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Funciones de Green –
Aplicaciones y herramientas
matemáticas
Autor: Carlos Lopesino Jiménez de Zadava Lissón
Correo: [email protected]
Universidad de Murcia
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Funciones de Green
Introducción. Definiciones y ejemplos de F. de Green.
Funciones de Bessel. Tipos de funciones de Bessel.
Funciones Hankel.
Método de aceleración de Kummer.
Transformada de Fourier.
Fórmula de sumación de Poisson.
Fórmula de Euler.
Identidad de Sommerfeld.
Conclusión.
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Introducción. Def. y ejs. de F. de
Green.
Son soluciones de EDPs de la forma:
La solución de la segunda ecuación es:
2
2
0
0
( , ) ( , )
( ) 4 ( )
u x y f x y
ru r r
r
0
( ) | |
Ku r
r r
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Introducción. Def. y ejs. de F. de
Green.
Otros ejemplos de funciones de Green son:
2
2
cos ,(
1 ( ) G(x,w,t) =
, )cos
exp( )4
,
2
s senx x s
G x ssens x
x
s x
w
tt
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Funciones de Bessel. Tipos de
funciones de Bessel.
Las funciones de Bessel son soluciones de
ecuaciones diferenciales:
donde indica el orden de la función.
22 2 2
2( 0 , )
d y dyx x x y
dx dx
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Funciones de Bessel. Tipos de
funciones de Bessel.
Primer tipo: finitas en el origen.
2
12
0
( 1)( )
! ( 1)
mm
m
J x xm m
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Bessel_Functions_%281st_Kind%2C_n%3D0%2C1%2C2%29.svg
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Funciones de Bessel. Tipos de
funciones de Bessel.
Segundo tipo: divergen en el origen.
( )cos( ) ( )( )
( )
J x J xY x
sen
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Bessel_Functions_%282nd_Kind%2C_n%3D0%2C1%2C2%29.svg
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Funciones Hankel.
Son funciones de la forma:
(1)
(2)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
H x J x iY x
H x J x iY x
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Método de aceleración de Kummer.
Sean dos series convergentes:
Supongamos además que:
Entonces podemos escribir la serie como:
0
, |n n nn
a b b
lim 0nn
n
ap
b
n
n
a
0 0 0
(1 )nn n nn n n n
ba p b p a
a
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Transformada de Fourier.
Se define la transformada de Fourier como la
aplicación:
1
:
(x) ( )
( ) ( )
1( ) ( ) ( )
2
i x
i x
f f
f f
f f x e dx
f x f e d
F :
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Fórmula de sumación de Poisson.
Se tiene la siguiente fórmula:
En nuestro caso usaríamos la siguiente fórmula:
( ) ( )n k
f n f k
2 2( ) ( ), con x = 0 y T = 2b
k n
f x kT f nT T
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Fórmula de Euler.
En nuestro caso:
1
1( ) ( ) , siendo T =
2
jnTy
n n
sen nTy sign n ej b
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Identidad de Sommerfeld.
Usamos la versión para línea infinita de la
identidad de Sommerfeld para relacionar la
función de Hankel con la transf. de Fourier :
2 2 2
0( 2) 2 2
0 00 2 2 2
0
2 2
exp( )2( ) cos( )
=
x y
x y y
x y
k k kH p k k yk dk
j j k k k
siendo p y z
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Conclusión.
Al final obtendremos la función de Green del
potencial escalar eléctrico de un hilo infinito:
( )́
10
2( ,́ , )́ ( )́ ( )
zjk z z
ppw y y
nz
eG z z y y sen k y sen k y
b jk
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¡¡Muchas gracias!!
