Concepto de funcin

Sean y conjuntos no vacos. Una funcin de en es una regla de correspondencia tal que, a cada

elemento de le asocia un nico elemento en .

Notacin

f funcin de A en B

A Dominio de la funcin f

B Codominio de la funcin f

Rango de la funcin f

Ejemplos

"Cada ser humano tiene una fecha real de nacimiento". "Cada alumno en la UNAM tiene un nmero de cuenta".

Cada elemento del Dominio tiene asociado un nico elemento en el Codominio. As, son reglas de asociacin que establecen una funcin. Varios elementos del dominio pueden tener asociado el mismo elemento del codominio. Es seguro que muchos seres humanos hayan nacido en la misma fecha.

No ejemplos

"Cada alumno de la Facultad de Ciencias tiene computadora"

Es seguro que haya alumnos que no tengan computadora o inclusive puede ser que haya alumnos que tengan ms de una. Es una regla de asociacin que no establece una funcin.

Funcin Real de Variable Real

es una funcin real de variable real, si y . Es decir, cada real de , tiene asociado un

nico real en . En adelante, a menos que se diga lo contrario, se tomar .

Como , se le llama funcin real y como , se le llama de variable real.

No ejemplos

Observa que no existe.

Observa que .

Observa que el 1 tiene dos asociados:

Observa que el 1 tiene dos asociados:

Observacin Los cuatro casos anteriores podran ser funciones con slo corregir el dominio. Por ejemplo en a) bastara quitar del dominio el valor 1 y en b) bastara tomar como dominio los reales no negativos. Qu correcciones habra que hacer en los otros dos casos?.

Algunos ejemplos Ilustraremos algunos ejemplos de funciones que son comunes en los cursos de Clculo Diferencial e Integral.

Operaciones bsicas

Adicin de funciones

Sustraccin de funciones

Multiplicacin de funciones

Divisin de funciones

Observacin

En todos los casos el dominio debe ser la interseccin de y para garantizar la existencia de y y por consecuencia poderlas sumar. Pero adems en la divisin se deben quitar los valores donde el

denominador sea cero.

Operacin composicin

La variable x debe estar en el dominio de para garantizar que exista y ste a su vez debe estar en el

dominio de para garantizar que exista . La composicin no es conmutativa Reglas de asociacin distintas:

Puede ilustrar un caso donde ?.

Calculando componentes En una funcin compuesta cmo puedes encontrar sus componentes?. Por ejemplo en

Una buena regla es leer de adentro hacia afuera. Es decir:

Observacin La operacin composicin es muy til para generar una gran diversidad de funciones.

Funciones Biyectivas

Una funcin es biyectiva, si es a la vez inyectiva y suprayectiva (llamada brevemente: sobre). Es decir:

Funciones inyectivas

Una funcin es inyectiva, si

Elementos distintos del dominio, tienen imgenes distintas en el codominio, es decir, elementos distintos del dominio, no pueden tener la misma imagen en el codominio.

Funciones suprayectivas

Una funcin es sobre si

Significa que todo elemento del codominio es imgen de algn elemento del dominio.

Ejemplos

Funciones Montonas

Para una funcin definida en un intervalo I, existen 4 casos posibles de monotona.

1) Es montona creciente, si:

2) Es montona decreciente, si:

3) Es montona no creciente, si:

4) Es montona no decreciente, si:

Ejemplos

La importancia de que el dominio sea un intervalo

Funciones pares e impares Se llaman as porque tienen simetra, respecto al eje vertical o respecto al origen. As, sus dominios son

simtricos al origen, es decir: .

Funcin par

es par, si: Tiene simetra respecto al eje vertical.

Funcin impar

es impar, si: Tiene simetra respecto al origen.

Algunos teoremas

1) Si es par y par, entonces es par:

2) Si es par y impar, entonces es impar:

3) Si es impar y impar, entonces es par:

Funciones pares Funciones impares

Un teorema ms: Toda funcin es suma de una par con una impar

Cualquiera se puede expresar de la siguiente forma:

Puedes checar la igualdad y que, es par y impar.

Funciones acotadas

Se dice que es acotada si: .

De manera equivalente se dice es acotada si:

.

Esta segunda definicin permite tipificar si est acotada superior o inferiormente segn existan M o m, respectivamente.

Algunos teoremas

Sus demostraciones en realidad son secillas y puedes realizarlas sin mucha dificultad.

Ejemplos No ejemplos

Observacin Las funciones acotadas no pueden crecer o decrecer al infinito. Ms bien sus grficas se encuentran entre dos rectas paralelas al eje de las x, las que pasan por m y M.

Funciones peridicas

, se dice que es peridica con perodo . Es condicin

que: .Al mnimo valor positivo de para el cual se cumple esta propiedad,

se le llama el perodo de .

Si es peridica significa que sus valores se repiten con regularidad. De manera prctica significa que la grfica de la funcin en un cierto dominio, se repite a la derecha y la izquierda.

Ejemplos No ejemplos