Funciones Polinómicas

Profa. Carmen Batiz UGHS

REPASEMOS...

Función Lineal

f(x) = mx + b

f(x) = b

Función Cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c

Función Polinómicade grado n en x:

F(x) = anxn + an –1 xn-1 + an – 2xn –2 + ...+ a1x + a0

Donde n es un entero no-negativo y an , an-1 ,an-2,,...,a1, a0

Son números reales con an 0

Los números an , an-1 ,an-2,,...,a1, a0 son coeficientes del polinomio.

Las funciones polinómicas...

•Son aquellas donde hay varios términos con sus grados sumados o restados y una constante.

• Deben escribirse en forma descen-dente por el grado de la variable, esto es en “forma standard”

Ejemplo:

Si f(x) = 2x3 –5x2 + 3

Los coeficientes de la función son:

2, -5, 0, 3

Entonces a3 = 2, a2 = -5, a1 = 0 y a0 = 3

Es un polinomio de grado 3 y es un trinomio.

Otros ejemplos:Escribe en forma standard, indica los coeficientes de

la función, y clasifícalo por el número de término y el grado.

1. f(x) = 3x – 6x2 + 5

2. y = 3x3 + x2 –4x + 2x3

1. f(x) = 3x – 6x2 + 5

2. y = 3x3 + x2 –4x + 2x3

Contestaciones:1. f(x) = – 6x2 +3x + 5; -6, 3, 5

2. y = 5x3 + x2 – 4x ; 5, 1, 0 -4

Asignación:

p.265 ( 1-9)

6-2 Example Exercises 1-24

Mixed Exercises 2 - 46

Comportamientos

),(

Señala por el tipo de compotamiento que tiene cada función f(x) = x3 –3x2 + x - 2. Estima el intercepto de x y de y.

x -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 10

y -1312 -59 -24 -7 -2 -3 -4 1 18 708

Señala por el tipo de compotamiento que tiene cada función f(x) = x3 –3x2 + x - 2. Estima el intercepto de x y de y.

x -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 10

y -1312 -59 -24 -7 -2 -3 -4 1 18 708

El intercepto de y es –2.

Como los valores de x y y van de lo negativo a lo positivo su compor-tamiento es

),(

El intercepto de x esta entre 2 y 3.x^3-3x^2+x-2.grf

Asignación

6-2 p. 19 Example Ex. 1-24

p.20 Mixed Ex

2-46

División de Polinomios

Divide : 435 5

5 435 8

-40 3 5

7

-35 0

Verificación: 87 x 5 + residuo

Divide : ( )4 3 52x x x + -

Divide :

x

4x

-4x2

- 5

0x2

+ 3

- 3x

0x

Verificación: x (4x+3) + -5

4 3 52x x + - + 3x

R = -5

4x2+3x -5

( )4 3 52x x x + -

Intenta:

-2x

-6x2 0x2

+ 1

3x- 3x

+ 9

R = 9

( )6 3 9 32x x x

6 3 92x x 3x

-3x (-2x + 1) + 9Verificación:

6x2 – 3x + 9

0x + 9

Divide :

3x2

-3x3 + 9x2

-1

0x2 +8x2

+ 8x

- 8x2 + 24x 0x+ 26x

Verificación:

( x - 3) (3x3 +8x +26) + 77

+ 2x

R = 77

( ) ( )3 33 2x x x - + 2x - 1

3 3 2x x - + 2x - 1x 3

+ 26

- 26x + 7877

Intenta:

( ) ( )2 3 5 2 7 14 3 2 2x x x x x x

Intenta:

( ) ( )2 3 5 2 7 14 3 2 2x x x x x x

2 3 5 2 74 3 2x x x x x x2 1 2x2

-2x4 + 2x3 – 2x2

0x4 - x3 + 3x2

– x

x3 – x2 + x

+ 2x

0x3 + 2 x2 + 3x + 7

+ 2

– 2x2 + 2x - 2

5x + 5

Verificación

(2x2 - x + 2) ( x2 – x + 1) + (5x + 5)

2x4 - 2x3 + 2x2

- x3 + x2 - x 2x2 - 2x + 2

5x + 5 2x4 - 3x3 + 5x2 + 2x + 7

Generalización:Dividendo = Cociente x divisor + residuo

-2x + 1 6 3 92x x 3x

dividendo

cocientedivisor R = 9

Generalización:Dividendo = Cociente x divisor + residuo

)1()72532( 2234 xxxxxx

(2x2 - x + 2) ( x2 – x + 1) + (5x + 5)

1

55 22

22

xx

xxxó

Intenta:

( ) ( )5 7 2 9 3 43 2 2x x x x x

Intenta:

( ) ( )5 7 2 9 3 43 2 2x x x x x

23-6x 32248x

9188x-

20x 15x-5x-

927543

8 -5x

2

2

23

232

x

x

xxxxx

Ejercicios de Práctica

6-5 p. 25 Example Exercises (1-10)

p. 26 Mixed Exercises (13-24)

División Sintética

Divide (2x4+3x3 – x –5) ÷(x + 2)

Divide (2x4+3x3 – x –5) ÷(x + 2)

x + 2 2x + 3x + 0x – x – 54 3 2

2x3

-2x4 - 4x3

0x4 - x3 + 0x2

- x2

x3 + 2x2

0x2 + 2x2 - x

+ 2x

- 2x2 – 4x

0x2 – 5x – 5

– 5

5x + 10

0x + 5

R=5

Verificación:(2x3 – x2+ 2x – 5) (x + 2 ) + 5

x + 2 2x + 3x + 0x – x – 54 3 2

2x4 – x3 + 2x2 – 5x

+ 4x3 - 2x2 + 4x - 10 + 5

2x4 + 3x3 + 0x2 – x - 5

Y...

Por medio de división sintética

Coeficientes del dividendo

cero del dividendo

2 3 0 -1 -5-2

residuoCoeficientes del cociente

Por medio de división sintética

2 3 0 -1 -5-2

-4

2 -1

2

2

-4

-5

10

-5

El cociente es: 2x3 –x2 +2x -5

Intentemos...-13x + x3 + 12 ÷ x + 4

Intentemos...-13x + x3 + 12 ÷ x + 4

1 0 -13 12- 4

1

-4

-4

16

3

-12

0

El cociente es: x2 – 4x + 3

Intenta:Divide cada una de los ejercicios utilizando la división sintética. 1. (4x5 –30x3 – 50x –2)÷( x + 3)

2. (5 + 4x3 – 3x) ÷(2x – 3)

Contestaciones:

• 4x4 –12x3 + 6x2 –18x +4 R = -14

• 2x2 + 3x + 3 R =14

Ejercicios:

6.5 Example Exercises 11-18

Mixed Exercises 1-12

Teorema del Residuo y del Factor

Si se divide 2x4 – 5x3 – 4x2 + 13 entre x – 3 el cociente es:

2x³ + x² – x – 3 + 4 donde x = 3 x - 3

Si R es el residuo después de dividir el polinomio P(x) entre x – r entonces P(r) = R

P(x)= 2x4 – 5x3 – 4x2 + 13 entonces P(3) = 4

2(3)4 – 5(3)3 – 4(3)2 + 13 = 4

2(81) – 5(27) – 4(9) + 13 = 4

?

162 – 135 – 36 + 13 = 4

162 – 135 – 36 + 13 = 44 = 4

Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, encuentra P(-3) usando el teorema del residuo y la

división sintética y evaluando P(-3) directamente.

4 10 0 19 5-3

Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, encuentra P(-3) usando el teorema del residuo y la

división sintética y evaluando P(-3) directamente.

4 10 0 19 5-3

4

-12

-2

6

6

-18

1

-3

2

Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, entonces P(-3)

Si P(-3) =

Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, entonces P(-3)

Si P(-3) = 4(-3)4 + 10(-3)3 + 19(-3) + 5

= 4(81)4 +10(-27)3 +19(-3)+ 5

= 324 + -270 + -57 + 5

P(-3) = 2

Haz la gráfica de P(x) = x3 + 3x2 –x – 3, -4< x < 2

1 3 -1 -3-4-3-2-1

012

Haz la gráfica de P(x) = x3 + 3x2 –x – 3 , -4< x < 2

1 3 -1 -3-4 1 -1 3 -15 = P (-4)-3 1 0 -1 0 = P (-3)-2 1 1 -3 3 = P(-2)

-1 1 2 -3 0 = P(-1)

0 1 3 -1 -3 = P(0)

1 1 4 3 0 = P(1)

2 1 5 9 -15 = P(2)

La gráfica de P(x)=x3 + 3x2 –x – 3 , -4< x < 2 es:

Teorema del factor

Si r es un cero del polinomio P(x) , entonces x – r es un factor de P(x) ;

inversamente si x – r es un factor de P(x) , entonces r es un cero de P(x).

Haz la gráfica de P(x) = x3 + 3x2 –x – 3 , -4< x < 2

1 3 -1 -3-4 1 -1 3 -15 = P (-4)-3 1 0 -1 0 = P (-3)-2 1 1 -3 3 = P(-2)

-1 1 2 -3 0 = P(-1)

0 1 3 -1 -3 = P(0)

1 1 4 3 0 = P(1)

2 1 5 9 -15 = P(2)

Utiliza el teorema del factor para probar que x +1 es un factor de

P(x) = x25 + 1

Utiliza el teorema del factor para probar que x +1 es un factor de

P(x) = x25 + 1

x + 1 = x – (-1) Entonces r = -1

P(-1) = -125 + 1

P(-1) = -1 + 1 P(-1) = 0

Entonces –1 es un cero de la función

Indica cuáles son los ceros de P(x) = 3(x-5) (x+2) (x-3)

Indica cuáles son los ceros de P(x) = 3(x-5) (x+2) (x-3)

Los ceros de la función es cuando

P(x) = 0...

Entonces:

0 = 3( x – 5)(x+2) (x- 3)

Entonces los ceros son : 5, –2 y 3

Utiliza el teorema del factor para probar que x -1 es un factor de

P(x) = x54 - 1

INTENTA

Utiliza el teorema del factor para probar que x -1 es un factor de P(x) = x54

- 1

P(1) = 154 - 1

P(1) = 1 - 1

P(1) = 0

Entonces 1 es un cero de la función

INTENTA

Indica cuáles son los ceros de P(x) = 2(x+3) (x+7) (x-8)(x + 1)

INTENTA

Indica cuáles son los ceros de P(x) = 2(x+3) (x+7) (x-8)(x + 1)

Los ceros de la función es cuando

P(x) = 0... Entonces:

Entonces los ceros son : -3,–7, 8 y -1

INTENTA

Ejercicios de PrácticaEjercicios 3.3 BARNETT : 7-30 35-38 impares (para entregar)

Ejercicios 6.3 Example Exercises: 2-10 13-33

Ejercicios 6.3 Mixed Exercises: 1-47

Haciendo gráficas polinómicas

Ceros de una función:

Def. Son las soluciones o raíces de una función.

f(x) = 0

Función Lineal

f(x) = x - 2

Función Lineal

f(x) = x - 2x – 2 = 0

x = 2

El cero o intercepto en x de ésta función es 2

Función cuadráticaf(x) = x2 – 4x - 5

Función cuadráticaf(x) = x2 – 4x - 5

El cero o intercepto en x de ésta función es 5 y -1

x2 – 4x - 5 = 0 (x – 5) ( x + 1) = 0

x = 5 ó x = -1

Función cúbica

f(x) = x3 + x2 – x - 1

Función cúbicaf(x) = x3 + x2 – x - 1

El cero o intercepto en x de ésta función es 1 y -1

(x + 1) ( x + 1) ( x – 1) = 0 x = 1 ó x = -1

x2 ( x + 1) – 1(x + 1) = 0 (x + 1) ( x2 -1) = 0

Cuando hay dos factores iguales se dice que hay ceros de multiplicidad

Haz la gráfica de la función encon-trando algunos puntos.

f(x) = (x + 1) ( x + 1) ( x – 1) Los ceros son 1, -1

Otros puntos...

x y-2 -3-1 0 0 -1 1 0 2 9

f(x) = (x + 1) ( x + 1) ( x – 1)

El comportamiento de la gráfica es: ),(

Haz la gráfica de la función encontrando algunos puntos.

f(x) = (x + 1) ( x -2) ( x – 3)

Haz la gráfica de la función encon-trando algunos puntos.

f(x) = (x + 1) ( x -2) ( x – 3)

Los ceros son -1, 2, 3

La tabla de valores será:

x y

-2 -20

-1/2 4 3/8 0 6 1 42.5 - 7/8 4 10

El comportamiento de la gráfica es:),(

Ejercicios de PrácticaDetermina cuáles de éstas funciones son polinómicas.

a. f(x) = 4x

b. h(x) =1

3

c f(x) = 5x

d. f(x) = (2x

e. g(x) = 4

g. f(x) = x - 2

x

3

4

3

-3

2 5

22

5 7

1

22 1

4

2

2

32

1 2

3 2

2

x x

x

xx

x x

x x x

xx

x

.

)

f. f( )

Haz las siguientes gráficas.

a. f(x) = x(x -1)(x + 2)

b. f(x) = x(x -1)2 ( )x 3

Encuentra los ceros de la función polinómica.

a. f(x) = - 3x + 2

b. f(x) = x

c. g(x) = (x +1)(x - 5)

d. g(x) = 3x

e. h(x) = (x - 1)

3

2

2

2

9

25

2

9

2

x

x

x

( )

Asignación:

p.21 Practice 6.3 Example Exercises

p.22 Mixed Exercises