FUNCIONES ESPECIALESNo existe una definicin precisa para el trmino funciones especiales, pero podramos decir que muchas de ella aparecen con frecuencia en diversos problemas y que, debido a ello, poseen un nombre propio. Estas funciones especiales de la fsica Matemtica y dentro de ellas los polinomios ortogonales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales. Por tal razn, las tablas de integrales por lo general incluyen la descripcin de algunas funciones especiales, y las tablas de funciones especiales incluyen las integrales ms importantes; por lo menos, la representacin integral de las funciones especiales.El conocimiento de las propiedades bsicas de las funciones especiales de la fsica matemtica es relevante para el desarrollo cientfico y tecnolgico actual. Estas funciones han sido y son un rea fascinante dentro de las matemticas tanto puras como aplicadas. La primera familia de polinomios ortogonales se remonta a los trabajos de Legendre sobre gravitacin a finales del siglo XVIII y en 1769 Euler, ya haba considerado la hoy conocida funcin hipergeomtrica de Gauss. Sus aplicaciones se dan en varias ramas de la matemtica desde las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, anlisis clsico, anlisis numrico, teora de aproximacin, teora de probabilidad, estadstica, matemtica aplicada, prediccin lineal en series temporales, teora de filtros y procesado de seales etc. y aparecen de forma natural en numerosas ramas de la fsica y la tecnologa, como en conduccin del calor, sistemas de comunicacin, optoelectrnica, propagacin de ondas no-lineal, teora electromagntica, mecnica cuntica, mecnica de fluidos etc. Lenguajes computacionales de clculo analtico, por lo general reconocen a la mayora de las funciones especiales. Sin embargo, no todos los sistemas de clculo poseen algoritmos eficientes de evaluacin, especialmente en el plano complejo.Nomenclatura utilizada en las funciones especialesEn la mayora de los casos, se utiliza la siguiente notacin estndar para indicar una funcin especial: el nombre de la funcin (escrita en letra Roman), subndices, si es que tiene, se abre parntesis, y luego sus variables independientes, separados por comas. Esta notacin permite traducir las expresiones a lenguajes algortmicos sin ambigedades. Algunas funciones con nomenclaturas reconocidas internacionalmente son etc.A veces, una funcin especial puede tener varios nombres. El logaritmo natural puede ser llamado , segn cual sea el contexto. La tangente puede ser llamada (especialmente en la literatura rusa); arctangente puede ser llamado . La funcin de Bessel puede ser llamada ; y por lo general, las expresiones: , hacen referencia a la misma funcin.A menudo los subndices se utilizan para indicar argumentos, que se supone es un nmero entero. En algunos casos, el punto y coma (;) o an la barra invertida (\) son usados como separadores. Esto hace ms compleja la traduccin a lenguajes algortmicos y puede prestarse a confusiones.FUNCIONES HIPERGEOMETRICASDefiniciones preliminares:1. La Ecuacin hipergeomtrica:Son ecuaciones diferenciales de la forma:

(1)

Donde y .La ecuacin (1) se puede expresar de la forma:

(2)Aqu, y son puntos singulares ya que y no son funciones analticas en dichos puntos. Adems, siendo: y , entonces, es un punto singular regular, lo que nos lleva a buscar soluciones de la forma:

Donde es la raz de la ecuacin indicial: Reemplazando los valores de y se tiene: Si :Se obtiene una solucin que se conoce como funcin hipergeomtrica y se denota: o simplemente y est dada por:

Donde el smbolo de Pochhammer se define como:

Determinando el intervalo de convergencia:

Luego la funcin hipergeomtrica converge .Si :Asumiendo que , se obtiene una solucin de la forma:

Luego: para La cual es una funcin linealmente independiente con .As, si , entonces, la solucin general de ecuacin hipergeomtrica (1) alrededor de est dado por:,

2. La Funcin Hipergeomtrica:Si y , la funcin hipergeomtrica est dada por:

Pero, adems esta funcin admite una representacin integral.En efecto:Supongamos que ; entonces:

Tambin:

As:

Entonces:

Siendo adems:

Y:

Entonces de (3) y considerando y , se concluye:

3. Propiedades elementales de la Funcin Hipergeomtrica: Las propiedades que a continuacin se enuncian son consecuencia inmediata de la definicin de funcin hipergeomtrica como una suma de serie de potencias.a) Propiedad de simetra:

b) Para la derivada, se cumple:

c) Si , generalizamos:

Por comodidad denotaremos:

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Para , existen relaciones similares entre la funcin y cualquier par de funciones de la forma: las mismas que pueden ser probadas directamente usando la representacin en serie de o usando repetidamente las propiedades anteriores. Se enuncian a continuacin:k)

l)

m)

n)

4. Clculo del para :En efecto: Sea y considerando que la integral es uniformemente convergente en (probarlo!), entonces:

Observacin: La condicin podra restringir nuestros resultados, entonces, supongamos , ; y haciendo uso de la relacin:

Se obtiene:

Repitiendo el proceso y considerando ; por induccin se llega a demostrar que.

5. La Funcin Hipergeomtrica Confluente: Esta funcin juega un papel muy importante en la teora de funciones especiales y est definida para y para ; como:

Se observa que esta es una serie convergente con radio de convergencia infinito.En efecto

Del mismo modo, es fcil comprobar que:

Propiedades:a)

b) Si , se cumple:

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

6. Representacin de algunas funciones en trminos de funciones hipergeomtricaa) Si ; la funcin hipergeomtrica se reduce a un polinomio. Ejemplo:

b) Al desarrollar algunas funciones en serie de potencias, estas se pueden expresar en trminos de . Por ejemplo, si , se tiene:

.c) Relacionadas a la funcin hipergeomtrica confluente, se tiene:

7. Funciones hipergeomtricas generalizadasPara , con , y ; consideremos la siguiente serie de potencias:

Luego, analizando la convergencia de la serie se tiene:

Nota: a) la suma de la serie (1) se denomina funcin hipergeomtrica generalizada y se denota:

Luego, escribimos:

b) La funcin est definida para y las funciones estn definidas en todo cuando .Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4: La funcin es solucin de la ecuacin diferencial:

Donde denota al operador diferencial: , es decir:

Nota: Veamos algunos casos particulares.1. Si

2. Si y

FUNCIONES DE BESSEL Y ASOCIADASEstas funciones surgen al resolver la EDO

Ecuacin de Bessel de orden (1)donde es un parmetro real mayor o igual que cero.El mtodo que se utiliza para resolver este tipo de EDO se llama mtodo de Frobenius y es una mezcla entre el mtodo de serie de potencias y el mtodo para resolver la ecuacin de Euler, dado que la ecuacin de Bessel puede considerarse un hbrido" entre ambas EDO. Consiste en suponer soluciones del tipo:

Donde y los coeficientes , son constantes por determinar. En general, , por lo que, en principio, solo tiene sentido en , , tal como estamos suponiendo. Consideremos ; se observa que la serie de potencias que resulta es una EDO con coeficientes analticos, mientras que tiene que ver con la resolucin de la ecuacin de Euler.Con la solucin supuesta, verifiquemos la EDO (1), previamente calculamos:

Entonces, reemplazando en la ecuacin de Bessel y agrupando trminos convenientemente, se tiene:

Entonces:

Equivalentemente:

Con lo cual:

Por semejanza de polinomios se tiene: De (2): Si a) : y siendo (5)En la frmula de recurrencia (5), siendo , por lo que slo se tendr coeficientes con subndices pares; como se detalla:

En general: (6)Si hacemos:

b) : Siguiendo el procedimiento anterior y haciendo los clculos correspondientes, se enuncia la siguiente definicin:

LA FUNCIN DE BESSEL DE PRIMERA ESPECIE Y DE ORDEN Se define:

Donde y . LA FUNCIN DE BESSEL DE PRIMERA ESPECIE Y DE ORDEN Se define:

Donde y .

Nota: Utilizando criterios de convergencia, Fcilmente se puede comprobar, que las series y son convergentes; ms an, si la serie diverge en por las potencias negativas que tiene.Las soluciones y son linealmente independientes si y . As, la solucin general de la ecuacin Bessel de orden , est dada por:

, Si

Si y ; se tiene:

Del mismo modo, siendo , entonces:

As, si , entonces:

INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESSi consideramos y siendo y linealmente dependientes, entonces es necesario tener una segunda solucin, linealmente independiente con , para completar la solucin de la ecuacin de Bessel de orden . Por analoga con la resolucin de la ecuacin de Cauchy Euler, para el caso de una raz doble, se supone, para , una solucin de la forma:

Donde son los coeficientes que se determinan cuando se hace comprueba que satisface la ecuacin de Bessel de orden .

LA FUNCIN DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE Y DE ORDEN Se define, para :

Observacin:Si en la relacin (9) se reemplaza , se llega a una indeterminacin de la forma , luego por la regla de LHpital se obtiene:

Luego: =

Si y , se puede demostrar que las soluciones y son linealmente independientes, luego la solucin general de la ecuacin de Bessel de orden , est dada por: , Nota: Son mucha las propiedades de las funciones de Bessel. Nuestro inters principal son las funciones de Bessel de primera clase y orden natural o cero, aunque la mayora son vlidas tambin para las funciones de segunda clase y/o con orden no natural.

Consideraremos a y como funciones habituales y haciendo y en la relacin (7), se obtiene:

Se deduce fcilmente la divergencia de estas funciones cuando . Adems:

En particular: y .La figura muestra las grficas de (curva a puntos) y de (curva continua)

Se aprecia en la figura el carcter oscilatorio de estas curvas, asimismo se observa que los ceros de estas funciones se van alternando. Esto nos hace recordar las propiedades de las funciones seno y coseno.

TEOREMA: Para todo , cada funcin de Bessel posee infinitos ceros: Adems:a) Si y , entonces, entre cada dos ceros consecutivos de existe exactamente un cero de y, viceversa, entre cada dos ceros consecutivos de existe exactamente un cero de .b) Si y , entonces, entre cada dos ceros consecutivos de existe exactamente un cero de y, viceversa, entre cada dos ceros consecutivos de existe exactamente un cero de .

PROPIEDADES ADICIONALES:a) b) c) d)

POLINOMIOS DE LEGENDRELos polinomios de Legendre son funciones que surgen en problemas de electrosttica como solucin de la Ecuacin de Legendre:

y son efectivamente polinomios para . Los polinomios de Legendre tambin pueden ser generados a partir de la frmula de Rodrguez:

Generalidades de los Polinomios de LegendreEs fcil comprobar que los polinomios de Legendre son mutuamente ortogonales para un producto interno definido como:

Con una norma definida por:

Tambin se dispone de una frmula de recurrencia:

Ntese que los polinomios de Legendre, calculados a partir de la Frmula de Rodrguez no estn normalizados.Al ser los Polinomios de Legendre un conjunto completo de funciones, ellos expanden el espacio de funciones continuas en el intervalo cerrado . Por ello cualquier funcin en el intervalo puede ser expresada en esa base.

Ilustrando esta aplicacin:1. Si es un polinomio:

No se requiere calcular alguna integral por cuanto los coeficientes se determinan a travs de un sistema de ecuaciones algebraicas. Para el caso de tendremos:

2. Consideremos una funcin ms compleja:

En efecto:

. Expandiendo en serie de Legendre, se tiene:

Antes de entrar en el detalle de las propiedades de estos polinomios, hay que enfatizar que los Polinomios de Legendre constituyen la nica base ortogonal para un espacio de Hilbert con un producto interno definido como el producto simple de funciones en el intervalo cerrado. Los polinomios de Legendre se obtienen al ortonormalizar mediante Gram Schmidt la base del espacio de polinomios, ; de grado en el intervalo , con el producto interno definido por:

Los polinomios de Legendre surgen, originalmente, como soluciones a la ecuacin diferencial ordinaria del tipo:

Veamos algunos casos particulares:

Ecuacin de LegendrePolinomio Asociado

0

1

2

3

4