PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

Grado: Quinto Duración: 2 horas pedagógicasI. TÍTULO DE LA SESIÓN

Maximizando ingresos

II. APRENDIZAJES ESPERADOSCOMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES

ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE FORMA,

MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN DE

CUERPOS

Matematiza situaciones

Reconoce la pertinencia de un modelo referido a funciones cuadráticas al resolver un problema.

Comunica y representa ideas matemáticas

Reconoce las funciones cuadráticas a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simbólicas.

III. SECUENCIA DIDÁCTICAInicio: (20 minutos)

El docente da la bienvenida a los estudiantes y pregunta: ¿Qué actividades realizamos la clase anterior? ¿Qué aprendizajes logramos?

Los estudiantes responden a través de lluvia de ideas. El docente consolida la información y presenta la siguiente situación:

Los estudiantes dialogan en grupo sobre la pregunta

Pachacámac es el santuario Inca más importante del Perú y Sudamérica. Fue un importante destino de peregrinación que incorpora el templo y varios monumentos como las pirámides y los santuarios construidos antes y después del Imperio Inca. Muchos de los complicados edificios han conservado sus características originales. La administración, como parte del proyecto para incrementar el número de visitantes al Complejo Arqueológico de Pachacamac y promocionar la actividad comercial en la zona, ha decidido hacer descuentos en las entradas para universitarios y adultos. Según experiencias anteriores, por cada 0, 50 nuevo sol que se disminuya en los precios de las entradas se incrementa 20 visitantes más en cada uno de los casos. Según la estadística, en promedio diario ingresan 250 escolares, 100 universitarios y 150 público en general. Se sabe que el Complejo arqueológico de Pachacamac tiene una capacidad para 1000 personas. Si el precio de las entradas es: niños (escolares): S/. 1 nuevo sol, universitarios: S/. 5 nuevo soles y adultos S/. 10 nuevo soles. ¿Cuánto debe ser la rebaja para obtener el máximo ingreso de dinero diario en cada uno de los casos? ¿Cuánto de dinero ingresa al mes aproximadamente?

UNIDAD 5NÚMERO DE SESIÓN

10/14

planteada. El docente hace referencia a las actividades en las cuales centrará su atención:

“Se centrará la atención en la interpretación y análisis de los datos proporcionados para

la determinación del modelo de la función, así como la capacidad de reconocer

funciones cuadráticas a partir de su modelo o gráfica representativa.”

- El docente plantea las siguientes pautas que serán consensuadas con los estudiantes:

Desarrollo: 50 minutos

Los estudiantes leen el problema planteado e identifican los datos proporcionados.DATOS:-Por cada S/. 0,50 nuevos soles se incrementan 20 visitantes más.-Diariamente ingresan 250 escolares.-100 universitarios.-150 públicos en general.-Capacidad del complejo 1000 personas.-Precio de las entradas: S/. 1 nuevo sol, universitarios: S/. 5 nuevo soles y adultos S/. 10 nuevo soles.

Los estudiantes desarrollan la ficha de trabajo 1 (anexo 1) en la cual, tabulan valores de acuerdo a las condiciones del problema.

Ejemplo:

Tabla 1

Adultos: S/. 10 Nuevo Soles

o Se respetan las opiniones diversas de cada uno de los integrantes.

o Se respetan los tiempos estipulados para cada actividad garantizando un trabajo efectivo en el proceso de aprendizaje.

o Se elige democráticamente un representante de grupo para la presentación del trabajo.

N° NÚMERO DE VISITANTES

Costo - Descuento Total de ingresos

1 150 10 – 0 = 10 1500

2 150 + 20 = 170 10 – 0,5 = 9,5 1615

3 150 + 40 = 190 10 – 1 = 9 1710

4 150 + 60= 210 10 – 1,5 = 8,5 1785

5 150 + 80= 230 10 – 2 = 8 1840

6. 150 + 100= 250

10-2.5=7.5 1875

7. 150 +120=270 10-3=7 1890

8. 150 +140=290 10 - 3.5=6,5 1885

9. 150 +160=310 10- 4=6,0 1860

10. 150 +180=330 10-4,5==5,5 1815

11. 150 +200=350 10-5=5 1750

Analizan los valores obtenidos e identifican el ingreso mayor.-Los estudiantes llegan a la siguiente conclusión: “Para obtener un mayor ingreso se debe hacer una rebaja de 3 soles y lograrían ingresar 270 visitantes”.

El docente pregunta: ¿Será posible obtener un ingreso mayor al observado? ¿Cuánto sería el descuento? ¿Cuántos visitantes ingresarían? Los estudiantes justifican sus respuestas.

Los estudiantes tabulan posibles valores entre las filas 7 y 8.

Ubican el punto medio entre la fila 7 y 8. Realizan los cálculos correspondientes, e incrementan una fila.

El docente orienta el proceso asegurando que se guarde proporción en el incremento de número de visitantes:

Así :

7. 150 +120=270 10-3=7 1890

8 150 +140=290 10 - 3.5=6,5 1885

9 150 +160=310 10- 4=6,0 1860

Rebaja de 0,5 nuevos soles se incrementan 20 personas.Rebaja de 0,25 nuevos soles se incrementan 10 personas.Rebaja de 0,125 nuevo soles se incrementan 5 personas.

-

6. 150 + 100= 250 10-2.5=7.5 1875

7. 150 +120=270 10-3=7 1890

8. 150 +130=280 10-3,25=6.75 1890

9. 150 +140=290 10 - 3.5=6,5 1885

10. 150 +160=310 10- 4=6,0 1860

El docente pregunta: ¿Cómo interpretas dichos resultados? ¿Cómo saber si existe un ingreso mayor que 1890 Nuevos Soles?-Los estudiantes tabulan un valor intermedio entre la fila 7 y 8. Incrementan una fila.

6. 150 + 100= 250 10-2.5=7.5 1875

7. 150 +120=270 10-3=7 1890

150+125=275 10-3,125=6,875 1890,625

8. 150 +130=280 10-3,25=6.75 1890

9. 150 +140=290 10 - 3.5=6,5 1885

10. 150 +160=310 10- 4=6,0 1860

Los estudiantes analizan los valores obtenidos de su tabla llegando a la conclusión que el mayor ingreso se da cuando se hace una rebaja de 3,125 al precio de la entrada.

Los estudiantes reflexionan que, de darse el caso de un descuento de 3,125, la entrada costaría S/. 6,875 Nuevos Soles, pero según nuestro sistema monetario tendría que aproximarse a S/. 6,9 Nuevos Soles.

El docente realiza las siguientes preguntas para inducir a la modelación de la función cuadrática.1. ¿Encuentras alguna regularidad en el incremento del número de visitantes? Justifica

tu respuesta.-Se espera que los estudiantes se percaten que el número de visitantes se incrementan de 20 en 20 según las veces que se incrementa el descuento de 0,5.

2. ¿Encuentras alguna regularidad en la disminución del costo de la entrada?-Se espera que los estudiantes se percaten que el costo de la entrada disminuye de 0,5 en 0,5 según el número de descuentos.

3. ¿Cómo podríamos generalizar para un descuento “X”?-Los estudiantes, con la mediación del docente, proceden a inducir el modelo de la función:-Se espera que los estudiantes realicen los siguientes procesos: (ficha de trabajo 1)

Tabla 2

Entrada adultos: S/. 10 Nuevo Soles

N° N° VISITANTES Costo - Descuento

Total de ingreso

1 150 + 0 10 – 0 = 10 150 x 10= 1500

2 150 + 20(2)(0,5) = 170 10 – 0,5 = 9,5 [150+20(2)(0,5)] [10-0,5]=1615

3 150 + 20(2)(1) = 190 10 – 1 = 9 [150 + 20(2)(1) ] [10-1]=1710

4 150 + 20(2)(1,5)= 210 10 – 1,5 = 8,5 [150 + 20(2)(1,5)] [10-1,5]=1785

5 150 + 20(2)(2)= 230 10 – 2 = 8 [150 + 20(2)(2)] [10-2]=1840

6 150 + 20(2)(2,5)= 250 10 – 2,5 = 7,5 [150 + 20(2)(2,5)] [10-2,5]=1875

7 150 + 20(2)(3)= 270 10 – 3 = 7 [150 + 20(2)(3)] [10-3]=1890

150+20(2)(3,125)=275 10-3,125=6,875 [150 + 20(2)(3,125)] [10-3,125]=1890,625

150 + 20(2)(3,25)=280 10-3,25=6.75 [150 + 20(2)(3,25)] [10-3,25]=1890

8 150 + 20(2)(3,5)= 290 10 – 3,5 = 6,5 [150 + 20(2)(3,5)] [10-3,5]=1885

9 150 + 20(2)(4)= 310 10 – 4 = 6 [150 + 20(2)(4)] [10-4]=1860

10 150 + 20(2)(4,5)= 330 10 – 4,5 = 5,5 [150 + 20(2)(4,5)] [10-4,5]=1815

11 150 + 20(2)(5)= 350 10 – 5 = 5 [150 + 20(2)(5)] [10-5]=1750

… … … …

x-1

150 + 20(2)(x)=150+40x

10 - x [150+40x] [10-x]=Y

Los estudiantes identifican la variable dependiente y la variable independiente. Justifican la designación de cada una de ellas:Donde Y: Ingresos ( variable dependiente)

X: Descuentos ( variable independiente)

“El ingreso depende de los descuentos”

Los estudiantes, considerando el proceso anterior, determinan el modelo matemático de dicha función:

Y=(150+40 x)(10−x)y=1500−150 x+400 x−40x2

Los estudiantes analizan la expresión obtenida y con mediación del docente llegan a la siguiente conclusión:

Los

estudiantes identifican los valores de a, b y c de la situación planteada:a= -40 ; b=250 ; c= 1500

El docente solicita que realicen el mismo proceso para las entradas correspondientes a universitarios.

Realizan los mismos procesos para ubicar un valor máximo de ingreso, buscan un valor intermedio entre las filas 3 y 5. Y así sucesivamente, si fuera necesario.

L

os

estudiantes determinan el máximo ingreso posible y el descuento realizado. Luego, hallan el modelo de la función y realizan comparaciones con el modelo anterior.

Y=(100+40 x)(5−x)y=500−100 x+200x−40 x2

Cierre: (20 minutos) El docente pregunta: Considerando los ingresos máximos, ¿cómo podemos determinar

el ingreso total diario y mensual del público en general?

Los estudiantes intercambian opiniones al interior del grupo y completan el siguiente

cuadro:

Entrada universitarios: S/. 5 Nuevo Soles

N° NÚMERO DE VISITANTES

Costo - Descuento

Total de ingresos

1 100 + 0 5 – 0 = 5 100 x 5= 500

2 100 + 20(2)(0,5) = 120

5 – 0,5 = 4,5 [100+20(2)(0,5)] [5-0,5]=540

3 100+20(2)(1)=140 5-1=4 [100+20(2)(1)] [5-1]=560

100+20(2)(1,25)=150 5-1,25=3,75 [100+20(2)(1,25)] [5-1,25]=562,5

4 100+20(2)(1,5)=160 5-1,5=3,5 [100+20(2)(1,5)] [5-1,5]=560

5 100+20(2)(2)=180 5-2=3 [100+20(2)(2)] [5-2]=540

… … …

x-1

100 + 20(2)(x)=100+40x

5-x [100+40x] [5-x]=Y

Observación: Para que el problema sea lo más real posible, los estudiantes pueden aproximar

las cantidades (*) según el sistema monetarios. Así S/. 6,625 en monedas tendría que

aproximarse a S/. 6,7 y 3,75 a S/. 3,8. Estos valores podrían considerarse en el cuadro anterior

para determinar los ingresos totales.

Cada grupo presenta su cuadro respectivo, el docente sistematiza la información y llega

a las siguientes conclusiones:

El docente plantea algunas preguntas metacognitivas:

¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿Para qué nos es útil lo

aprendido?

Los estudiantes responden a través de lluvia de ideas.

Observación: Esta sesión es una adaptación de la estrategia “Aprendizaje basado en problemas de modelación matemática” – Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VII, página

74.

IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA El docente solicita a los estudiantes que busquen información sobre gráficas de funciones

cuadráticas.

V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR

- Las funciones cuadráticas pueden ser usadas para modelar datos y ser analizados en una gran variedad de aplicaciones de la vida real.

- Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2, cuya expresión general es: Y=a x2+bx +c; los coeficientes a, b y c son números reales.

PÚBLICO Costo de la entrada ( en nuevo soles)

Cantidad de visitantes

Ingreso diario (máximo)

Ingreso mensual(30 días)

Adultos 6,625 * 285 1888,125 56 643,75

Universitarios 3,75 * 150 562,5 16 875

Niños (estudiantes)

1 250 250 7 500

Ingreso total: 685 2 343,75 81 018,75

- Ministerio de Educación, MINEDU. Texto de consulta Matemática 5 (2012) Lima: Editorial Norma S.A.C.

- Calculadora científica o digital.

- Graficadores digitales u otros programas.

- Papelotes, plumones, cinta masking tape.

Anexo 1

Ficha de trabajo 1

Propósito: Modelar una función cuadrática a partir de una situación problemática planteada.

Integrantes: _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Actividad 1

Tabla 1

Lee atentamente la situación problemática planteada y, considerando los datos, completa la siguiente tabla.

Entrada adultos: S/ 10 Nuevo Soles

N° NÚMERO DE VISITANTES

Costo - Descuento Total de ingresos

1 150 10 – 0 = 10 1500

2

3

4

5

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Tabla 2

Entrada adultos: S/. 10 Nuevo Soles

N° NÚMERO DE VISITANTES

Costo - Descuento

Total de ingresos

1 150 + 0 10 – 0 = 10 150 x 10= 1500

2 150 + 20(2)(0,5) = 170 10 – 0,5 = 9,5 [150+20(2)(0,5)] [10-0,5]=1615

3

4

5

6

7

8

9

10

11

…

x-1

Encuentra la regularidad entre el número de visitantes y el descuento, y establece una regla de correspondencia entre variables. Modela la función cuadrática.

Realiza el mismo procedimiento para el segundo caso y halla el modelo de la función cuadrática.

Considerando los ingresos máximos, determina el

ingreso total diario y mensual del público en general.

Entrada universitarios: S/. 5 Nuevo Soles

N° NÚMERO DE VISITANTES

Costo - Descuento

Total de ingresos

1 100 + 0 5 – 0 = 5 100 x 5= 500

2 100 + 20 (2)(0,5) = 120

5 – 0,5 = 4,5 [100+20 (2)(0,5)] [5-0,5]=540

3

4

5

x-1

PÚBLICO Costo de la entrada (en

Nuevo Soles)

Cantidad de visitantes

Ingreso diario (máximo)

Ingreso mensual(30 días)

Adultos

Universitarios

Niños (estudiantes)

Ingreso total: