Embed Size (px)
Citation preview
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 1/10
Ley de Enfriamiento de Newton.
Se denomina enfriamiento newtoniano a aquel proceso de enfriamiento que sigue
una ley determinada experimentalmente por Isaac Newton, según la cual la velocidad de
enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío , cuya temperatura es , es
proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y la del ambiente.
(1)
Donde r es una constante de proporcionalidad.
Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida
para pequeñas diferencias entre y . En todo caso la expresión superior es útil para
mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento
exponencial:
En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utilizado especialmente en modelos
climáticos como una forma rápida y computacionalmente menos cara de calcular la
evolución de temperatura de la atmósfera. Estos cálculos son muy útiles para determinar las
temperaturas así como para predecir los acontecimientos de los fenómenos naturales.
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 2/10
Función Logística.
La función logística, curva logística o curva en forma de S es una función
matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación
de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. Dicha función constituye un
refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de una magnitud. Modelala función sigmoidea de crecimiento de un conjunto P.
El estudio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un
tiempo, aparece la competencia entre algunos miembros de la población por algún recurso
crítico y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se
detiene.
La función logística simple se define mediante la expresión matemática:
Donde la variable P puede ser considerada o denotada como población, donde e es
la constante de Euler y la variable t puede ser considerada el tiempo.
La ecuación Logística o de Verhulst.
Alrededor de 1840, P. F. Verhufst, matemático y biólogo belga, investigó modelos
matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que
estudió fue la ecuación logística y su solución se denomina función logística. La gráfica de
una función logística es la curva logística (véase anexos, grafica 1).
El crecimiento logístico está relacionado con el crecimiento exponencial, de hecho
para pequeños valores de la magnitud que presenta crecimiento logístico, el crecimiento
logístico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a partir de un cierto
punto el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda representar adecuadamente la
propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al
principio estas se propagan rápidamente, cada "infectado" o "afectado" por la innovación es
susceptible de traspasar el "contagio" a otro individuo que tenga contacto con él, pero
cuando el número de "infectados" crece es más difícil encontrar una persona que
previamente no haya estado en contacto con la enfermedad o innovación.
Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del crecimiento
poblacional según el cual:
La tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
La tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.
El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles,
que tiende a limitar el crecimiento poblacional.
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 3/10
Si P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo
queda formalizado por la ecuación diferencial:
En donde a y b son constantes no negativas que representan, respectivamente, las
tasas medias de natalidad y mortalidad. Desarrollando la ecuación tenemos:
Siendo esta la ecuación particular con una población inicial; es decir tiempo cero, P(0)= P0.
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 4/10
Ejercicios Propuestos.
89) Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20 ºC, se sumerge en un
gran recipiente de agua hirviente. ¿Cuánto tarda la barra en alcanzar 90 ºC si se sabe que su
temperatura aumenta 2º en un segundo. ¿Cuánto le toma a la barra llegar a 98 ºC?
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 5/10
153) En el estudio de la dinámica poblacional uno de los modelos más famosos para una
población creciente pero limitada es la ecuación logística.
dP =P (a - bP )
dt
Donde a y b son constantes positivas a) Resuelva la ecuación diferencial usando el
hecho de que es una ecuación de Bernoulli. b) Analice que sucede con la población P
cuando aumenta el tiempo t .
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 6/10
Bibliografía.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_log%C3%ADstica
http://www.uv.es/asepuma/VIII/m07/m7-01.pdf
https://www.ulpgc.es/hege/almacen/download/32/32540/ecuacionesdiferenciales.pd f
Zill Dennis (1997): “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado”.
Mexico. Editorial: International Thomson Editores, 6ta edición.
http://ciencia-basica-experimental.net/newton.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Enfriamiento_newtoniano
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htm
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 7/10
Introducción.
Los estudios matemáticos realizados hace muchos años han aportado a la ciencia
avances y respuesta, casi exacta, de cómo se comportaran los hechos cuantitativos en la
vida presente y futura. Parte de las distintas fórmulas matemáticas o ecuaciones, seencuentran las ecuaciones lineales, las cuales poseen métodos de resolución como
separación de variables y la ecuación de Bernoulli , dos formas de cálculos tan avanzados
y versátiles (ambas ecuaciones diferenciales) que pueden ajustarse para diferentes
situaciones y resolver una gran cantidad de interrogantes, por ejemplo pueden usarse en el
campo químico para descubrir la velocidad de cambio de temperatura de ciertos materiales
a determinadas condiciones, o para de forma más simple, resolver ecuaciones de
crecimiento poblacional.
Por supuesto que estas no son las únicas formas de aplicar las ecuaciones
diferenciales, el estudio de estas abarca un amplio campo de investigación que se desarrollaconstantemente para que, al final de todo, se traduzca en mejorar la calidad de vida.
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 8/10
Conclusión.
Dos ecuaciones distintas, pero a la vez nos brindan parte de las comodidades que
necesitamos hoy en dia. Por un lado la ley de enfriamiento de newton y por el otro la
ecuación logística, la primera de ellas con aplicaciones en la física e ingeniería, donde es posible obtener materiales y equipos de mayor calidad. Y la segunda como bien dice su
nombre se aplica en el área de logística para conteos demográficos y así empresas y
gobiernos, en un futuro, saber la densidad de habitantes y estimar los recursos necesarios de
un país.
Aunque a pesar de los esfuerzos para buscar la exactitud en los cálculos, estas
ecuaciones solo hacen estimaciones ya que para los dos casos, la influencia del medio que
los rodea dará la diferencia.
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 9/10
Anexo.
7/27/2019 Función Logística.docx
http://slidepdf.com/reader/full/funcion-logisticadocx 10/10
Grafica 1: función logística.
