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FUNCIN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA EN FRECUENCIA

Integrantes:Henry Prez CI 19, 053,015Jess Noguera CI, 25, 616,135Luis Gonzlez CI, 24, 941,928Esc 70Prof. Marienny ArriecheEnero 2015Respuesta en FrecuenciaLa respuesta de frecuencia es una caracterstica de un sistema que tiene una respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada. En el caso de una estructura mecnica, la respuesta de frecuencia es el espectro de la vibracin de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada al sistema. Para medir la respuesta de frecuencia de un sistema mecnico, hay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta de vibracin .Esto se hace ms fcilmente con un analizadorTRF.Las mediciones de respuesta de frecuencia se usan mucho en el anlisis modal de sistemas mecnicos. La funcin de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una grfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, lo que es difcil de representar en papel. Una manera de realizar esto es la llamada grfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la funcin es de resolver la porcin de fase en dos componentes ortogonales, una parte en fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte imaginaria o parte de la cuadratura).BodeUn diagrama de Bode consta de dos grficas, una para la amplitud de salida y otra para el desfase de salida. Se los denominar respectivamente diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan las frecuencias de forma logartmica en el eje de abscisas empleando rad/s. El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la seal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la seal de salida en grados.En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma solapada de representar la amplitud de salida en escala logartmica. Conviene resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20 de la (ecu.1) se debe en parte al uso de la fraccin del belio y en parte al empleo de la potencia de la seal, lo que hace que haya que elevar al cuadrado la amplitud dentro del logaritmo y salga fuera de l como un factor de dos. En el eje logartmico de frecuencias se denomina dcada a cualquier intervalo que va desde una determinada frecuencia hasta otra diez veces mayor. Se denomina octava a cualquier intervalo que va desde una frecuencia hasta su doble. Trazas de Bode Trazas de esquina o trazas asintticas El diagrama de Bode ha recibido tambin los nombres de trazas de esquinas o trazas asintticas ya que las trazas de Bode se pueden construir empleando aproximaciones en lnea recta que son asintticas a la grfica real. En trminos simples las trazas de Bode tienen las siguientes caractersticas: 1. El diagrama de bode consta de dos trazados los mismos que estn representados en funcin de la frecuencia en escala logartmica. Diagrama del logaritmo del mdulo de una funcin de transferencia Diagrama del ngulo de fase 2. La representacin comn de la magnitud logartmica de G (jw) es 20logG (jw), donde la base del logaritmo es 10. En la representacin logartmica se dibujan con escala logartmica para la frecuencia y la escala para cualquier magnitud (en decibelios) o el ngulo de fase (en grados). 3. En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en trminos de octavas o dcadas. a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2 w1, donde w1 es cualquier frecuencia.Una dcada es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es cualquier frecuencia. 4. Ya que la magnitud de G (jw) en las trazas de Bode se expresa en dB, los factores de producto y divisin de G (jw) se vuelve adiciones y sustracciones, respectivamente. Las relaciones de fase tambin son sumadas y restadas entre s de manera algebraica como se indic en la propiedad de los logaritmos expuesta al principio del ensayo. 5. La grfica de magnitud de las trazas de Bode de G (jw) se puede aproximar mediante segmentos de lnea recta, lo que permite el simple bosquejo de las trazas sin clculos detallados. 6. El diagrama de Bode de una funcin de transferencia G(s), que contiene varios ceros y polos, se obtiene sumando la grfica debida a cada polo y cero individuales. La magnitud asinttica total se puede dibujar sumando las asntotas debidas a cada factor. La caracterstica de fase total, (w), se obtiene sumando la fase debida a cada factor. El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jw) se obtiene de la misma forma que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/dcada y el ngulo de fase es (w)=tan-1wt. 8. Ya que la aproximacin en lnea recta de las trazas de Bode es relativamente fcil de construir, los datos necesarios para otras trazas en el dominio de la frecuencia, tales como la traza polar y la traza de magnitud-fase, pueden ser fcilmente generados a partir de las traza de Bode. Ventajas de las trazas de Bode En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la aproximacin de magnitud y fase con segmentos de lnea recta. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de fase se determina ms fcilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist.Para propsitos de diseo, los efectos de aadir controladores y sus parmetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de Nyquist.

La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode Es que la multiplicacin de magnitudes se convierte en suma. Cuenta con un mtodo simple para dibujar una curva aproximada de magnitud logartmica Desventajas de las trazas de Bode La estabilidad absoluta y relativa de sistemas de fase mnima se puede determinar desde las trazas de Bode. No es posible dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la frecuencia logartmica (log 0=-).Pasos para Construir el Diagrama de BodeEn un diagrama de Bode se representa por un lado el mdulo de la funcin y por otro la fase . La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya funcin de transferencia es: Figura 1: Diagrama de bode de un filtro paso baja de primer orden A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atencin al hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logartmica. Qu es una escala logartmica y por qu usarla? Las escalas logartmicas se emplean cuando se quieren representar datos que varan entre s varios rdenes de magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia vara entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubisemos empleado una escala lineal, slo apreciaramos bien los datos correspondientes a las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se representaran en la centsima parte del eje de abscisas.Mdulo de la funcin de transferencia empleando una escala lineal en el eje de frecuencias Para evitar este problema se usan las escalas logartmicas, que permiten representar en un mismo eje datos de diferentes rdenes de magnitud, separndolos en dcadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posicin del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos: De este modo, el orden de magnitud (D) establece un desplazamiento,separando una dcada (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (dcada) tienen el mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a una dcada superior. Como ejemplo, en la figura 3 se indica dnde se ubicaran en un eje logartmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.representacin de puntos en una escala logartmica Obsrvese que otra particularidad del diagrama de Bode en mdulo es que se representa en dB. Es decir, en lugar de representar se representa 20 log . sta es otra forma de poder visualizar tambin funciones de transferencia que pueden variar en varios rdenes de magnitud. NOTA IMPORTANTE: no confundir representar los datos en escala logartmica (como se hace con el eje de frecuencias del diagrama de Bode) con representar el logaritmo de los datos, o algo proporcional (como en el eje de ordenadas del diagrama de Bode en mdulo). Cuando se usa una escala logartmica se cambia la posicin de los puntos respecto de una escala lineal, pero se siguen etiquetando con su valor (10, 60, 100, 600, en la figura 3). Anlisis de Estabilidad utilizando el Diagrama de Bode

resume el concepto de estabilidad absoluta en un sistema identificado con una funcin de transferencia Gs y un controlador con una funcin de transferencia Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una seal senoidal A y consigna U igual a cero, se transmite por el otro extremo una seal B que es opuesta a la realimentacin o seal de medida Y, ya que Y cambia de signo en el nudo de seales. En estas condiciones, el sistema convierte la seal A en otra seal Y que tendr un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y respecto de A no puede llegar a 180 para ninguna frecuencia, entonces puede cerrarse el lazo, uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B

tambin tendr desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto grado, es decir, el sistema consume energa y las oscilaciones disminuyen. Por el contrario, si el retraso de Y respecto de A s puede llegar a 180, entonces las seales A y B no tendrn desfase, tal como vemos en la figura. En estas condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la seal Y o la de B, que sern iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo, resultar un sistema estable, porque la seal A ir perdiendo amplitud, ya que se iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A, resultar un sistema inestable, porque la seal A se mantiene o se incrementa, ya que se iguala con B. Es verdad que pueden evitarse seales con una frecuencia tal, que el retraso no alcance los 180, pero en la prctica no es aceptable porque toda seal es siempre una superposicin de muchas otras, llamadas armnicos, de modo que alguna de ellas puede coincidir o acercarse demasiado a la frecuencia que lo inestabiliza, ese armnico ser amplificado por el sistema y terminar dominando la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la influencia de perturbaciones ajenas al sistema. Este concepto de estabilidad absoluta solo nos dice si el sistema es estable o no lo es, pero no nos aporta una medida de la estabilidad. Con los diagramas de Bode tambin se puede determinar la estabilidad relativa como se representa en la siguiente figura. Se conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la frecuencia con la que se anula el mdulo (expresado de decibelios), o, lo que esIgual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de 1 es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el mdulo es negativo y la ganancia menor de 1, de modo que el sistema atena las oscilaciones de frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180 se alcanza a mayor frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se acaba de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de ganancia, marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y miden, respectivamente, el nmero de grados y el nmero de decibelios que faltan para llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable, se observa que con el retraso de 180 tenemos un mdulo mayor que cero, por lo que la ganancia ser mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como en la figura anterior) aumentarn las oscilaciones. En lazo cerrado se denomina "banda pasante" al intervalo de frecuencias entre las que el sistema mantiene buena ganancia, concretamente se corresponde con una prdida en mdulo de 3 dB. En esta banda de frecuencias responde con rapidez a las exigencias de control y lgicamente, interesa que la banda pasante sea grande para que mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias. La banda pasante (en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia de corte (en lazo abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa aumentar la velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que seaumenta la frecuencia de corte disminuyen los mrgenes de fase y de ganancia, acercndose a la inestabilidad. Para mejorar la respuesta se necesita, en consecuencia, aumentar la frecuencia de corte a la vez que se disminuye el retraso de fase, de forma que el mdulo siempre sea menor de cero cuando se alcance el retraso de 180. En el siguiente tema veremos los diferentes bloques o comportamientos que caracterizan a todo sistema y a cualquier regulador. Cada bloque tiene su propio diagrama de Bode caracterstico, de forma que podemos configurar el regulador o controlador con los bloques que mejor se adapten para mejorar la respuesta del sistema. Como el controlador y el sistema estarn en serie, sus correspondientes diagramas de Bode pueden sumarse, lo que permite probar diferentes configuraciones de control hasta alcanzar el objetivo: Aumentar la frecuencia de corte y disminuir el retraso de fase sin que se pierda la estabilidad. Para garantizar en la prctica un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30 y 60 y el margen de ganancia ser superior a 6 dB.