-
Funcin gamma
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
Gamma function
Funcin Gamma en el eje real.
Valor absoluto de la funcin gamma en el plano complejo.
Enmatemticas, la funcin gamma (denotada como (z), donde , es la
gamma mayscula del alfabeto griego)es una funcin que extiende el
concepto de factorial a losnmeros complejos. La notacin fue ideada
por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del nmero complejo zes
positiva, entonces la integral
(z) =R10tz1et dt
converge absolutamente; esta integral puede ser extendidaa todo
el plano complejo excepto a los enteros negativosy al cero. Si n es
un entero positivo, entonces
(n) = (n 1)!
lo que nos muestra la relacin de esta funcin con el facto-rial.
De hecho, la funcin Gamma generaliza el factorial
para cualquier valor complejo de z. La funcin gammaaparece en
varias funciones de distribucin de probabili-dad, por lo que es
bastante usada tanto en probabilidad yestadstica como en
combinatoria.
1 Denicin tradicional
La funcin gamma en el plano complejo.
Si la parte real del nmero complejo z es positiva (Re(z)> 0),
entonces la integral
(z) =
Z 10
tz1et dt
converge absolutamente. Usando la integracin por par-tes, se
obtiene la siguiente propiedad:
(z + 1) = z (z)
Esta ecuacin funcional generaliza la relacinn! = n(n1)! del
factorial. Se puede evaluar (1) analticamente:
(1) =
Z 10
etdt = limk!1
etk0= 0 (1) = 1:
Combinando estas dos relaciones se obtiene que el facto-rial es
un caso especial de la funcin Gamma:
1
-
2 4 PROPIEDADES
(n+ 1) = n(n) = = n! (1) = n!para los nmeros naturales n.La
funcin Gamma es una funcin meromorfa de z 2 Ccon polos simples en z
= n (n = 0; 1; 2; 3; : : : ) yresiduos Res((z);n) = (1)nn! .[1]
Estas propiedadespueden ser usadas para extender (z) desde su
denicininicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntosen
los cuales es singular) por continuacin analtica.
2 Deniciones alternativasLas siguientes deniciones de la funcin
Gammamedian-te productos innitos, debidas a Euler y Weierstrass
res-pectivamente, son vlidas para todo complejo z que nosea un
entero negativo:
(z) = limn!1n! n
znY
k=0
1
z + k= lim
n!1n! nz
z (z + 1) (z + n) =1
z
1Yn=1
1 + 1n
z1 + zn
; (z) =ez
z
1Yn=1
1 +
z
n
1ez/n
donde es la constante de Euler-Mascheroni.Es sencillo mostrar
que la denicin de Euler satisfacela ecuacin funcional dada arriba
como sigue. Dado z 6=0; 1; 2; 3; : : :
(z + 1) = limn!1
n! nz+1
(z + 1) (z + 2) (z + 1 + n)= lim
n!1
z
n! nz
z (z + 1) (z + 2) (z + n)n
(z + 1 + n)
= z (z) lim
n!1n
(z + 1 + n)
= z (z):
Tambin puede obtenerle la siguiente representacin in-tegral:
(z + 1) =
Z 10
et1/z
dt:
3 Obtencin de la ecuacin funcio-nal usando integracin por
par-tes
Obtener (1) es sencillo:(1) =
R10exx11dx =
R10exdx = e1
(e0) = 0 (1) = 1Ahora obtendremos una expresin para (n + 1)
comouna funcin de (n) :
(n+ 1) =R10exxn+11dx =
R10exxndx
Usamos integracin por partes para resolver la integralR10exxndx
=
xnex
10
+ nR10exxn1dx
En el lmite inferior se obtiene directamente 0ne0 = 01 =0 .En el
innito, usando la regla de L'Hpital:limx!1 x
n
ex = limx!1 n!1ex = 0 .Por lo que se anula el primer trmino,
xnex
10
, lo quenos da el siguiente resultado:(n+ 1) = n
R10exxn1dx
La parte derecha de la ecuacin es exactamente n(n) ,con lo que
hemos obtenido una relacin de recurrencia:
(n+ 1) = n(n)
Apliquemos la frmula a unos pocos valores:
(2) = (1 + 1) = 1(1) = 1! = 1
(3) = (2 + 1) = 2(2) = 2 1! = 2! = 2(4) = (3 + 1) = 3(3) = 3 2!
= 3! = 6(n+ 1) = n(n) = n (n 1)! = n!
4 PropiedadesDe la representacin integral se obtiene:
limz!0+ (z) = limz!0+ (z+1)z =1 .
Otras ecuaciones funcionales importantes de la funcinGamma son
la frmula de reexin de Euler
(1 z) (z) = sin (z)
y la frmula de duplicacin
(z) z + 12
= 212z
p (2z):
La frmula de duplicacin es un caso especial del teoremade
multiplicacin
(z) z + 1m
z + 2m
z + m1m =(2)(m1)/2 m1/2mz (mz):
Una propiedad bsica y muy til de la funcin Gamma, que puede
obtenerse a partir de la denicin medianteproductos innitos de Euler
es:
(z) = (z)
-
3Varios lmites tiles para aproximaciones asintticas:
limn!1 (n+)(n)n =1; limn!1 (n)(n+)(n)(n+) =1; ; 2 R
Quiz el valor ms conocido de la funcin Gamma conargumento no
entero es:
12
=p;
La cual puede obtenerse haciendo z = 1/2 en la frmu-la de reexin
o en la frmula de duplicacin, usando larelacin de la funcin Gamma
con la funcin beta dadams abajo con x = y = 1/2 o haciendo la
sustitucinu =
pt en la denicin integral de la funcin Gamma,
con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general,para
valores impares de n se tiene:
n2 + 1
=p n!!
2(n+1)/2(n impar)
donde n!! denota al doble factorial. Las derivadas de lafuncin
Gamma vienen dadas por la funcin poligamma.Por ejemplo:
0(z) = (z) 0(z):
A partir de la representacin integral de la funcin Gam-ma, se
obtiene que su derivada n-sima es:
dn
(dx)n (x) =R10tx1et lnn t dt:
La funcin Gamma tiene un polo de orden 1 en z = npara todo nmero
natural y el cero. El residuo en cadapolo es:
Res(;n) = (1)nn! :
El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas lasfunciones
que generalizan el factorial de los nmeros na-turales a los reales,
slo la funcin Gamma es logaritmoconvexa (o log-convexa), esto es,
el logaritmo natural dela funcin Gamma es una funcin convexa.El
desarrollo en Serie de Laurent de (z) para valores 0< z < 1
es:
(z) 1z +h
2
2! +(2)2
iz +h
3
3! +(2)2 +
(3)3
iz2 + : : :
Donde (n) es la funcin zeta de Riemann.
5 Funcin PiGauss introdujo una notacin alternativa de la
funcinGamma denominada funcin Pi, que en trminos de lafuncin Gamma
es:
(z) = (z + 1) = z (z);
As, la relacin de esta funcin Pi con el factorial es bas-tante
ms natural que en el caso de la funcin Gamma:
(n) = n!:
La frmula de la reexin toma la siguiente forma:
(z) (z) = zsin(z) =1
sinc(z)Donde sinc es la funcin sinc normalizada, el teorema dela
multiplicacin se escribe as:
zm
z 1m
z m+ 1
m
=
(2)m
2m
1/2mz (z):
A veces se encuentra la siguiente denicin
(z) =1
(z);
donde (z) es una funcin entera, denida para todo n-mero
complejo, pues no tiene polos. La razn de ello esque la funcin
Gamma y, por tanto, la funcin Pi, no tie-nen ceros.
6 Relacin con otras funciones En la representacin integral de la
funcin Gamma,
tanto el lmite superior como el inferior de la inte-gracin estn
jados. La funcin gamma incompletasuperior (a; x) e inferior (a; x)
se obtienen mo-dicando los lmites de integracin superior o
infe-rior respectivamente.
(a; x) =
Z 1x
ta1 et dt:
(a; x) =
Z x0
ta1 et dt:
La funcin Gamma est relacionada con la funcinbeta por la
siguiente frmula
B(x; y) = (x) (y)(x+ y)
:
-
4 10 VASE TAMBIN
La derivada logartmica de la funcin Gamma es lafuncin digamma
(0)(z) . Las derivadas de mayororden son las funciones poligamma
(n)(z) .
(x) = 0(x) =0(x)(x)
(n)(x) =
d
dx
n (x) =
d
dx
n+1log(x)
El anlogo de la funcin Gamma sobre un cuerponito o un anillo
nito son las sumas gaussianas, untipo de suma exponencial.
La funcin gamma inversa es la inversa de la funcingamma, que es
una funcin entera.
La funcin Gamma aparece en la denicin integralde la funcin zeta
de Riemann (z) :
(z) =1
(z)
Z 10
uz1
eu 1 du:
Frmula vlida slo si Re(z) > 1 . Tambin aparece enla ecuacin
funcional de (z) :
z/2 z2
(z) =
1z2
1 z2
(1 z):
7 Valores de la funcin GammaArtculo principal: Valores de la
funcin Gamma
(3/2) = 4p
3 2; 363(1/2) = 2p 3; 545(1/2) =
p 1; 772
(1) = 0! = 1
(3/2) =p2 0; 886
(2) = 1! = 1
(5/2) = 3p
4 1; 329(3) = 2! = 2
(7/2) = 15p
8 3; 323(4) = 3! = 6
8 AproximacionesLa funcin Gamma se puede calcular numricamente
conprecisin arbitraria usando la frmula de Stirling o laaproximacin
de Lanczos.Para argumentos que sean mltiplos enteros de 1/24,
lafuncin Gamma puede ser evaluada rpidamente usan-do iteraciones de
medias aritmtico geomtricas (vaseValores de la funcin Gamma).
Debido a que tanto la funcin Gamma como el facto-rial crecen muy
rpidamente para argumentos modera-damente grandes, muchos programas
de computacin in-cluyen funciones que devuelven el logaritmo de la
funcinGamma. Este crece ms lentamente, y en clculos combi-natorios
es muy til, pues se pasa de multiplicar y dividirgrandes valores a
sumar o restar sus logaritmos.
9 Aplicaciones de la funcin gam-ma
9.1 Clculo fraccionarioLa n-sima derivada de axb (donde n es un
nmero na-tural) se puede ver de la siguiente manera:dn
dxn
axb
= (b n+ 1) (b 2) (b 1) baxbn =
b!(bn)!ax
bn
como n! = (n + 1) entonces dndxnaxb
=
(b+1)(bn+1)ax
bn donde n puede ser cualquier nmerodonde gamma est denido o se
pueda denir median-te lmites.De esta manera se puede calcular por
ejemplo, la 1/2 de-rivada de x , de x2 e inclusive de una constante
c = cx0:d12
dx12(x) = 2
pxp
d12
dx12
x2= 8
px3
3p
d12
dx12(c) = cp
px
10 Vase tambin Funcin beta Teorema de Bohr-Mollerup Funcin
digamma Funcin gamma elptica Factorial Distribucin Gamma Constante
de Gauss Funcin gamma incompleta Aproximacin de Lanczos Funcin
gamma multivariable Smbolo de Pochhammer k - smbolo de
Pochhammer
-
5 Funcin poligamma
Funcin Gamma Recproca
Frmula de Stirling
Funcin Trigamma
11 Referencias[1] George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal
Encyclope-
dia of Mathematics. United States of America, New Ame-rican
Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forwardby James R.
Newman)
11.1 Bibliografa utilizada
Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. Expositionby Emil Artin:
a selection (30). The Gamma fun-ction. Providence, RI: American
Mathematical So-ciety. Parmetro desconocido |ppublicacin= igno-rado
(ayuda)
Davis, Philip J. (1959). Leonhard Eulers Integral:A Historical
Prole of the Gamma Function. Am.Math. Monthly (66): 849869.
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). Fastmultiprecision
evaluation of series of rational num-bers. Technical Report
(Darmstadt University ofTechnology) (TI-7/97).
Havil, Julian (2003). Gamma, Exploring EulersConstant. ISBN
0-691-09983-9.
Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Introduction tothe Gamma
Function.Formato HTML
11.2 Bibliografa adicional
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972).Handbook of
Mathematical Functions with Formu-las, Graphs, and Mathematical
Tables. New York:Dover.
Arfken, G.; Weber, H. (2000). Chapter 10.Mathematical Methods
for Physicists. Har-court/Academic Press.
Hochstadt, Harry (1986). Chapter 3. The Fun-ctions of
Mathematical Physics. New York: Dover.
Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vet-terling, W.T.
(1988). Section 6.1. Numerical Re-cipes in C. Cambridge, UK:
Cambridge UniversityPress.
12 Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Funcin
gamma. Commons
12.1 Sitios web Ejemplos de problemas que involucran a la
Funcin
Gamma en Exampleproblems.com (en ingls). Cephes - Librera de
funciones especiales matem-
ticas de C y C++ (en ingls). Fast Factorial Functions - Varios
algoritmos. Approximation Formulas - Aproximaciones. Evaluador de
la funcin Gamma de Wolfram con
precisin arbitraria. Volume of n-Spheres and the Gamma Function
en
MathPages (en ingls). Herramienta online para obtener grcas de
funcio-
nes que contiene a la funcin Gamma. Calculadora Funcin gamma
-
6 13 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES
13 Text and image sources, contributors, and licenses13.1
Text
Funcin gamma Fuente:
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pohyiete (bot), Maltusnet, Further (bot), RobotQuistnix, Chobot,
Yrbot, YurikBot, KnightRider, C-3POrao, Kn, CEM-bot, Mister,
Davius, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, JAnDbot, TXiKiBoT, Ishu 2,
Alesico, Jtico, VolkovBot, Technopat,BlackBeast, Muro Bot,
Gerakibot, SieBot, Parodrilo, Pascow, PixelBot, Alexbot, Juan
Mayordomo, Raulshc, Shalbat, LucienBOT, Mas-tiBot, Luckas-bot,
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3.0
Definicin tradicional Definiciones alternativas Obtencin de la
ecuacin funcional usando integracin por partes Propiedades Funcin
Pi Relacin con otras funciones Valores de la funcin Gamma
Aproximaciones Aplicaciones de la funcin gamma Clculo
fraccionario
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