Función de transferencia 2

La TRANSFORMADA de LAPLACE es un método para analizar SISTEMAS

LINEALES a través de la Transformación de las ecuaciones integro-

diferenciales (dominio del tiempo) de la dinámica del Sistema a ecuaciones

algebraicas de variable compleja (dominio de la frecuencia).

•

• Definición

F s f t dts t( ) ( )= −∞

∫ e

0

• Propiedades Si f t F s( ) ( )↔ ,

Transformada de la Derivada: ′ = ↔ −f td f t

d tsF s f( )

( )( ) ( )

0

′′ = ↔ − − ′f td f t

d ts F s f s f( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

20 0

f t s F s s fn n n i i

i

n( ) ( )

( ) ( ) ( )↔ − − −

=

∑ 1

1

0

Transformada de la Integral: f tF s

s

t

( )( )

↔∫0

3. Representación y respuesta de sistemas

La transformada de Laplace

• Ejemplo: Circuito RC, donde R= 1KΩ y C=1µF

R

C

+

-

Vo

+

-

Vi

sC

sIVdtti

CV

sC

sIsIRVidtti

CtiRVi

t

t

)( )(

1

)()( )(

1)(

0

0

0

0

=↔=

+=↔+⋅=

∫

∫

i(t)

1000

1000

/1

/1

1

1

1

1

0

+=

+=

+=

+

=sRCs

RC

RCsCS

R

CSVi

VFunción de

Transferencia

Voltaje de

entrada

Voltaje de

salida


La transformada de Laplace

La Función de Transferencia de un Sistema se define como la relación entre la

Transformada de Laplace de la variable de salida a la Transformada de Laplace de la

variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales son iguales a cero.

G sY s

X s( )

( )

( )condiciones iniciales = 0

=

G(s)X(s) Y(s)

x(t) y(t)

Sistema


Función de Transferencia de un Sistema

• Ejemplo: Circuito RC, donde R= 1KΩ y C=1µF

R

C

+

-

Vo

+

-

Vi

Vi(s) V0(s)

x(t)

Sistema

1000

1000)(

+=s

sF

V0(s)=F(s)Vi(s)

3. Representación y respuesta de sistemasFunción de Transferencia de un Sistema

Polos: Son las raíces del denominador y caracterizan los términos sinusoidales y

exponenciales de la respuesta al impulso. El polinomio del denominador se le llama también

la función CARACTERÍSTICA del sistema.

Ceros: Son las raíces del numerador.

X(s) Y(s)

Sistema

G ss s

s s s s( )

( )

( )( )( )=

+

+ + + −

3

1 4 8 12

-4 -3 -2 -1 0 1 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real

Imag

Mapa de Polos y Ceros de G(s)

3. Representación y respuesta de sistemasPolos y Ceros de Funciones de Transferencia

Bloques en Cascada (Serie):

G1(s) G2(s)

G(s)= G1(s) G2(s)

X1(s) X2(s)X3(s)

X1(s) X3(s)

3. Representación y respuesta de sistemasModelos de Diagramas de Bloques

Ejemplo SERIE en Matlab:

>> G1=tf(10,[1 4 20])

Transfer function:

10

--------------

s^2 + 4 s + 20

>> s=tf('s');

>> G2=(s+1)/(s*(s+3)*(s+8))

Transfer function:

s + 1

-------------------

s^3 + 11 s^2 + 24 s

>> G=series(G1,G2)

Transfer function:

10 s + 10

---------------------------------------

s^5 + 15 s^4 + 88 s^3 + 316 s^2 + 480 s

G1 G2

G=G1+G2

X1 X2 X3

X1 X3


Bloques en Paralelo:

G1(s)

G2(s)

G(s)= G1(s)+G2(s)X(s) Y(s) X(s) Y(s)+

+


Realimentación:

G(s)

H(s)

X(s)

X(s) Y(s)

+ Ea(s)

_

Y(s)

G s

G s H s

( )

( ) ( )1 +


Ejemplo Realimentación en Matlab

>> s=tf('s');

>> G=10/(s*(s+1))

Transfer function:

10

-------

s^2 + s

>> H=1/(s+4)

Transfer function:

1

-----

s + 4

>> T=feedback(G,H)

Transfer function:

10 s + 40

----------------------

s^3 + 5 s^2 + 4 s + 10

+

-

X(s) Y(s)

G(s)

H(s)

X(s) Y(s)

T(s)


Circuito RC:

R=1kΩ

C=1µF

Vi(t) Vo(t)i(t)

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (ms)

amplitud

τ=1ms

v0(t)

u(t)

001.0/1/1)(1000(

1000

1000

1000

)(

)(

)()()(

1)(

)()1

()()(1

)()(

0)

0

1

1

0

000

0

teRCtetvss

V

sssV

sV

Cs

sIsVdtti

Ctv

sICs

RsVdttiC

tRitv

RC

RC

i

t

it

i

−−=−−=↔+

=

+=

+=

=↔=

+=↔+=

∫

∫

3. Representación y respuesta de sistemasRespuesta temporal

En Matlab:

>> F1=tf(1000,[1 1000])

Transfer function:

1000

--------

s + 1000

>> step(F1)

>> %equivale a

>> [y,t]=step(F1);

>> plot(t,y)

>> %equivale a

>> t=0:1e-4:6e-3;

>> esc=ones(size(t));

>> lsim(F1,esc,t)

>> % o alteranativamente

>> [y,t]=lsim(F1,esc,t);

>> plot(t,y)

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



Masa

K: resorte

B: amortiguador

f: fuerza

x:

desplazamiento

Sistema de 2do orden

Circuito RLC.

RL

C

+

-

Vo

+

-

Vi i (t)

M

Ks

M

Bs

sM

sF

sVsF

sFs

sVKV(s)BsVM

tftvktBvdt

tdvMtftkx

dt

tdxB

dt

txdM

++

==

=++

=++⇔=++ ∫∞

2

02

2

1

)(

)()(

)()(

)(s

)()()()(

)()()()(

M

Ks

M

Bs

sMsF

++

=2

1

)(

V(s)F(s)

LCs

L

Rs

sL

sV

sIsF

sVs

sI

CRI(s)sIL

tvtiC

tRidt

tdiL

i

i

i

1

1

)(

)()(

)()(1

)( s

)()(1

)()(

2

0

++

==

=++

=++ ∫∞

LCs

L

Rs

sLsF

1

1

)(2 ++

=

I (s)Vi(s)

3. Representación y respuesta de sistemasRespuesta temporal (2do orden)

s

sI

CsV

tiC

tv

)(1)(

)(1

)(

0

0

0

=

= ∫∞

22

2

2

0

21

1

)(

)()(

nn

n

i ssLC

sL

Rs

LCsV

sVsF

ωως

ω

++=

++

==

Definiremos 2 nuevos parámetros: ζ y ωn debido a su significado físico:

ω n LC= 1 / : Frecuencia natural sin amortiguamiento

ς =R

L C2 /: Coeficiente de amortiguamiento

22

2

2)(

nn

n

sssF

ωως

ω

++=

Vi(s) V0(s)


Respuesta RLC para: L = 10 H, C = 10 µF(i) R = 10 kΩ, (ii) R = 2 kΩ, (iii) R = 400 Ω

100001000

100002 ++ ss

Vi(s) V0(s)

(i)

10000200

100002 ++ ss

Vi(s) V0(s)

1000040

100002 ++ ss

Vi(s)V0(s)

(ii)

(iii)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Respuesta al escalón de sistema de 2do orden

t (s)

Am

plit

ud

(i) R = 10 k (sobre amortiguado)

(ii) R = 2 k

(críticamente amortiguado)

(iii) R = 400 (sub amortiguado)

Ω

Ω

Ω


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Función de transferencia 2