Funciones Reales Ejercicios

FUNCIONES REALES YOEL GUTIÉRREZ

1

FUNCIONES REALES EJERCICIOS

Yoel Gutiérrez

Conceptos básicos 1.) Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones

112)( )

241)( )

23xx=f(x) )

91)( )

11)( ) 11)( )

1+x=f(x) ) 1)( )

2

23

222

2

−

−=

−−=

+−−+

=

−+−=−−=

−−=

xxxfg

xxff

xe

xxxxfe

xxxfdxxfc

xbxxfa

2) Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones

a f x x b f x xx

) ( ) ) ( ) = − =+−

4 12 1

3

c f x xx

f x x

e f x x x f f x x

g f xx

h

) ( ) ( )

) ( ) ) ( )

) ( ) )

d)

f (x) = 4

2 - x2

=+

= −

= − = + +

=+

22

2

2

1 25

4 11

9

3) Hallar el rango de cada una de las siguientes funciones

( ]( )

( ]1

1)( 2,1: )

1)( 6,2: )

14)( 3,2: )2

−=∧→−

−=∧→

−=∧→−

xxfRfc

xxfRfb

xxfRfa

4) Para cada una de las parejas de funciones cuyas reglas de correspondencias se

presentan a continuación:

xxxgxxg

xxxfvixxfv

xxgxxg

xxfivxxfiii

xx

xxg

xxxfiixxfi

+==

+=

−=−=

−=−=

−==

+==

)( )(

)( ) =)( )

1)( 1)(

1)( ) 2)( )

1g(x) 1)(

1)( ) )( )

2

2

2

2

determinar


2

a) La regla de correspondencia de las funciones: f + g, f - g, f . g, fg

, fog y

gof. b) El dominio de cada una de las funciones dadas en (a).

5) Si f es una función definida por f xx

( ) =+1

1, hallar:

1)1()( ) )()( )

)1( ) )(

1 )

)1() )( )

)xf( ) f(-x) )

−−−+

−

xfxfg

hxfhxff

xfexf

e

xfdxfc

ba

6) Dada la función f definida por f xx

( ) =−1

1

a) ¿Cuál es el dominio de f ?. b) ¿Cuál es el dominio de fof ?. c) ¿Cuál es el dominio de fofof ?. d) Demuestre que (fofof)(x) = x para toda x del dominio de fofof.

Funciones algebraicas.

7) Trazar la representación gráfica y, determine el dominio y el rango de cada

una de las siguientes funciones

x-5103)( ) 352)( )

32)( ) 2

)( )

12)( ) 1)( )

)( ) 2

11)( )

22

2

−−=−+=

+−=+

=

+−=−+=

−=−

−=

xxxfhxxxfg

xxxffxx

xfe

xxxfdxxxfc

xxfbxxfa

22 2553)( ) 1)( )

)( ) )( i)

xxflxxfk

xxxfjxxxf

−=−=

==

224)( ) )( ) xxxfnxxfm −=−=


3

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<+=

⎩⎨⎧−

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−−

−<+

=

21 si 121 si 3

74

)( r) entero es no si 1

entero es si 1)( )

1 si 2

1 si 1

1)( )

5 si 555 si 25

5 si 5

)( )

2

2

xx

xxxf

xx

xfq

x

xx

xxfp

xxxx

xx

xfo

8) Bosqueje la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones

haciendo uso de las traslaciones

a f x x b f x x

c f x x d f x x

e f x x f f x x

g f xx

h f xx

i f xx

j f x x

) ( ) ) ( )

) ( ) ( ) ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ) ( )

) ( )( )

) ( )

) ( ) ) ( )

= − + = + −

= − + = − −

= − − = − +

=−

+ = −

= −−

= + −

2 3 5 2 1

2 1 2 2

3 2 2 1 312

3 4 1

2 32

1 2

2 3

4

2 2

3

9) Cada una de las ecuaciones siguientes definen explícitamente a una o más

funciones de la forma y = f(x). Hallar tales funciones y trazar la representación gráfica

de cada una.

a x y b x x y

c x y d x xy y

e y f xy y

) )

) )

) )

4x 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

9 6 0

4 9 36 2 1

9 36 1 0

+ = − + =

+ = − + =

− = − − =

Funciones inversas.

10) Decidir si las funciones correspondientes son inyectiva, sobreyectiva,

biyectiva o ninguna.

[ ) [ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<≤≤−−<≤−

∧−→−

+=∧→

+=∧→

=∧→

64 si 442 si

24 si 2-=)( 4,26,4: )

1)( : )1

1)( : )

)( : )

3

2

xxxx

xffd

xxfRRfcx

xfRRfb

xxfRRfa


4

11) Restringir convenientemente el dominio de cada función para que exista la

función inversa. Encuentre después f x−1( )

a f x x

b f x x x

c f x x

d f x x

e f xx

)

)

)

)

)

( )

( )

( )

( )

( )

= +

= + −

= −

= + −

= −

2

2

2

2

2

1

6

12

4

1 2 4

1 1

12) Determinar el valor de la constante k de manera que la función f definida

por f x xx k

( ) = ++

5 sea su propia inversa.

13) Determine si la función dada tiene inversa. Si la inversa existe, haga lo

siguiente: a) Obtenengala y señale su dominio y su rango; b) Trace la representación

gráfica de f y de f −1 en el mismo sistema de coordenadas; c) Demuestre que

( ) xxfof =− )(1 y ( ) xxoff =− )(1 . Si la función carece de inversa, muestre que una

recta horizontal corta a la representación gráfica de f en más de un punto.

( )

1 3)( )

3x0 ,9)( )

21 ,12)( )

)( )

3

2

2

+=

≤≤−=

≤−=

+=

xxfd

xxfc

xxxfb

xxxfa

Paridad, monotonía, acotamiento y periodicidad de funciones

14) Para cada una de las funciones dadas a continuación determine si es par,

impar o ninguna de estas.

11)( )

1)( )

472)( ) 523)( )

2

2

2

3

3524

+−

=+−

=

+−=+−=

xxxfd

xxxxfc

xxxxfbxxxfa

⎩⎨⎧

<−≥

=+

=0 si 10 si 1

)( ) 1

)( )2 x

xxff

xx

xfe

3 23 222 )1()1()( ) 11)( )

0 si 30 si 3

)( ) 2

)( )

−++=+−−++=

⎩⎨⎧

<

≥=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

xxxfjxxxxxfi

xx

xfhxxfgx

x


5

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<<+≤

=−−

=

2 si 1

20 si 10 si 1

)( ) )( )2 xx

xxx

xflaxbbaxxfk

15) Si f es una función polinómica y los coeficientes de todas las potencias

impares de x son cero, demuestre que f es una función par.

16) Si f es una función polinómica y los coeficientes de todas las potencias

pares de x son cero, demuestre que f es impar.

17) Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones

impares es una función par. Mientras que el producto de una función impar por otra

impar es una función impar.

18) Indicar los intervalos donde cada una de las funciones dadas a continuación

son crecientes o decrecientes.

a f x x x

b f xx

)

)

( )

( )

= −

=+

112

19) Sea f una función definida por

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−

≤−=

2 si 4

2 si 2)(

2 xx

xxxf

a) Trazar la representación gráfica.

b) Identificar un intervalo donde la función sea monótona creciente y uno donde

sea monótona decreciente.

c) ¿Es una función acotada superiormente?. ¿Acotada inferiormente?.

¿Acotada?.

d) Determine si es par, impar o ninguna de estas.

Funciones trigonométricas.

20) Trazar la representación gráfica de cada función. Determine, siempre que sea

posible, amplitud, período y desfasamiento. Determine además el dominio y el rango de

cada una.

)cos()( ) cos)( ))4(=)( ) 4)( )

31

31 xxfdxxfc

xsenxfbsenxxfa=−=

=


6

1+cos)( ) 1+cos)( )

1+cos=)( ) )( i)

)( ) cos )( g))4cos()( ) )3()( )

xxflxxfk

xxfjxsenxf

senxxfh x xfxxffxsenxfe

==

=

==

−=−=

21) Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones

xsenxxfjxxfi

xxfhx

xarcsenxfg

xxxff

xxxfe

xxfdx

xxfc

senxxfbxxfa

2

26

6

2

24

294)( ) 2cos)( )

)2cos()( ) 2

)4()( )

11arccos)( )

12arccos)( )

)2arccos()( ) 5

)5arccos()( )

)() sec)( )

−

−=−=

−=−−−−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

−=−−

=

==

Funciones exponenciales y logarítmicas.

22) Trazar la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones y,

hallar el dominio y el rango.

xx xfbxfa −+ =−= 2)( ) 24)( ) 1

( ) ( ) xx xfdxfc −== 51

74 )( ) )( )

)4(log2)( ) )ln()( )ln)( ) ln)( )

log=)( ) )2-(log=)( )

3 xxfjxxfixxxfhxxfg

xxffxxfe

−−=−=

−==

23) Hallar el dominio de cada función

[ ] )1log()( ) )1log(lnlog)( )ln1

ln1)( )

ln523)( )

2

4

2

xxxfdxxfcxx

xfbx

xxfa

++=−=

+=−

=


7

( )11ln)( )

logln1)( )

)2ln()( ) 1ln)( ) 2

−+−=−

=

−=−−=

xxxfhxx

xfg

xxxffxxxfe

( )

51ln)( )

2ln)( )

1ln)( ) 1loglog)( ) 22

+−

=−

=

−+==

xxxfl

xxxfk

xxxfjx

xfi

( )

[ ])1ln(sec)( ) 1arccos)( )

212)( )

21lnarccos)( )

1ln)( ) )1ln(arccos)( )

2

2

−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=

−=−=

xharcxfrxhxfq

xsenharcsenxfpxxxfo

xsenxxfnxxfm

24) Sean f y g funciones tales que f x x y f xx

( ) ( )ln

= − = −2 1 1 12 .

Hallar:

a) Dominio y rango de cada función

b) Dominio de f.g, fog y fg .

25) Dadas las funciones f y g definidas por f x x( ) log( )= − +1 2 y

g x x( ) = −14

2, hallar:

a) El dominio y el rango de cada una

b) Dom(fog)

c) g h gh

( ) ( )+ −2 2

26) Para cada una de las funciones dadas a continuación, demostrar si es par,

impar o ninguna.

( )2

21

1log)( ) 11log)( )

1ln)( ) )( )2

xxxfdxxxfc

xxfbexfa x

++=−+

=

−== +

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