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adrian-elizalde
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2.2. Funciones Trascendentes.2.2.1. Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.
Funciones Trascendentes
No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado
lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se
clasifican en: las trigonométricas y sus inversas, relacionadas con el triángulo
rectángulo; y las logarítmicas y exponenciales, más asociadas a una variación en
progresión geométrica (crecimiento poblacional, por ejemplo).
Definición:
Algebraicas
Funciones Logarítmicas
Trascendentes Trigonométricas
Exponenciales
Funciones Trigonométricas Directas.
Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes
son las siguientes:
Función trigonométrica Directas: Las funciones trigonométricas son el resultado del
cociente de dos números (cateto sobre hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre
cateto). Esto hace necesario, para el dominio de definición, restringir el eje en aquellos
números que anulen el denominador.
Seno La función seno es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su seno
f (x) = sen x
Coseno La función coseno es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su coseno.
f(x) = cos x
Tangente La función tangente es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su tangente.
f(x) = tg x
Cotangente La función cotangente es la asociación entre
un ángulo dado x y el valor de su cotangente.
f(x) = cotg x
Secante La función secante es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su secante.
f(x) = sec x
Cosecante La función cosecante es la asociación entre
un ángulo dado x y el valor de su cosecante.
f(x) = cosec x
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y
secante, y tangente con cotangente.
Dominio de las Funciones Trigonométricas Directas
Función Dominio Contradominio.
f(x) = sen x Todo eje real
- < x <
El denominador es la hipotenusa, la cual
siempre es diferente de cero, no así los
catetos del triángulo
f(x) = cos x Todo eje real.
- < x <
La misma razón que el primer caso.
f(x) = tg x Se restringe el dominio de manera que el
denominador debe ser cos x 0.
f(x) = cotg x Se restringe el dominio de manera que el
denominador debe ser sen 0.
También, tenemos que:
;
f(x) = sec x Se restringe el dominio de manera que el
denominador cos x 0.
f(x) = cosec x Se restringe el dominio de manera que el
denominador sen 0.
Gráficas de las Funciones Trigonométricas Directas
Gráfica de y = sen x
Gráfica de y = cos x
Gráfica de y = tg x
Gráfica de y = cotg x
Gráfica de y = sec x
PERÍODO: π
DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma kπ, siendo k un entero.RANGO: R
Función impar (simétrica con respecto al origen).Función decreciente entre las asíntotas.Discontinua para kπ, siendo k entero.
PERÍODO: 2π
DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma π/2 + kπ, siendo k un entero.RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞)
Función par (simétrica con respecto al eje y).Discontinua en π/2 + kπ, siendo k entero.
Gráfica de y = cosec x
Función Exponencial.
Definición:
“Los términos exponenciales son en sí aquellas potencias cuya
base es un número fijo y el exponente es una variable”. En la siguiente
tabla se presentan algunos ejemplos de funciones exponenciales.
Función Título
f(x) = 10x Función exponencial de base 10
f(x) = 2x Función exponencial de base 2
Gráficas Exponenciales Típicas
PERÍODO: 2π
DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma kπ, siendo k un entero.RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞)
Función impar (simétrica con respecto al origen).Discontinua para kπ, siendo k entero.
Función exponencial: sea un número real positivo y distinto de 1. Definimos la
función exponencial de base como aquella que tiene la forma:
en donde x es cualquier número real.
Es útil comparar las gráficas de trazando ambas en
el mismo sistema coordenado (figura 34.a). La gráfica de:
(Figura 34.b)
se parece mucho a la gráfica de y = 2x y la gráfica de:
(Figura 34.b)
se perece mucho a la gráfica de . Nótese en ambos casos que el eje x
es una asíntota horizontal que nunca toca las gráficas.
1
a
OBSERVACIONES:
8
6
4
2
-2 -1 0 1 2
y = 2x
xx
y
2
2
1
y
Dominio = R Contradominio = (0,)
Tipo básico 1 Tipo básico 2
y = ax
0< a< 1
y = ax
a > 1
b
y
Note que cuando la base a es mayor que 1, la función
exponencial (figura a) no está acotada superiormente. Es decir,
crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero
como extremo inferior. Esto es, tiende a cero (0), cuando x toma valores
grandes pero negativos.
Igualmente, cuando la base 0 < a < 1, la función exponencial
(figura b) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores
grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x
valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma
valores grandes positivos.
El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente
creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función
exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la
función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la
función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.
Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación
decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función
exponencial , se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente,
se denota por Exp(x) = . Se llaman funciones exponenciales a las
a b
funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es
constante (un número) y el exponente la variable x.
Dominio y Contradominio de la Función Exponencial.
Función exponencial de
base a
Dominio Contradominio
Todo número real - < x < 0< y <
EJERCICIOS: Calcule el dominio y contradominio de las siguientes
funciones. Realizar la gráfica de las funciones.
1) f(x) = (1/3)x
2) f(x) = 5x
RESUMEN: La función exponencial
Definición.-Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x le asigna la potencia ax se denomina función exponencial de base a.
Funciones exponenciales Df: - ∞<x<∞
Cf: 0<y<∞
f(x) = ax (0<a<1) f(x) = ax (a>1)
Propiedades:
ax > 0 para todo x є R. La función exponencial de base a>1 es estrictamente creciente, mientras que la de base a<1 es estrictamente decreciente. La función exponencial de base mayor que 1 no está acotada superiormente aunque si lo está inferiormente en R. Si 0 < a < 1 la función exponencial de base a no está acotada superiormente aunque si lo esta inferiormente en R. Si 0 < a < b entonces: ax < bx si x > 0 y bx < ax si x < 0.
Cualquiera que sea el número real positivo y existe un único número real x tal que ax = y. El número x se llama logaritmo en base a de y y se representa
Función exponencial:
, , Donde
. Esta función es creciente en todo
su dominio si y decreciente si
.
La imagen de es .