Función Lineal y Linea Recta.doc

8/19/2019 Función Lineal y Linea Recta.doc

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Universidad Diego Portales

FACULTAD DE ECONOMIA Y EMPRESA

Funcin lineal ! ele"entos de la l#nea recta

SANTIA$O% C&ILE% U'D'P'


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Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

Análisis de Funciones Reales.

Funciones Lineales

Probablemente el tipo de función más simple, y una de las más útiles, sea la función lineal.

Definición !e llama Función Lineal a toda función de la forma nmx x f +=)( " donde m y n son

n#meros reales y 0≠m .

La representación gráfica de la Función Lineal es una línea recta. Al valor de m se ledenomina pendiente, y al valor n se le llama coeficiente de posición. La restricción 0≠men la definición de una función lineal implica que la gráfica no es una recta horiontal. !i

0>m , la función lineal es una l"nea recta creciente, si 0


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La Pendiente m de una recta L 'ue pasa por los puntos ),( 111 y x P = " y

),( 222 y x P = " esta dada por

12

12

x x

y ym L

−

−=

E(emplo%alcular la pendiente entre los puntos)5,2(1 = P " y )9,5(2 = P .

!olución

3

4

25

59=

−

−= Lm

1.2. Ecuación Punto Pendiente

La ecuación de la recta L 'ue pasa por elpunto ),( 111 y x P = y cuya pendiente

dada es m" se determina por la ecuación

)( 11 x xm y y −=−

E(emploDeterminar la ecuación de la recta 'ue

tiene pendiente2

5=m y 'ue pasa por el

punto de coordenadas )1,4(1 −= P

!oluciónUtili)ando la fórmula punto pendiente de

la línea recta con2

5=m y

)1,4(1

−= P se o*tiene

)( 11 x xm y y −=−

)4(·)1(2

5−=−− x y

1012

5−=+ x y

112

5−= x y

E+presada como función lineal será

11)(2

5−= x x f

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La ecuación de la recta encontrada que

tiene pendiente2

5=m y

que pasa por el punto

)1,4(1 −= P , también

puede escribirse de la

forma: 0=++ C By Ax ,

denominada ecuacióngeneral de la línea recta.En nuestro ejemplo será:

02225 =−− y x

Recordemos 'ue el punto de coordenadas ),0( n es donde la gráfica de la rectaintercepta al e(e vertical y la ordenada de dic,o punto n es llamado coeficiente deposición. !i se conoce la pendiente m y el coeficiente de posición n de una línearecta" una ecuación para dic,a recta -utili)ando la fórmula puntopendiente con

),0(),( 11 n y x = / será la siguiente)0( −=− xmn y

Resolviendo para la varia*le y se o*tiene la ecuación n xm y += · " llamadaecuación particular de la línea recta" y ella representa la ecuación de una línea recta 'uetiene pendiente m y 'ue intercepta al e(e vertical en un punto cuya ordenada es n .

E(emplo Encontrar la ecuación de una recta con pendiente2

3−=m y 'ue intercepta al e(e

vertical en el punto de coordenadas )5,0(!olución

Utili)ando la ecuación particular de la línea recta n xm y += · con2

3−=m y 5=n "

se o*tiene n xm y += · 5·2

3+−= x

0.1. Rectas Paralelas

Dos rectas cuales'uiera 1 L y 2 L cuyas pendientes

son 1m y 2m " son paralelas si se cumple

21 mm = .

Lo anterior se puede e+presar como" dos rectas sonparalelas si tiene la misma pendiente o *ien sonverticales.

0.2. Rectas Perpendiculares

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Dos rectas cuales'uiera 1 L y 2 L cuyas pendientes

son 1m y 2m son perpendiculares si el producto

de sus pendientes es igual a 1− " es decir 121 −=⋅ mm

Lo anterior se puede e+presar de la siguiente formaDos rectas con pendientes

1

m y2

m -no nulas/ sonperpendiculares sí y sólo sí

1

2

1

mm −=

Además" una recta ,ori)ontal y una recta vertical sonperpendiculares entre sí.

E(emplo Determine la ecuación de la recta paralela a la rectade ecuación 52 −= x y y 'ue pasa por el punto

)3,2( .!oluciónLa pendiente de la recta dada es 2=m y como larecta pedida pasa por )3,2( " ella tiene esta mismapendiente" entonces la ecuación de la recta pedidase o*tiene utili)ando la fórmula punto pendiente

)2(·23 −=− x y

342 +−= x y

12 −= x y

E(emplo Determine la ecuación de la recta perpendicular a la

recta 52 −= x y y 'ue pasa por el punto )3,2( .!olución%omo la pendiente de la recta dada es 21 =m "entonces la pendiente de la recta perpendicular será

2

1

2 −=m " luego la ecuación de la recta pedida se

o*tiene utili)ando la fórmula punto pendiente 'uees

)2(·321

−−=− x y

3121

++−= x y

421

+−= x y

E(ercicio 0 Encuentre la ecuación de la recta 'ue pasa por % -3"0/ y es paralela a la recta 'ue pasa por los puntos 4 -3"5/ y D -2"1/.

E(ercicio 5 6allar la ecuación de la recta 'ue pasa por P -0"5/ y es perpendicular a la recta 'ue pasapor 7-5"3/ y R -1"2/.

E(ercicio 3 Encuentre la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto de intersección de las rectas deecuaciones L8 3 1 0 x y− + = y L9 4 2 7 0 x y+ − = " y sea perpendicular a la recta L8.$rafi'ue las tres rectas.

E(ercicios Propuestos

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0. 6allar la pendiente m de la recta 'ue pasa por los puntosa/ P0-2"0/ y P5-0":/.*/ P0-3"5/ y P5-:"0/.

5. 6allar las ecuaciones de las rectas 'ue pasen por el punto P y 'ue tengan las pendientes dadasa/ Pasa por P -0"5/ ; m < 3=:.*/ Pasa por P ->"3/ ; m < 5.

3. ?*tener la ecuación de las rectas 'ue pasan por los puntos dadosa/ A -@"5/ y 4 -5"1/.*/ A -:"0/ y 4 -3"1/.

:. Encuentre las intersecciones con e(es coordenadas de las siguientes rectas y utilice dic,os puntos paratra)ar su gráficaa/ 3 2 4 0 x y− − = .

*/ 2 3 10 0 x y+ − = .

1. Determine la pendiente m" de las siguientes rectasa/ 2 3 12 0 x y+ − = .

*/ 5 12 0 x y+ = .

2. Determine la ecuación de la recta 'ue pasa por la intersección de las rectas L8 3 4 1 0 x y+ − = yL9 2 4 0 x y+ − = ; y sea perpendicular a la recta cuya ecuación es x y− − =1 0 .

@. Los recursos "" y -en pesos/ 'ue cada día de*e disponer un consultorio es una función lineal de las"" x personas 'ue en l se atienden diariamente. !e sa*e 'ue el Lunes 5> de Bunio para atender a

5: personas se dispondrá de C :.>>>" y 'ue el artes 50 de Bunio" para atender a 31 personas sedispondrá de C 00@.>>>.

a. Determine la función lineal -de la forma nmx y += /.*. !i el mircoles 55 de Bunio se dispone de C @5.1>>. %uántas personas se proyecta atenderG

Resumen de Fórmulas

Pendiente 12

12

x x y y

x ym L

−

−=∆

∆=

Ec. Pto. H Pendiente)( 11 x xm y y −=−

Distancia 2

122

12 )()( y y x xd −+−=

Ec. Particular n xm y += · Ecuación $eneral 0=++ C By Ax

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APLI%A%I?&E! DE LA! RE%JA! E& E%?&?IA K ADI&I!JRA%I&

%URMA! DE ?FERJA K DEA&DA LI&EALE!

En la práctica" algunas ecuaciones 'ue representan funciones de oferta y demanda sonapro+imadamente lineales en el intervalo en 'ue ellas están definidas; otras son no lineales. A#n en estos#ltimos casos" las ecuaciones lineales suelen proporcionar representaciones ra)ona*lemente precisas dela oferta y la demanda en un intervalo de n#meros reales limitado.

En lo 'ue sigue las ecuaciones de oferta y demanda lineales se utili)an para mayor simplicidad y claridad al ilustrar ciertos tipos de análisis

La figura -0/ -i)'uierda/ muestra una representación más general de las curvas de ofertay demanda. La figura -5/ -derec,a/ representa la oferta y la demanda como funciones lineales.

De*e notarse 'ue solo los segmentos de las funciones 'ue están en el primer cuadrante son pertinentes alanálisis económico. Esto es así" por'ue oferta" precio y cantidad son" en general" positivaso a lo menos cero.

Por e(emplo" en formas más simples del análisis económico podemos considerar 'ue

a. Una oferta negativa" implica 'ue los *ienes no se pueden o*tener en el mercado"sea por'ue no se producen o por'ue se retienen ,asta 'ue se ofre)ca un preciosatisfactorio.

*. Un precio negativo" implica 'ue se paga a los compradores para 'ue se lleven los*ienes del mercado.

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c. Una cantidad demandada negativa" implica 'ue los precios son tan altos como paraimpedir la actividad del mercado ,asta 'ue se ofre)can cantidades a preciosatisfactorio.

Dic,os casos pueden ocurrir pero su incidencia es poco frecuente y sólo se consideran en análisiseconómico más avan)ado.

%URMA! DE DEA&DA LI&EAL

La cantidad + de cual'uier *ien o artículo 'ue será ad'uirido por los consumidoresdepende del precio en 'ue el artículo est disponi*le. Una relación 'ue especifi'ue la cantidad de unartículo determinado 'ue los consumidores estn dispuestos a comprar" a varios niveles de precio sedenomina Ley de la Demanda. La ley más simple es una relación del tipo

nmx p += -0/

donde p es el precio por unidad del artículo y la letra m y n representan n#meros reales constantes.

La gráfica de una ley de demanda se llama %urva de demanda. ?*srvese 'ue p se ,ae+presado en trminos de + cantidad. Esto nos permite calcular el nivel de precio en'ue cierta cantidad + del artículo o *ien puede venderse.

En el caso general la curva de demanda representa a una línea recta con pendientenegativa" es decir" a medida 'ue el precio aumenta" la cantidad demandada disminuye yviceversa.

Es un ,ec,o perfectamente conocido 'ue si el precio de por unidad de un artículoaumenta" la demanda disminuye" por'ue menos consumidores podrán ad'uirirlo" mientras 'ue si elprecio por unidad disminuye" es decir" el artículo se a*arata" la demanda se incrementa.

En otras pala*ras" la pendiente m de la relación de demanda de la ecuación -0/ esnegativa. De modo 'ue la gráfica de la ecuación tiene una inclinación 'ue *a(a ,acia la derec,a. Puesto'ue el precio p por unidad y la cantidad + demandada no son n#meros negativos" la gráfica de laecuación -0/ sólo de*e de di*u(arse en el primer cuadrante.

En algunos casos" la pendiente de una curva de demanda puede ser cero -precio constantesin considerar la demanda/. En otros casos la pendiente puede no estar definida" elloocurre cuando se tiene una representación de recta vertical -demanda constante sinimportar el precio/ La figura siguiente ilustra los casos.

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De acuerdo con la información disponi*le" puede resultar más convenienteutili)ar varias fórmulas de la línea recta para o*tener la ecuación o función dedemanda respectiva.

E(emplo 0. Un comerciante puede vender 5> ampolletas al día al precio de C51> cada una" pero puedevender 3> si les fi(as un precio de C5>> a cada ampolleta. Determine la ecuación de lademanda" suponiendo 'ue es lineal.

E(emplo 5. %uando el precio es de C 0>>.>>> no se vende ning#n televisor de 0: pulgadas; cuando songratis" la demanda es de 0>> televisores. %uál es la ecuación de la demanda" suponiendo'ue es linealG

E(emplo 3. Por considerarse necesarios para la seguridad nacional" se compran anualmente 1>grandes generadores elctricos" sin importar su precio. %uál es la ecuación de lademanda" si ella es linealG

%URMA! DE ?FERJA LI&EAL

En el caso más com#n" la pendiente de la curva de oferta es positiva" es decir" 'ue alaumentar el precio aumenta el a*astecimiento y decrece al decrecer el precio. En ciertos casos la

pendiente de una curva de oferta puede ser cero lo 'ue indica un precio constante e independiente de laoferta. En otros casos la pendiente de la curva puede no estar definida -oferta constante e independientedel precio/.

Al igual 'ue en el análisis de las curvas de demanda" p representa el precioy + representa la cantidad a*astecida" en unidades apropiadas cada una. %omo sedi(o anteriormente" sólo interesan valores positivos de + y p. &ótese 'ue para lacurva de oferta en el primer gráfico de la i)'uierda" la ordenada de la interseccióncon el e(e vertical puede ser positiva" negativa o cero. En este caso representa unprecio *a(o del cual los proveedores no ofrecerán el artículo.

La a*scisa de la intersección con el e(e ,ori)ontal puede ser negativa y por tanto 'uedar fuera del intervalo de inters. Esto es ra)ona*le puesto 'ue los productores cesan de ofrecer unartículo antes de 'ue el precio *a(e a cero.

En síntesis la cantidad de un artículo determinado 'ue sus proveedores estándispuestos a ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo. La relación 'ue especifica la cantidadde cual'uier artículo 'ue los fa*ricantes-o vendedores/ puedan poner en el mercado a varios preciosse denomina Ley de la ?ferta.

La gráfica de una ecuación de la oferta -o ley de la oferta/ se conoce como %urva de la?ferta. En general" los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos" si

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pueden ponerle un precio alto" y con una cantidad más pe'ueNa de artículos si el precio o*tenido esmás *a(o. En otras pala*ras" la oferta aumenta al su*ir el precio

E(emplo 0. %uando el precio es de C 1>.>>>" ,ay disponi*les 1> cámaras de un tipo dado para elmercado" cuando el precio es de C @1.>>>" ,ay disponi*les 0>> cámaras. %uál es laecuación de la oferta" suponiendo 'ue es linealG

E(emplo 5. De acuerdo con el contrato entre la empresa %i% y la Jelefónica" la empresa %i% pagará a

la telefónica C 1>>.>>> al mes por las llamadas de larga distancia al e+tran(ero sin límitede tiempo. %uál es la ecuación de la ofertaG

E(emplo 3. A un precio de C 5.1>> por unidad" una empresa ofrecerá .>>> camisetas al mes; a C:.>>> cada unidad" la misma empresa producirá 0:.>>> camisetas al mes. Determine laecuación de la oferta" suponiendo 'ue es lineal.

PU&J? DE E7UILI4RI? DEL ER%AD?

!i el precio de cierto artículo es demasiado alto" los consumidores no lo ad'uirirán"mientras 'ue si es demasiado *a(o" los proveedores no lo venderán. En un mercado competitivo"cuando el precio por unidad depende sólo de la cantidad demandada y de la oferta" siempre e+iste unatendencia del precio a a(ustarse por si mismo" de modo 'ue la cantidad demandada por los

consumidores iguale la cantidad 'ue los consumidores están dispuestos a ofrecer. !e dice 'ue elpunto de e'uili*rio de mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a lacantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de intersección de las curvas de la oferta y de lademanda.

La coordenada p de este punto -el precio de e'uili*rio/ es el precio de mercado al cual laoferta iguala a la demanda; esto es" el precio de mercado al 'ue no ,a*rá ni e+cedente ni escase) delartículo.

La ley de la oferta y de la demanda afirma 'ue en una situación de competitividad pura"un artículo tenderá a ser vendido a su precio de e'uili*rio. !i el artículo es vendido a mayor precio dee'uili*rio" ,a*rá un e+cedente no vendido en el mercado y los vendedores al por menor tenderán a*a(ar sus precios. Por otra parte" si el artículo se vende por menos precio de e'uili*rio" la demandae+cederá a la oferta y los vendedores al por menor se inclinarán a al)ar sus precios.

Alge*raicamente" el precio de e'uili*rio del mercado p y al cantidad de e'uili*rio + se determinaresolviendo el sistema de ecuaciones de la oferta y de la demanda simultáneamente para +y p. &ótese 'ue el precio y la cantidad de e'uili*rio sólo tienen sentido cuando no sonnegativas.

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E(ercicio 0. !i las ecuaciones de la demanda y la oferta son" respectivamente 3p O 1+ < 55 y la ofertaes 5p H 3+ < 5" determine los valores de + y p en el punto de e'uili*rio del mercado.

E(ercicio 5. Determine el precio de e'uili*rio y la cantidad de e'uili*rio de las leyes de la oferta y lademanda dada por las siguientes ecuaciones D p < 51 H5+ ? p < 3+ O 1.

E(ercicio 3. Las funciones lineales de oferta y demanda de un cierto artículo son ?-+/ < :+ O 5>> yD-+/ < 3+ O :>" respectivamente. 6alle el punto de e'uili*rio y el correspondiente n#mero

de unidades ofertadas y demandadas" y di*u(e las curvas de oferta y demanda en el mismosistema de coordenadas.

E(ercicio :. Un comerciante puede vender 5>> unidades de cierto artículo al día a C 3> por unidad y 51>unidades a C 5@ por unidad. La ecuación de la oferta para tal artículo esta dada por

2p < + O :.a/ Determine la ecuación de la demanda para el artículo" suponiendo 'ue es lineal.*/ Encuentre el precio y la cantidad de e'uili*rio.

E(ercicio 1. A un precio de C 5.:>>" la oferta de cierto artículo es de 05> unidades" mientras 'ue lademanda es de 12> unidades. !i el precio se eleva a C 5@>> por unidad" la oferta y lademanda serán de 02> unidades y 32> unidades" respectivamente.

a/ Determine las ecuaciones de la demanda y al oferta" suponiendo 'ue am*as son

lineales*/ Encuentre el precio y la cantidad de e'uili*rio.

%URMA! DE ?FERJA K DEA&DA &? LI&EALE!

Las porciones 'ue 'uedan en el primer cuadrante de varios tipos de pará*olas" sonadecuadas para representar funciones de oferta y demanda no lineales. La porción en elprimer cuadrante de una ,ipr*ola e'uilátera se usa para representar una función dedemanda.

E(emplo En cada uno de los siguientes pares de ecuaciones -0/ determinar cual ecuaciónrepresenta una curva de demanda y cual una de oferta" -5/ determinar alge*raicamenteel precio y la cantidad de e'uili*rio en el mercado" y -3/ compro*ar geomtricamente elpunto de e'uili*rio.

a.152

01425

2=++

=+−

y x x

y xb.

44

048`3

2++=

=−+

x x y

y x

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