Funciones

¿Qué es una función?Formas de

representación

Propiedades

Clasificación

Tipos

Generalidades

Una función es una regla de

asociación que relaciona el conjunto de llegada y el conjunto de

salida. Esta regla no permite

relacionar un mismo elemento del dominio con

dos elementos del rango.

No estamos en presencia de una función cuando:

De algún elemento del conjunto de

partida no sale ninguna flecha.

De algún elemento del conjunto de

partida salen dos o más flechas.

¿Qué es una función?

abcde

12345

X Y

Formas de representar una función

VerbalAlgebraicaVisualNumérica

por medio de

por medio de

por medio de

por medio de

palabrasfórmulasdiagramas y graficastablas

x 1 2 3 4 5 …

y 11 12 13 14 15…

abcde

12345

X Y

Y=2x+4

E(t) son los

estudiantes del

colegio en el instante

t.

Variable dependiente

- Variable

independiente

Intercepto en el eje X

- Intercepto en el

eje Y

Conjunto de llegada-

Conjunto de salida

GENERALIDADES

Dominio - Rango

El DOMINIO es el conjunto de elementos formado por

las pre imágenes,

generalmente cuando se habla del

plano cartesiano, el dominio es el intervalo de valores que

están sobre el eje x, y que nos generan

una asociación en el eje y.

El otro conjunto llamado

RANGO, es la gama de valores que

toma la función; en el caso del

plano cartesiano son todos los valores que toma la función o valores en

el eje y.

La VARIABLE INDEPENDIEN

TE no depende de ninguna otra

variable, en el ejemplo

anterior la x es la variable independiente ya que la y es

la que depende de

los valores de x.

Las VARIABLES DEPENDIENTES

como su nombre lo indica,

dependen del valor que toma las

otras variables Por ejemplo: f(x)=

x, y o f(x) es la variable

dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

El INTERCEPTO EN EL EJE Y se

halla reemplazando a x por 0, y el

INTERCEPTO EN EL EJE X se

halla igualando la función a 0 y solucionando la

ecuación resultante.

El CONJUNTO

DE LLEGADA

contiene los elementos que son la imagen de los valores

del conjunto de salida.

El CONJUNTO DE SALIDA se llama al

conjunto que contiene los

elementos del dominio de una

función.

PROPIEDADES

Función Par

Función Impar

Función Creciente

Función Decrecient

e

FUNCIÓN PAR Si f(x) = f (-x).Ejemplo: La función

es par pues se obtienen los mismos

valores de y independientemente

del signo de x.La función es par ya

que f (-x) = =

Simétricas con respecto al eje Y.

FUNCIÓN IMPAR Si f(x) = -f (-x).

Ejemplo: La función y(x)=x es

impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x)

= - f(x).

Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

FUNCIÓN CRECIENTE

La función es

creciente cuando al aumentar los valores

de X, aumenta Y.

FUNCIÓN DECRECIENTE

La función es

decreciente cuando al aumentar los valores

de X, disminuye

Y.

Función Inyectiva

Función Sobreyectiva

Función Biyectiva

CLASIFICACIÓN

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es INYECTIVA, si en el conjunto A no hay dos o más

elementos que tengan la misma imagen.

abcde

12345

X Y

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es SOBREYECTIVA, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.

abcde

12345

X Y

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es BIYECTIVA, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

abcde

12345

X Y

TIPOS DE FUNCIONES

Polinómica Racional

Logarítmica

Exponencial

Valor absolut

o

Trigonométrica

Por partes

Grado impar Grado par Grado cero

Lineal Cúbica

Cuadrática

Constante

Afín

Lineal

Idéntica

Se llama FUNCIÓN POLINÓMICA a toda aquella que está definida por medio de

polinomios.

Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

Dominio= Conjunto de Salida= Reales

Conjunto de llegada=Reales

Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número

par.

FUNCIONES DE GRADO PAR

y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e

Son funciones en las que el mayor grado del polinomio es

impar.

FUNCIONES DE GRADO IMPAR

y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e

En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función.

Dominio= Conjunto de Salida= RealesRango= Reales (con excepción a la función constante).Conjunto de llegada = Reales.

y - x son dos variables

m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y

se halla mediante la ecuación:

Si m > o: la función es crecienteSi m < 0: la función es decrecienteSi m = 0: la función es constante

LINEAL

Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx

Ejemplo: y = 2x

Elementos Punto de corte con x: 0 Punto de corte con y: 0 Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Dominio= Reales Rango= Reales Pendiente = 2

LINEAL

Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.

Ejemplo: y = 2x+3Elementos Punto de corte con x: Punto de corte con y: 3 Conjunto de salida: Reales Conjunto de llegada: Reales Dominio: Reales Rango: Reales Pendiente: 2

AFIN

Cuando m>0, n>0 la gráfica es

Cuando m<0, n>0 la gráfica es

Cuando m<0, n<0 la gráfica es

Cuando m>0, n<0 la gráfica es

AFIN

Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x

La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente

A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .

IDÉNTICA

Ejemplo: y = xElementos Punto de corte con x = 0 Punto de corte con y = 0 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango =Reales

Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación:

Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2Elementos Punto de corte con x = -1.5 Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = Reales F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito)

CÚBICA

Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por

la ecuación: y= ax2+bx+c

Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un

eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado

es el reflejo del otro lado.Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo

relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo

relativo.

Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos

donde llega la parábola, se usa la

ecuación:

En la función cuadrática c indica el punto de corte con y.

Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: X=

El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta

infinito.

Ejemplo: y= 2x2+5x+4ElementosPunto de corte con

y = 4Conjunto de salida

= RealesConjunto de llegada

= RealesDominio = RealesRango: [, infinito)

CUADRÁTICA

Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a,

donde a pertenece a los números reales.

No depende de ninguna variable

Ejemplo: y = 2Elementos Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida =

Reales Conjunto de llegada =

Reales Dominio = Reales Rango = {a}

CONSTANTE

El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta si su signo es positivo o negativo, ya que nunca será negativo.

La función de valor absoluto se define por la ecuación:

PROPIEDADES1. No negatividad 2. Definición positiva3. Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|4. Propiedad aditiva: |a + b| ≤ |a|+|b|5. Simetría: |-a| = |a|6. Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b7. Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|

Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo)

Ejemplo: y= IxIElementos Punto de corte con y = no hay Punto de corte con x= no existe Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = (0, ∞)

VALOR ABSOLUTOcbaxy

VALOR ABSOLUTO

Para un desplazamiento horizontal:Ejemplo: y= Ix + 5I Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales

Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No

existe Punto de corte con y= 5 Desplazamiento horizontal=

5Para un desplazamiento vertical: Ejemplo: y= IxI + 2 Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales Rango= (2, ∞) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No

existe Punto de corte con y= 2 Desplazamiento vertical = 2

La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios:

)(

)(

XQ

XPy

RACIONAL

Las asíntotas de una función, son líneas a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea, más nunca la toca..

La variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de Q.

f xa x a x a

b x b x bm

m

nn

( )...

...

1 0

1 0

1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.

VERTICALESHORIZONTALES

Se hallan por medio de la ecuación:

PASOS PARA SOLUCIONAR UNA FUNCIÓN RACIONAL

1. Se factoriza el numerador y el denominador. 2. Se hallan los puntos de corte con x: las raíces del numerador.3. Se halla el punto de corte con y: sustituyendo a x por 0.4. Se hallan las asíntotas verticales: las raíces del denominador.5. Se hallan las asíntotas horizontales: (cementerio) Para saber si es – o +, y luego se halla.

Donde a ≠ 0 y a≠1

La función exponencial se define por la ecuación: y= ax

a y x son números reales Cuando a<1, la función es decreciente.

Cuando a>1, la función es creciente.

EXPONENCIALES

Ejemplo: y= 2X

Dominio= Reales Rango= (∞, 0) Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Asíntota en y=0 Punto de corte con y= 1 Función creciente

desplazamiento vertical

desplazamiento horizontal

bxay cay x Xexf )(e=2.2

Exponencial natural

y=ax

Para a>1

y= -ax

Para a>1

y=ax

Para 0<a<1

y= -ax

Para 0<a<1

EXPONENCIALES

La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x

Solo esta definida en los números positivos.

cambio de los logaritmos de una base a logaritmos de otra base

por medio de la ecuacion:

BAAB loglog)log(

BAB

Aloglog)log(

AnAn loglog

n

AAn

loglog

nxxf log)( )log()( nxxf

PROPIEDADES

Desplazamiento horizontal

Desplazamiento vertical

LOGARÍTMICA

xxf log)(

Conjunto de salida=Dominio=IR+Conjunto de llegada=IR= RangoAsíntota en x=0Función creciente

LOGARÍTMICA