Upload
others
View
23
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
1. Representa gráficamente las siguientes parábolas:
a) 32)( 2 ++= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 12
2
2−=⇒
−=⇒−= xx
a
bx
3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(
12
−⇒
=+−=+−⋅+−=−=
−=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=++=
0
322
y
xxy
realsolución tieneno2
12420322 ⇒
−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 30
322
=⇒
=++=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 4− 3− 2− 1− 0 1 2
y 11 6 3 2 3 6 11
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
b) 44)( 2 +−= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 22
4
2=⇒=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,2( 04844)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=+−=+⋅−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=+−=
0
442
y
xxy
2
2
2
04
2
161640442
=
==±=−±=⇒=+−
x
x
xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,2(
Eje OY: 40
442
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )4,0(
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 9 4 1 0 1 4 9
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
c) 43)( 2 +−= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 5,12
3
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
⇒
==+−=+
⋅−
=
=
==
4
7,
2
3
75,14
74
2
9
4
94
2
33
2
3
2
3
5,12
3
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=+−=
0
432
y
xxy
realsolución tieneno 2
16930432 ⇒
−±=⇒=+− xxx ⇒ No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 40
432
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )4,0(
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2
3 2 3 4
y 8 4 2 4
7 2 4 8
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
d) 6)( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba. 2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
e) 106)( 2 ++= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 32
6
2−=⇒
−=⇒−= xx
a
bx
3) Vértice )1,3( 11018910)3(6)3()3(
32
−⇒
=+−=+−⋅+−=−=
−=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=++=
0
1062
y
xxy
realsolución tieneno2
4036601062 ⇒
−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 100
1062
=⇒
=++=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )10,0(
5) Tabla de valores
x 6− 5− 4− 3− 2− 1− 0
y 10 5 2 1 2 5 10
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
f) 5)( 2 += xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba. 2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
X 2− 1− 0 1 2
Y 4 1 0 1 4
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
g) xxxf 2)( 2 +−=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 112
2
2=⇒=
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,1( 121)1(2)1()1(
12
Vfy
x
v
v⇒
=+−=⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=+−=
0
22
y
xxy
==
⇔=+−⋅⇔=+−2
00)2(022
x
xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,2(
Eje OY: 00
22
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )0,0(
5) Tabla de valores
X 1− 0 0 1 2 3 4
Y 8− 3− 0 1 0 3− 8−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
h) 1)( 2 ++= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 2
1
2
1
2−=⇒
−=⇒−= xx
a
bx
3) Vértice
−⇒
==+−=+
−+
−=
−=
−=−=
4
3,
2
1
75,04
31
2
1
4
11
2
1
2
1
2
1
5,02
1
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=++=
0
12
y
xxy
realsolución tieneno2
411012 ⇒
−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 10
12
=⇒
=++=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )1,0(
5) Tabla de valores
X 3− 2− 1− 2
1− 0 1 2
Y 7 3 1 4
3 1 3 7
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
i) 2)1(3)( −= xxf
� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
23xy =
1) ∪⇒>= cóncava03a
2) Eje de simetría: 006
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 12 3 0 3 12
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
j) 96)( 2 −+−= xxxf
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 32
6
2=⇒
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(
32
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
962
y
xxy
3
3
2
06
2
363660962
=
==
−±−=
−−±−=⇒=−+−
x
x
xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(
Eje OY: 90
962
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )9,0( −
5) Tabla de valores
X 0 1 2 3 4 5 6
Y 9− 4 1 0 1− 4− 9−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
k) xxxf 5)( 2 −=
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría 2
5
2=⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−=
⋅−
=
=
==
4
25,
2
5
25,64
25
2
25
4
25
2
55
2
5
2
5
5,22
5
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−=
0
52
y
xxy
==
⇔=−⋅⇔=−5
00)5(052
x
xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(
Eje OY: 00
52
=⇒
=−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )0,0(
5) Tabla de valores
x 0 1 2 2
5 3 4 5
y 0 4− 6− 4
25− 6− 4− 0
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:
a) x
xf3
)( −=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
b) 1
3)(
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
c) 41
3)( +
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 4 unidades hacia arriba.
El estudio de la función x
y3= lo hemos hecho en el apartado b)
d) 42
1)(
−−=
xxf
• }2{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• Puntos corte con el eje OX
=−
=
042
1
yx
y realsolución tieneno 0
42
1⇒=
−⇒
x
Luego, no hay puntos de corte con el eje OX
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
• Puntos de corte con el eje OY
=−
=
042
1
xx
y
4
1
402
1 −=−⋅
=⇒ y
Luego, el punto de corte con el eje OY es
−4
1,0
• 2=x asíntota vertical
+∞==
−∞==∞==
+→
−→
→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
0
1)(lim
2
2
2xf
xfxf
x
x
x
≈
≈+
−
01,22
99,12
• 0=y asíntota horizontal
−
−∞→=
∞−= 0
1)(lim xf
x (la gráfica está por debajo de la asíntota)
+
+∞→=
∞+= 0
1)(lim
`xf
x (la gráfica está por encima de la asíntota)
• Tabla valores (damos valores a ambos lados de la asíntota vertical 2=x )
x 0 1 5,1 5,2 3 4
y 4
1− 2
1− 1− 1 2
1
4
1
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
e) 5
3)(
+=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.
El estudio de la función x
y3= lo hemos hecho en el apartado b)
f) 13
53)(
+−−=x
xxf
•
−ℜ=3
1)( fDom
• Puntos corte con el eje OX
=+−
−=
013
53
yx
xy
3
5053 0
13
53 =⇒=−⇒=+−
−⇒ xx
x
x
Luego, el punto de corte con el eje OX es
0,
3
5
• Puntos de corte con el eje OY
=+−
−=
013
53
xx
xy
5−=⇒ y
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Luego, el punto de corte con el eje OY es )5,0( −
• 3
1=x asíntota vertical
+∞=−=
−∞=−=
∞=−=
−→
+→
→+
−
0
4)(lim
0
4)(lim
0
4)(lim
3
1
3
1
3
1
xf
xf
xf
x
x
x
≈
≈
+
−
4,03
1
3,03
1
• 1−=y asíntota horizontal
−
−∞→−=⇒−=
+−⋅−−−⋅=⇒−= 1)(lim...01,1
1)100(3
5)100(3)(100 xfxfx
x (la gráfica está por debajo de la asíntota)
+
−∞→−=⇒−=
+⋅−−⋅=⇒= 1)(lim...98,0
1)100(3
5)100(3)(100 xfxfx
x(la gráfica está por encima de la asíntota)
• Tabla valores (damos valores a ambos lados de la asíntota vertical 3
1=x )
x 1− 0 25,0 5,0 1 2
y 2− 5− 17− 7 1
5
1−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2 −x
2
1+x
1
g) ⇒++
−=⇒+−= 2
1
3)(
1
12)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
3 −=
izquierda la a unidad 1 T.H.
arriba unidades 2 T.V.
3
22
12
−−−−
x
x
La función x
y3
−= la hemos representado en el apartado a)
h) ⇒+−
=⇒−+= 1
2
6)(
2
4)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
6 =
derecha la a unidades 2 T.H.
arriba unidad 1 T.V.
6
2
4
+−+
x
x
� x
y6=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
• 0=x es asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
6lim
6lim
0
0
• 0=y es asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
06
lim
06
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
X 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
Y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
3. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:
a) xxf 4)( −=
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores
x 0 4
1 1 4
Y 0 1− 2− 4−
Observa, además, que xxf 4)( −= es la simétrica de xy 4= respecto al eje OX.
A su vez, xy 4= proviene de la función xy = a la que se le ha efectuado una contracción horizontal.
b) 2112)( −−=−+−= xxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la
derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores X 0 1 4 9
Y 0 1 2 3
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
c) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda
y verticalmente 4 unidades hacia arriba
� xy −=
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores X 0 1 4 9
Y 0 1− 2− 3−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
d) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 7 unidades hacia arriba
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores X 0 1 4 9
Y 0 1 2 3
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:
a) x
xf
=3
1)(
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
b) xxf 2)( =
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
• No corta al eje OX
Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
c) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
d) x
xf−
=3
1)( )(xf→ es la simétrica de
x
y
=3
1 respecto al eje OY
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
e) 13
1
3
11)( +
−=
−=xx
xf )(xf→ es la función x
y
−=3
1 trasladada verticalmente 1 unidad hacia
arriba e x
y
−=3
1es la simétrica de
x
y
=3
1respecto al eje OX
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
g) 54)( +−= xxf )(xf→ es la función xy 4−= trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba e xy 4−= es la simétrica de xy 4= respecto al eje OX
� xy 4=
• ℜ== )4( xyDom
• ),0()4(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 2− 1− 0 1 2
y 16
1
4
1 1 4 16
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
h) 32)( 1 −−= +xxf )(xf→ es la función xy 2−= trasladada verticalmente 3 unidades hacia abajo y
horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy 2−=
• ℜ=−= )2( xyDom
• )0,()2(Re −∞=−= xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0( −
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( −
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1− 4
1− 2
1− 1 2− 4− 8−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
5. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:
a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
b) 1log)(3
1 −= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
No corta el eje OY
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=
+→)(lim
0xf
x
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
c) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
y verticalmente 3 unidades hacia arriba
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
d) 1)1(log)(3
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y
horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
e) xxf 4log)( =
• ),0()log( 4 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 4 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 16
1
4
1 1 4 16
y 2− 1− 0 1 2
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
f) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
g) 1)1(log)( 2 ++−= xxf )(xf→ es la función xy 2log−= trasladada verticalmente 1 unidad hacia arriba
y horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy 2log−=
• ),0()log( 2 +∞=−= xyDom
• ℜ=−= )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3 2 1 0 1− 2− 3−
h) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY
• xy 2log=
),0()log( 2 +∞== xyDom
ℜ== )log(Re 2 xyc
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=
+→)(lim
0xf
x
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
6. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:
Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,
xy cos= ò tgxy = .
� senxy =
• ℜ== )( senxyDom
• ]1,1[)(Re −== senxyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 0 1 0 1− 0
� xy cos=
• ℜ== )cos( xyDom
• ]1,1[)cos(Re −== xyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 1 0 1− 0 1 � tgxy =
•
Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;
2)12()(π
• ℜ== )(Re tgxyc
• Periódica de periodo π=T
• 2
π−=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
−→
−→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
2
π=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
→
→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
x +
−2
π
4
π− 0 4
π
−
2
π
y ∞− 1− 0 1 ∞+
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.
b)
−−=2
)(π
xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2
π a la derecha.
senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
d)
+=2
cos)(π
xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2
π unidades a la izquierda
e)
+−=2
cos)(π
xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX
f) →+
+−=
+−= 32
cos2
cos3)(ππ
xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3
unidades hacia arriba.
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba
u)
−−=2
cos)(π
xxf es la simétrica de la función
−=2
cosπ
xy respecto al eje OX.
−=2
cosπ
xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2
π unidades a derecha.
i) →
−=2
)(π
xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2
π a la derecha
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
j) →
+=4
)(π
xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4
π a la izquierda
m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su
recorrido ]2,2[)(Re −=fc )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]2,2[ Recorrido
2 2)(
πTxsenxf
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se modifica
su periodo ππ ==2
2T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]1,1[ Recorrido
2)(πT
xsenxf
r) →
⋅=2
3)(x
senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica
su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4
21
2 ==T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]3,3[ Recorrido
4 2)(
πTxsenxf
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
s) 1 2)( −⋅= xsenxf
� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido
( ]2,2[)2(Re −== senxyc )
� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia
abajo ( ]1,3[)(Re −=fc )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→−⋅=]1,3[ Recorrido
21 2)(
πTxsenxf
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
n) →⋅= xxf cos2
1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica
su )2
1,
2
1)(Re
−=fc
−==
→=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅=
2
1,
2
1 Recorrido
2
cos2
1)(
πT
xxf
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica
su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3
2 π=T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅=
]2,2[ Recorrido3
2) 3cos(2)(
πT
xxf
q) →⋅−= )2( cos2
1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se
modifica su recorrido
−=2
1,
2
1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo
ππ ==2
2 T )
−==
→−=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅−=
2
1,
2
1 Recorrido
) 2cos(2
1)(
πT
xxf
A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
7. Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) ℜ=⇒
≤<<−−
−≤−= )(
0
02 1
2 13
)(2
fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción 13 →−= xy
x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−
• linealfunción 1 →−= xy
x Ο− 2 1− Ο0
y 3 2 1
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→
x •0 1 2
y 0 1 4
b) ),3()0,()(
3 1
04 32
4 5
)( 2 +∞∪−∞=⇒
><≤−+−−
−<−= fDom
xsi
xsixx
xsi
xf
• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy
• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy
convexa01 →<−=a
43213)1(2)1(
12
2
2Vértice2
=++−=+−⋅−−−=
−=−
=−=→
y
a
bx
Luego Vértice )4,1(−→
x •− 4 3− 2− 1− Ο0
y 5− 0 3 4 3
• constantefunción 3 si 1 →>= xy
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
c) )(
4 1
42
20 1
0
)(2
ℜ=⇒
≥<≤−<≤−
<
= fDom
xsi
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción →= xy
x Ο0 1− 2−
y 0 1− 2−
• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy
cóncava01 →>=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice −⇒
−=
==−=→
ya
bx
x •0 1 Ο2 y 1− 0 3
• linealfunción →−= xy
x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−
• constantefunción 4 si 1 →≥= xy
d) ℜ=⇒
>
≤= )(
0 1
0 1)( fDom
xsix
xsixf
• constaantefunción 0 si 1 →≤= xy
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
No corta a los ejes coordenados
0=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
Tabla valores
x 5,0 1 2 4
y 2 1 5,0 25,0
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
e) }2{)(
5 1
51 2
1
1 1
)(
2
−ℜ=⇒
≥+
<<−
≤+−
= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy
convexa01 →<−=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
=
=−
=−=→
ya
bx
x •1 0 1− 2−
y 0 1 0 3−
• hipérbola 2
1 →−
=x
y
}2{)( −ℜ=fDom
2=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
Tabla valores
• linealfunción 1→+= xy
x •5 6 7
y 6 7 8
x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5
y 1− 2− 2 1
5,0 3
1
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
f) }0{)(
1 2
10 ln
0 1
)( −ℜ=⇒
≥−<<
<
= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
No corta a los ejes coordenados
0=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
Tabla valores
• xy ln=
),0()( +∞=fDom
0=x asíntota vertical por la derecha (
−∞=+→
)(lim0
xfx
)
Tabla valores
x +0 5,0 Ο1
y ∞− 7,0−≅ 0
• linealfunción 2→−= xy
x •1 2 3
y 1− 0 1
x 5,0− 1− 2− 4−
y 2− 1− 5,0− 25,0−
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
g) 34)( 2 −+−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 22
4
2=
−−=⇒
−= xa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
342
y
xxy
==
⇔−
±−=−
−±−=⇔=−+−3
1
2
24
2
121640342
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son
)0,1( y )0,3(
Eje OY: 30
342
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0( −
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8− 3− 0 1 0 3− 8−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
h) 45)( 2 −−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría 5,22
5
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
⋅−
=
=
=
4
41,
2
5
25,104
414
2
55
2
5
2
5
5,22 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
452
y
xxy
−≅−=
≅+=⇔±=
−+±=⇔=−−
7,02
415
7,52
415
2
415
2
162550452
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje
OX son
+0,
2
415 y
−0,
2
415
Eje OY: 40
452
−=⇒
=−−=
yx
xxy
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
El punto de corte con el eje OY es )4,0( −
5) Tabla de valores
x 0 1 2 2
5 3 4 5
y 4− 8− 10− 4
41− 10− 8− 4−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
i) xxf ln)( =
1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
j) 42)( −= xxf
1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada
verticalmente 4 unidades hacia abajo)
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
k) 1
2)(
−=
xxf
1º) Representamos la función 1
2
−=
xy , que a su vez, es la función
xy
2= trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha
� x
y2=
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
8. Dadas las siguientes funciones:
a) 54)( 2 +−= xxxf
b) 34)( 2 −+−= xxxf
c)
≥+<≤
<≤−+
=3 12
30 1
02 2
1
)(
xsix
xsi
xsix
xf
d)
≥+
<<−
≤+
=
5 1
51 2
1
1 1
)(
2
xsix
xsix
xsix
xf
Represéntalas gráficamente y estudia: 1) Si son inyectivas, suprayectivas y biyectivas 2) Características principales ( dominio, recorrido, signo, puntos de corte con los ejes, simetría,
periodicidad, acotación, monotonía, máximos y mínimos relativos, curvatura y puntos de inflexión) 3) Continuidad. Halla su dominio de continuidad y clasifica sus discontinuidades (en caso de tenerlas).
a) 54)( 2 +−= xxxf
1)
• ∪⇒>= cóncava01a
• Eje de simetría 22
4
2=⇒=⇒
−= xxa
bx
• Vértice )1,2( 15)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=+⋅−==
=
• Puntos de corte con los ejes
FUNCIONES ELEMENTALES
Eje OX:
=+−=
0
542
y
xxy
realsolución tieneno2
201640542 ⇒
−±=⇐=+− xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 50
542
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )4,0(
• Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 10 5 2 1 2 5 10
� La función no es inyectiva, ya que hay valores distintos del dominio con la misma imagen, por ejemplo,
2)1( =f
2)3( =f
� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠+∞= ),1[)(Re fc
� Si no es inyectiva ni suprayectiva, obviamente, no es biyectiva.
2)
• ℜ=)( fDom
• ),1[)(Re +∞=fc
FUNCIONES ELEMENTALES
• Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: )5,0(
• Signo de )(xf )( 0)( fDomxxf ∈∀>→
• No es simétrica
• No es periódica
• No tiene asíntotas
• )2,( si edecrecient nteestrictame es )( −∞∈xxf
),2( si creciente nteestrictame es )( +∞∈xxf
• Mínimo relativo y absoluto: )1,2(
No tiene máximos relativos ni absolutos.
• dominiosu en todo cóncava es )(xf
• No está acotada superiormente.
Está acotada inferiormente.
]1,( inferiores cotas de Conjunto −∞=
1 Ínfimo = .
1 absoluto Mínimo =
3) ℜ=dcontinuida de Dominio
b) 34)( 2 −+−= xxxf
1)
1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy
• ∩⇒<−= convexa01a
• Eje de simetría 22
4
2=
−−=⇒
−= xa
bx
• Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
• Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
342
y
xxy
=−
±−=−
−±−=⇐=−+−3
1
2
24
2
121640342 xxx ⇒ Puntos de corte con el eje OX )0,1(
)0,3(
FUNCIONES ELEMENTALES
Eje OY: 30
342
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0( −
• Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8− 3− 0 1 0 3− 8−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
� La función no es inyectiva, ya que hay valores distintos del dominio con la misma imagen, por ejemplo,
0)1( =f
0)3( =f
� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠+∞= ),0[)(Re fc
� Si no es inyectiva ni suprayectiva, obviamente, no es biyectiva.
2)
• ℜ=)( fDom
• ),0[)(Re +∞=fc
• Puntos de corte con el eje OX: )0,1( )0,3(
Puntos de corte con el eje OY: )3,0(
• Signo de )(xf )( 0)( fDomxxf ∈∀≥→
FUNCIONES ELEMENTALES
}3,1{ si 0)( −ℜ∈> xxf
3 ò 1 si 0)( === xxxf
• No es simétrica
• No es periódica
• No tiene asíntotas
• )3,2()1,( si edecrecient nteestrictame es )( ∪−∞∈xxf
),3()2,1( si creciente nteestrictame es )( +∞∪∈xxf
• Mínimo relativo y absoluto: )0,1( y )0,3(
No tiene máximos relativos ni absolutos.
• )3,1( si convexa es )( ∈xxf
• ),3()1,( si cóncava es )( +∞∪−∞∈xxf
• No está acotada superiormente.
Está acotada inferiormente.
]0,( inferiores cotas de Conjunto −∞=
0 Ínfimo = .
0 absoluto Mínimo =
c)
≥+<≤
<≤−+
=3 12
30 1
02 2
1
)(
xsix
xsi
xsix
xf
1)
• linealfunción 2
1 →+= xy
x •− 2 1− ο0
y 0 2
1 1
• constantefunción 30 si 1 →<≤= xy
• linealfunción 12 →+= xy
x •3 4 5
y 7 9 11
FUNCIONES ELEMENTALES
� La función no es inyectiva, ya que hay valores distintos del dominio con la misma imagen, por ejemplo,
)3,0[ 1)( ∈∀= xxf
� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠)(Re fc
� Si no es inyectiva ni suprayectiva, obviamente, no es biyectiva.
2)
• ),2[)( +∞−=fDom
• ),7[]1,0[)(Re +∞∪=fc
• Puntos de corte con el eje OX: )0,2(−
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
• Signo de )(xf )( 0)( fDomxxf ∈∀≥→
),2( si 0)( +∞−> xxf
2 si 0)( −== xxf
• No es simétrica
• No es periódica
• )3,0( si constante es )( ∈xxf
),3()0,2( si crece )( +∞∪−∈xxf
• No tiene extremos relativos
Mínimo absoluto: )0,2(−
No tiene máximo absoluto.
• dominiosu en todo lineal es )(xf
• No está acotada superiormente.
Está acotada inferiormente.
]0,( inferiores cotas de Conjunto −∞=
0 Ínfimo = .
0 absoluto Mínimo =
3)
),3()3,2[dcontinuida de Dominio +∞∪−=
3=x discontinuidad de de salto finito
FUNCIONES ELEMENTALES
d)
≥+
<<−
≤+
=
5 1
51 2
1
1 1
)(
2
xsix
xsix
xsix
xf
1)
• (parábola) cuadráticafunción 12 →+= xy
cóncava01 →>=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
=
==−=→
ya
bx
x •1 0 1− 2−
y 0 1 2 5
• hipérbola 2
1 →−
=x
y
}2{)( −ℜ=fDom
2=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
Tabla valores
• linealfunción 1→+= xy
x •5 6 7
y 6 7 8
� La función no es inyectiva, ya que hay valores distintos del dominio con la misma imagen, por ejemplo,
1)1( =−f
1)1( =f
� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠)(Re fc
� Si no es inyectiva ni suprayectiva, obviamente, no es biyectiva.
X Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5
Y 1− 2− 2 1
5,0 3
1
2)
• }2{)( −ℜ=fDom
•
+∞∪−−∞= ,3
1)1,()(Re fc
• Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
• Signo de )(xf
),2(]1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
)2,1( si 0)( ∈< xxf
• No es simétrica
• No es periódica
• 2=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
)(lim
)(lim
2
2
xf
xf
x
x
• )5,2()2,1()0,( si decrece )( ∪∪−∞∈xxf
),5()1,0( si crece )( +∞∪∈xxf
• Mínimo relativo: )1,0(
No tiene mínimo absoluto.
No tiene máximos relativos ni absolutos.
• )2,1( si convexa es )( ∈xxf
)1,2()1,( si cóncava es )( ∪−∞∈xxf
),5( si lineal es )( +∞∈xxf
• No está acotada (ni superior ni inferiormente)
3)
}5,2,1{dcontinuida de Dominio −ℜ=
2=x discontinuidad asintótica o de de salto infinito
1=x y 5=x discontinuidad de de salto finito
9. Dada la función 52)( 3 += −xxf halla )(1 xf − y represéntalas gráficamente en un mismo sistema de
referencia.
52)( 3 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba y
horizontalmente 3 unidades a la derecha
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
• Tabla de valores
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
?)(¿ 1 xf −
� Primero comprobaremos que 52)( 3 += −xxf es inyectiva, es decir, ])()( si[ babfaf =⇒=
bababfaf baba =⇒−=−⇒=⇒+=+⇒= −−−− 33225252)()( 3333
Por tanto, )(xf es inyectiva y existe )(1 xf −
� Ahora calculamos )(1 xf −
1) 5252)( 33 +=⇒+= −− xx yxf
2) 52 3 += −yx
3) 3)5(log)5(log35252 2233 +−=⇒−=−⇒−=⇒+= −− xyxyxx yy
4) 3)5(log)( 21 +−=− xxf
� COMPROBACIÓN
xxxfxffxff xx =+−=+=+=+−== −−+−−− 555252]3)5([log)]([))(( )5(log33)5(log2
11 22o
xxfxffxff xxx =+−=+=+−+=+== −−−−−− 3332log3)552(log]52[)]([))(( 32
32
3111o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer
cuadrantes)
10. Dada la función 2)1(log)(2
1 ++= xxf halla )(1 xf − y represéntalas gráficamente en un mismo sistema de
referencia.
2)1(log)(2
1 ++= xxf )(xf→ es la función xy2
1log= trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y
horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy2
1log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8 4 2 1 2
1
4
1
8
1
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
?)(¿ 1 xf −
� Primero comprobaremos que 2)1(log)(2
1 ++= xxf es inyectiva, es decir, ])()( si[ babfaf =⇒=
bababababfaf =⇒+=+⇒+=+⇒++=++⇒= 11)1(log)1(log2)1(log2)1(log)()(2
1
2
1
2
1
2
1
Por tanto, )(xf es inyectiva y existe )(1 xf −
� Ahora calculamos )(1 xf −
1) 2)1(log2)1(log)(2
1
2
1 ++=⇒++= xyxxf
2) 2)1(log2
1 ++= yx
3) 12
1
2
112)1(log2)1(log
22
2
1
2
1 −
=⇒
=+⇒−=+⇒++=−− xx
yyxyyx
4) 12
1)(
21 −
=−
−x
xf
� COMPROBACIÓN
xxxfxffxffxx
=−+=−
=−
=
++==
+−++−−− 111
2
11
2
12)1(log)]([))((
)1(log22)1(log
2
1111 2
1
2
1
o
xxfxffxffxxx
=+−=+
=+
+−
=
−
==−−−
−− 2222
1log222
2
1log1
2
1)]([))((
2
2
1
2
2
1
211
o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)