Materia: calculo II

Docente: ING. JESUS LIMBERT CLAROS CLAROS

Coordinador: CORONEL JUSTINIANO

Fecha: 08/08/2011

𝒛 = 𝒇(𝒙,𝒚)

Superficie

Curvas de nivel

Geometría analítica plana: rectas, circunferencia, parábolas, elipse e hipérbola

Geometría analítica tridimensional: planos, superficies

Calculo diferencial e integral de una variable independiente

Calcular el dominio de una función de varias variables

Calcular los limites reiterados de una función de varias variables

Definir las derivas parciales de una función de varias variables independientes

Proporcionar una interpretación geométrica de las derivadas parciales

Sea la función = ( , , , , ) donde ( , , , , ) son las variables

independientes y la variable dependiente. Se define como función real, si para cada

valor de las variables independientes le corresponde un solo valor real de la variable

dependiente

Funciones explicitas

Se denominan funciones explicitas a aquellas que tienen despejada la variable dependiente

1) = ( , ) =

, =

2) = ( , , , , ) =

, , , , =

Ejemplo:

=√ ( )

√

( )

Pre-requisitos

Objetivos

DEFINICION

Funciones implícita

Se denominan así a las funciones en las que la variable dependiente no está despejada. En

algunos casos es imposible despejarla

1) ( , , ) = =

, =

) ( , , , , , ) = =

, , , , =

Ejemplo:

√

=

Se denomina así al conjunto de pares ordenados ( , ) que representa la extensión de las

superficies en el plano , para el cual la función tiene un único valor real de z.

Geométricamente es una región en el plano , que resulta de la proyección ortogonal de la

superficie = ( , )

= * , ( , )⁄ , ( , ) +

= ( , )

( , ) ( , )

= √ ( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , ( , )

= , ( , )- ( , )

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE 2 VARIABLES

INDEPENDIENTES

Condiciones para determinar el dominio de una función de 2 variables independientes

Ejemplo 1.- Calcular el dominio de la siguiente función

= {( , , ) = ( )

√ , ( , ) ⁄ }

Solucion:

Calcular los dominios parciales

Analizando para ( )

Analizando √

Por estar en el denominador no pude ser igual

Intersectar los dominios parciales

= * , ( ) ( ) ⁄ ( , ) +

Ejemplo.- se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos

de materiales de modo que contenga un volumen de .

El material para la tapa y el fondo cuesta , y el

material para la parte delantera y trasera y el

material para las otras dos caras cuesta .

a) obtenga un modelo matematico que exprese el costo total

del material como una funcion de las dimensiones de las

partes delantera y trasera . Determine el dominio de la

funcion

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

b) ¿Cual es el costo del material si las dimensiones de las

partes delanteras y trasera son y , donde

es la altura de la caja?

Solucion:

Realizar un esquema y asignar variables

Sea =

=

=

=

=

Plantear el modelo matematico

= = =

1)

= ( ) ( ) ( ) = 2)

Reemplazando 1) en 2)

= ( ) (

)

a) ( , ) = ( ) (

) ; ,

b) = , =

( , ) = ( ) (

)

( , ) = ( ) ( )( ) (

)

( , ) =

Conclusion: El costo del material es de cuando las dimensiones son y

𝑥

𝑦

𝑧

La Imagen o recorrido es el conjunto de varoles reales de , tal que ( , )

Geométricamente es la altura de la superficie, que resulta de la proyección ortogonal de la

superficie = ( , ) sobre el eje z

= * = ( , )⁄ ( , ) +

El límite de la función = ( , ) se define como un único número real cuando el punto

(x, y) tiende al punto (a, b)

( , ) ( , )

( , ) =

( , ) =

Teorema:

Si la función 𝒇 tiene limites diferentes conforme (𝒙,𝒚) se aproxima a (𝒙𝟎,𝒚𝟎) a través

de dos conjuntos diferentes de puntos que tienden a (𝒙𝟎,𝒚𝟎) como un punto de

acumulación, entonces ∄ m𝑥 0𝑦 0

𝑓(𝑥, 𝑦)

LIMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

DOMINIO DE IMAGEN (IMAGEN) DE UNA FUNCIÓN DE DOS

VARIABLES INDEPENDIENTES

Ejemplo: Demuestre que el = m 0 0

no existe

Solución:

La función está definida en todos los puntos de los

Sea el conjunto de todos los puntos de cualquier recta que pase por el origen

= * , = ( , ) ⁄ +

= m 0 0

= m 0

( )

( ) = m 0

=

= m 0

( )= m 0

( )=

( )

Sea el conjunto de todos los puntos de la parábola que pase por el origen

= * , = ( , ) ⁄ +

= m 0 0

= m 0

( )

( ) = m 0

=

= m 0

( )= m 0

( )=

=

Debido a que m 0 0

m 0

0

(( , ) ) (( , ) )

Entonces ∄ m 0 0

Definición: la función es continua en el punto ( , ) si se cumple

Ejemplo.- supóngase que m( , ) ( , ) ( , ) = . ¿Qué puede decirse con respecto al

valor de ( , ) ? ¿Y si es continúa?

Solución:

Aplicando la definición de función continua

( , ) = ( , ) ( , )

( , )

( , ) =

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

INDEPENDIENTES

𝐟(𝐚,𝐛) = 𝐀

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚) (𝒂,𝒃)

𝒇(𝒙,𝒚) = 𝑨

𝐟(𝐚,𝐛) = 𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲) (𝐚,𝐛)

𝐟(𝐱, 𝐲)

∴ 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐟(𝐱, 𝐲)𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 (𝐚,𝐛)

I) La función está definida en ese punto

II) Existe el límite de la función en el punto, es decir el límite es un

único número real

III) La primera y la segunda condición son iguales

Ejemplo.- Explique porque cada una de las funciones es continua o discontinua

a) La temperatura en el exterior como función de la longitud , latitud y el tiempo

b) Elevación (altura sobre el nivel del mar) en función de la longitud , latitud y el tiempo

c) El costo de un viaje de taxi en función de la distancia recorrida y el tiempo

Solución:

La temperatura externa como función de la longitud, latitud y el tiempo es

continua. Porque para pequeños cambios en la longitud, latitud o el tiempo se

producen pequeños cambios en la temperatura, la temperatura no salta de un

valor a otro abruptamente

La elevación no es necesariamente continua. Si pensamos en un acantilado

con una bajada escarpada repentina, un pequeño cambio en la longitud o la

latitud puede producir cambios abrumadores en la elevación.

La temperatura puede saltar de un valor a otro abruptamente

El costo de un viaje de taxi en función de la distancia recorrida y el tiempo es

generalmente discontinuo. El costo normalmente aumenta en saltos, para

pequeños cambios en el recorrido o en el tiempo pueden producir un gran

salto en el costo