Funciones Racionales.

)(

)(

XQ

XPy

Una función racional tiene la forma:

Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus graficas se ven bastante diferentes de las graficas de funciones polinomiales.

El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que poseen asintotas.

Ejemplo Gráfico.

En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea.

La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es cero.

ax

La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.

by

3

2

x

y

Asíntota vertical x=3

Asíntota horizontal y=0

Transformaciones de

xy

1

Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma:

dcx

baxy

Se utiliza debido a la capacidad de desplazar, alargar o reflejar.

Ejemplo: Grafique la función racional:

2

4722

2

xx

xxy

Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica.

Factorizar: )2)(1(

)4)(12(

xx

xxy

Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4.

Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0 en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección y= 2

Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2.

Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.

2 2 1 1

)2)(1(

)4)(12(

xx

xxy ))((

))((

-

))((

))((

+

))((

))((

-

))((

))((

+Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador son los mismos y

Coeficiente principal del numerador

Coeficiente principal del denominador

2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2

Por ultimo se grafica.

Asíntota inclinada y comportamiento extremo.

Si es una función racional en la que el grado del numerador

es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la división para expresar la función en la forma

)(

)(

xQ

xPy

)(

)(

xQ

xRbaxy

Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o una asíntota oblicua.

Aplicaciones.Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de electricidad. (resistencia eléctrica)