COMPETENCIA A DESARROLLARSegún los Estándares Básicos

Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas

COMPETENCIAS A DESARROLLARSegún El eje Temático

Identifico situaciones de la vida diaria donde se aplique función lineal

Interpreto el concepto de función lineal

Formulo y Resuelvo problemas aplicados a la vida diaria

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN LINEAL

Una función es como una máquina: tiene una entrada(Elementos del dominio, x) y una salida (elementos del codominio, y).Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

FUNCIÓN LINEALVeamos la función f(x) = y = 2x

1

2

¿Con qué tipo de cosas trabaja una función?Los "números" parecen una respuesta clara, pero…¿Qué números?

x y1 2-1 -23 6

10 20-5 -10

FUNCIÓN LINEAL

Sea la función y=f(x)= 3x+10 de los reales hacía los reales, significa que a cada número real le asigno el triplo del número real aumentado en 10. Se Representa como; f: R R x 3x+10=y=f(x)

.

.

.-3...

-2.2...

10

EN DIAGRAMA SAGITAL

.

.

.1...

3.4....

40

X YF(X)=3X+10F(-3)=3(-3)+10F(-3)= -9+10=1

F(-2.2)=3(-2.2)+10F(-2.2)= -6.6+10F(-2.2)= 3.4

F(10) = 3(10)+10F(10) = 30+10

F(10) = 40

F(X)=3X+10

TABLA DE VALORES

• De los valores que toma x, hallamos los valores de y, y los consignamos en una tabla, así:

• F(-5)=3(-5)+10=-15+10=-5• F(0) = 3(0)+10=0+10=10

xY=3x+10

-5-5

010

113

2 -316 1

-24

EN EL PLANO CARTESIANO

x

y

-3

4

-2

1(-3,1)

(-2,4)

(-4,-2)

DOMINIO Y CODOMINIO

• El dominio de ésta función son todos los números reales y el codominio también son todos los números reales.• En la gráfica se observa que para cualquier valor de x existe un valor

de y, representada en una recta en el plano cartesiano y en diagrama sagital observamos que cada elemento x tiene un correspondiente y.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LINEAL• Toda función que al graficarla en el plano cartesiano es una recta, a ésta se

le llama función lineal.• Toda función expresada de la forma y=f(x)=ax+b, donde a y b son números

reales constantes se les llama función lineal AFÍN.• La constante b corresponde al punto de corte de la gráfica con el eje Y, en

una función lineal.• En toda función lineal el dominio y el codominio de la función son los

números reales.

EJERCICIO 1• Grafique cada una de las siguientes funciones primero deberá realizar una tabla

de valores:• 1. y=x 2. y= 2x 3. y=2x+5 4. y=7• 5. 6..

• De las siguientes parejas ordenadas de una función, halle la expresión algebraica:• f₁={(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10),…(x,y)}• f₂={(1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11),…(x,y)}• f₂={(1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10),…(x,y)}

32

1 xy

2

1

3

5 xy

PROBLEMAS APLICADOS A FUNCIONES LINEALES

Un automóvil recorre 50 km/h (50 km por hora), teniendo un movimiento uniforme, determinar:

1. ¿Cuántos km recorrerá en 2 horas, 3 horas, 4 horas, 5 horas, etc?.

2. La variable dependiente y la variable independiente3. La tabla de valores. 4. La gráfica de la función5. La forma algebraica de la función6. Dominio y codominio de la función.

SOLUCIÓN ITEMS 1

50 km/h, significa que el auto recorre 50 km por cada hora, ó sea:

Para 50 km emplea 1 hora, ó (50 km/h)(1h),Para 100km emplea 2 horas ó (50 km/h)(2h),Para 150km emplea 3 horas ó (50 km/h)(3h), Para 200km emplea 4 horas ó (50 km/h)(4h),Para 250km emplea 5 horas ó (50 km/h)(5h),Para x km emplea t horas ó (50 km/h)(t h),

SOLUCIÓN ITEMS 2

•Este problema maneja dos variables: El espacio recorrido o distancia, que la simbolizamos con x. El tiempo empleado o gastado, que lo simbolizamos con t.•¿El tiempo depende de la distancia recorrida?•¿La distancia recorrida depende del tiempo?•Luego llamamos al tiempo variable independiente y a la distancia variable dependiente

TABLA DE VALORES

t(h) Variable Independiente

1 2 3 4

x(km) Variable Dependiente

50 100 150 200

Gráfica de la función lineal

1 2 3 4 t(h)

50100150200250x(km)

f(t)=50t

Para hallar la expresión de la función lineal, hallamos la pendiente de la recta.

1 2 3 4 t(h)

50100150200250f(t) La pendiente

de la recta es el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas

12

12

xx

yym

501

50

34

150200

m

502

100

13

50150

m12 yyy

12 xxx

12 yyy

12 xxx

Punto de corte de la gráfica con el eje y

Como la expresión general de una función lineal es

bmxy

Pendiente de la rectaComo en nuestro ejemplo el punto de corte

es (0,0) entonces b=0, m =50, y=f(t) y x=t

Entonces la expresión algebraica de la función es:

050)( ttf ttf 50)(

DOMINIO, CODOMINIO Y RANGO

•Para nuestro problema solamente tomamos valores positivos; por tanto el Dominio son todos los reales positivos, el codominio también son todos los reales positivos y como para cualquier t horas existe una distancia recorrida, entonces el rango son todos los reales positivos.

PROBLEMAS APLICADOS.

1. Un automóvil recorre con velocidad constante 180 km en tres horas

RESOLVER:a. ¿Cuántos km recorre en una hora?b. Halle la tabla de valores para 5 datosc. Trazar la gráfica de este recorridod. ¿Cuál es la expresión algebraica de esta función.

PROBLEMA 2

Un resorte se alarga 3cm por cada 6 libras de masa que se le coloque. Calcular:

a. Halle la tabla de valores para cuando se coloque 1 lb, 2lb, 3lb, 4lb, 5lb, 6lb, 7lb, 8lb

b. Halle la gráfica de dicha funciónc. Halle la expresión algebraica de dicha función.

PROBLEMA 3

Desde el kilómetro 40 de una carretera parte un automóvil con una velocidad constante de 100km/h. Determinar la función que expresa el kilómetro en el que se encuentra el automóvil en función del tiempo y representar gráficamente esta función.

PROBLEMA 4

Una fábrica de zapatos vende saldos de segunda con un descuento del 25% y si el comprador compra en efectivo le descuentan además 200 pesos. Encuentra la función lineal que represente la aplicación del descuento cuando el pago no es en efectivo y la función que determina la aplicación del descuento por pago en efectivo.

PROBLEMA 5

• En un almacén de ropa los artículos se encuentran en promoción, con rebajas del 40%. Encuentra la función lineal que determina el costo de un artículo después de aplicar la respectiva rebaja.

PROBLEMA 6

Una fábrica de refrescos produce 500 unidades por hora. Escriba una expresión que muestre la producción de refrescos en cualquier número de horas.

PROBLEMA 7

En una fiesta hay el doble número de mujeres que de hombres. Escriba la expresión de dicha función y realice la gráfica.

PROBLEMA 8

• Si 30 libros cuestan 48.000 pesos y el precio está relacionado linealmente con el número de libros, encuentra la función lineal que expresa tal relación. Calcula el precio de 20 libros y de 35 libros.

PROBLEMA 9

• En un supermercado se tiene la siguiente oferta: por compra de 10.000 pesos rebajan 1.500 pesos. Calcula la rebaja que se puede obtener por compras de $30.000, $60.000, $80.000 y $100.000, respectivamente. Elabora una tabla de valores y encuentra la función lineal que representa la oferta que hace el supermercado.