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Funciones Reales
Prof. Jessica Chacón Piedra
Ejemplo:
Si se paga a 800 colones la hora. El
salario de un trabajador depende de las
horas que trabaje.
El salario será igual a 800 por el número
de horas trabajadas.
VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE
Si S = salario y h = horas trabajadas entonces:
Variable VariableDependiente Independiente
Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h, porque entre más horas trabaje mayor es su salario.
hS 800
Es una relación que se establece
entre dos conjuntos por medio de la
cual a uno o varios elementos del
primer conjunto se le asigna o asocia
uno o varios elementos del segundo
conjunto.
CORRESPONDENCIA
Nota: Estefany no compró nada,
situación que puede ocurrir en una
correspondencia.
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una ley, regla o correspondencia que a cada elemento de A, le hace corresponder uno y sólo un elemento de B.
FUNCIONES
Al conjunto A se le llama dominio y al conjunto B se le llama codominio de la función.
A los elementos del dominio se les llaman: Preimágenes
A los elementos del codominio se les llaman: Imágenes
Al conjunto de imágenes que es subconjunto del codominio se le llama: Rango o Ámbito.
A cada elemento del conjunto A le debe corresponder algún elemento del conjunto B, el cual debe ser único.
No necesariamente todos los elementos del conjunto B deben corresponder a algún elemento de A. Es decir pueden sobrar elementos en el conjunto B.
Se lee como: la función f está definida
del conjunto A al conjunto B, donde A es
el conjunto de partida y B el conjunto de
llegada
NOTACIÓN DE FUNCIONES
Una función describe la dependencia de
una cantidad respecto de otra. Por lo que
los elementos de una función se
representan por medio de pares ordenados,
la primer cantidad pertenece al dominio y
la segunda al codominio. La forma general
de representar un elemento de una función
es:
La x es la preimagen de f(x), y f(x) es la imagen de x, por lo que:
Si 3 es la imagen de 2, en forma simbólica, por la función p, se expresa:
La expresión significa que: * 8 es la imagen de –5 por la función m ó * -5 es la preimagen de 8 por la función m
3)2( p
8)5( m
CRITERIO O FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN
Ecuación con la que se denota una función.
42)( xxf3
2)(
x
xp
85)(x
xt
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función, el grafico de f lo denotamos y se define, como el conjunto de pares ordenados .
Ejemplo 1: Determine el gráfico de la función h, representada en el diagrama adjunto.
Solución:
fG )(, xfx
4,2,1,0,6,4,3,2 hG
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
Rectas que se cortan perpendicularmente, el punto sobre el que ellas se cortan se identifica como y se llama origen del sistema.
La recta horizontal se le conoce como “eje x o eje de las abscisas” y la recta vertical se le conoce como “eje y o eje de las ordenadas”.
Al plano que contiene los ejes coordenados se le denomina plano coordenado.
0,0
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
E je de las ordenadas
E je de las abscisas
IR -
IR -
IR+
IR+
Si se traza una recta vertical que pase por el punto “x” y trazamos una recta horizontal que por el punto “y”, entonces el punto de intersección de estas rectas se identifica con el par yx,
yx,
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función, muestra la posición de cada uno de los elementos de su gráfico, en un sistema coordenado.
23)( xxf 13)( 2 xxxg
CÁLCULO DE IMÁGENES
Para calcular la imagen de un elemento del dominio de una determinada función, se sustituye el valor dado en lugar de la “x” y así determinar “y”.
EJEMPLO 1: ¿Cuál es la imagen de –2, para la función
?Solución:Se sustituye la x por –2:
Por lo tanto la imagen de –2 es 1
25 xxt
2)2(52 t45
1
CÁLCULO DE PREIMÁGENES
Cuando se tiene una imagen y se quiere
calcular su preimagen(es) se iguala el
criterio de la función con la imagen
dada y se resuelve la ecuación
resultante.
Es decir, se sustituye el valor dado en
lugar de la “y” ( ) y se determina
“x”.
xf
EJEMPLO 1: ¿ Cuál es la preimagen de 9, para la función ?SoluciónSe sustituye por 9 y se despeja “x”:
Por lo tanto la preimagen de es .
105 xxf
)(xf
1059 x
x
x
x
x
5
15
1
51
5109
95
1
EJEMPLO 3: Si halle el valor de la expresión
Solución:
xxf 35 32 ff
INTERPRETACIÓN DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES
Para cada pareja que pertenezca al
gráfico de la función, se puede señalar
un punto en la gráfica de una función y
así determinar la posición de la
preimagen y de la imagen.
es la preimagen de ____ es la imagen de ____
es la preimagen de ____
es la imagen de _____
2 0
4 2
6 0
0 6
EJEMPLO 1
DETERMINACIÓN DEL ÁMBITO A PARTIR DEL DOMINIO
Se obtiene determinando la imagen
correspondiente a cada elemento del
dominio.
Para la función , ,con
halle el ámbito de f.
Solución:
Como es el dominio de f (son las
preimágenes), entonces:
Por lo tanto el ámbito es
Qf 2,3: 52 xxf
2,3
1,4fA
DETERMINACIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DEL ÁMBITO
De obtiene determinando la preimagen
correspondiente a cada elemento del
ámbito.
Para la función con
Halle el dominio de f.
Solución:
Se debe encontrar la preimagen de :
9,4,1: Af xxf
9,4,1
81,16,1 fD
Para la función , con . Halle el dominio de f.
Solución:
Sustituimos “y” por y obtenemos los
valores respectivos de “x”:
MIRf : 2xxf
,
81,16,1M
9,4,1,1,4,9 fD
