1)DEFINICIÓN. Sean (a,b) y (c,d) A IR2, donde (a,b) (c,d) , si se cumple que :

a b , se dirá que A es una funciónRECÍPROCAMENTE .

Si A IR2 es una función entonces dos elementos diferentes de A , tienen las primeras componentes diferentes.

EJEMPLOS1) A={(1,2), (-3,4), (2,1), (1,-3)} , graficamos

2) Observamos del grafico , que los puntos (1,2) (1,-3), pero las primeras componentes son iguales a 1, entonces A no es una función

OBSV. La recta x=1, intercepta a A en

dos puntos

2) B={(-1,3), (-3,-4), (0,1), (1,-3), (-2,-4), (3,0), (2,2) } , graficamosObservamos que por ejemplo

(-1,3) (-3,4), además -1 -3, esto ocurre para todos los puntos elegidos dos

a dos entonces B es una función

OBSV. Las recta x=-3,-2,-1,0,1,2,3 intercepta a B en solo un punto

1

AHORA VEREMOS EJEMPLOS CON CONJUNTOS INFINITOS , DEFINIDOS POR COMPRENSION

3) B={(x,y)IR2 / x=y } , B es el conjunto formado por los elementos de IR2, donde la primera componente es igual a la segunda componente , por ejemplo (-3,-3), (-3/2,-3/2), (-1,-1), (0,0), (1/2,1/2), (1,1), (2,2) B , pero (-2,3), (-3,-4), (-1,1), (1,-3), (4,-4), (3,0), (2,5) B , graficando

observamos por ejemplos : (-3,-3) (-1,-1), ademas -3 -1, esto ocurre para todos los elementos de B . Se demuestra asi :1) Sean (a,a) y (b,b) B , con la condicion (a,a) (b,b) entonces a b 2) Por lo tanto B es una funcionObsv. Toda recta paralela al EJE X , intercepta a B en un solo punto

2)NOTACIÓN . SIMBOLOGIA UTILIZADA . A las funciones se les denota por lo general con las letras : f , g , h , i ,....etc, y/o con la regla de correspondencia de sus elementos , la cual por lo general es una ecuacion . Osea

f = {(x,y) IR2 / y =f(x) }

La ecuación y =f(x) , expresa la dependencia que tiene y ( la segunda componente ), de x ( la primera componente )del par (x,y)

Símbolos utilizados

Si f es una funcion es equivalente a

f = {(x,y) IR2 / y =f(x) } este es equivalente a y =f(x)

Ejemplos

1) f = {(x,y) IR2 / y =x } y=x 2) f = {(x,y) IR2 / y =x2 } y=x2

2

3)ELEMENTOS DE UNA FUNCION . Podemos decir que toda funcion tiene elementos . Estos son : Regla de correspondencia . Variables independiente , variables dependiente . Dominio (conjunto formado por las primeras componentes ) . Rango (conjunto formado por las segundas componentes ) y Grafica

4)TERMINOS UTILIZADOS . Sea f una funcion i) Si x Df es equivalente a decir y =f(x) existeii) Si x Df es equivalente a decir y =f(x) NO existeiii) Si y Rf es equivalente a decir existe x / y =f(x) iv) Si y Rf es equivalente a decir NO existe x / y =f(x)

Y RECÍPROCAMENTE POR EJEMPLO Si y =f(x) existe es equivalente a decir x Df

3

Sea f una funcion

Regla de correspondencia

y=f(x) x se llama

variable independiente

y se llama variable

DOMINIO ( Df ) Df = {x IR / (x,y) f } óDf = {x IR / y=f(x) }

RANGO ( Rf ) Rf = {y IR / (x,y) f }

(x,y) f

4)FUNCIONES ELEMENTALES FUNDAMENTALES.

Funcion constante . Regla de correspondencia ó ecuación

y =f(x) =a

a IRPor ejemplo y =f(x) =-3y =f(x) =2 Df = IR= Rf

Funcion Identidad . Regla de correspondencia ó ecuación

f(x) =x

Df = IR= Rf

Funcion Potencial . Regla de correspondencia ó ecuación

f(x) =x a , a IR

f(x) =x2 f(x) =x4 f(x) =x5

Df = IR= Rf

4

f(x) =-3

f(x) =2

f(x) =x -1 f(x) =x -2 f(x) =x -4

Df = IR-{0}= Rf Df=IR-{0} , Rf=IR+ Df = IR-{0}= Rf

f(x) =x1/2 f(x) =x2/3 f(x) =x3/2

Df = = Rf Df=IR , Rf= Df = = Rf

f(x) =x-1/2 f(x) =x-3/2 f(x) =x-2/3

OBSV. Si a es Irracional , f(x) =x a , esta funcion se calcula , tomando logaritmo . Ln f(x) =a lnx , x>0

5

Funcion Exponencial .

f(x) =a x , a IR

f(x) =2x f(x) =3x f(x) =4x

Df = IR , Rf =IR+

f(x) =2-x f(x) =3-x f(x) =4-x

Df = IR , Rf =IR+

6

5)FUNCIONES RESTRINGIDAS . Se llama asi ,a las funciones donde se restringe el dominio . Sea f una funcion con dominio A , y B un subconjunto de A .Definimos otra funcion g , como

f(x) = g(x) , x B Dominio de g = B

Las funciones f y g son iguales solo, para los xB, g no existe para los x A -B

Ejemplos

f(x) =2 , x <-1,2> g(x) =2 , x <0,4]

g (x) =x , x [-2,3> h(x) =x , x [0,4]

7

g(3) no existe , 3 Dg h(-1) no existe ,-1 Dh

g(x) =x2 , x <-2,3> f(x) =x2 , x [0,4]

6)FUNCION DEFINIDA POR FUNCIONES RESTRINGIDAS Sean las funciones restringidas y=g(x) , xA ; y=h(x) , xB , con la condicion A B= . Vamos a definir la funcion f , de la sigt. , forma :

f(x)=

La funcion f ha quedado definida por medio de las funciones restringidas g y h

Ejemplos

1)f(x)=

Importante: f(0)=-1; f(1)=3; f(-3) no existe

8

g(x) , xA

h(x) , xB

Df = AB

Rf = Rg Rh

-1 , x<-2,1>

3 , x[1,4>

2)f(x)=

Importante: f(-1)=1; f(0)=0; f(2) =2

3)f(x)=

Importante: f(-3)=3; f(0)=no existe; f(3)=3

4)f(x)=

Importante: f(-2)=3; f(1)=4 ; f(3.5)=no existe

4)f(x)=

Importante: f(-2)=-2; f(0)=2 ; f(2)=16

9

-x , x<-3,0] x , x<0,3]

3 , x[-4,-1]

x , x<1,4]

-3x-3 ,x[-4,-1]

(x+1)2 , x<-1,3]

4x+6 ,x[-4,-1]

2x3 , x<-1,3]

2 , x[-4,1]

7)FUNCIONES IMPORTANTES DEFINIDAS POR MEDIO DE FUNCIONES RESTRINGIDAS. Sea f una funcion , por medio de esta funcion , se definen otras funciones :

Funcion valor absoluto de f(x) = f(x) Funcion máximo entero de f(x) = f(x) Funcion signo de f(x)= Sig ( f(x))

8)FUNCION VALOR ABSOLUTO DE f(x) . La funcion valor absoluto, es la funcion que convierte en positivo, a todo lo que es negativo. La regla de correspondencia es :

f(x)=

EJEMPLOS

1) x=

2) 2x-1=

10

f(x) , f(x) 0

- f(x) , f(x)< 0

f(x) - f(x)

f(x)

x , x 0 -x , x < 0

y=x

y=x

2x-3 ,2x-3 0

-(2x-3) ,2x-3< 0

3) 4-x2=

4) sen(x)=

9)MÁXIMO ENTERO DE f(x) . La funcion Máximo entero de f(x), se define por comprensión como :

f(x) = n n f(x)<n+1

Geometricamente se puede interpretar como : La funcion Máximo entero de f(x) es la proyeccion de la grafica de f(x) entre [n , n+1>, sobre la recta y=n

11

4-x2 , 4-x2 0

-(4-x2) , 4-x2< 0

sen(x) , sen(x) 0

- sen(x) , sen(x) <0

y= f(x)

y= n+1

y= n

y= n-1

Vamos a darle valores a n para obtener la funcion Máximo entero de f(x), por extension :

f(x) =

EJEMPLOS

1) x =

2) -x =

12

-2 , -2 f(x)< -1

-1 , -1 f(x)< 0

0 , 0 f(x)< 1

1 , 1 f(x)< 2

2 , 2 f(x)< 3

. .

. .

-2 , -2 x< -1

-1 , -1 x< 0

0 , 0 x< 1

1 , 1 x< 2

2 , 2 x< 3

. .

. .

-2 , -2 -x< -1 -1 , -1 -x< 0

0 , 0 -x< 1

1 , 1 -x< 2

2 , 2 -x< 3

. .

. .

1)COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Sean y =f(x) , y= g(x) funciones . Se define y se denota la composición de f con g como:

(f g)(x) =f(g(x))

Dominio de (f g)=Dom f g= {xDomg / g (x) Dom f }

EJEMPLOS

1) Sean f(x)=3 , g(x)=x2 .Hallar a) (f g)(x) ; b) (g f)(x)

Solucion

a) (f g)(x) )= f ( g(x))= f ( x2 )=3 Dom f g = {xIR / g (x) Dom f }=IR

b) (g f)(x) )= g ( f(x))= g ( 3 )=33 =9 Dom g f = {xIR / f (x) Dom g }=IR

2) f(x)=2x , x<-2,3] ; g(x)= x2-2 , x<-3,4]

Hallar a) (f g)(x) , Dom f g ; b) (g f)(x), Dom g f

Solucion

a) (f g)(x) )= f ( g(x))= f ( x2 -2)=2(x2 -2)

Dom f g = {x<-3,4] / g (x) <-2,3] }=<-3,4] [-5 ,5]

Operacion

g (x) <-2,3] x2 -2 <-2,3] -2 < x2 -2 3 0 < x2 5

b) (g f)(x) )= g ( f(x))= g ( 2x )=(2x)2 –213

(fg)(x) (gf)

Dom g f = {x<-2,3] / f (x)<-3,4] }=<-3/2,2]

Operación f(x) <-3,4] 2x <-3,4] x <-3/2,2]

3) f(x)=x+1 , x<-3,0] ; g(x)= x2+1 , x<-3,-1]

Hallar a) (f g)(x) , Dom f g ; b) (g f)(x), Dom g f

Solucion

a) (f g)(x) )= f ( g(x))= f ( x2 +1)=1+(x2 +1)

Dom f g = {x<-3,-1] / g (x) <-3,0] }=

Operacion

g (x) <-3,0] x2 +1 <-3,0] x2 <-4,-1].....ABSURDO

¡NO EXISTE LA COMPOSICIÓN : f g !

b) (g f)(x) )= g ( f(x))= g ( x+1 )=(x+1)2 +1

Dom g f = {x<-3,0] / f (x)<-3,-1] }=<-3,-2]

Operación

f(x) <-3,-1] x+1 <-3,-1] x <-4,-2]

4) f(x)=2x-3 , x<-6,3] ; g(x)=

Hallar a) (f g)(x) , Dom f g ; b) (g f)(x), Dom g f

Solucion

a) (f g)(x)= f ( g(x)) = 2g(x)-3 =

14

3 , x [-4,-2]

2(3)-3 , g(x)=3 <-6,3] 2(x2)-3 , g(x)= x2<-6,3]

2x2 , x<-2,4]

Dom f g = {x<-4,4] / g (x) <-6,3] }= [-4,-2] [-3, 3]

Operacion

x<-2,4] g (x)=x2 <-6,3] x [-3, 3] x[-4,-2] g (x)=3 <-6,3]....VERDADERO

(f g)(x)=

b) (gf)(x)= g ( f(x)) = g(2x) =

(gf)(x)=

PROPIEDADESi) (f+g) h = f h+ g h

ii) (f g) h= f ( g h)

iii) (f . g) h = (f h).( g h)

iv) f I = I f = f

2)RELACIONES BINARIAS. A todo subconjunto del plano cartesiano , se llama relacion binaria . Osea A IR2 , A es una relacion binaria . El dominio de A = DomA= {xIR / (x,y) A } y el rango de A = RanA={yIR / (x,y)A }

15

2(3) , 2x [-4,-2] (2x)2 , 2x<-2,4]

3 , x[-4,-2]

2x2-3 , x [-3, 3]

6 , 2x [-2,-1]

4x2 , 2x<-1,2]

EJEMPLOS

1)A= {(x,y)IR2 / y>0 }DomA= IRRanA=<0, >

2)B= {(x,y)IR2 / -2<y<3 }DomA= IRRanA=<-2,3 >

3)A= {(x,y)IR2 / x2-4 y x+2 }

DomA= [-2 , 3]

RanA=[-4 , 5]

3)RELACION BINARIA INVERSA INVERSA DE UN PUNTO. Sea P= (x,y) , se

llama , se define y se denotara P-1= (y,x) , a la inversa de P

EJEMPLOS

16

P= (1,2) , P-1= (2,1) es la inversa de PQ= (-3,1), Q-1=(1,-3) es la inversa de QR= (0,3) , R-1= (3,0) es la inversa de RT= (4,4) , T-1= (4,4) es la inversa de T

INVERSA DE UNA RELACION. Se define y se denota a la inversa de una relacion binaria A , como :

A-1= {(y,x) / (x,y) A }

DOMINIO DE A = RANGO DE A-1, DOMINIO DE A-1 = RANGO DE A

EJEMPLOS

1) A= {(x,y) IR2 / x>0 , y>0} , A-1= {(x,y) IR2 / y>0 , x>0}

DomA=<0, > , RanA=<0, > DomA -1= <0, > , RanA-1 =<0, >

2) A= {(x,y) IR2 / x<0 , y>0} , A-1= {(x,y) IR2 / x>0 , y>0}

17

DomA=<-, 0> , RanA=<0, > DomA -1= <0, > , RanA-1 =<-, 0>

3) A= {(x,y) IR2 / x<y } , A-1= {(x,y) IR2 / x> y}

DomA= RanA=IR DomA -1= RanA-1 =IR

4) A= {(x,y) IR2 / x+2<y } , A-1= {(x,y) IR2 / y+2 < x }

5) A={(x,y)IR2/(x+2)2+(y+3)2=2 } 6) A={(x,y)IR2/ y=x2 } ,

A-1={(x,y) IR2/(y+2)2+(x+3)2=2 } A -1={(x,y) IR2/ y2=x }

18

4)FUNCION INVERSA. Sea y=f(x) una funcion , se define y se denota la inversa de y=f(x) como y=f -1(x)

f -1= {(y,x) / (x,y) f }

DOMINIO de f = RANGO de f-1, DOMINIO de f-1 = RANGO de f

Ademas (f f--1)(x) =f ( f--1(x)) =x (f--1f)(x)= f—1(f(x)) =x

EJEMPLOS 1) y=f(x)=3 f -1(x)=x=3

Domf = IR ; Ranf = {3} Domf

-1={3} ; Ranf-1 =IR

LA INVERSA DE UNA FUNCION NO NECESARIAMENTE ES UNA FUNCION

2) f(x)=x+3 ; f -1(x)=x-3 3) f(x)=2x+1 ; f -1(x)=(x-1)/2

19

4) f(x)=x2+1 ; f -1(x)= (x-1)1/2 5) f(x)=x3 ; f -1(x)=x1/3

6) f(x)=x2+1 ; f -1(x)= (x-1)1/2 7) f(x)=x-2 ; f -1(x)=x-1/2

20

1)IDEA INTUITIVA DE LIMITE . Daremos la idea intuitiva de limite con algunos ejemplos .i) f(x)=x2-2 , cuando x2 , graficaremos la funcion y haremos una tabla con los valores de : ( x , f(x))

Según el grafico y la tabla se observa : f(2) no esta definido , 2 no pertenece al dominio de la funcion Cuando x se aproxima a 2 ( x 2 ) , f(x) se aproxima a 2 ( f(x) 2 )

ii) f(x)=3-2x , cuando x0 , graficaremos la funcion y la tabla

f(0) no esta definido , 0 no pertenece al dominio de la funcion

Cuando x se aproxima a 0 ( x 0 ) , f(x) se aproxima a 3 ( f(x) 3 )

iii) f(x)=x3-2x2+3 , graficaremos la funcion y la tabla con los valores de : (x , f(x))

21

x f(x)

2 .00000 indefinido

x f(x)

indefinido

x f(x)

f(2)=3 esta definido , 2 pertenece al dominio de la funcion Cuando x se aproxima a 2 ( x2 ) , f(x) se aproxima a 3 ( f(x) 3 )

2)DEFINICION INTUITIVA DE LIMITE . Si f(x) se aproxima “arbitrariamente” al numero L , cuando x se aproxima ó esta “cercano” al numero a . En este caso se dira que :

El limite de f(x) es L , cuando x se aproxima al numero a

se denotara

Los valores de x , tienen que ser diferentes de a , osea tienen que ser menores ó mayores que a , pero proximos al numero a

3)DEFINICION INTUITIVA DE LIMITES LATERALES .

22 L

L

a

f(x)

f(x)

LIMITE POR LA IZQUIERDA Si f(x) se aproxima al numero L , cuando x se aproxima con valores menores (por la izquierda) , que el numero a .

En este caso se dira que :

El limite de f(x) es L ,cuando x se aproxima por la izquierda

al numero a

se denotara

LIMITE POR LA DERECHA Si f(x) se aproxima al numero L , cuando x se aproxima con valores mayores (por la derecha) , que el numero a . En este caso se dira que :

El limite de f(x) es L ,cuando x se aproxima porla derecha al numero a

se denotara

EJEMPLOS

1)f(x)=

23

-x , x<-3,0]

x , x<0,3]

a

f(x)

a

f(x)

L

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

2)f(x)=

1. 2.

3. 4.

5. 6.

3)f(x)=

1. 2.

3. 4.

24

-3x-3 ,x[-4,-1]

(x+1)2 , x<-1,3]

4x+6 ,x[-4,-1>

2x3 , x< 1,3] 2 , x[-1,1]

5. 6.

4)f(x)=

1. 2.

3. 4.

5. 6.

4)TEOREMAS IMPORTANTESPARA CALCULAR LIMITES .

TEOREMAS 1. Si f(x)=C, es una funcion constante entonces

TEOREMAS 2. Si f(x)=x, funcion idedintidad

TEOREMAS 3. Algebra de limites

Si y entonces

25

-1 , x<-2,1>

3 , x[1,4>

TEOREMAS 4. Sean f(x), g(x) y h(x) funciones con las condiciones

Entonces TEOREMAS 5. Sobre limites laterales

Entonces

Entonces No existe

existe Entonces

26

Una función es continua por la izquierda en el punto x = a si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función y = f(x) es continua por la derecha en el punto x = a , si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es

decir :

Función continua

Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio .

Funciones continuas en un intervalo

Una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a,b) , si la función es continua en todos los puntos del intervalo.

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], si la función es continua en el intervalo (a,b) y es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.

Máximos y mínimos de funciones continuas

Una función f(x) tiene un máximo relativo o local en un punto x = a , si existe un intervalo abierto I , tal que :

27

Una función f(x) tiene un mínimo relativo o local en un punto x = a, si existe un intervalo abierto I , tal que:

El máximo absoluto de una función f(x) en un intervalo I es un valor :

El mínimo absoluto de una función f(x) en un intervalo I es un valor :

Observación : Tanto los máximos absolutos como relativos pueden ser alcanzados en varios puntos a la vez, igual para los mínimos.

Teorema de Bolzano o de las raíces

Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y en los extremos del intervalo toma valores de signos opuestos, entonces existe al menos un punto :

Gráficamente:

28

Teorema de los valores intermedios

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Geometricamente

El Teorema del Valor Intermedio

Si ƒ es continua en [a,b] y k es cualquier número entre ƒ(a) y ƒ(b), existe al menos un número c en

[a,b] para el que ƒ(c) = k

29

Teorema de Weierstrass

Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto en el intervalo.

 Derivada de una función: Se dira que una funcion es derivable en x=a si exista el siguiente limite ,el cual se denota por f ' :

           

Osea si el limite existe , se dice que la función y =f(x) es diferenciable o derivable en x=a.

Derivada de una función: Sea  f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ', tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

          

Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada.

Los símbolos utilizados para denotar la derivada de una funcion y=f(x)

son : , , ,

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la función dada aplicando la definición de derivada

30

S o l u c i o n e s

 

   

 

 

31

 

 

 

32

 

 

33

 

 

34

 

35

 TEOREMA . Si una funcion es diferenciable en a entonces es continua en a

Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado. DERIVADA POR LA DERECHA Si f esta definida en a , la derivada por la derecha se define y se denota

DERIVADA POR LA IZQUIERDA Si f esta definida en a , la derivada por la izquierda se define y se denota

Si f es derivable en un x0 entonces

La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

36

Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes:1.  La función es discontinua en el punto2.  La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0)3.  La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto.

 Ejercicios resueltosEn los ejeercicios 1 a 7, haga lo siguiente: (a) trace la gráfica de la función; (b) determine si  f es continua en el punto dado; (c) calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda, si existen; (d) determine si  f es diferenciable en el punto dado

37

S o l u c i o n e s

 Solución:

 Solución:

38

 Solución:

 Solución:

39

 Solución:

 Solución:

40

 Solución:

41

a a+h

(a,f(a))

(a+h,f(a+h))

f(a+h)-f(a)

P

Q

h

a a+h

(a,f(a))

(a+h,f(a+h))

f(a+h)-f(a)

P

Q1

h

RECORDEMOS.  Derivada de una función: Sea  f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ', tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA . La derivada se puede “ver” de dos formas :

i) f´(a) se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la grafica de y =f(x) en el punto (a , f(a))

ii) f´(a) se puede interpretar como la velocidad ó razón de cambio instantantaneo de y=f(x) en el tiempo t=a

LA DERIVADA COMO PENDIENTE

Sea y =f(x), se desea hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de y =f(x) en el punto P=(a , f(a)) . Como resolver este problema era ¡imposible! , se hizo lo siguiente :

i)Hallar un punto Q de la graficaii)Hallar la pendiente de la recta secante PQ tg = mQ

Luego elegimos otro punto Q1 de la grafica , que se aproxime a P . Hacemos lo mismo

42

a

(a,f(a)) P

ósea hallamos la pendiente de esta nueva recta secante

Ahora observaremos algunos detalles

Los puntos Q , Q1 dependen de h

Si hacemos que h se aproxime a 0, los puntos Q 1 , se aproximaran al punto P .

Las pendientes de las rectas secantes , se aproximan a la pendiente de la recta tangente .

DEFINICIÓN. Se define la pendiente de la recta tangente a la grafica en el punto (a , f(a)) como :

IMPORTANTE

Sea ha definido la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) ,en el punto (a , f(a)), igual a la definición de la DERIVADA de la función y=f(x) en x=a . ósea ma = f`(a) ( pendiente igual a derivada)

EJEMPLOSHallar la ecuación de la recta tangente a la grafica en el punto indicado

a) b)

c) d)

43

e) f)

SOLUCION (a)1)La ecuación de la grafica , se pide hallar la ecuación de la recta

tangente en el punto ( 0 , f(0))= ( 0 , 5)2) La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto x=0 , ósea la pendiente es f´(0)3) Vamos a derivar la función f´(x)=4x-3 entonces f´(0)=-3Según la grafica anterior se intuía que la pendiente era negativa 4) Ahora la ecuación de la recta tangente es :

y=-3x+5

SOLUCION (b)1)La ecuación de la grafica es , se pide hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2 , f(2))= ( 2 , 7) 2)Derivando y evaluando en el punto x=2 f´(x)=3x2 entonces f´(2)=3(2)2=123) La pendiente es positiva m=124) La ecuación de la recta tangente es:

y=12x-17

SOLUCION (c)1)La ecuación de la grafica es

, se pide hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( 1 , f(1))= ( 1 , -2) 2)Derivando y evaluando en el punto x=1 f´(x)=1/2x –2-3 entonces f´(1)=-5/23) La pendiente es negativa m=-5/2

44

4) La ecuación de la recta tangente es

y=-5x/2+1/2

SOLUCION (d)

1)La ecuación de la grafica es ,

se pide hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2 , f(2))= ( 2 , 1)

2)Derivando y evaluando en el punto x=2

entonces f´(2)=-1/2

3) La pendiente es negativa m=-1/24) La ecuación de la recta tangente es

y=-x/2+2

SOLUCION (e)1)La ecuación de la grafica es , se pide hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( -4 , f(-4))= ( -4 , 5) 2)Derivando y evaluando en el punto x=2

entonces f´(-4)=-2/5

3) La pendiente es negativa m=-2/54) La ecuación de la recta tangente es

y=-2x/5+17/5SOLUCION (f)

1)La ecuación de la grafica es ,

se pide hallar la ecuación de la recta tangente en el punto (1/2 , f(1/2))= (1/2 ,12) 2)Derivando y evaluando en el punto x=2

entonces f´(1/2)=-48

3) La pendiente es negativa m=-484) La ecuación de la recta tangente es

45

y=-48x+36

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

La derivada como ayuda para graficar funciones

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea y=f(x) una función continua , definida en un intervalo [a , b ]. La siguiente es la posible gráfica de f en el intervalo [a , b ].

  En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1. Creciente en los intervalos <a, x3> , <x5, x6>2. Decreciente en los intervalos <x3,x5> ,<x6 ,b>

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos (x3, f(x3)) , (x5, f(x5)) y (x6, f(x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

 Teorema 1

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a , b] y derivable en el intervalo  abierto < a , b >.

1. Si f ´(x) >0 , para todo x en < a , b > entonces la función f es creciente en [a , b] .

46

(x3 , f(x3))

(x5, f(x5))

(x6 , f(x6))

2. Si f ´(x) >0 , para todo x en < a , b > entonces la función f es decreciente en [a , b] .

EJEMPLOS

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x)=(x2-4x+1)/2SOLUCION1)Primero hallaremos derivada de :

f(x)= (x2-4x+1)/2 f ´(x)=x-2

2) Como : f ´(x)=x-2 <0 x<2 , y f ´(x)=x-2 > 0 x>2,

3) ósea si x<2, f ´(x)=x-2 <0 entonces f es decreciente para x>2. 4) ósea si x>2, f ´(x)=x-2 >0 entonces f es creciente para x>2.

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

2.Hallar los intervalos en que crece o decrece la función f(x)= (x+1)/(x-1)

SOLUCION1)Hallaremos la derivada de : f(x)=(x+1)/(x-1) f ´(x)=-2/(x-1)2 2) Como : f ´(x)= -2/(x-1)2 < 0 para todo x 1 en IR

3) ósea si x 1, f ´(x) <0 entonces f es decreciente para todo x 1. La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

3. Hallar los intervalos donde crece o decrece la función con ecuación f(x)= x2+1/x2 .

SOLUCION1)Primero hallaremos la derivada de : f(x)= x2+1/x2 f ´(x)=2x-2/x3

2) Ahora hallaremos los valores de x para los cuales f ´(x)<0: f ´(x)= 2x-2/x3<0 2(x4 –1)/x3 <0 2(x –1)(x –1)(x –1)/x3 <0

3)Luego hallaremos los valores de x para los cuales f ´(x) >0: f ´(x)= 2x-2/x3>0 2(x4 –1)/x3 >0 2(x –1)(x –1)(x –1)/x3 >0

47

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

4) ósea f ´(x) <0, x<- ,-1><0,1> entonces

f es decreciente en <- ,-1><0,1>. 5) ósea f ´(x) >0, x<-1 ,0><1,> entonces

f es creciente en<-1 ,0><1,> >.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

TOREMA DE ROLLE

Si  f  es una función en la que se cumple:(i)    f  es continua en el intervalo cerrado [a, b](ii)   f  es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)(iii)  f (a) = 0  y  f (b) = 0Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

48

f '(c) = 0El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719).

En la figura de la derecha se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema:  f  es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y   f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la gráfica de f es paralela al ejex, es decir donde se cumple que  f '(c) = 0.

El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii)  f (a) =  f (b): basta con que el valor de la función sea el mismo para x = a  y  x = b  y  no necesariamente sean iguales a cero. En la figura de la izquierda se ilustra este hecho.

TOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Si  f  es una función en la que se cumple que:(i)    f  es continua en el intervalo cerrado [a, b](ii)   f  es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)

49

Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

A la izquierda se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio.En los ejercicios 10 a 12, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado; (b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; (c) si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal.En los ejercicios 13 y 14, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a))  y  (b, f(b)).

50

S o l u c i o n e s

 

 

51

 

 

52

 

 

53

 

 

54

 

 

55

(a)

 

56

 

(a)

 

57

 

VALOR CRITICO58

Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.

Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales)

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del numero critico c y negativo a la derecha, entonces f(c) es un máximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del numero crítico c y positivo a la derecha, entonces f(c) es un mínimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico c, entonces f(c) no es máximo ni mínimo relativo.

 

Notas:

1) A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.

2) Una función puede tener un máximo y mínimo relativo más de una vez.

3)  Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.

59

-20

-10

0

10

20

30

40

-4 -2 0 2 4 6

Criterio de la Segunda Derivada

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la figura se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo <-2,0> y se curva hacia arriba en el intervalo <0,5>. 

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto <a,b>, entonces la gráfica de f es:

i) Cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) Cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

   Teorema 2 Criterio de la Segunda Derivada

Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).

 Ejemplos:

1) En la Figura , tenemos que para f(x) = x2 , la segunda derivada es positiva,

esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

2) En la Figura tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa,

esto es, f"(x) = -2.

Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

60

PUNTO DE INFLEXION

 Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

 Criterio de la segunda derivada para los puntos de inflexión

Sea x0 dominio de la funcion f, donde f´´(x0)=0 ó f´´(x0) no existe

1)Si el signo de la segunda derivada es positivo a la izquierda de x0 y negativo a la derecha ó viceversa entonces (x0 , f(x0)) es un punto de inflexion.

2) Si el signo de la segunda derivada es el mismo a la izquierda y a la derecha de x0, entonces (x0 , f(x0)) no es un punto de inflexión

Nota: Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia en estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.

Criterio de la segunda derivada para los extremos relativos (o extremos locales)

61

(x0 , f(x0))

Teorema: Suponga que f" existe en algún intervalo (a,b) que contiene a c y que f’(c) = 0, entonces:

i) si f"(c)<0, f(c) es un máximo relativo

ii) si f"(c)>0, f(c) es un mínimo relativo

Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda derivada no aplica y no provee información. De manera que, se usa entonces el criterio de la primera derivada para determinar los máximo y mínimos relativos.

 En resumen, para usar el criterio de la segunda derivada, si f es una función continua en el intervalo (a, b): primero se hallan los puntos críticos, luego si:

i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de la primera derivada.

A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:

1) Hallar f’(x) , f’´(x) ( las derivadas de f ).

62

2) Hallar los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo la ecuación para x. Luego igualar f’´(x) a cero para obtener los posibles puntos de inflexión .Incluir también todos los valores de x donde las derivadas no existan .

3) Evalúa cada número crítico c en la función f , para obtener los valores extremos.

4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (2 y3) en el plano cartesiano: valores extremos y puntos de inflexión

5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la primera derivada. (Es decir, usa el teorema 1).

6) Determina en qué intervalo la función es cóncava hacia arriba y/o cóncava hacia abajo, usando el signo de la segunda derivada. ( usa el teorema 2).

7) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero. Tambien donde la funcion es cóncava hacia arriba ó hacia abajo , tener en cuenta los puntos de inflexion

 Ejemplos para discusión: Constuye la gráfica de cada una de las siguientes funciones usando la guía de los siete pasos.

, ,

, 5) senx 6) cos x ,

7)tang(x)

EJEMPLO1. Representación gráfica de

 

63

SOLUCION1)Dominio de f : Como f es una función racional, pertenecen al dominio todos los números reales menos los q anulan al denominador, es decir:

2)Derivando la funcion :

  como ves da siempre negativa en su dominio, por

lo tanto podemos concluir:a) decreciente en  R-b) no tiene ni máximos ni mínimos locales

3) Estudio de la derivada segunda , nos permite calcular los intervalos de concavidad , así como los puntos de inflexión (condición necesaria q la derivada segunda valga 0)

Si : i) ii)

Para estudiar la concavidad y los puntos de inflexión estudiamos el signo de la derivada segunda:

                            -1                 0                  1                    

4)Como en x=0 cambia el signo de f`` entonces (0,f(0)) es un punto de inflexión5) tambien x= ±1 cambia el signo de f`` pero x=-1,1 no esta en el dominio osea ,f(±1)) no existeLa gráfica es: Observe que la funcion es decreciente             

64

 

2. Verifique la siguientes ecuaciones a que graficas representan

; ; ;

65

Concava hacia arriba

Concava hacia abajo

Concava hacia arriba

Concava hacia abajo