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FUNCIÓN EXPONENCIAL
& LOGARÍTMICA
Plan De Mejoramiento Algebra Noveno
María Lorena Rojas Franco
10-2
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras
equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser
definida como una serie de potencias
APLICACIÓN EN LA
ECONOMÍA
CRECIMIENTO POBLACIONAL:
Para el crecimiento de la población se usa la ecuación de interés
compuesto:
M (t) = P (1+ r)t
Donde M es el monto total, P es el capital inicial
invertido, r representa la tasa de interés (tasa de crecimiento
poblacional) y t es el tiempo.
SOLUCIÓN
1.- La población. La población proyectada P de una ciudad está dada por P = 125.000
(1,12)t/20 donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población estimada
para el año 2015?
Solución:
Como en la ecuación es (1 + r)t y r es la tasa de crecimiento; podemos deducir que en el
ejercicio la tasa de crecimiento por año es de 12 %. Este porcentaje se divide en 100 y
entonces tendríamos 0,12. Se hace con todos los porcentajes de crecimiento
Aplicando la ecuación:
M (t) = 125.000 (1 + 0,12)t/20
M (t) = 125.000 (1,12)20/20 Ecuación del Ejercicio
M (t) = 125.000 (1,12)
M (t) = 140.000 Población para el 2015.
Crecimiento de la Población en los 20 años:
M – P = 140.000 – 125.000 = 15000 Crecerá en 20 años
TABLA
Año Población
1995 125.000
2000 128.587
2005 132.287
2010 136.087
2015 140.000
M (t) = 125.000 (1,12)0/20
M (t) = 125.000 (1,12)5/20
M(t) = 125.000 (1,12)10/20
M (t) = 125.000 (1,12)15/20
M (t) = 125.000 (1,12)20/2
GRAFICA
APLICACIÓN EN LA
ADMINISTRACIÓN
1. Por el alquiler de un coche cobran 90 € diarios más 10 céntimos por kilómetro.
Kms Precio por día
0 90
1 90+ 1.0’10 = 90’10
2 90 + 2.0’10 = 90’20
3 90 + 3.0’10 = 90’30
... ...
100 90 + 100 . 0’10 = 100
... ...
200 90 + 200 . 0’10 = 110
... ....
x 90 + x . 0’10
Aumento constante: 10 céntimos
por kilómetro.
Si representamos por “x” los
kilómetros recorridos y el precio
por “y”, se verifica:
y = 90 + 0’10.x
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
el logaritmo de un número —en una base de logaritmo
determinada— es el exponencial al cual hay que elevar la base para
obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10
es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 =
10×10×10.
EN LA ACTUALIDAD
la función logarítmica en la actualidad cumplen funciones muy importantes por
ejemplo: La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones
logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un
sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la
escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud
de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta
utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite
determinar la brillantez y la magnitud.
EN LA FISICA
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede
mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la
siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en
una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano
puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65
decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial
EN LA MEDICINA
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el
cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley
exponencial de disminución.
EN LA ADMINISTRACION
para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales.
Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se
coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial
más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la
expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si
los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa
de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).