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La función de transferencia de un sistema se define como latransformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
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La función de transferencia de sistemas lineales
Departamento de ElectrónicaSistemas de Control I
F.C.E.F. y N.
sistemas lineales
La función de transferencia de un sistema se define como latransformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de
La función de transferencia
[ ][ ])()(
tr
tcciatransferendeFunción
LL= entradatr
salidatc
==)(
)(
ceroinicialesscondicionecon
transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada deLaplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada
La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
1.- Circuito RL
L
R
)(ti
)(tvUtilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
dt
diLtRitv += )()(
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
Figura 1. Circuito RL
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
)()()( sLsIsRIsV +=
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:
1
1
)(
)(
+=
sR
LR
sV
sI
La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
b
k)()(
2
2
trtkydt
dyb
dt
ydm =++
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte, )(ty es el desplazamiento y )(tr
my(t)
r(t)
es la constante del resorte,
( ) ( ) )()()0()()0()0()( '2 sRsKYyssYbysysYsM =+−+−− +++
,0)0(,0)0(' == ++ yy
)()()()(2 sRsKYsbsYsYMs =++
KbsMssR
sY
++=
2
1
)(
)(
)(ty es el desplazamiento y )(tres la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:
considerando:
La función de transferencia es:
Figura 1. Sistema masaAmortiguador resorte.
La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial 0y . Entonces para
( ) ( ) )()()0()()0()0()( '2 sRsKYyssYbysysYsM =+−+−− +++
conservar la condición una entrada una salida se hace 0)( =tr
,)0(,0)0(,0)( 0' yyytr === ++condiciones iniciales
KbsMs
bMsysY
+++=
20 )(
)(
Ahora el desplazamiento solo depende de la posición inicial y los parámetros del sistema.
La función de transferencia es:
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo deelemento
Elementofísico
Ecuaciónrepresentativa
Símbolo
Indu
Inductanciaeléctrica
Resorte
dt
diLv =21
df1=
1v 2v
i L
uctancia
Resortetraslacional
Resorterotacional
dt
df
kv
121 =
dt
dT
k
121 =ω
1v 2v
ff
1T
1ω2ω
2T
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Capac
Capacitanciaeléctrica
Masa
dt
dvCi 21=
dt
dvmf =
dω
1v 2v
i
C
mv
f
citancia
Inercia dt
djT
ω=
Capacitanciafluídica
dt
dpCq f
2121 =
Capacitanciatérmica
j
T ω
1q 2q
2p
1p
fC
qT tCdt
dTCq t=
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Resis
Resistenciaeléctrica
Amortiguadortraslacional
21
1v
Ri =
bvf =
T
1v 2v
i
R
21v
ff b
Tstencia
21ωbT =
Resistenciafluídica 21
1p
Rq
f
=
Resistenciatérmica
b
T
1ω
q
2p1p
fR
q
1TtR
21
1T
Rq
t
=
Amortiguadorrotacional
2ω
T
2T
Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, pe rmiterepresentar las relaciones de un sistema por mediosdiagramáticos.
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales yunidireccionales que representan la función de transferencia de lasvariables de interés.
Diagrama a bloques
variables de interés.
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señalesde un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componenteal desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Consideraciones:
Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Función de transferencia
)(sG
Variablede entrada
Variablede salida
Flecha:Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
)(sG+-
punto de sumapunto de bifurcación
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
)(sH
Función de transferencia en lazo abierto )()()(
)(sHsG
sE
sB =
Función de transferencia trayectoria directa )()(
)(sG
sE
sC =
Función de transferencia lazo cerrado )()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+=
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
)(1 sG)(sR )(sC)(sD
)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC
Por elementos en paraleloPor elementos en paralelo
)(1 sG)(sR
)(1 sG
++
)(sC
)()( 21 sGsG +)(sR )(sC
)(sG+-
)(sR )(sE )(sC
)(sB
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
)()(1
)(
sHsG
sG
+
)(sR )(sC
)(sH
)(sB
La simplificación de un diagrama de bloques complicado serealiza mediante alguna combinación de las tres formas bási caspara reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de blo quesutilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
Diagramas de bloquesReducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
G +-
A AG BAG −
B
+-
A
B
G
1B
G
BA− BAG −
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
B B
G
1G
B
GA AG
AG
AG
GAG
AG
Diagramas de bloquesReducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
GA AG
A
AG
1 A
AG
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
A
G
1 A
+-
A B
1G
2G
+-
A B
2G 1G2
1
G
