

ejemplos practicos serian por ejemplo el relacionar el crecimiento de un feto

en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza

se puede determinar la semanas de gestación del feto.

Otro ejemplo característico podriamos decir que seria el hecho de relacionar

los vientos o la energia eolica con respecto a la intensidad de estos y su

tiempo de duración. Esta funcion cubica se utiliza mas en el campo de la

economia como de la física.

2.1 LA FUNCIÓN CÚBICA:

Esta funcion es mas conocida como la :

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y=a*x3+b*x2+c*x+d

donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x

3, se llama: función

cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace

de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada:

parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la siguiente figura

2.2 PROPIEDADES:

El dominio de la función es la recta real

El recorrido de la función es. la recta real

La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

La función es continua en todo su dominio.

La función es siempre creciente.

La función no tiene asintotas.

La función tiene un punto de corte con el eje Y.

La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección

con l eje X.

a continuacion mostraremos algunas graficas características de las

funciones cúbicas y

Ejemplos:

X -2 -1 0 1 2

Y -8 -1 0 1 8

3xf(x)

9xf(x)

X -2 -1 0 1 2

y -512 -1 0 1 512

F(x) = -x3 +8

Tabla de valores

x

-1 0 1 2

y 9 8 7 0

La gráfica corresponde a la función:

y = x3- 3x2 + 3

X -2 -1 0 1 2

Y -

17

-1 3 1 1

Modifica el parámetro d para observar como influye en la gráfica.

Al modificar el valor de d la grafica se modica en funcion de la ubicación del

punto de intersección con el eje Y ya sea si se aumenta este tiende a subir y si

sew disminuye este tiende a bajar

¿Puede una función cúbica no tener ningún punto de corte con el eje OX?

Siempre la funcion cubica va ha tener por lo menos un punto de intersección

con el eje de intersecion cn el eje x todo dependiendo de los valores de c y de

b pues estos son los que determinan las curvas. Ademas que para el eje y solo

va existir un punto de intersección con dicho eje.

Modifican do los parámetros a, b y c podemos observar como influye que cada

uno de ellos influye en la grafica de manera particular pues mientras que el

parámetro a determina el crecimiento de la grafica el paremetro b y c

determinan las curvas que esta pueda adoptar encontrando máximos y

minimos en ese espacio determinado de la gráfica:

De las siguientes gráficas que eran de los siguientes tipos:

1 2 3 4

Tipos de gráficas producidas por los estudiantes

5 7

. Tipos de gráficas En estas gráficas se aprecia una clara tendencia a dibujar las funciones cúbicas como si estas funciones

tuvieran un dominio restringido, no pudieran cortar el eje Y, cuando se encuentra suficientemente ale-

jadas de él y a tener un conjunto de asíntotas verticales.

Una de las principales conclusiones que sacamos de estos resultados es que la percepción que los

estudiantes tienen de la función cúbica es esencialmente gráfica. Entonces dice que la funcion es evi-

dente que su dominio son los números reales y que no es posible que tengan asíntotas verticales. Sin

embargo, no encontramos este tipo de argumento en la corrección a la solución propuesta, ni en los

comentarios a las afirmaciones o en las entrevistas informales que realizamos.