Funciones exponenciales y logarítmicas

Definición

Es una función trascendente, es aquella que no satisface una ecuación polinomial, a diferencia de una función algebraica que si puede ser

representada a través de polinomios.

Objetivos

• Definir e identificar una función exponencial, establecer su dominio y rango.

• Conocer las características de la gráfica de una función exponencial.

• Explorar el cambio gráfico que se produce al modificar la base, los coeficientes y/o los exponentes de una función exponencial utilizando un graficador.

• Graficar una función exponencial dada y determinar su dominio y rango.

• Modelar situaciones que puedan ser expresadas como una función exponencial.

La función exponencial con base se representa como:

Donde

Ejemplos

2)

𝑓 (2 )=32 ¿9

Ejercicios para resolver

Dominio y rango de una función exponencial

Caso:

La definición de la exponencial nos indica que no debe ser negativa y que puede tomar cualquier valor real. Si analizamos los resultados al evaluar la función cuando toma valores mayores que cero, el resultando va a ser mayor a cero.

Ejemplo: 𝑆𝑖 𝑓 (𝑥 )=2𝑥 ,𝑐𝑜𝑛0≤𝑥 ≤5

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

Podemos concluir que conforme más grande sea , el resultado crecerá tendiendo a un valor infinito

En el caso en donde toma valores negativos se puede observar que el resultado se encontrará entre 0 y 1, esto lo podemos ver si evaluamos la función propuesta anteriormente en el intervalo

-1 0.5

-2 0.25

-3 0.125

-4 0.0625

-5 0.03125

Con lo que se puede concluir que el dominio y el rango son:

𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥 :𝐷𝑓=(−∞ ,∞ )𝑅𝑓 =(0 ,∞ )

Caso:

En este caso se puede observar que conforme se hace más grande se hace más pequeño hasta casi tocar el eje de las toma valores negativos crece hasta llegar al infinito.

Ejemplo: 𝑓 (𝑥 )=5−𝑥 ,−5≤ 𝑥≤5-5 3125

-4 625

-3 125

-2 25

-1 5

0 1

1 0.2

2 0.04

3 0.008

4 0.0016

5 0.00032Grafica

Transformaciones de una gráfica de la función exponencial

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL.

Si la función se le modifica el exponente por en donde es una constante, se tendrá la nueva función dando como resultado un desplazamiento a la izquierda de la gráfica de la exponencial.

En el caso de usar el exponente se tendrá la nueva función teniendo como resultado un desplazamiento a la derecha de la gráfica exponencial.

𝑓 (𝑥 )=6𝑥

𝑓 (𝑥 )=6𝑥−3𝑓 (𝑥 )=6𝑥+3

𝑓 (𝑥 )=6𝑥+3

𝑓 (𝑥 )=6𝑥

𝑓 (𝑥 )=6𝑥−3

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

Si ahora se suma una constante a la función entonces dando como resultado un desplazamiento hacia arriba de la gráfica de la exponencial.

En el caso de restar la constante a la función

𝑓 (𝑥 )=6𝑥

𝑓 (𝑥 )=−6𝑥

REFLEXIÓN CON EL EJE

La transformación necesaria para que haya una reflexión de la exponencial con respecto al eje , consiste en hacer

𝑓 (𝑥 )=6𝑥 𝑓 (𝑥 )=6−𝑥

La modificación que se hace a es en el exponente de la constante, para que quede de la forma

Reflexión con el eje