Funciones de Varias Variables - Dr. Ing. Juan M. …...Funciones de varias variables Curvas de nivel El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante

Funciones de Varias Variables

Juan Manuel Rodríguez Prieto

Funciones de varias variables

Consideremos el volumen de un cilindro circular recto

El volumen del cilindro depende de:

• radio

• Altura

• Matemáticamente, se puede escribir como sigue:

Decimos entonces que el volumen, es un función que depende de el radio y la altura

2( , )V r h r h


2( , )V r h r h

02

46

810

0

5

100

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

x2 y

y


2( , )V r h r h

• A los valores que pueden tomar r y h, lo llamaremos dominio de la función.

• Qué valores pueden tomar r y h en la función de volumen del cilindro?• A los valores que puede tomar V(r,h) los llamaremos rango de la función.

• Qué valores pueden tomar V?


2( , )w x y y x

• Qué valores pueden tomar x y y? Cual es el dominio de w?

• Debido a que la raíz cuadrada, puede tener como dominio solo valores positivos, se tiene que

• O que

Considere la siguiente función:

2 0y x

2y x


2( , )w x y y x

Recordemos la gráfica de


2y x


2( , )w x y y x

Qué valores de la grafica satisfacen la desigualdad?


2y x

el dominio es cualquier pareja de puntos que se encuentran sobre la parábola.


2( , )w x y y x


El rango de la función w va a estar dado por: 0, )


1( , )w x y

xy


El dominio de la función w va a estar dado por: 0xy

El rango de la función w va a estar dado por: ,0) (0, )


( , ) sin( )w x y xy


El dominio de la función w va a estar dado por: todo el plano x y y

El rango de la función w va a estar dado por: 1,1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x y)

y


2 2( , )

1

yw x y

x y


-5

0

5

-5

0

5

-0.5

0

0.5

x

y/(x2 + y2 + 1)

y


2 2( , )w x y x y


-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2

x

x2 + y2

y


2 2( , ) sin( )w x y x y


-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x2 + y2)

y

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x2 + y2)

y

z


2 2( , ) cos( )w x y x y


-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x2 + y2)

y

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x2 + y2)

y

z


( , ) sin( )cos( )w x y x y


-2

0

2

-2

0

2

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(y) sin(x)

y


2 2 2( , , )w x y z x y z


El dominio de la función w va a estar dado por: todo el espacio (cualquier valor de x y y z)

El rango de la función w va a estar dado por: 0, )


Ecuación de un plano


Ecuación de un paraboloide


Paraboloide hiperbólico o silla de montar

Curvas de nivel

Funciones de varias variablesCurvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de fDada la función

Trace las curvas de nivel

2 2( , ) 100f x y x y

( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y

2 2 100x y 2 2 49x y

2 2 25x y

Circulo de radio 10 y centro en el origen



Las tres ecuaciones se reconocen como la ecuación de un circulo



Trace las curvas de nivel

SI f representa la temperatura y x y y dos puntos en el espacio, f(x,y)=0 representa todo el conjunto de puntos donde la temperatura es 0.De la misma manera f(x,y)=51, representa todos los puntos donde la temperatura es 51, sobre el circulo de radio 7 y centro en el origen la temperatura es 51.

2 2( , ) 100f x y x y

( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y



2 2( , ) 100f x y x y

-74.7

-49.7

-24.8

0.2

25.1

50.1

75

radio

altura

Curvas de nivel

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9


El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de fDada la función 2( , )f r h r h

392

783

1.17e+03

1.57e+03

1.96e+03

2.35e+03

2.74e+03

radio

altura

Curvas de nivel

2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Funciones de varias variablesEjercicios

567

567

567

567

572

572

572

572

577

577

577

577

581

581

581

581

586

591

595

eje x

eje

y

Curvas de nivel

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4



0.588

1.18

1.76

2.35

2.94

3.53

4.11

4.7

5.29

5.88

peso

esta

tura

Curvas de nivel

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45



-5

0

5

-5

0

5-10

-5

0

5

10

x

(2 x + 3 y)/(5 x - 2 y)

y


-20

-10

0

10

20

-20

-10

0

10

200

2

4

6

8

10

x

(x2 + y2 - 64)1/2

y

z


-5

0

5

-5

0

5

-40

-20

0

20

40

x

x y

y


-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10-1

-0.5

0

0.5

1

x

(2 x)/(x2 + y2 + 3)

y


0

5

10

-10

-5

0

5

10-2

-1

0

1

2

3

4

x

log(2 x + y - 1)

y

Ejercicios sugeridos


Paraboloide elíptico


curvas de nivelParaboloide elíptico




Paraboloide


Curvas de nivel paraboloide






Superficies de nivel


Sección z=0



Sección x=0

Plano zy


Paraboloide

Plano xy, z=0 Plano xz, y=0

Secciones


Paraboloide


Cilindro parabólico Sección: plano xz, y=0


https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/multivariable-functions?ref=calculus_home_staff_picks

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