Función Zeta de Riemann

8/19/2019 Función Zeta de Riemann

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Función zeta de Riemann

Función zeta de Riemann ζ(s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de ζ(s):

Colores fuertes denotan valores cercanos a 0 y el tono codifica el valor del arumento. El punto !lanco

en s"# es el polo de la función zeta$ los puntos neros en el eje real neativo y en la l%nea

cr%tica Re(s) " #&' son sus ceros.

a función zeta de Riemann (a menudo denominada dseta por transliteración de la letrariea ζ) nom!rada en *onor a+ern*ard Riemann es una función ,ue tiene una importanciasinificativa en la teor%a de n-meros por su relación con la distri!ución de los n-merosprimos. am!i/n tiene aplicaciones en otras reas tales como la f%sica la teor%a depro!a!ilidades y estad%stica aplicada.

Índice

1ocultar 2

• #3efinición

• 'Relación con los n-meros primos

• 45ropiedades !sicas

o 4.#6lunos valores

o 4.'Ecuación funcional

o 4.4Ceros de la función

o 4.7Rec%proco de la función

o 4.89niversalidad

• 7Representaciones

o 7.#ransformada de ellin

o 7.';eries de aurent

o 7.45roducto de eneralizaciones

• ?@/ase tam!i/n

• AReferencias

• BEnlaces eternos

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Definición1editar 2

a función zeta de Riemann ζ(s) est definida para valores complejos con parte real mayor,ue uno por la serie de 3iric*let:

En la reión Ds ∈ C Re(s) #G esta serie infinita convere y define una función ,uees anal%tica en esta reión. Riemann o!servó ,ue la función zeta puede etenderse demanera -nica por continuación anal%tica a una función meromorfa en todo el planocomplejo con un -nico polo en s " #. Esta es la función ,ue se considera en la *ipótesisde Riemann.

5ara los complejos con Re(s)H# los valores de la función de!en ser calculados mediantesu ecuación funcional o!tenida a partir de la continuación anal%tica de la función.

Relación con los números primos1editar 2

a coneión entre esta función y los n-meros primos fue o!servada por primera vezpor eon*ard Euler ,ue se dio cuenta de ,ue:

5uesto ,ue para cada primo p es una serie eom/trica converentepara cual,uier n-mero complejo s con Re(s) # a:

se o!tiene ,ue:

donde el producto infinito es so!re todos los n-meros primos y s un n-merocomplejo con Re(s) #. Esta epresión es llamada producto de Euler en*onor a su descu!ridor. a fórmula es consecuencia de dos resultadossimples pero fundamentales en atemtica: la fórmula para las serieseom/tricas y el teorema fundamental de la aritm/tica.

Propiedades básicas1editar 2

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Función zeta de Riemann s # con s real

Algunos valores1editar 2

• 6lunos valores eactos

Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para ζ(2k ) cuando k es unentero positivo:

donde B'k son los n-meros de +ernoulli. 3e esta fórmula se o!tiene,ue: ζ(') " IJ&= ζ(7) " I7&B0 ζ(=) " I=&B78 etc. 5ara n-meros impares nose conoce una solución eneral.

5ara valores neativos si k K # entonces

;e puede ver ,ue para los n-meros pares neativos la función zetade Riemann se anula denominndose /stos como ceros triviales.

•

• corresponde a la serie

armónica.

• es la constante de

6p/ry.
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