Matemática Básica(Ing.) 1

Funciones Inversas

Matemática Básica(Ing.) 2

El par ordenado (a; b) está en la relación si y sólo sí, el par ordenado (b; a) está en la relación inversa.

Relación inversa

(-1; 1) (1; 1)

y

x

Nota: sólo nos interesan las que pasan a ser funciones

Matemática Básica(Ing.) 3

Función inversa Criterio de la recta horizontal

Una función f es inyectiva (uno a uno) si y sólo sí

toda recta horizontal interseca a su gráfica a lo

más en un punto.

y = f(x)

f(b) =

x

y

a

f(a)

b

¿Es f inyectiva?

Matemática Básica(Ing.) 4

Aplicación del criterio de la recta horizontal ¿Cuál de las gráficas siguientes son gráficas de

funciones que son uno a uno?

x

y

x

y

Matemática Básica(Ing.) 5

Función inversa

Si f es una función uno a uno con Dom(f ) = D Ran(f ) = R

entonces la función inversa de f, denotada por f -1, es la función con

Dom(f -1) = R Ran(f -1) = D

definida mediante f -1(b) = a si y sólo si f(a) = b

Matemática Básica(Ing.) 6

El principio de la reflexión inversa

1. Los puntos (a; b) y (b; a) en el plano coordenado son simétricos con respecto a la recta y = x.

2. Los puntos (a; b) y (b; a) son reflexiones uno del otro con respecto a la recta y = x.

Matemática Básica(Ing.) 7

x

y

La función inversa f -1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x

y=xf(x)

f-1(x)

Regla

Matemática Básica(Ing.) 8

Regla de composición de la inversa

Una función f es uno a uno con función inversa g

si y sólo si

a. f (g(x)) = x para toda x en el dominio de g.

b. g (f(x)) = x para toda x en el dominio de f.

Matemática Básica(Ing.) 9

Función inversa

Dada y = f (x), se quiere determinar la regla de correspondencia para f -1:

• Verifique que f es uno a uno. Indique, si hay, las restricciones sobre el dominio de f (observe que podría ser necesario imponer alguna para obtener una versión uno a uno de f)

• Intercambie x y y en la regla y = f (x).• Despeje y para obtener la regla de

correspondencia y = f -1(x).• Indique cualquier restricción sobre el dominio

de f -1.

Matemática Básica(Ing.) 10

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante