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7/17/2019 funcionesvar

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Definicion y Grafica Lımites y Continuidad

Matematica III

Funciones de varias variables

Rosa Luz Medina Aguilar

UNTELS

2015-II

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Contenido

1 Definicion y Grafica

Definicion, Dominio y Rango

Operaciones con funciones

Grafica de una funcion de varias variables

Curvas de nivel y Superficies de nivel

2 Lımites y Continuidad

Conceptos previos

Lımite de una funcion

continuidad

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Contenido







Conceptos previos


continuidad

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Funciones de varias variables - Definicion

Hay muchas funciones que dependen de mas de una variables

Ejemplo

El area de un triangulo de base b y altura h

A = 1

2hb → A = f (h, b ), h > 0 b > 0

El volumen de un paralepıpedo rectangular de lados x , y , z

V = xyz → V = f (x , y , z ), x > 0 y > 0 z > 0

D fi i i´ G ´fi L i C i id d

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Definicion

Una funcion f de varias variables, es una regla o ley que asocia acada vector (x 1, x 2, x 3, . . . , x n) ∈ D f ⊂ R

n un unico numero realy = f (x 1, x 2, x 3, . . . , x n), siendo D f el dominio de f .

f : Rn −→ R

(x 1, x 2, . . . , x n) → y = f (x 1, x 2, . . . , x n)

Entonces, una funcion de varias variables esta constituida por:

Su dominio D f ⊂ Rn

Su rango R f ⊂ R

La regla y = f ( x ) que asocia a cada elemento del dominio su

imagen.

D fi i i´ G ´fi L it C ti id d

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Definicion

Nos concentraremos en casos particulares de funciones

f : D f ⊂ R2 −→ R

(x , y ) → z = f (x , y )

f : D f ⊂ R3 −→ R

(x , y , z ) → v = f (x , y , z )


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Funciones de varias variables- Dominio y Rango

Dominio (D f ) Es el conjunto donde esta definida f , D f ⊂ Rn

Rango (R f ) Es el conjunto de todos los valores reales quetoma f , R f ⊂ R

Entonces

El dominio de una funcion de dos variables es la region delplano para la que la regla de correspondencia tiene sentido enR

El dominio de una funcion de tres variables es la region delespacio para la que la regla de correspondencia tiene sentidoen R


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Dominio y Rango

Ejemplo Halle el dominio de la siguiente funcion

f (x , y ) = y

x − y 2


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Dominio y Rango

Ejemplo Halle el dominio de la siguiente funcion:

f (x , y , z ) = cos(yz )

4 − x 2 − y 2 − z 2


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Operaciones con funciones de varias variables

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la mismamanera que las funciones de una variable.Sean f y g funciones de varias variables

f : D f ⊂ Rn −→ R y g : D g ⊂ Rn −→ R

entonces tenemos

(f ± g )( x ) = f ( x ) ± g ( x )

(f · g )( x ) = f ( x ) · g ( x )f

g

( x ) =

f ( x )

g ( x ), g ( x ) = 0


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y y


Operaciones con funciones de varias variables

El dominio de la funcion suma, diferencia y producto es lainterseccion de los dominios de las funciones de varias variables, esdecir

D f +g = D f −g = D fg = D f ∩ D g

En el cociente se hace una restriccion adicional

D f /g = D f ∩ D g − {x ∈ D g /g (x , y ) = 0}

EjemploHalle el dominio de la siguiente funcion

f (x , y ) = x 2y

y − x 2

+ x − 1

1 − x 2 − y 2


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y y


Funcion compuesta

No se puede realizar la composicion entre funciones de variasvariables, pero si r : R −→ Rn es una funcion vectorial,

h : R −→ R una funcion real y f : Rn −→ R una funcion de variasvariables, podemos obtener funciones compuestas

h ◦ f : Rn −→ R

f ◦ r : R −→ R

EjemplosHalle la funcion compuesta de la funcion:

f (x , y , z ) = xy 2z 3 − xyz

con las funciones

x = g 1

(t ) = e t , y = g 2

(t ) = cos t z = g 3

(t ) = t 2


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y y



Dada la funcion f y x ∈ Rn la grafica de f : Rn −→ R es el

conjuntoG f = {( x , f ( x )), tal que x ∈ D f }

Observe que G f ⊂ Rn+1

Luego

Si el D f ⊂ R2 entonces G f ⊂ R3 (superficie en el espacio)

Si el D f ⊂ R3 entonces G f ⊂ R

4


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Grafica de una funcion de dos variables


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Curvas de nivel o lineas de contorno

Como no es sencillo graficar una funcion de dos variables, puedenusarse conjuntos bidimensionales para obtener informaciontridimensional.

Definicion

Dada una funcion en el plano z = f (x , y ) sus curvas de nivel sedefinen como las proyecciones en el plano XY de los conjuntos

C k = {(x , y )/f (x , y ) = k }

en donde k es una constante.


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Curvas de Nivel


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Curvas de Nivel

f (x , y ) = cos x + cos y


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Curvas de Nivel

f (x , y ) = xe −x 2−y 2


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Curvas de Nivel

f (x , y ) = x 2 − y 2


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Curvas de Nivel

f (x , y ) = −4x

x 2 + y 2 + 1


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Superficies de nivel

Para el caso de funciones de tres variables, las superficies de nivelson una generalizacion de las curvas de nivel.

DefinicionDada una funcion en el espacio z = f (x , y ) sus superficies denivel se definen como los conjuntos

S k = {(x , y , z )/f (x , y , z ) = k }

en donde k es una constante.


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f (x , y , z ) = x − 2y + 3z


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f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2


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f (x , y , z ) = 4x 2 + y 2 + z 2


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Contenido







Conceptos previos


continuidad


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Conceptos previos

Conceptos previos

Bola abierta Si a = (x 1, . . . , x n) ∈ R

n

y δ > 0, el conjunto

B ( a, r ) = { x ∈ Rn/|| x − a|| < r }

se llama bola o vecindad abierta de centro a y radio r

Asi:

En R2 B ( x 0, r ) sera el cırculo de centro (x 0, y 0) y radio r

B ( x 0, r ) = {(x , y ) ∈R

2

/||(x , y ) − (x 0, y 0)|| < r }

En R3 B ( x 0, r ) sera la esfera de centro (x 0, y 0, z 0) y radio r

B ( x 0, r ) = {(x , y , z ) ∈ R3/||(x , y , z ) − (x 0, y 0, z 0)|| < r }


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Conceptos previos

Limites


C i

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Conceptos previos

Conceptos previos

Entorno Un entorno de un punto x ∈ Rn, es cualquier bola

abierta de centro x .

Conjunto abierto Un conjunto A es abierto si y solo si∀ x ∈ A, existe un entorno contenido en A

Conjunto cerrado Un subconjunto A es cerrado si sucomplemento es abierto R

n − A.

Conjunto acotado Se dice que un conjunto es acotadocuando esta contenido en una bola de radio finito.


C t i

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Conceptos previos

Conceptos previos


Conceptos previos

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Conceptos previos

Conceptos previos



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Lımite de una funcion de dos variables

Definicion

Sea f una funcion de dos variables definida en un disco abiertocentrado en (x 0, y 0) excepto quizas en el punto (x 0, y 0) y sea L un

numero real. Entonces

lim(x ,y )→(x 0,y 0)

f (x , y ) = L

si y solo si para cada > 0 existe un δ tal que |f (x , y ) − L| < siempre que 0 < ||(x , y ) − (x 0, y 0)|| < δ



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Propiedades

Suponga que (x 0, y 0) es un punto en el plano XY y quelim

(x ,y )→(x 0,y 0)f (x , y ) = L1 y lim

(x ,y )→(x 0,y 0)g (x , y ) = L2, entonces

lim(x ,y )→(x 0,y 0)

[f (x , y ) ± g (x , y )] = L1 ± L2,

lim(x ,y )→(x 0,y 0)

λf (x , y ) = λL1, λ ∈ R,

lim(x ,y )→(x 0,y 0)

f (x , y )g (x , y ) = L1L2, y

lim(x ,y )→(x 0,y 0)f (x , y )g (x , y )

= L1

L2, L2 = 0.



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lımite de una funcion de dos variables

Comprobar un lımite

Ejemplo Compruebe que

lim(x ,y )→(0,0)

x 2 + y 2sen 1

x 2 + y 2 = 0

Calculo del lımite

Ejemplo Calcular el lımite de

lim

(x ,y )→

(1,3)

6x − 2y

9x 2

− y 2

lim(x ,y )→(0,0)

x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1



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Inexistencia de lımites

Observe que para acercarse a un punto en R

2

existe una infinidadde caminos



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Si f (x , y ) tiende a L1 cuando (x , y ) se aproxima a (x 0, y 0) poruna trayectoria C 1 y f (x , y ) tiende a L2 cuando (x , y ) seaproxima a (x 0, y 0) por otra trayectoria C 2 y L1 = L2 entonceslim(x ,y )→(x 0,y 0) f (x , y ) no existe.

Si dos caminos distintos llevan al mismo numero L no sepuede concluir que el limite es L, para conluir que el limiteexiste hay que probarlo.

Ejemplo Pruebe que los siguientes lımites no existen

lim(x ,y )→(0,0)

xy x 2 + y 2

lim(x ,y )→(0,0)

y 2

x + y 2


continuidad

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Continuidad

Definicion

Sea f : D f ⊂ R2 → R una funcion y (a, b ) un punto del dominio

D f . Se dice que f es continua en (a, b ) si

lim(x ,y )→(a,b )

f (x , y ) = f (a, b )

La funcion f es continua en su dominio D f si es continua en

cada puntoSi una superficie es la grafica de una funcion continua, estasuperficie no tiene agujeros ni rupturas.


continuidad

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Continuidad

Las siguientes funciones son continuas en su dominioFuncion constante,Polinomios,

Exponenciales,Seno, coseno,Logaritmos

El producto, suma, diferencia de funciones continuas resultanser funciones continuas.


continuidad

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Continuidad

Ejemplo Halle los puntos de discontinuidada de xy + 1

x 2 − y


continuidad

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Continuidad

Ejemplo Halle los puntos de discontinuidada de

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