Funciones 20de 20varias 20variables 20-28-20resumen 29 131020135935 Phpapp01

7/25/2019 Funciones 20de 20varias 20variables 20-28-20resumen 29 131020135935 Phpapp01

1/33

MARZO 2005 RV> 1

CALCULO EN VARIASVARIABLES.

FUNCIONES CON VALORES REALES.


2/33

MARZO 2005 RV> 2

DIFERENCIACION Definicin de derivd !rci"#

h

ehxf

h

xxxfxhxxfxx

x

f

pordefinidasestn

xxxpuntoelencualeslasiablesnderealesvaloresconfuncioneslassoniablesiman

segundaprimeralaarespectoconfdePARCIALES

DERIADASlasxfxfEntonces

RR!f"abiertocon#untounR!Sean

#

h

n#n#

hn#

n

n

nn

)(lim

),..,..,,(),....,,...,(lim),...,(

:

),....(,,var,var,......,

,

,/,....,/

.:

0

11

01

1

1

+=

+

=

=


3/33

MARZO 2005 RV> $

DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES.INTERPRETACION EO!"TRICA

),(),( 0000 "xf"xx

fx=

),(),( 0000 "xf"x"

f"=


4/33

MARZO 2005 RV> %

DERIVADAS PARCIALES PARA UNA FUNCION DEDOS VARIABLES.


5/33

MARZO 2005 RV> 5

DIFERENCIACION

Un definicin de diferenci&i"idd '(e )*"* re'(ier de" e+i),enci de derivd) !rci"e) e) in)(ficien,e. N*)e c(-!"irn re)(",d*) c*-* " re/" de " cden!r vri) vri&"e). d*nde " c*-!*)icin de

f(nci*ne) diferenci&"e) en (n !(n,* e) diferenci&"ever ee-!"*.

En c3"c("* 14 defini-*) " diferenci&i"idd en (n !(n,*)i# e+i),e (n f(nci*n fin '(e )e (n &(en

!r*+i-cin de " f(ncin ver de-*),rcin


6/33

MARZO 2005 RV>

DIFERENCIACION DE FUNCIONESREALES DE DOS VARIABLES..

Definicin# Se f#R2R. Deci-*) '(e f e)diferenci&"e en 6+04708 )i ") derivd) !rci"e)

re)!ec,* + e 7 e+i),en en dic9* !(n,* 7 )i#

C(nd* 6+4786+04708.

0),(),(

)#(,($)(#,($),(),(

00

00000000

"x"x

"""xfxx"xf"xf"xf "x


7/33

MARZO 2005 RV> :

Pla%& 'a%%' a la ra*i+a , -%a*-%+i% ral , ,&/ varia0l/.Definicin# Se f#R2Rdiferenci&"e en 6+04708. E"

!"n* en R3definid* -edin,e " ec(cin

Se ""- !"n* ,n/en,e " /r3fic de f en6+04708.

)())(,(),( 000000 xxfxx"xf"xf$ "x ++=


8/33

MARZO 2005 RV> ;

DIFERENCIACION DEFUNCIONES DE R%EN Rm Definicin# Se U (n c*n(n,* &ier,* en Rn7 f#URn

Rm(n f(ncin dd. Deci-*) '(e f e) direrenci&"e enx0de U4 )i e+i),en ") derivd) !rci"e) de f en x0 7 )i

D*nde T=Df(x0)e) " -,ri< c(7*) e"e-en,*) )*n ") derivd)!rci"e) de cd f(ncin c**rdend re)!ec,* ") vri&"e)4

v"(d) enx07 T (x-x0)e) (n !r*d(c,* -,rici". L"--*) T

derivd de f en x0.

0()()(

lim0

00

0

=

xx

xx%xfxf

xx


9/33

MARZO 2005 RV> =

!ATRI1 DERIVADA DEFUNCIONES DE R%EN Rm

r f#Rnen R-4 " derivd e) " -,ri< -+n dd !*r#

C)* e)!eci" -?1.0

.....

..........

.....

)(

1

1

1

1

0

xn

mm

n

f

f

x

f

x

f

x

f

xDf

=

)(......)( 01

0 xx

f

x

fxDf

n

=RADIENTEDE *. : *


10/33

MARZO 2005 RV> 10

DIFERENCIABILIDAD 2CONTINUIDAD.@e*re-# Se f#URnRmdiferenci&"e enx0de U.

En,*nce) f e) c*n,in( en x0.

@e*re- c"ve# Se f#URnRm. S(!*n/-*) '(e

e+i),en ,*d) ") derivd) !rci"e) de f 7 )*nc*n,in() en (n vecindd de !(n,* x de U. En,*nce)f e) diferenci&"e.

Par+ial/ +&%'i%-a/,i*r%+ia0l3i/'% la/ 4ar+ial/.


11/33

MARZO 2005 RV> 11

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONESDIFERENCIABLES.

Re/" de" -",i!"* c*n),n,e. Se f#URnRm

diferenci&"e en x07 c (n n-er* re". En,*nce) 9(x)? cf(x) e) diferenci&"e en x07 D96x8 ? c Df6x8 Re/" de " )(-# )en f#URnRm 7 /#URnRm

diferenci&"e) en x0. En,*nce) 96x8? f6x8B/6x8 e)diferenci&"e en x07 D96x8? Df6x)B D/6x8. Re/" de" !r*d(c,*#Sen f#URnR 7 /#URnR

diferenci&"e) en x07 )e 96x8?/6x8 f6x8. En,*nce) 9#URnRe) diferenci&"e en x0 7 D96x08?f6x0) D/6x08 B/6x08 Df6x08.

Re/" de" c*cien,e# ") -i)-) 9i!,e)i) de " re/"n,eri*r4 )e 96x8?f6x8/6x8 7 )(!*ner '(e / n(nc e) cer*en U. En,*nce) 9 e) diferenci&"e en x07 D96x08? /6x08 D

f6x08 f6x08 D/6x08 /6x082


12/33

MARZO 2005 RV> 12

RELA DE LA CADENA

@e*re-# Sen U de Rn7 V de Rm&ier,*).Sen /#U

RnRm7 f#V

RnRmf(nci*ne)dd) ,"e) '(e / -nd U en V4 de -*d*

'(e e),3 definid f*/. S(!*ner '(e / e)diferenci&"e en x07 f e) diferenci&"e eny0=/6x08. En,*nce) f*/ e) diferenci&"e en x07 D6f

*

/86x08 ? Df6y

08 D/6x

08.

E" "d* derec9* e) (n !r*d(c,* de -,rice).


13/33

MARZO 2005 RV> 1$

CASOS ESPECIALES DE LARELA DE LA CADENA.1. S(!*ner '(e c#U RR3 7 f# R3R 7 c6U8 R$. Se

96,8? f6c6,88 ? f6+6,8476,84


14/33

MARZO 2005 RV> 1%

CASOS ESPECIALES DE LARELA DE LA CADENA.2. Sen f# R3R7 /#R3R37 )(!*ner '(e )e dn ")

c*ndici*ne) !r c*-!*ner. An*,r /6+474


15/33

MARZO 2005 RV> 15

RADIENTES 2 DERIVADASDIRECCIONALES.Definicin# Si f# R3R, " derivd direcci*n" de f en x

en " direccin de" vec,*r ve),3 dd !*r 6)i e+i),e8 #

vthdonde

h

xfvtxf

tambinovtxft

h

t

=+

+

=

)()(lim

6)(

0

0


16/33

MARZO 2005 RV> 1

RADIENTES 2 DERIVADASDIRECCIONALES@e*re-# Si f #R3R e) diferenci&"e4 en,*nce) e+i),en

,*d) ") derivd) direcci*n"e). L derivddirecci*n" en xen " direccin de ve),3 dd !*r

),,(

)()()(

)()()(

781

781

vvvvdonde

vx$

fvx"

fvxx

f

vxfvxgradfvxDf

=

+

+

===

Vr ,m&/'ra+i&%


17/33

MARZO 2005RV> 1:

DERIVADA DIRECCIONAL L) r


18/33

MARZO 2005 RV> 1;

DERIVADA DIRECCIONAL.

@e*re-# S(!*ner '(e /rd f6x8 0 . En,*nce) /rdf6x8 !(n, en " direccin "* "r/* de " c(" f crece-3) r3!id*. Ver de-*),rcin

@e*re-# 6/rdien,e 7 )(!erficie de nive"8# Sen f#R3

R(n f(ncin de C1

7 6+04704


19/33

MARZO 2005 RV> 1=

ra,i%' ; 'a%%'. Definicin# Se S " )(!erficie f*r-d !*r "*) !(n,*)

6+474


20/33

MARZO 2005 RV> 20

DERIVADAS PARCIALES ITERADAS.

Se f# R3Rde c")e C1. E),* )i/nific '(e e+i),en ")derivd) !rci"e) 7 )*n c*n,in()4 7 " e+i),enci de

derivd) !rci"e) c*n,in() i-!"ic '(e f e) diferenci&"e. Si

e),) derivd)4 )( ve


21/33

MARZO 2005 RV> 21

f es e !lase

s" ex"sten laser"vaas par!"alesseg#nasy son !ont"n#as

en el a$"erto D.

D%R&V'D' D% RD%* U+%R&R.Der"vaas par!"ales e seg#no oren

f es e !lases" ex"sten laser"vaas par!"alespr"meras

y son !ont"n#asen el a$"erto D.

f es e !lase s" ex"sten laser"vaas par!"alese oren r y son !ont"n#as

en el a$"erto D.


22/33

MARZO 2005 RV> 22

T%R%' D% /'R1-**%T." f es e !lase enton!es las er"vaas "teraasson "g#ales.

*%U%*&' " f es e !lase enton!es las er"vaas "teraas

e oren r no epenen el oren e las var"a$lesrespe!to a las #e se er"va.


23/33

MARZO 2005 RV> 2$

ea

4%'" f es e !lase enton!es

Dem.


24/33

MARZO 2005 RV> 2%


25/33

MARZO 2005 RV> 25

Dem. el Teorema e !56ar7-onnet

4ema

4ema

ea one D es a$"erto ean


26/33

MARZO 2005 RV> 2

ea one D es a$"erto. eanosp#ntos a y 8 el a$"erto D.

%l ve!tor "n!remento es

D%9&*&&:*.%l "feren!"al pr"mero e f en el p#nto a es

D%9&*&&:* " f es e !lase se ef"ne el


27/33

MARZO 2005 RV> 2:

D%9&*&&:*" f es e !lase se ef"ne el"feren!"al seg#no e f en el p#nto a

one se toma !onstante al !al!#lar el"feren!"al el "feren!"al pr"mero.

%l "feren!"al seg#no e f en el p#nto a res#lta



28/33

MARZO 2005 RV> 2;

D%9&*&&:*" f es e !lase se ef"ne el"feren!"al ter!ero e f en el p#nto a

one se toma !onstante al !al!#lar el"feren!"al el "feren!"al seg#no.

%l "feren!"al ter!ero e f en el p#nto a res#lta



29/33

MARZO 2005 RV> 2=

D%9&*&&:*" f es e !lase se ef"ne el"feren!"al e oren r e f en el p#nto a

one se toma !onstante al !al!#lar el"feren!"al el "feren!"al e oren r-;.

%l "feren!"al e oren r e f en el p#nto a res#lta


30/33

MARZO 2005 RV> $0

" f(x,y) es #na f#n!"


31/33

MARZO 2005 RV> $1

" f es e !lase , el "feren!"al ter!ero e fen el p#nto a es

*T'&:*

" f es e !lase , el "feren!"al !#arto efen el p#nto a es

*T'&:*

" f es e !lase el "feren!"al e oren r


32/33

MARZO 2005 RV> $2

" f es e !lase , el "feren!"al e oren re f en el p#nto a es

one los !oef"!"entes son los nmeros !om$"nator"os #eres#ltan e la f


33/33

MARZO 2005 RV> $$

TR&?*@U4 D% +''4*meros !om$"nator"os.(oef"!"entes el esarrollo el $"nom"o e *e6ton)

Documents

Funciones 20de 20varias 20variables 20-28-20resumen 29 131020135935 Phpapp01