FUNCIONES CUADRÁTICAS.

1. DEFINICIÓN:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: 

f ( x )=ax2+bx+c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a≠0

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

La función será estrictamente decreciente en:

Así como estrictamente creciente en:

2. RAíCES:Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores

de x, para los cuales . Son denotadas habitualmente como:   y  , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como  .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo,  :

x=−b±√b2−4ac2a

Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

Ejemplo: Encontrar las raíces de la función fx=x2+3 x−10

Solución:

Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0

Factorizando la expresión obtenemos: fx=(x+5)(x−2)Como el producto anterior es cero, entonces:

x+5=0 ó x−2=0

x=−5 x=2Las raíces de la función fx=x2+3 x−10 son x=−5 y x=2

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

Si una función cuadrática tiene dos raíces reales su fórmula se puede escribir en la forma k(x-a)(x-b) donde a y b son números reales. En este caso, la gráfica atraviesa el eje x dos veces.

Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero,  :

La parábola es tangente al eje X.

La parábola no corta al eje X.

Y está solución además corresponde a la recta del eje de simetría de la función.

Ejemplo: Encontrar las raíces de la función fx=x2−2 x+1

Solución:

Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0Factorizando la expresión obtenemos: fx=( x−1 ) ( x−1 )

Como el producto anterior es cero, entonces:

x−1=0x=1

Las función fx=x2−2 x+1 tiene una raíz y es x=1

Como vemos en la siguiente figura, la gráfica de la función toca el eje x sin cruzarlo, por lo que sólo tiene una raíz:

Si una función cuadrática tiene una raíz real su fórmula se puede escribir en la forma k (x−a)2 y su gráfica toca el eje x pero no lo cruza.

El único caso restante es que el discriminante sea negativo,  .

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:

x=−b±√b2−4ac2a

Ejemplo: Encontrar las raíces de la función fx=2 x2−3 x+2

Solución:

Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0Cuando vemos que no es muy fácil la factorización podemos recurrir a la fórmula cuadrática.

x=−(−3)±√(−3)2−4(2)(2)2(2)

x=3±√9−164

x=3±√7 i4

Las raíces de la función fx=2 x2−3 x+2 son x=3+√7 i4

y x=3−√7 i4

Cuando la gráfica no intercepta el eje x, las raíces de la función cuadrática son imaginarias, como vemos en la gráfica correspondiente:

Si, usando la fórmula cuadrática, obtenemos raíces imaginarias para función cuadrática, significa que la función no tiene raíces reales. En este caso, la gráfica no toca el eje x.

3. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA

Forma desarrollada o polinómica

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente

como: con

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

siendo a el coeficiente principal de la función, y x=1 y x=2 las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que la

factorización adquiere la forma:

En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

EJEMPLO:

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Intersección con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

es decir:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

5. VÉRTICES

Este vértice será un punto máximo, si la parábola es cóncava hacia abajo. Y será

un punto mínimo si la parábola es cóncava hacia arriba.

Valor máximo o mínimo de una función cuadrática

Para todo “a” diferente de 0. Vamos a tener dos casos. Pero citemos la formula a utilizar:

Habrá un valor máximo de la parábola de la función cuando a<0.

Habrá un valor mínimo de la parábola de la función cuando a>0.

Ámbito de una función cuadrática

Si a<0. Se calcula como sigue:

Si a>0. Se calcula como sigue: