Funciones de Varias Variables - WikiUASD V. Funciones de... · Funciones de Varias Variables Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1 Funciones de varias variables Función de dos

Funciones de Varias Variables

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gmez 1

Funciones de varias variables

Funcin de dos variables

Definicin. Es una funcin f que asigna a cada pareja ordenada ( , )x y de D un

nico nmero real ( , )f x y . El conjunto D es el dominio de f , y el

correspondiente conjunto de valores ( , )f x y es el rango.

Dominio Rango

Grfica de la funcin de dos variables

Es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z para los ( , ) ( , )z f x y y x y que est en

el dominio de f .

(x,y) = (,)

f



Ejemplo. Bosqueje la grfica de 2 2( , ) 1f x y x y

Curvas de nivel

Una segunda manera de visualizar una funcin de dos variables es usar un

campo escalar en el que el escalar ( , )z f x y se asigna al punto ( , )x y . Un

campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel o lneas de contorno

a lo largo de los cuales es constante. Las curvas de nivel de igual presin se

llaman isobaras. Las curvas de nivel que en mapas climticos representan

puntos de igual temperatura reciben el nombre de isotermas. Las curvas de

nivel que representan campos de potenciales elctricos se llaman lneas

equipotenciales.

Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la

superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el

nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topogrfico.

Lmites y continuidad

Previo a la definicin de lmite de una funcin de dos variables necesitamos

definir una serie de conceptos, tales como:

1. Vecindad de un punto x: un punto x que pertenece a R, cualquier

subconjunto de R que posea un abierto que contenga a x se llama una

vecindad de x.



2. Bola abierta: se llama bola abierta al conjunto representado por

2 2

( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB x y x x y y

3. Bola cerrada: se llama bola cerrada al conjunto dado por

2 2

( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB x y x x y y

4. Punto interior: un punto x es un punto interior de un conjunto S si existe

una vecindad de x contenida en S. El conjunto de los puntos interiores de

S se llama interior de S.

5. Punto frontera: un punto x es un punto frontera de un conjunto S si cada

vecindad de contiene puntos que estn en el interior de S y puntos que no

estn en S. El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de

frontera de S.

6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores y es cerrado si

contiene todos sus puntos fronteras. Hay conjuntos que no son abiertos ni

cerrados.

7. Conjunto acotado; un conjunto S es acotado si existe un R>0 tal que todas

las parejas ordenadas en S estn dentro de un crculo de radio R y con

centro en el origen.

Definicin lmite de una funcin de dos variables

Sea f una funcin de dos variables en un disco abierto centrado en 0 0( , )x y ,

excepto posiblemente en 0 0( , )x y , y sea L un nmero real. Entonces

0 0( , ) ( , )

2 2

0 0

lim ( , )

cada 0 existe 0

( , ) 0 ( ) ( )

x y x yf x y L

Si tal que

f x y L siempre que x x y y



Nota: los lmites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es

de una sola variable.

Ejemplo. Calcular el lmite de

( , ) (0,0)

coslim

cosx y

xy x

xy x

( , ) (0,0)

cos (0)(0) cos0 0 1lim 1

cos (0)(0) cos0 0 1x y

xy x

xy x

Ejemplo. Determine si el lmite existe o no.

2 2( , ) (0,0)

2 2 2 2( , ) (0,0)

2 2 2 2 2( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)

( ,0) (0,0)

lim

:

(0)(0) 0lim

00 0

a lo largo del eje x

(0) 0lim lim lim

0

0lim 0

Pr

x y

x y

x x x

x

xy

x y

Solucin

xy

x y

Acerquemonos

xy x

x y x x

x

ocedamos acercarno

2

2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 2

2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

lim lim lim

0lim lim lim 0

2 2 22

x y x x x x

x x x y x x

s a traves de la recta x y

xy xx x

x y x x x x

x x x

xx

Podemos decir que el lmite existe, porque al acercarnos por caminos diferentes

siempre nos da 0, y este es el valor del lmite.



Otra forma: Utilizando coordenadas polares podemos determinar si el lmite

existe o no.

Determine si el siguiente lmite existe o no.

2 2

2 2( , ) (0,0)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0

lim

cos ,

coslim lim cos

cos

x y

x y r

x yxy

x y

x r y rsen

x y r r senxy r rsen

x y r r sen

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 20 0

2 2 2 2 2 2

0

(cos ) (cos )lim cos lim cos

(cos )

lim cos cos (0) cos cos 0

r r

r

r sen r senr sen r sen

r sen r

r sen sen sen sen

Funcin continua en un punto

Definicin. Una funcin ( , )f x y es continua en el punto (a,b) si se cumple que:

1. f tiene un valor en (a,b)

2. El lmite f existe en (a,b)

3. ( , ) ( , )

( , ) lim ( , )x y a b

f a b f x y

Continuidad en un conjunto

Definicin. Una funcin ( , )f x y es continua en un conjunto S si ( , )f x y es

continua en cada punto del conjunto.



Teorema. Composicin de funciones

Si una funcin g de dos variables es continua en (a,b) y una funcin f de una

variable es continua en ( , )g a b , entonces la composicin f g , definida como

( )( , ) ( ( , )f g x y f g x y es continua en (a,b).

Derivadas parciales

Sea f una funcin de dos variables ( , )x y . Si y se mantiene constante, digamos

0y y , entonces 0( , )f x y es una funcin de la variable simple x . Su derivada en

0x x es la derivada parcial f respecto de x en 0 0( , )x y y se denota por

0 0( , )xf x y .

As

0 0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) limx

x

f x x y f x yf x y

x

De forma anloga, la derivada parcial de f respecto a y en 0 0( , )x y se denota

por 0 0( , )yf x y y est dada por

0 0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) limy

y

f x y y f x yf x y

y

( , )f x y

x

este smbolo significa la derivada parcial de ( , )f x y respecto de x.

( , )f x y

y

este smbolo significa la derivada parcial de ( , )f x y respecto de y.



Ejemplo. Determine la derivada parcial de

2 2

2 2

2 2 2 2 2

cos( ) 2

2 ( ) 2

2 ( ) cos( ) 2

z y x y xy

zxysen x y y

x

zy sen x y x y x

y

Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible determinar las segundas,

terceras, etc., derivadas parciales de una funcin de varias variables, siempre

que stas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden en

que se hace la derivacin. Dada la funcin ( , )z f x y tiene las siguientes

derivadas parciales de segundo orden.

1. Derivar dos veces respecto a x:

2

2 xx

f ff

x x x

2. Derivar dos veces respecto de y:

2

2 yy

f ff

y y y

3. Derivar primero respecto de x y luego respecto a y:

2

xy

f ff

y x x y

4. Derivar primero respecto de y y luego respecto a x:

2

yx

f ff

x y y x

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).



Ejemplo. Hallar las derivadas parciales de segundo orden

22

2

22

2

22 2

2

22

tan

tan cos

tan

sec cos

sec cos

2 sec tan

sec cos

x

x

x

x

x

x

x

z e y senxy

ze y y xy

x

ze y y senxy

x

ze y xysenxy xy

x y

ze y x xy

y

ze y y x senxy

y

ze y xysenxy xy

y x

Como se puede observar las derivadas 2 2

z z

yx y y x

son iguales.

Teorema. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Si f es una funcin en ( , )x y tal que xyf y yxf son continuas en un disco abierto

R , entonces, para todo ( , )x y en R ,

2 2( , ) ( , )f x y f x y

x y y x

Diferenciales



Definicin de diferencial total

Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y , entonces las

diferenciales totales de las variables independientes son dx x y dy y

y la diferencial total de la variable dependiente z es

( , ) ( , )x yz z

dz dx dy f x y dx f x y dyx y

Esta definicin puede extenderse una funcin de tres o ms variables.

Ejemplo. Hallar la diferencial total

2 32 ; (1,1), (0.99,1.02)z x y P Q

Aplicando la frmula de de diferencial total:

( , ) ( , )x yz z

z dx dy f x y dx f x y dyx y

3 2 2

3 2 2

4 , 6

0.99 1 0.1, 1.02 1 0.02

4 6

z zxy x y

x y

dx dy

dz xy dx x y dy

Evaluamos el diferencial total de la funcin en (1,1)

2 2 24(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) (0.02) 0.08dz

Diferenciabilidad



Definicin. Una funcin f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )x y si z

puede expresarse en la forma

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y

Donde 1 2 0y cuando ( , ) (0,0)x y . La funcin f es diferenciable en una

regin R si es diferenciable en todo punto de R .

Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad

Si f es una funcin en ( , )x y , para la que x yf y f son continuas en una regin

abierta R , entonces f es diferenciable en R .

Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad

Si una funcin en ( , )x y es diferenciable en 0 0( , )x y , entonces es continua en

0 0( , )x y .

Reglas de la cadena para funciones de varias variables

Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente

Sea ( , )w f x y , donde f es una funcin derivable de x e y . Si ( ), ( )x g t y h t ,

donde g y h son funciones derivables de t , entonces w es una funcin

diferenciable de t , y

dw w dx w dy

dt x dt y dt

Ejemplo 1. Determine dw

dt mediante la regla de la cadena.



2 2

2 2

; cos ,

2 , 2 ; , cos

w x y xy x t y sent

dw w dx w dy

dt x dt y dt

w w dx dyxy y x xy sent t

x y dt dt

Sustituyendo cada derivada en la frmula tenemos:

2 2(2 )( ) ( 2 )cosdw

xy y sent x xy tdt

Ahora sustituimos a x e y por su equivalente para poner el resultado en funcin

de t

2 2

2 2

2 2

(2cos ) (cos 2cos )cos

( 2cos ) (cos 2cos )cos

2 cos 2

( 2 ) (cos 2 )cos

dwtsent sen t sent t tsent t

dt

dwtsent sen t sent t tsent t

dt

sent t sen t

dwsen t sen t sent t sen t t

dt

Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes

Sea ( , )w f x y , donde f es una funcin derivable de x e y . Si ( , ), ( , )x g s t y h s t

son tales que las derivadas parciales de primer orden , , x x y y

ys t s t

, existen, y

estn dadas por

w w x w y

s x s y s

y

w w x w y

t x t y t

Ejemplo 2. Hallar w

s

y

w

t



2 2 , cost,

~ ( ) ~ ( )

2 , 2 , cos , ~ (2)

t

t

w x y x s y se

w w x w y w w x w ya b

s x s y s t x t y t

w w x yx y t e

x y s s

Sustituyendo (2) en (a)

2 (cos ) 2 ( )tw

x t y es

Sustituyendo a x y a y por su valor:

2 2

2 cost(cos ) 2 ( )

2 cos 2

t t

t

ws t se e

s

ws t se

s

Ahora derivemos respecto a t :

~ ( )w w x w y

bt x t y t

,

~ (3)

2 ( ) 2 ( )

t

t

x yssent se

t t

wx ssent y se

s

Sustituyendo (3) en (b)

2 2 2

2 cos ( ) 2 ( )

2 cos ) 2

t t

t

ws t ssent se se

s

ws tsent s e

s



Extremos de funciones de dos variables

Definicin de extremos relativos

Sea f una funcin definida en una regin R que contiene 0 0( , )x y .

1. La funcin f tiene un mnimo relativo en 0 0( , )x y si

0 0( , ) ( , )f x y f x y

para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene 0 0( , )x y .

2. La funcin f tiene un mximo relativo en 0 0( , )x y si

0 0( , ) ( , )f x y f x y

para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene 0 0( , )x y .

Teorema del valor extremo

Sea f una funcin continua de dos variables x e y y definida en una regin

acotada cerrada R en el plano xy .

1. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mnimo.

2. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mximo.

Definicin de los puntos crticos

Sea f definida en una regin abierta R que contiene 0 0( , )x y . El punto 0 0( , )x y es

un punto crtico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:

0 0 0 01. ( , ) 0 ( , ) 0x yf x y y f x y

0 0 0 02. ( , ) ( , )x yf x y o f x y no existe.



Teorema. Los extremos relativos se presentan solo en los puntos

crticos

Si f tiene un extremo relativo en 0 0( , )x y en una regin abierta R , entonces es

un punto crtico de f .

El criterio de las segundas derivadas parciales

Los puntos crticos de una funcin de dos variables no siempre son mximos o

mnimos. Algunos puntos crticos dan puntos sillas que no son ni mximos ni

mnimos.

Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea f una funcin con segundas derivadas parciales continuas en una regin

abierta que contiene un punto (a,b) para el cual

( , ) 0 y ( , ) 0x yf a b f a b

Para buscar los extremos relativos de f , considrese la cantidad

2

( , ) ( , ) ( , )xx yy xyd f a b f a b f a b

Entonces

1. 0 ( , ) 0, min ( , ).

2. 0 ( , ) 0, ( , ).

xx

xx

Si d y f a b entonces f tiene un m o en a b

Si d y f a b entonces f tiene un mximo en a b

3. 0, ( , , ( , )) .

4. 0 .

Si d entonces a b f a b es un punto silla

Si d el criterio no lleva a ninguna conclusin

Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el

determinante 2x2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

xx xy

xy yy

f a b f a b

f a b f a b



Ejemplo 3. Determine todos los puntos crticos. Indique si cada uno de estos

puntos da un mximo local o un mnimo local o si es un punto silla.

3 3

2

2

2

2

2

( , ) 6

1. :

( , ) 3 6

( , ) 3 6

( , ) 0, ( , ) 0

3 6 0

3 6 0

2. Re det min cos :

3

x

y

x y

f x y x y xy

Derivamos a la funcin respecto de x e y

f x y x y

f x y y x

Igualamos a f x y f x y

x y

y x

solvemos el sistema para er ar los puntos crti

x

2

22 4

4 4 3

3

3

62

33 6 0 6 0

2 4

12 24 0 2 0, ( 2) 0

0, 2, :

40,

2

xy y

x xx x

x x x x x x

x x entonces

y y

33

cos :

4(0,0) 2,

2

3. :

( , ) 6

( , ) 6 , ( , ) 6

xy

xx yy

Los puntos crti son

y

Halllemos las derivadas de segundo orden

f x y

f x y x f x y y

4. cos, :

(0,0) 6(0) 0, (0,0) 6(0) 0

(0,0) 6

xx yy

xy

Evaluemos las derivadas en los puntos crti para luego hallar el valor de d

f f

f

0 -636

-6 0d



3 3

3

3 3 3 34 4

2 2

3 4

2

3

3

0

(0,0) 0

. (0,0,0)

2, 6 2, 2, 3 4

2, 6

6 2 - 60

-6 3 4

0,

xx yy

xy

Como d existe un punto silla

f

El pto silla

f f

f

d

d no hay conclusin

Multiplicadores de Lagrange

Teorema de Lagrange

Sean y gf funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que

f tiene un extremo en un punto 0 0( , )x y sobre la curva suave de restriccin o

ligadura ( , )g x y c . Si 0 0( , ) 0g x y , entonces existe un nmero real tal que

0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x y

Mtodo de los multiplicadores de Lagrange

Si y gf son funciones que satisfacen las hiptesis del teorema de Lagrange, y

sea f una funcin que tiene un mnimo o un mximo sujeto a la restriccin

( , )g x y c . Para hallar el mnimo o el mximo de f , seguir los pasos descritos a

continuacin:

1. Resolver simultneamente las ecuaciones ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y y g x y c

resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:



( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

x x

y y

x y

x y

f g x y

f g x y

g x y c

2. Evaluar f en cada punto solucin obtenido en el primer paso. El valor

mayor da el mximo de f sujeto a la restriccin ( , )g x y c , y el valor

menor da el mnimo de f sujeto a la restriccin ( , )g x y c .

Ejemplo. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los extremos de

la funcin sujeto a la restriccin 2 2 1yx .

2 2

2

3

1 . ( , )

2 . :

( , ) 2 3 ~ (1)

( , ) 3 2

( , ) 2 ( , ) 2

:

( , ) ( ,

( , )

1er

do

x

y

x y

x x

xy y

Paso Sea g x y

Paso Hallamos las derivadas parciales de f y g

x y x y

f x y x y

g x y x y g x y y

Construmos el sistema de ecuaciones

x y g x y

f x y x

x y

f

f

2 2

)

( , ) ( , )

( , )

2 3 2 ~ (1)

3 2 2 ~ (2)

1 ~ (3)

y yf x y g x y

g x y c

x y x

x y y

x y

2 3 3 2~ (4), ~ (5)

2 2

(4) (5) :

2 3 3 2

2 2

. (1) (2) :

x y x y

x y

Igualamos las ecuaciones y

x y x y

x y

Despejando de las ecs y



,

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

1 12 2

1 1,

2 2

4 6 6 4

6 6

. (3) :

1 2 1

1 1 1 1 ,

2 2 2 2

:

1 1 1 1 1 3 1 53

2 2 2 22 2 2 2

xy y x xy

y x y x

Sust a y por su valor en

x x x

x x El punto crtico es

Evaluamos a f en

f

5

2Mx

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