FUNCIONES

MATEMÁTICA I

TEMA 3 FUNCIONES REALES

3.1 DEFINICIÓN

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.

Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.

Se usan indistintamente los símbolos:

ó

para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora.

Considere por ejemplo los conjuntos:

y , y la función definida por medio del diagrama:

Fig 3.1

De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Prof: Ing. Héctor González C. 1

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3.2 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Definición

El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f) o Dom(f(x)).

Ejemplo: Para entender el concepto del Dominio de una función analizaremos la función lineal de la forma y = 2x +1, donde podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.A continuación se ilustra la función gráficamente para su comprensión:

Cabe recordar que para graficar esta función bastan 2 puntos, pero a manera de ejemplo se tomaron varios puntos

Nótese que al asignar cualquier valor de x, se obtiene un valor de y, por lo tanto el dominio de esta función lineal pertenece a los números reales

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).


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3.3 OBTENCIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Funciones Polinómicas

Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3x5- 8x + 1; D(f) = R

g(x)= 2x + 3; D(g) = R

h(x)=(½)x ; D(h) = R

Funciones Racionales

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn.

Ejemplo N° 1

Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3. Por lo tanto D(f) = R - {+3, -3}

Ejemplo N° 2

Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto D(f) = R.

Funciones Irracionales

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no


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tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:

1) Encontrar el Dominio de la siguiente función

Resolviendo la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;

x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, + ). Por lo tanto D(f) = [-1, + ).

2) Encontrar el Dominio de la Función

Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; Aplicando métodos para resolver la inecuación probando en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo

(Método Simplificado)

Por lo tanto D(g) = (- , -5] U [+5, + )

(El Método para resolver la Inecuación será explicado en clases)

3) Encontrar el Dominio de la Función

Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observando que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. ¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.Aplicando el método visto en clases para la resolución de la inecuación nos queda:

D(h(x)) = (- , -2) U (+4, + )


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Ejercicios Variados

4).- f(x)=1/2x2

En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)=R

5).- Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir:

6) Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: x-1=0 luego x=1 Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el 1: D(f)=R-{1}

7)

Tengo que exigir de nuevo:

3.4 Ejercicios Propuestos

Encontrar para cada una de las funciones siguientes el Dominio

Calcula el dominio de las siguientes funciones:


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3.5 OPERACIONES CON FUNCIONES

Definición

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:

i.SUMA:

ii.DIFERENCIA:

iii.PRODUCTO:

iv.

COCIENTE:

NOTA:En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

Ejemplos: (Función Suma y Diferencia)

Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:f1 (x)=x2+1 f2(x)=-2x2+4 si y1 = f1 (x) y2=f2(x)

Ejercicios Propuestos


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Calcula las funciones suma y diferencia de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:

Ejemplo: ( Función Producto y Cociente)

Dadas las funciones y1=x+1 y y2=x+2 calcula yp así como yc con sus dominios respectivos.


Calcular yp así como yc en los siguientes casos:

3.6 PARIDAD DE FUNCIONES

Definición

Una función y=f(x) se dice función par si para todo x del dominio se verifica f(-x)=f(x).Una función y=f(x) se dice función impar si para todo x del dominio se verifica f(-x)=-f(x).

Propiedades

1.- Las funciones pares son funciones simétricas respecto del eje de ordenadas.2.- Las funciones impares son funciones que gozan de una simetría central respecto del origen de coordenadas

3.7 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA


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Función Exponencial

Definición.

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la

potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de en .

Gráfica de la Función Exponencial

Para graficar la función Exponencial, existen 2 casos

a) a> 1, tomando como ejemplo

asignándoles valores para x, se tiene:

A continuación se ilustra la gráfica de la función anterior


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b) 0 < a < 1 tomando como ejemplo la función

Asignando valores de x, se tiene:

La gráfica se observa en la siguiente figura


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Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos ,entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6 .


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Función Logarítmica

Definición.

Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,

denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a.

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos

Teorema ( Propiedades de los logaritmos )

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :

.

.

Gráfica de la Función Logarítmica

Al igual que la función exponencial, se debe conocer el dominio de la función Logarítmica que esta definida de la siguiente forma

f :

Dom(f(x)) R / x>0


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Tomando como ejemplo:

Luego graficando, se obtiene:


Dadas las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas, encontrar el dominio y rango y además obtenga su gráfica.


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3.8 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Definición:

Una Parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo F( llamado Foco) y de una recta fija L (llamada Directriz), ambos contenidas en el mismo plano.

Fig 3.2 Parábola Vertical Fig 3.3 Parábola Horizontal

Ecuaciones de la Parábola

i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p, 0) y por directriz la recta x = -p (fig. 3.2) viene dada por : y2=4px

ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p) y por directriz la recta y = -p (fig. 3.3) es: x2 = 4py

Nota: Las ecuaciones anteriores corresponden a la ecuación de la Parábola con Vértice V(0,0), es decir en el origen de coordenadas

El Dominio de la Función cuadrática está definido para todos los números reales, es decir

Dom(f(x)) R


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Ejemplo 1:

Graficar la siguiente función cuadrática

Fig 3.4


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Ejemplo 2:

Graficar la siguiente ecuación


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3.8.1 Ecuaciones de la forma

f :

, donde a, b, c y que corresponde a una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a.

En la fig. 3.6 aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2 (fig. 3.6c)

Fig 3.6

Ejemplo: Hallar la Gráfica de la función cuadrática

Tomando algunos puntos para graficar se tiene:

Al graficar se obtiene la curva de la figura 3.7


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Nótese que al resolver la ecuación

Se obtienen raíces imaginarias, por lo tanto la gráfica no tiene puntos de corte con el eje x

Fig 3.7

3.9 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Definición:

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio.

Ecuación de la Circunferencia

La ecuación en forma implícita x2 + y2 = r2, que corresponde a una circunferencia centrada en el origen y radio r, y cuya gráfica no es una función, genera, sin embargo dos funciones, llamadas ramas de circunferencia y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación en las figuras


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Ejemplo: Graficar la función

Esta ecuación esta dada en forma implícita, pero tomando la fórmula anterior x2 + y2 = r2 .Se observa que el radio es r2 = 36, por lo tanto el radio de la circunferencia es r = 6

El centro de la circunferencia es (0,0)

Ejercicios Propuestos:


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En las siguientes funciones encontrar su dominio, puntos de corte con el eje x y obtener su gráfica:

3.10 FUNCIONES ELEMENTALES

a) Función Hipérbola Equilátera

f : -{0}

cuya gráfica aparece en la figura 3.11 adjunta.

Fig 3.11

b) Función Constante

La función definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante) se llama: función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x (fig.3.12) según el signo de a0.


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Fig 3.12

c) Función Identidad

La función definida por: y = f(x) = x, se llama: función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x (fig.3.13)

Fig 3.13

d) Función Parábola Cúbica

La función es de la forma y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la fig. 3.14

Fig 3.14

e) Función Valor Absoluto


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Función Valor Absoluto:

f :

La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares y = x e y = -x. (Ver fig. 3.15)

Fig 3.15

f) Funciones Trigonométricas

Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2 ) = Sen (x + 2 ) = Sen x = f(x).

Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2 ) = Cos (x + 2 ) = Cos x = g(x).

Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + ) = Tan (x + ) = Tan x = h(x).

En la fig. 3.16, 3.17 y 3.18 aparecen las gráficas de las funciones trigonométricas en las cuales se indica el período correspondiente.

Fig 3.16 Función sen(x)


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Fig 3.17 Función cos(x)

Fig 3.18 Función tan(x)

3.11 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES

Desplazamientos Verticales : son de la forma y = f(x) + C ( C unidades hacia arriba)

y = f(x) – C ( C unidades hacia abajo)

Ejemplo : Graficar f(x) = x2 + 3 y g(x) = x2 - 3

Partiendo de la función elemental f(x) = x2 , se tiene:


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Desplazamientos Horizontales: Son de la forma y = f( x - C) ( C unidades hacia la derecha)

y = f( x + C) ( C unidades hacia la izquierda)

Ejemplo : Graficar f(x) = (x – 5)2 y g(x) = (x + 2)2

Partiendo de la función elemental f(x) = x2 , se tiene:


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Desplazamientos Horizontales y Verticales: Es la combinación de los desplazamientos Horizontales y Verticales, por ejemplo Graficar f(x) = (x + 1)2 +2 y g(x) = (x – 2)2 –1


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3.12 FUNCIÓN INVERSA

Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en esta sección, se toma nuevamente la función f, de la fig. 3.14. (b) que está definida por la ecuación:

y = f(x) = x3 – 1 (1)

y cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene:

(2)

Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de

f (esto es, de ), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f.

Asi por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso, y = 23 – 1 = 7.

La segunda ecuación, efectúa la operación inversa, esto es al valor y = 7, le asigna el valor de

.

Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la

dependiente, se intercambia x con y en la ecuación (2) y asi se obtiene: (3).

La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por f -1 se conoce como la INVERSA DE LA FUNCIÓN f definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la INVERSA DE LA FUNCIÓN f -1 definida por (2).

Es decir,

Las gráficas de f(x) y de f –1(x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen el la fig. 3.22

Fig 3.22


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Ejemplo 2

Considere ahora la función y = f(x) = x2 + 1 cuya gráfica se muestra en la siguiente figura

El dominio de f lo constituye el conjunto de los números reales y el rango es el intervalo [1, +oo)

Al despejar x, se obtiene: .

Esta última ecuación, dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no define una función.

En este caso se dice que la función y = f(x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe.

De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1.


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