fundamentos de comunicaciones FORMATEADO · Lenguaje h Lenguaje e Lenguaje p Sonidos de Señales de Palomas m UNICACIÓ nicación Efic e y con un m ñal de inform generado po Tormentas

SISTE_____

1.1 I Exist

••••••

COMComuposibl La seRuido

•••

Ruid•••••

TodasLas seson diPara s

La relrelaci Este eun enlSi el Bcon unSe puRelac

T - TiC - CB - BWLa caindep

EMAS DE COM__________

Introducció

ten numerosas Lenguaje h Lenguaje e Lenguaje p Sonidos de Señales de Palomas m

MUNICACIÓunicación Eficle y con un meñal de informo generado po Tormentas Radiación Radiación

do generado po Interruptor Apagado y Radiación Lámparas Ruido de fs las señales deñales que tranifíciles de idensuperar esta di

lación Señal aón de la poten

es un parámetrlace. BWy la S/N sna calidad esp

uede reducir elción de Hartley

iempo de tranapacidad del cW = Band Wiapacidad de endientes que

MUNICACIO___________

FUNDAM

Análisis

ón

s formas de cohablado escrito pictórico e tambor e humo mensajeras N ELECTRÓciente: Transmínimo de erro

mación se conor fenómenos s y descargas

n solar. n intergalácticaor fenómenosres con contacy encendido d

n por ignición.fluorescentes

fluctuación (rude ruido son alnsportan la inntificar en el rificultad es ne

a Ruido: ncia de la seña

ro importante

on intercambipecífica. l BWcon el finy (Ralph Vint

smisión, en secanal o rapideidth, ancho detransmisión

e pueden pasarSeñ

NES ___________

MENTOS

C

de Señale

omunicación:

ÓNICA misión y recepres.

ntamina por Rnaturales: eléctricas.

a. s provocados pctos defectuos

de equipo eléct

s. uido térmico eleatorias, en u

nformación sufreceptor. ecesario increm

debal a la Potenci

en la evaluac

iables, entonce

n de incremenon Hartley, 19

C α (BWegundos. ez de transmise banda del cande un sistemr (transmistirsales/Segun

___________

S DE COM

Capítulo

es por el M

pción de infor

RUIDO.

por el hombresos. trico.

en resistores, runo u otro sentfren alteración

mentar la pote

be mantener uia del Ruido.

ción de compo

es se puede m

ntar la relación928, Laborato

W) (T). Ecu

ión del mensanal de transm

ma de comunse) a través dendo ó Símb

___________

MUNICA

1

Método de

rmación (o me

e:

ruido de dispatido. n debido al rui

encia de las se

un determinado

ortamiento de

mantener una r

n S/N y viceveorios Bell): ación 1.1.

aje. misión.

nicación reprl sistema por ubolos/Segu

Ingº Luis A___________

ACIONES

e Fourier

ensajes) lo má

aro en disposit

ido aleatorio y

eñales portado

o valor ya que

un sistema de

rapidez dada d

ersa.

resenta el núunidad de tiemundo

Alvarado Các__________

Página 2

S

r

ás rápidamente

tivos activos)

y por consigui

oras del mismo

e representa la

e comunicació

de comunicaci

úmero de símmpo:

ceres _____

2 de 123

e

.

iente

o.

a

ón o de

ión

mbolos

SISTE_____

Ley d En 19"Bell "Lími

Cono


de Shannon

948 Claude ESystem Technite de Shanno

ocida también

Figura


n-Hartley:

Elwood Shannonical Journal"on para la cap

n como LEY d

C = (3

1.1 Diagrama

R

R

NES ___________

on (también d" la siguiente epacidad de inf

Claude Elwo

de SHANNON

3.32) (BW)

a bloques de

Ralph Vinton

Reginald Aubr

___________

de los Laboratecuación, a la formación",

ood Shannon

N-HARTLEY:

Eclog10(1 + S

un sistema de

Lyon Hartle

rey Fessende

___________

torios Bell) puque llamó:

(1916 - 2001)

Y:

cuación 1.2S/N) Ecuaci

e comunicació

ey (1888 - 197

en (1866 - 193


ublicó en un a

)

. ión 1.3.

ón, se incluye

70)

32)


Página 3

artículo de la r

el ruido.

ceres _____

3 de 123

revista

SISTE_____

HarryTrabaJohnsestabinecesAffectdesarrdesarr En 19cual idoble topicsmuestCommAl teoKotelnimpor

Ejem

••••••••••••

IncreIncrePor lola rel


y Nyquist trabajando para loson (mejor conilidad de los ario para la ting Telegraprollar su inverollo de la Teo

927 Nyquist dndica que parque el ancho

s in Telegraptreo de Nyqumunication inorema de muenikov-Shannortante en la teo

mplos Actuales Teléfono. Radio. Tv. Periódicos Internet. Aeronaves Satélites. Transbord Meteorolo Telefonía Módulo de PDA's. emento enemento deo tanto, paraación de pot


ajó para AT&os Laboratorinocido como amplificadoretransmisión dph Speed (Beestigación en oría de la Info

desarrolló su tera digitalizar uo de banda de ph Transmissiuist-Shannon.

n the Presencestreo de Nyqu

on o como critoría de la info

E

s de sistemas d

s.

s en vuelo.

dadores. ogía. Celular. e Red Inalámb

n la velocide las frecuea que la comuencias de señ

NES ___________

&T de 1917 a 1os Bell realizruido de Johnes retroalimende la informaell System Te1928 y poste

ormación.

eoría de muesuna señal, éstla misma señ

ion Theory (Este teorem

e of Noise. uist-Shannon, terio de Nyqu

ormación y en

Harry N

Edwin Howar

de comunicac

brica para Lap

dad de tranencias ⇒ Iunicación seañal a ruido y

___________

1934, despuészó investigacinson-Nyquist)ntados. Desdeción, el cual echnical Journeriormente a S

streo o de freca debe ser muñal. Nyquist p1928). A esta

ma fue demos

se le conoce tist o teorema las telecomun

Nyquist (1889

rd Armstrong

ión o Aplicac

p-Top.

nsmisión ⇒Incrementoa más rápida

y el ancho de

___________

s trabajó para iones acerca ), también reae 1920 invesfue publicado

nal, 1924), esShannon en 1

cuencia de muuestreada por publicó estos a ley se lo costrado por Sh

también comode Nyquist, tanicaciones.

9 - 1976)

g (1890 – 195

iones de los m

⇒ Compreo del ancha y de mejor banda del ca


los Laboratordel Rruido T

alizó investigastigó acerca do en el artícuste trabajó le 1948 las cual

uestreo de unalo menos conresultados en

onoce ahora channon en 1

o teorema de Wambién es un t

54)

mismos:

esión en el o de bandacalidad, con

anal de trans


Página 4

rios Bell hastaTérmico o ruaciones acercadel ancho de ulo Certain F

permitió a Hles contribuye

a señal analógn una frecuencn el artículo Ccomo el teore1949 en el a

Whittaker-Nyqteorema muy

tiempo ⇒a.

nviene incremmisión.

ceres _____

4 de 123

a 1954. ido de a de la banda

Factors Hartley eron al

gica, el cia del

Certain ema de artículo

quist-

⇒

mentar

SISTE_____

El Es


pectro Electr

APLAM ONDFM BANNO LTV TELSAT

Figura


romagnético:

LICACIÓN

DA CORTA

NDA CIVIL LICITADA (

LEFONÍA CETÉLITES

a 1.3a Espectr

NES ___________

Figura 1.2a E

Figura 1.2b E

Figura 1.2c E

(AICM)

ELULAR

Tabla 1.1

ro Electromag

___________

Espectro Elect

Espectro Elect

Espectro Elect

R

1 Algunas apli

gnético como f

___________

tromagnético.

tromagnético.

tromagnético.

RANGO DE F535 KHZ

87.5 MH

icaciones.

función de la


.

FRECUENCZ-1605 KHz

z- 108 MHz

longitud de on


Página 5

IAS

nda, λ.

ceres _____

5 de 123

SISTE_____

Repre

Figu

Figu


Figura

esentación de

ura 1.4 Suma

ura 1.5. Form


a 1.3b Espectr

e señales y re

finita de func

ma de onda en e

NES ___________

ro Electromag

lación entre d

ciones ortogonerror

el tiempo y reobtenida con

___________

gnético como

dominio del t

nales para aproen la aproxim

epresentación un analizador

___________

función de la

tiempo y frec

oximar una fumación.

en frecuenciar de espectros


longitud de on

cuencia:

unción cuadrad

as (espectro) u.


Página 6

nda, λ.

da y el cálculo

una señal cuad

ceres _____

6 de 123

o del

drada

SISTE_____

Figu

Fig


ura 1.6. Forma

gura 1.7. Form


a de onda en e

ma de onda en

NES ___________

el tiempo y repobtenida con

el tiempo y reobtenida con

___________

presentación eun analizador

epresentación un analizador

___________

en frecuenciasr de espectros

en frecuenciar de espectros


s (espectro) un.

as (espectro) u.


Página 7

na señal triang

una señal seno

ceres _____

7 de 123

gular

oidal

SISTE_____

1.2 C DefinPara depenLa funEl mécuatro

1234

Señal Una s

ParaEl vg(t) Ejem

2) Señ Una scualquUna spresen 3) Señ En losConsipor la

En am=i(t),

Sin imCon b


Clasificació

nición de Señacada instante

ndiente). nción (o señalétodo a utilizao diferentes cl. Señales Pe

2. Señales D. Señales de

4. Señales A

les Periódicas

señal periódica

a toda t, t→valor más ∴ TO defin

mplo:

ñales Determ

señal determinuier tiempo. Lseñal aleatoriante en la realid

ñales de Ener

s sistemas eléidere un voltaja Ley de Ohm)

mbos casos P esegún la ley d

mportar que g(base en esto, p


ón de las señ

al: Es una fune de tiempo (

l) puede ser rear para represelases de señaleeriódicas, Señeterminísticase Energía, Señnalógicas, Señ

s, Señales no

a g(t) es una f

→ Tiempo,pequeño dne la durac

minísticas, Señ

nística es una Las señales dea es una señadad.

rgía, Señales

ctricos y/o eleje v(t) que se ). La potencia

es proporcionade Ohm y:

(t) represente podemos defin

NES ___________

ñales

nción de una v(variable inde

eal o complejaentar la señal es.

ñales no Perióds, Señales Aleñales de Potenñales Digitale

Periódicas.

función que sag(t) = g (

TO → es unde TO que ción de un

ñales Aleatori

señal acerca determinísticas al acerca de la

de Potencia.

ectrónicos, unaplica sobre u

a instantánea q

al al cuadrado

voltaje o corrnir la energía t

___________

variable, el tiemependiente) ex

a, sin embargodepende del t

dicas. eatorias. ncia. es.

atisface la con(t + TO) Ecuna constantsatisface ciclo com

Ecuac

ias.

de la cual no eson funciones

a cual existe c

a señal puedeun resistor R yque se disipa e

Ecuac

Ecuaco de la amplitu

Ecuaciente. total de una se

___________

mpo, que condxiste un valo

o el tiempo sietipo de señal.

ndición. uación 1.4.te la condici

mpleto de g

ción 1.5.

Ecuación 1

existe incertids del tiempo ccierto grado d

representar uy que produce en este resistor

ción 1.7.

ción 1.8. ud de la señal.

ción 1.9.

eñal g(t) como


duce la informor único de l

empre tendrá u Por lo tanto,

ión se llamg(t).

.6.

dumbre con reompletamentede incertidum

un voltaje o ununa corrienter es:

. Si R = 1 Ohm

o:

Ecuación 1.


Página 8

mación. a función (va

un valor real. podemos dist

ma: Períod

especto a su vae específicas.

mbre antes de

na corriente. e i(t) (determin

m entonces v(t

.10.

ceres _____

8 de 123

ariable

tinguir

do de

alor en

que se

nado

t)

SISTE_____

Y a su

g(t) e

g(t) es

-Una -Una Las c a) U b) UEn geLas se 4) Señ Una sanalógconviMicróCeldaUna ssólo vCuandamplise con

Codif


u potencia me

es una señal de

s una señal de

señal de energseñal de poten

clasificacionesUna señal de eUna señal de p

eneral, las señaeñales aleatori

ñales Analógi

señal analógicgicas se preseerte en una se

ófono ⇒ Variaa Fotoeléctricaseñal de tiempvalores discretdo cada una itud toma solanoce como señ

ficación de la


edia como:

e energía, si y

e potencia, si,

gía siempre tiencia tiene unas de energía y energía tiene upotencia tieneales periódicaias son señale

icas, Señales

ca es una funcentan cuando ueñal eléctrica. aciones de prea ⇒ Variacionpo discreto se tos que se encde las muest

amente un conñal digital.

Figura 1.8

Figuras muestras (Se

NES ___________

y sólo si la ene

y sólo si su po

ene una potena energía infin

de potencia suna potencia me una energía ias son señales es no periódica

Digitales.

ción continua una forma de La conversiónesión de sonidnes de intensiddefine solameuentran, por ltras de una snjunto finito d

8. Señal Analó

a 1.9. Señal aneñal digital):

___________

ergía total de l0 < E < ∞

otencia media0 < P < ∞

ncia media iguita y su potenc

son mutuamenmedia igual a infinita. determinísticaas y de energí

del tiempo, conda física, t

n se efectúa podo ⇒ Variaciodad de la luz.ente para tiemo general, espeñal de tiemp

de valores disc

ógica (senoida

nalógica mues

0 ⇒ 0001 ⇒ 0012 ⇒ 0103 ⇒ 0114 ⇒ 1005 ⇒ 1016 ⇒ 1107 ⇒ 111

___________

Ecuación la señal satisfa∞ a satisface la c∞ ual a cero. cia media se d

nte excluyentecero.

as y de potenca.

con su amplitutal como una or medio de uones de V(t), i

mpos discretospaciados de mpo discreto scretos) y lueg

al), continua y

streada y discr


1.11. ace la condició

condición:

define como ees ya que:

cia y...

ud también coonda acústica

un transductori(t).

s. La variable anera uniforme Cuantifica

go se codifica.

y periódica.

retizada.


Página 9

ón:

en la ecuación

ontinua. Las sa o una lumino.

independienteme.

(se permite q. La señal resu

ceres _____

9 de 123

1.11.

señales osa, se

e toma

que su ultante

SISTE_____

1.3 A En teencuehechosenoid 1.- Qurepresel sist

es:

dond 2.- Quentradtiemp

Se disLa ve Si es uSerie Repre Si es uTransDescr Venta

123


Análisis de

eoría, existen entra que el ao, bien conociddal de la mism

ue el sistema sentan las resptema es lineal

de a1 y a2 s

ue el sistema sda x(t), entoncpo, también est

F

spone de variorsión particula

una Señal Perde Fourier:

esenta la señal

una Señal de Esformada de Fripción en el d

ajas de utiliza. Simplifica

2. Permite el. Permite vi


Fourier de

muchos métoanálisis de Fodo, de que la r

ma frecuencia.

sea lineal: Elpuestas de un si su respuest

son consta

sea Invariantces, el sistematá desplazada

Figura 1.10. E

os métodos dear que se utiliz

riódica, entonc

l en términos d

Energía, entonFourier: dominio de la

ar los métodoación de cálcul análisis de coisualizar una s

NES ___________

e las Señale

odos posiblesurier aventajarespuesta de u. Pero con fase

l sistema es linsistema a las

ta a: a1x1(t) + a

a1y1(t) + aantes arbitr

te en el tiempoa es invariante

en el tiempo.

Entrada y Sali

e análisis de Foza en la prácti

ces se utilizará

de un conjunt

nces:

frecuencia o e

os de Fourierulos matemáticomponentes arseñal en el dom

___________

es

s para la repra a todos los un sistema linee y amplitud d

neal si obedecs entradas x1(t

a2x2(t) Ecu

a2y2(t), Ecurarias.

o: Supóngasee en el tiempo Ver figura 1.

ida de un siste

ourier para la ica, depende d

á:

o de senoides

espectro de la

: cos. rmónicas (THminio del tiem

___________

resentación deotros método

eal a una entradiferentes, baj

ce el principiot) & x2(t), resp

uación 1.12.

uación 1.13

e que y(t) es lasi la respuesta10.

ema Invariante

representaciódel tipo de señ

relacionadas

señal.

HD). mpo y de la fre


e las Señalesos. Esto es unada de onda so las siguient

o de superposipectivamente,

.

.

a respuesta de a a la entrada

e en el tiempo

ón de señales. ñal que se con

armónicamen

ecuencia.


Página 10

. En la práctina consecuencenoidal es otres condicione

ición si y1(t) &, podemos dec

un sistema a desplazada en

o.

nsidere:

nte.

ceres _____

0 de 123

ica, se cia del ra onda es:

& y2(t) cir que

la n el

SISTE_____

1.4 M El PrTransEl PrReconrecon DebidreconoriginLa regEl meEl metiempComp1) Tra2) Ca3) Rec

Fuent

1234

GenerCierto Recur

12

En la Por lo

P.e:

La poEl anc DefindespreDefinportadEl BWtransmcaso.


Modelo de u

opósito de unsmitir señalesopósito del Rnstruir la seña

nstrucción se l

do al ruido y astruir la señal

nal tiene que vgla dice que: ensaje que proensaje de la fupo. ponentes princansmisor (Tx)nal de Comunceptor (Rx).

tes de Degrada. No lineali

2. Imperfecc. Ruido.

4. Interferenralmente el tros esquemas d

rsos Primario. Potencia T

2. Ancho de mayoría de loo tanto, hay ca

- E- E- U

otencia es unacho de banda nición BW deeciable y, por

nición BW deldora de la infoW de un sistemmitir) todas las


un sistema

n sistema de Cs portadoras dReceptor es: al original delleva a efecto

a la distorsión original del m

ver, entre otras

oduce la fuenteuente (señal fís

cipales de un S). nicación (Me

ación: idades del canciones de la re

ncia. ransmisor prede modulación

os de un SisteTransmitida (Banda del Ca

os canales de canales de com

••

El circuito teleEl espacio librUn enlace vía a característicaes una caracte

e una señal: Elo tanto, inne

l Medio: Bandormación (junma de comunics frecuencias

NES ___________

de comuni

Comunicacióde informació

e la fuente, a p por medio de

en la señal remensaje con exs característica

e no es de natusica) va a un t

Sistema de Co

edio de Transm

Figura 1.11.

nal de Tx. espuesta en fr

esenta tambiénn son menos se

ema de Comu(Reflejada en anal (BW). comunicación

municación: Limitados Limitados

efónico es un ce o aire sería usatélite es un a que NO depeerística (física

Es la frecuenciecesario para lda de paso (ranto con la inforcación debe sesignificativas

___________

icación

ón es: ón de una fuen

partir de la vee la recepción

cibida (degradxactitud. La has, con la sens

uraleza eléctritransductor y s

omunicacione

misión).

Sistema de C

recuencia.

n estos probleensibles que o

unicación: el parámetro

n se puede con

s en potencia.s en banda.

canal de comuun canal limitenlace limitadende del cana

a) que SI depenia superior sobla adecuada trango de frecuenrmación) de laer lo suficientde la informa

___________

nte → Hacia

ersión degradan, amplificació

dada) el recephabilidad del rsitividad del r

ica. se produce un

s:

omunicación.

emas de degraotros a los efec

o S/N).

nsiderar un rec

unicación limitado en potencdo en potenciaal de comunicande del canal bre la cual el cansmisión delncias) mínimaa fuente a travtemente grandación no modu


un usuario.

dada que recibón y demodul

ptor, en ocasioreceptor para rreceptor.

na Señal eléctr

adación. ctos del Ruido

curso más imp

itado en bandacia. a. ación, sino delde comunicac

contenido espl mensaje conta requerida pavés del sistemade (ancho) parulada o modul


Página 11

be, esta lación.

ones, no es capreconstruir la

rica variable en

o y la distorsió

portante que o

a.

l transmisor. ción. ectral de la setenido en la seara propagar laa de comunicara dejar pasar (lada , según se

ceres _____

1 de 123

paz de señal

n el

ón.

otro.

eñal es eñal. a señal ación. (o ea el

SISTE_____

1.5 S Un prtratanEn el BreveUn ve

muest

¿CómSí es pperpen

La coAsí pu

Es clainfinit

En ca

otro v

Los vSin emlos otr


Señales y ve

roblema se entn de buscar ana

estudio de lase repaso de lasector se especi

tran en la figu

mo expresaríamposible, tenemndicular desd

Fi

mponente de ues, el vector

aro que ésta noto. A continua

ada una de las

vector

vectores mbargo, la priros dos casos


ectores

tiende mejor salogías al estus señales, a ésts propiedadesifica mediante

ura y

mos el vector mos que obtene el extremo d

igura 1.13. Ilu

sobre el vexpresand

o es la única fación se mues

Figura

tres represent

, el c

repreimera represeny ∴ esa es la

NES ___________

si se le asocia udiar un nuevotas, podemos s de los vectore su magnitud

.

F

en términoner la componede hacia el

ustración de la

vector es edo en término

forma de expretran otras dos

ó

1.14. Ilustrac

taciones que s

cual llamarem

esentan el errontación es espmejor represe

___________

con algún feno problema. asociarlas con

res: d y su dirección

igura 1.12.

os de ? ente de sol vector :

a perpendicula

el escalar C12s del vector

Ecu

esar en térs opciones, ver

Ecu

E

ción de las ecu

e han visto

mos vector erro

or de cada unapecial porque entación.

___________

nómeno conoc

n los vectores

n. Considéren

Vectores

obre . Esta

ar trazada sobr

2 V2, donde Vsería:

uación 1.14.

rminos de r figura 1.13y

uación 1.15.

Ecuación 1.16.

uaciones 1.15

queda expre

or y va a repre

a de las aproxien ese caso (e


cido. Por esta

( la analogía

nse los dos vec

y

a se obtiene tr

re el vector

V2 es la magni

. El número y ecuaciones 1

y 1.16.

esado en térm

esentar el erro

maciones. el único) el err


Página 12

razón, siempr

es casi perfec

ctores que se

.

razando una

.

itud de .

de posibilidad.15y 1.16.

inos de m

r de aproxima

ror es menor

ceres _____

2 de 123

re se

ta).

des es

más

ación.

que en

SISTE_____

Por lovectorCuantdirecc

a C12 evectorexpre

En la Ve3 <Si los El pr

donde

La co

La co

De igu Por lo

Si


o tanto, para or de error to mayor seaciones de amblo largo de

es cero, entonres son perpesar en función

figura 1.14 se< Ve4 vectores son

roducto escala

e θ es el ángul

mponente de

mponente de

ual manera: Co tanto:

y son or


obtener la mejsea mínimo.

a la componebos vectores y

es C12V2nces el vectorendiculares enn del otro. En

Figura 1.15.

e cumple que:

ortogonales, e

ar de dos vect

lo formado po

a lo largo

a lo largo

Componente d

rtogonales, en

NES ___________

or representac

ente de un vey es más peque, entonces la r no tiene co

ntre sí (vectorotras palabras

. Ejemplos de

C1 > C2 > C

entonces C12

ores se define

or y , de

es:

es:

e a lo larg

ntonces:

___________

ción (menor e

ector en la deño el vector magnitud de mponente en res ortogonales, los vectores

distintas repr

3 > C4 y que

= 0, ver figur

e como.

Ee la misma def

Ecua

Ecu

Ecu

go de =

, y p

___________

error) debemo

dirección de oerror. Por lo tC12 indica lala dirección

es). Esto imps ortogonales s

esentaciones c

por lo tanto lo

ra 1.14.

Ecuación 1.17finición: ción 1.18.

uación 1.19.

uación 1.20.

Ecuación 1.2or lo tanto C1


s elegir C12 d

otro vector, mtanto, si la coma similitud dedel otro, y p

lica que un vson vectores i

con vectores.

os vectores de

7.

Ec

22. 12 = 0.


Página 13

de tal manera

más se parecmponente del e los dos vectpor lo tanto lovector NO se ndependiente

e error Ve1 < V

cuación 1.21.

ceres _____

3 de 123

que el

cen las vector ores si os dos puede

s.

Ve2 <

SISTE_____

Señal Los cConsiun cie

Debeen el i

Uno dprome

Este cya que Este pmedio

El val

es dec

Si se c

La pri

Esta ePrecisf2(t) ycomp(t1,t2),

Esta e


les:

conceptos vistideraremos doerto intervalo

emos encontraintervalo (t1<

de los criterioedio de fe(t) e

criterio no es ee valores posiproblema se co) del cuadrad

lor de C12 que

cir,

cambia el ord

imera integral

ecuación es msamente, por ay que esta comonente de la , esto es verda

ecuación tamb


tos sobre vecos señales f1(t)(t1 < t < t2):

f1(ar un valor par<t<t2); definim

s para reduciren el mismo in

el mejor ya quitivos del errorcorrige si en ludo del error, si

e reduce al mín

en de diferenc

l de esta ecuac

muy similar a laanalogía con lmponente tienseñal f2(t) y e

ad si:

bién es similar

NES ___________

ctores (compa) y f2(t). Supó

(t) ≅ C12f2(t) ra C12 tal que

mos una funciófe(t) = f1(t)

r al mínimo elntervalo; es de

ue en algunos r, se pueden augar del valor i ε = promedio

nimo ε se obti

ciación e integ

E

ción es cero, a

a obtenida parlos vectores, dne una magnitentonces deci

r a la obtenida

___________

aración y ortoóngase que se

para t1 < t <t2e el error entreón de error fe(- C12f2(t) Ecl error fe(t) en

ecir, reducir al

casos podríamanular con valo

promedio fe(to de fe

2(t):

iene de:

Ecua

gración:

Ecuación 1.29

así que rearreg

ra C12 en el cadecimos que: "tud C12". Si simos que las

a en el caso de

___________

ogonalidad) see desea aproxi

2 Ecuación 1e la función re(t): cuación 1.24.n el mismo inl mínimo la ex

mos concluir eores negativost), reducimos

ación 1.27.

9.

glando y despe

Ecuacióaso de los vect"f1(t) tiene unse anula C12, edos funciones

Ecuación e los vectores.


e pueden exteimar f1(t) en t

.23. al y la aproxim

ntervalo t1 a t2xpresión:

Ecuación 1.erróneamente s. al mínimo el p

Ecuació

ejando C12 ob

ón 1.30. tores. na componententonces la señs son ortogon

1.31.


Página 14

ender a las setérminos de f2

mada sea mín

2 es reducir e

.25. que el error e

promedio (o v

Ecuación

n 1.28.

tenemos:

te de forma deñal f1(t) no co

nales en el int

ceres _____

4 de 123

eñales. f2(t) en

nimo

l valor

s cero,

valor

n 1.26.

e onda ontiene tervalo

SISTE_____

EjempSe def

AproxcuadrSolucAprox

Ahoraque elque se

Sustit

Pode

Para e


plo 1.1: fine una funci

xímese esta fuático sea míni

ción: ximaremos la

a, hay que encl error cuadráte obtuvo para

tuyendo las re

mos calcular

el intervalo (0


ión rectangula

Figur

unción medianimo.

función f(t) en

contrar el valotico medio (prreducir al mín

spectivas func

el resultado d

,2π):

NES ___________

ar f(t), como s

ra 1.16. Funció

nte la forma de

n el intervalo

or óptimo de Cromedio del enimo el error

ciones f(t) y se

e la integral e

___________

e muestra en l

ón cuadrada c

e onda sen(t),

(0,2π) utilizan

C12, es decir, herror al cuadracuadrático me

en(t):

n el denomina

___________

la figura 1.15

con intervalo T

Ecuaciónen el interval

ndo:

Ecuación

hay que enconado) se reduzcedio es:

Ecuació

Ecuacióador utilizand

Ecu


y se define en

T=2Π.

n 1.32. lo (0,2π) de m

n 1.33.

ntrar el valor dca a su mínimo

n 1.34.

ón 1.35. do:

uación 1.36.

Ecuación


Página 15

n la ecuación

modo que el err

de C12 de tal mo valor. La ecu

1.37.

ceres _____

5 de 123

1.32:

ror

manera uación

SISTE_____

Sustit

Por lo

Es la m

Haci

ConcUna faproxfuncióEn esortogo1.6 FuLos cextendcompun sisComovector

En geEstos


tuyendo en la

o tanto:

mejor aproxim

Figura 1.17

endo la analog

clusión: ¿Que función no tiximar una fuón original mste caso es monal a ella. Eunciones Ortconceptos vistderlos a un onentes conte

stema completo ejemplo podres unitarios:

eneral, se puedtres vectores


ecuación para

mación de f(t)

7. Resultado d

gía con los ve

significa que iene componeunción medianmisma. mejor aproximEn este caso Ctogonales (Esptos sobre vectvector en el

enidos en "n" to de coordenademos expres

de expresar cuson perpendic

NES ___________

a C12:

E

mediante una

de la aproxima

ectores, podem

dos funcionesente de la formnte su funció

mar a la funcC12=0.

pacio Ortogotores ("un veespacio: Cu

vectores mutuadas. sar el vector

A=x0ax+yualquier vectorculares entre s

ax.ay=ay.az ax.ax=ay.a

___________

Ecuación 1.38

a función sen(

ación de una s

mos decir que

s sean ortogonma de la funón ortogonal,

ión con una

onal de Señaleector se puedeualquier vectouamente ortog

A=(x0, y0, z0

y0ay+z0az Ecuar del espacio esí: z=az.ax=0 Ecuay=az.az=1Ecua

___________

8.

Ecuación 1

(t).

señal cuadrada

la aproximaci

nales? ción que es o, entonces el

función nula

es). de expresar enor puede exprgonales, siemp

0) y lo podem

ación 1.41. en términos de

uación 1.42. ación 1.43.


1.39.

a con una func

ión a la funció

Ecuació

ortogonal a elerror sería m

a f(t)=0, en l

n términos deresarse comopre y cuando

mos expresar

e los vectores


Página 16

ción Sen(t).

ón rectangular

ón 1.40.

lla. Si se tratamás grande q

lugar de la fu

e otro...") Poo una suma dlos vectores f

en términos

unitarios: ax,

ceres _____

6 de 123

r tiene:

tara de que la

unción

demos de sus formen

de los

ay, az.

SISTE_____

Las pr

DondDe acsus coéstas fAproxortogoConsiinterv

Y sea

Consicomb

Para qC2,...,El err

Y el

De

Lo an


ropiedades de

de "m" y "n"cuerdo con lo omponentes aformen un conximación de onales): ideremos un gvalo t1 a t2:

a:

idérese ahorainación lineal

que la aproximCn tales que e

ror lo calculam

valor cuadrát

e la ecuación

nterior lo pode


e estos tres vec

" pueden teneranterior, es de

a lo largo de unjunto compleuna función

grupo o conju

a que la func de las n func

mación sea lael valor cuadrámos como siem

Err

tico medio del

anterior podem

emos resumir u

NES ___________

ctores se pued

r cualquier vale esperarse quun grupo o coeto.

mediante un

unto de "n" fu

ción arbitrariaiones mutuam

a mejor, debeático medio dempre: ror = Señal

l error (ε ):

mos notar quem

utilizando la e

___________

den expresar d

lor x, y, z. ue podamos exonjunto de fun

n grupo de

unciones g1(t)

a f(t) se aprmente ortogona

Ecuaemos encontrael error fe(t) se

original - R

e ε es función mínimo el error

ecuación:

Ecu

___________

de manera resu

Ecu

xpresar cualqunciones ortogo

funciones ort

), g2(t), ...gn(t

Ecuación 1roxima en el ales:

ación 1.48. ar los valores ea mínimo.

Representac

Ecuación 1.

de C1, C2,...,Cr ε:

ación 1.52.


umida:

uación 1.44.

uier función fonales entre s

togonales ent

t), mutuament

Ecuación

1.46. intervalo (t1

Ecuación 1.4

adecuados d

ión

.49.

Ecuación 1.5Cn. Por lo tant

E


Página 17

f(t) como la suí, siempre y c

tre sí (mutua

te ortogonales

1.45.

1, t2) mediant

47.

e las constant

50. to, para reduci

Ecuación 1.51

ceres _____

7 de 123

uma de cuando

amente

s en el

te una

tes C1,

ir al

1.

SISTE_____

Como

Ante

La de

Esto

Si en

Desp

En rest2), nolineal

Para terror εA su v

ReprortogoDe la númer

el lím


o (t1 - t2) es co

s de derivar e

erivada con re

nos deja solam

la ecuación an

pejando Cj:

sumen: Dado os podemos ade las n funci

tener la mejor ε ). vez, el error cu

resentación deonales: ecuación antero mayor de f

mite, cuando e

y ento


onstante, se pu

integrar habrí(a - b)2 = a2 -

especto de Cj d

mente con dos

nterior se cam

un grupo de naproximar a uiones.

aproximación

uadrático med

e una función

erior (ecuaciófunciones orto

el número de

onces ε se anu

NES ___________

uede expresar

ía que aplicar 2ab + b2, donde todos los té

Es términos:

mbia el orden d

n funciones g1una función ar

n, los coeficie

dio se puede c

E

n mediante un

ón para calculaogonales (incr

e términos se

ula.

___________

la ecuación de

: nde a = f(t) y bérminos que n

Ecuación 1.55

de diferenciac

1(t), g2(t), ...gnrbitraria f(t) e

Ecuentes C1, C2,...

calcular con la

Ecuación 1.61

n grupo compl

ar ε), es eviderementar n), e

e vuelve infin

___________

e ε como:

b = ΣCigi(t) Eno contienen a

5.

ión e integrac

En(t) mutuamenen dicho inter

ación 1.60. ,Cn se calcula

a siguiente ecu

1.

leto o cerrado

ente que si nosentonces el err

nito, la suma


Ecuac

Ecuación 1.54Cj vale cero:

Ecuacción:

Ecuación 1

cuación 1.58. nte ortogonalervalo mediant

Ecuación 1.5

an con la ecuac

uación:

o de funcione

s aproximamoror va dismin

con


Página 18

ción 1.53.

.

ción 1.56.

1.57.

es en el intervte una combin

59.

ción para Cj (m

es mutuament

os a f(t) medianuir. Por lo tan

nverge a la in

ceres _____

8 de 123

alo (t1, nación

menor

te

ante un nto, en

ntegral

SISTE_____

Así:

La secero. siguie

Se diccomp

En otrtodas integrmiemes comEn Re Para

Si e

En do

La recomo EjemejempEn esaproxmutua (to, to

El conLa ap

Las c


erie infinita deSe dice que la

ente:

ce que un conleto o cerrado

ras palabras, clas funciones

ral anterior sembros del conju

mpleto si x(t) esumen: a un conjunto

este conjunto

onde:

epresentación Representaci

mplo 1.2: Conplo se hizo unaste ejemplo vximación debeamente ortogoo+2π/ωo) para njunto sen(t), roximación a

constantes Ci s


e esta ecuacióa serie Conver

njunto de funco cuando no ex

cuando el cons que son mue anule, sea igunto {gi(t)} yno pertenece

o {gi(t)}, (i=1,2

de funciones

de f(t) mediaión Generaliznsideremos ota aproximació

vamos a emplerá ser mejoronales en el in

todos los valosen(2t), sen(3la función rec

se determinan

NES ___________

n converge a rge al valor m

ciones g1(t), gxiste una func

njunto de funcutuamente ortogual a cero, en, en consecuea él.

2,...) Mutuam

es completo,

ante un conjunzada de f(t) entra vez la funón a la funciónear un gran nr. Se puede

ntervalo: ores enteros d

3t), etc. es mutctangular, med

n con:

___________

f(t), de manermedio. En este

g2(t),...,gi(t) mución x(t) para l

ciones {gi(t)} ogonales. Si sntonces, evide

encia, forma p

mente ortogona

entonces se p

nto infinito den Serie de Founción rectangn rectangular mnúmero de fudemostrar qu

de n y m es detuamente ortodiante una ser

___________

Ecuacra que el valoe caso la repre

Ecutuamente ortla cual se cum

es completo ose puede encoentemente x(t

parte del conju

al en el interv

puede expresa Ecu

Ee funciones muurier ular del ejemmediante una

unciones ortogue las funcio

cir: gonal en el in

rie finita de fu

Ecu


ción 1.62. r medio del cu

esentación de

uación 1.63.togonales en e

mpla que:

Ecuacio cerrado, es ontrar una funt) es ortogonaunto. Es obvio

valo (t1, t2):

Ecuacióar cualquier fuuación 1.66.

Ecuación 1.67utuamente ort

mplo anterior sola función

gonales entre ones sen(nωot

ntervalo (0,2π)unciones sinus

uación 1.68.

Ecuación 1.6


Página 19

uadrado del ef(t) es exacta

el intervalo (t

ón 1.64. porque ya inc

nción x(t) tal al a cada uno o que el conju

ón 1.65. función f(t) co

. togonales se c

(ejemplo1). Esen(t). sí, por lo tan

t) y sen(mωo

) oidales es:

69.

ceres _____

9 de 123

error es y es la

1,t2) es

cluye a que la de los

unto no

omo:

conoce

En ese

nto, la ot) son

SISTE_____

Ya he

El er

Para

Con d


emos visto que

rror ε (Error c

un término:

dos términos:


e:

cuadrático med

NES ___________

dio):

___________

___________

Ecuac

Ecuaci


ión 1.70.

Ecua

ión 1.72.

Ecuación 1.

Ecuació


Página 20

ación 1.71.

73.

ón 1.74.

ceres _____

0 de 123

SISTE_____

Con tr

Fig

Con c

La orSi f1(taprox

El val

De


res términos:

gura 1.18. Ap

cuatro término

rtogonalidad t) y f2(t) son fu

ximada median

lor óptimo de

esta ecuación


proximación a

os:

en las funcionunciones comnte C12f2(t) en

C12 que reduc

n es evidente q

NES ___________

una función c

nes complejasmplejas de vari

el intervalo (t

ce al mínimo l

que dos funcio

___________

cuadrada medsenoidales.

s. able real t, ent1, t2)

Ecuala magnitud d

ones compleja(t1, t2) si:

___________

iante un conju

ntonces se pue

ación 1.77. el error cuadr

Ecas f1(t) y f2(t) s


Ecua

unto de funcio

Ecu

ede demostrar

ático medio e

cuación 1.78.serán ortogona

Ecuac


Página 21

ación 1.75.

ones ortogonal

uación 1.76.

que f1(t) qued

stá dado por:

ales en el inter

ción 1.79.

ceres _____

1 de 123

les,

da

rvalo

SISTE_____

Para

Si este

Dond

Si el comp


a un conjunto

e grupo de fun

de:

conjunto de lejas se reduc


de funciones

nciones es com

funciones esen a los que s

NES ___________

complejas {gr

mpleto, entonc

s real, entonce obtuvieron p

___________

r(t)}, (r=1,2,...

t2):

ces cualquier

ces gr

*(t) = gpara funcione

___________

.) Mutuament

función f(t) se Ecu

gr(t) todos los reales.


e ortogonales

Ecuae puede expreación 1.81.

Ecuación 1.8

os resultados


Página 22

en el interval

ación 1.80. esar como:

82.

para las fun

ceres _____

2 de 123

lo (t1,

nciones

SISTE_____

1.7 E Las fu/ωo). SfuncioSe pu

FormaPor ejEl con

Cualq/ωo). A

f(t

Para

Esta

Estas

Para

El térm

En ot


Expansión t

funciones SenSin embargo, ones Seno y C

uede demostrar

a un conjunto jemplo: Paranjunto ortogon

1, cquier función fAsí: t)=ao+a1cos(ω

simplificar el

a ecuación es

s ecuaciones s

calcular ao (n=

mino constant

tras palabras a


trigonomét

n(ωot), Sen(2ωeste conjunto

Coseno. r que el conju

ortogonal coma n=0, Sen(nωnal completo ecos(ωot), cos(2f(t) puede repr

ωot)+a2cos(2ω

Para t manejo, deno

Parala representac

(to<t<

e pueden simp

=0)

te ao: es el

: o es la compo

NES ___________

trica de Fou

ωot), etc. formo no es comple

unto de funcion Cos(nωot) y mpleto. ot)=0 y Cos(nestá represent2ωot), ..., cos(resentarse en

ωot)+... +ancosE

dentro del sigotaremos a (2π

a t dentro del ción de f(t) po<to+T). Las co

plificar ya que

valor promed

onente de corr

___________

urier.

man un conjueto. Por lo tan

nes formado pSen(nωot), pa

nωot)=1. tado por las sig(nωot),...;sen(términos de e

s(nωot)+... +bEcuación 1.83guiente intervaπ/ωo) por T.

siguiente interr medio de la onstantes an y

e

dio de f(t) en e

riente directa

___________

unto ortogonalnto, para comp

por los gruposara n=0,1,2,..

guientes funci(ωot), sen(2ωo

stas funciones

b1sen(ωot)+b2s3. alo: (to<t<to+2

rvalo: (to<t<toserie trigonom bn se calculan

Ecuaciones 1

Ecuacio

Ecuación 1.87

el intervalo (t,

de f(t) en el m


l en cualquierpletar el conju

s: ..

iones: ot),...,sen(nωots en cualquier

sen(2ωot)+...+

2π /ωo)

Ecuo+T). métrica de Foun por:

1.85a y 1.85b.

ones 1.86a y 1

7.

, to+T).

mismo interva


Página 23

r intervalo (to

unto hay que a

t),... r intervalo (to,t

+bnsen(nωot)+

uación 1.84.

urier en el inte

.

.86b.

alo.

ceres _____

3 de 123

o,to+2π agregar

to+2π

+...

ervalo

SISTE_____

La ser

Ejempel inte

Comof=1/TLa ser

Para c

Para c

Se sab

Si u =

Para c


rie trigonomét

plo 1.3: Desarervalo (0,1)

o se puede verT y T=1 rie trigonométf(t)=ao+a1cos

calcular el térm

calcular an:

be que:

= 2πnt =>

calcular bn:


trica de Fourie

don

rrolle la funci

Figu

r en la figura,

trica de Fouries(2π t)+a2cos(4

Si ωmino constant

NES ___________

er tiene tambi

nde:

ón f(t) de la fi

ura 1.19. Func

f(t)=At en el i

er es: 4π t)+... +ancoωo=2π => ωo(te (component

___________

ién la siguient

y

igura 1.17 me

ción a desarrol

intervalo (0,1)

os(2π nt)+... +(1)=2π , ωo(2)te de C.D. de

Ec

___________

te representaci

Ecuación 1.

diante una ser

llar en el ejem

), T=1 y ω=2π

+b1sen(2π t)+b)=4π t, ωo(3)=f(t)) ao:

cuación 1.91.


ión:

88.

rie trigonomét

mplo .

π f=2π /T ωo=

b2sen(4π t)+...=6π t

Ecu

Ecuació

Ecuaci

Ecua


Página 24

trica de Fourie

=2π y to=0 don

.+bnsen(2π nt)

uación 1.89.

ón 1.90.

Ecuación 1.92

ión 1.93.

ación 1.94.

ceres _____

4 de 123

er en

nde

)

2.

SISTE_____

Se sab

Si u =

La rep

Concf(t) tie

f(t) ti


be que:

= (2π)(nt) =>

presentación e

clusión: ene una comp

iene compone


es:

onente de Cor

ntes de funcio

NES ___________

rriente Directa

Econes senoidale

___________

Ecu

a con valor:

cuación 1.99 aes con magnitu

___________

uación 1.95.

a. udes:

Ecu


E

Ecuació

Ecuación

uación 1.99 b


Página 25

Ecuación 1.96

ón 1.97.

n 1.98.

.

ceres _____

5 de 123

6.

SISTE_____

1.8 S En muexponvamo

para (El sen

Subst

Si:

Si

* A esLas sformapartir


Serie expon

uchas aplicacinenciales coms a partir de la

(to<t<to+T) no y el coseno

ituyendo estas

sta serie se le eries exponen

as distintas dede la otra.


nencial de F

iones de las semplejos ejnωot. P

a serie trigono

o se pueden exCos(nSen(n

s dos ecuacion

conoce comonciales y trigoe expresar la

NES ___________

Fourier.

eries de FouriePara obtener laométrica de Fo

xpresar como: nωot) = (1/2) (nωot) = (1/2j) (nes en la serie

o "Serie componométricas dmisma serie.

___________

er es conveniea expresión enourier.

(ejnωot + e-jnωot)(e-jnωot - e-jnωot)e trigonométri

pleja de Fouride Fourier noSe pueden o

___________

ente expresar n términos de

) Ecuación 1.) Ecuación 1.ca:

Ecuación

Ecuac

ier de f(t)" o o son dos tipoobtener los co


estas series enestos exponen

Ecuació

101 a. .101 b.

1.104.

ción 1.105.

Ecuación

"Serie exponeos diferentes

oeficientes de


Página 26

n términos de nciales compl

ón 1.100.

Ecuación 1

Ecuación 1.

1.106.

encial de Foude series, sinuna de las se

ceres _____

6 de 123

los ejos

.102.

.103.

urier". no dos eries a

SISTE_____

Para

Eje

Soluc

Los


Convertir de

emplo 1.4: En

ción:

coeficientes F


e Serie "Exp

ncontrar la ser

Figura

Fn se calculan

NES ___________

onencial" a s

rie de Fourier

a 1.20. Funció

de la siguiente

___________

serie "Trigon

exponencial d

ón a desarrolla

e manera:

___________

nométrica":

E

de la función f

ar en el ejempl


Ecuaciones 1.

f(t) que se mu

lo 1.8a.


Página 27

.107 (a - d).

uestra en la fig

ceres _____

7 de 123

gura.

SISTE_____

EjempFourie Soluc

Utiliz


plo 1.5: Expreer (Serie Trigo

ción:

zando las ecua


ese el resultadonométrica de

aciones que rel

NES ___________

do del probleme Fourier).

lacionan los c

___________

ma anterior uti

coeficientes de

___________

ilizando la for

e ambas series


rma trigonomé

s:


Página 28

étrica de la Se

ceres _____

8 de 123

rie de

SISTE_____

Ejemp

Soluc

Los co


plo 1.6: Encu

ción:

oeficientes Fn


entre la serie e

Figura

n se encuentran

NES ___________

exponencial d

a 1.21. Funció

n a partir de:

___________

de Fourier para

ón a desarrolla

___________

a la función d

ar en el ejemp


diente de sierra

plo 1.6.


Página 29

a definida por

ceres _____

9 de 123

r:

SISTE_____

EL ES El destérminUna fetc. D ωo = Si se encon

••

•Nótesdiscre

El espCon aEn unde líncomp Para

••

Para En la frecue

Recue

¿Cuál


SPECTRO C

sarrollo en senos de sus comfunción periód

Donde. 2 Π/T. especifica f (

ntrar f (t). Por Represent Represent

frecuenciade la señal

El espectrose pues, que eetos de ω. Por

F

pectro se puedalturas proporcna gráfica, el eneas verticalesonente correspobtener y repr Trigonom Exponencfines del cursserie exponen

encia:

erde que:

l es el signific


COMPLEJO D

rie de Fouriermponentes de dica con perío

(t) se puede elo tanto, existación en el doación en el do

a (generalmenl (espectro de o existe únicael espectro nolo tanto es un

Figura 1.22. E

de representarcionales a la aespectro de frs igualmente pondiente de resentar el espétrica. ial. o resulta más ncial la funció

ω

ado de las fre

NES ___________

DE FOURIER

r de una funcdiferentes fre

odo T tiene c

encontrar su eten dos manerominio del tiemominio de la frnte ω, aunque p

magnitud y eamente para ωo es una curvn espectro disc

Ejemplo gráfic

r gráficamenteamplitud de larecuencias disespaciadas, c

frecuencia. pectro se pued

útil la forma ón periódica se

= 0, ±ωo, ±2ω

cuencias negan =

___________

R:

ión periódica ecuencias. omponentes d

espectro y vicras de especifimpo, f(t) se exrecuencia, se epuede ser f en

espectro de faso = ωo, 2ωo, 3va continua, screto y a vece

co de un "espe

e al trazar línea componente screto (magnitcon alturas pr

de utilizar cual

exponencial.e expresa com

ωo, ±3ωo, etc

ativas? = -1, -2, -3, ...,

___________

equivale a la

de frecuencias

ceversa, si se icar a la funcióxpresa como fespecifica a la

n Hertz). Con se). 3ωo,..., nωo, etsino que exiss se le llama e

ectro" o "espec

eas verticales correspondientud o fase) aproporcionales

lquiera de las

mo la suma de

Ecuación 1.10

, -∞


a transformaci

s angulares ω

especifica elón f(t): función del tiea señal como festo se especi

c. ste solamente espectro de lín

ctro de líneas"

en: ω = ωo, 2ωnte de frecuenparece como u

a la amplitu

dos series:

las funciones

08.

Ecua


Página 30

ión de la func

ωo, 2ωo, 3ωo,..

l espectro, se

empo. función de la ifican los espe

en algunos vneas.

".

ωo, 3ωo,..., nωncia. una serie o suud o a la fase

exponenciale

ación 1.109.

ceres _____

0 de 123

ción en

., nωo,

puede

ectros

valores

ωo, etc.

ucesión e de la

es de

SISTE_____

Las dgiran

La ser

Por loLe coLas am Se re- Espe- EspeEn la descri Ejempseno r

Soluc


dos señales ejω

en direccione

rie exponencia

o tanto, a cadarresponden lamplitudes Fn s

equiere de dos ectro de Magnectro de Fase mayoría de loibir la función

plo 1.7: Encurectificada.

ción:


ωt y e-jωt oscilaes opuestas y q

al de Fourier e

da frecuencia:as amplitudesson complejasespectros par

nitud (de Fn) (de Fn)

os casos Fn es n mediante un

entre la serie e

NES ___________

an a la frecuenque, cuando se

está dada por:

: 0, ωo, -ωo, 2ωs: F0, F1, F-1, Fs (generalmenra la represent

puramente resolo espectro

exponencial d

Figura 1.23.

___________

ncia ω, sin eme suman, prod

:

ωo, -2ωo, ..., nF2, F-2, ..., Fn, Fnte) y por lo tatación de una

eal o purameno.

de Fourier y gr

. Función seno

___________

mbargo, se lesducen una func

Ecuac

nωo, -nωo, ... F-n, ...

anto se les desfunción perió

nte imaginari

rafique el espe

o rectificada.


puede ver coción real de ti

ción 1.110.

cribe por su mdica:

ia, por lo tanto

ectro discreto


Página 31

omo dos fasorempo:

Ecuación 1

magnitud y fas

o, se puede

para la funció

ceres _____

1 de 123

res que

1.111.

se.

ón

SISTE_____

Algun•

••

Concl

PuestocontinfrecueLa reperióddomin Ejempfrecuepulsos

La fun


Fi

nas Caracterís El espectr

vertical. El espectr La fase d

(función i

lusiones: - A

d- A

fuo que el índicnuas, sino queencia discreta presentación dica f(t) en elnio del tiempo

plo 1.8: Encencia para la s son de magn

nción f(t) se p


gura 1.24. Grá

ísticas del espero de Magnitu

ro de Magnitude Fn es θn y impar) con re

A la gráfica dedenomina espeA la gráfica dfunción periódce n toma sole aparecen en o espectros dde los coeficl dominio de o.

cuentre la serfunción perió

nitud A y dura

Figura 1.25

puede expresar

NES ___________

áfica del espe

ectro de magnud de cualquie

ud es función pla fase de F

especto al eje v

Fn = |Fn|e|F-n| = |Fn|

e la magnitudectro de ampliel ángulo de

dica f(t). lamente valorla variable die líneas.

cientes complla frecuencia

rie expoenenódica de pulsación d.

. Señal cuadra

r en un period

___________

ctro obtenido

nitud y del esper función pe

par de ω, F-n

F-n es -θn , povertical.

ejθn Ecuación|e-jθ n Ecuació

d de los coeficitud de la funcfase θn de Fn

res enteros, loiscreta nωo; po

lejos Fn vs. laa angular ω, a

ncial de Foursos rectangula

ada centrada e

do como sigue

___________

(tomando en

pectro de faseriódica es sim

= Fn y |Fn| =

or lo tanto el

n 1.112 a. ón 1.112 b.

cientes complción periódican vs. ω, se le

os espectros dor lo tanto, se

a variable disasí como f(t)

rier y grafiquares f(t), la cu

en el origen, ej

e:


cuenta el sign

e: métrico con re

|F-n| l espectro de

lejos Fn vs. laa f(t).

denomina esp

de amplitud y e les denomina

screta nωo, esvs. t especifi

ue los espectual se muestr

jemplo 1.8e.


Página 32

no).

especto al eje

Fase es asim

a frecuencia ω

pectro de fase

fase no son a como espect

specifica la fuica la función

tros respectivra en la figur

ceres _____

2 de 123

métrico

ω, se le

e de la

curvas tros de

función n en el

vos de ra. Los

SISTE_____

Fn = Con ocomun

Defin El esp

Esto s

El espPor ej

n = 5Sn = 10n = 15


(Ad/T) [Sen (objeto de simpnicaciones:

nición de la

pectro de Fn ex

se puede ver d

pectro se debejemplo, Si d =

Como d/T =

Sen [(8π )(5)(0Sen [ (8π )(15Sen[(8π )(15


(nπd/T)/(nπdplificar el resu

a función Sa

xiste solament

de la última ec

e considerar pa= 1/20 y T = 1

(1/20) / (1/4) Sen(ωodn

nπe

ω = ±1/20)]/2 = Sen0)(1/20)]/2 =

5)(1/20)]/2 = S

NES ___________

d/T)] ultado y ya que

ampling.

te cuando:

cuación de la h

ara valores esp1/4 de segund

Si ωo = 2π/= 4/20 = 1/5,

n/2) = 0 ó nωo

π(d/T) = nπ(1s decir, el esp

±5ωo = ±40π ,n(40π/40) = SSen(80π/40)

Sen(120π /40)

___________

e esta función

hoja anterior d

pecíficos de ddo: /T entonces ω, el espectro dod/2 = mπ ó c1/5) = mπ (papectro se hará, ±10ωo = ±80Senπ = Sen2π = Sen3π

___________

n es muy impo

donde:

d y t:

ωo = 8π rad de amplitud suando n(2π/Tra m = ±1, 2,á cero cuand0π , ±15ωo =


ortante en la te

Ecuación 1.1

se va a hacer T)d/2 = m ...) o: ±120π


Página 33

eoría de

113.

cero cuando:

ceres _____

3 de 123

:

SISTE_____

FigNótesalrede


gura 1.26. Gráse que en este edor de la vert


áfica del especcaso el espect

tical y debido

NES ___________

ctro de la cuadtro de fase es a la localizac

___________

drada del ejemcero, esto se dión particular

___________

mplo 1.8e, se gdebe a la simer escogida para


graficó solameetría de los pua el origen.


Página 34

ente la magnitlsos rectangul

ceres _____

4 de 123

tud. lares

SISTE_____

1.9 L En lasseñal señalePara rg(t) de

En el

Si util

donde


La Transfor

s secciones anperiódica. Ah

es exponenciarealizar esto, eefina un ciclo

límite se perm

lizamos la ser

e Fn se calcula


rmada de F

nteriores se uthora se desarrales. en primer luga de esta funció

Figura 1.2

mite al período

rie exponencia

a como se mu

NES ___________

Fourier.

tilizó la serie rollará algo sim

ar se construirón periódica,

27. Señal g(t)

o llegar a ser i

al de Fourier p

estra en la ecu

___________

de Fourier (emilar, pero pa

rá una funcióncomo se ilustr

convertida en

infinitamente

para represent

E

uación 1.116.

___________

en sus distintaara una señal

n periódica gp(ra en la figura

n la señal perió

grande:

Ecua

ar a la función

Ecuación 1.11

Ecuac


as versiones) pg(t) no periód

(t) de período a 1.27.

ódica gp(t).

ación 1.114.

n periódica gp

15.

ción 1.116.


Página 35

para representdica, en términ

To de tal form

p(t), obtenemo

ceres _____

5 de 123

tar una nos de

ma que

os:

SISTE_____

Si rea

Al sunotaci

Si el discrediscre

En el


alizamos las si

ubstituir las eión para repre

periodo To tieeta fn (de la eeta se conviert

límite, cuando


iguientes defin

ecuaciones 1.1esentar la serie

ende a infinitecuación 1.11te en una integ

o To tiende ha

Cambios que

NES ___________

niciones:

117 en las ece de Fourier d

to (o su recípr18) se aproxigral:

acia infinito:

e ocurren en l

___________

uaciones 1.11e gp(t) y obten

roco Δf tiendeima a la varia

Cuadro 1.1 aas variables c

___________

15 y 1.116 esnemos:

e a cero), entoable de frecu

. uando To tien


Ecuaciones 1

stamos efectu

onces, en el luencia continu

Ecuacione

nde a infinito.


Página 36

1.117 (a, b y c

uando un cam

Ecuación

límite, la frecua f y la sum

es 1.119 (a y b

ceres _____

6 de 123

).

mbio de

1.118.

cuencia matoria

b).

SISTE_____

Por es

Nótesmayú Con ede fun La ecu

Estab "Dad

La ecu

Estab "DadaPara Dirich Cond

1

2


stas razones, e

Ca

se que se utilscula, G(t), p

estas ecuacionnciones expon

uación 1.120

lece que:

da una función

uación 1.121

lece que:

a la nueva fuque una señahlet".

diciones de Dir

. La funciónfinito de d

2. La función


en el límite, cu

ambios que oc

liza una letrapara representa

nes, se ha cumnenciales, en t

n del tiempo g

unción G(f) (oal g(t) sea tran

richlet:

n g(t) tiene undiscontinuidadn g(t) es absol

NES ___________

uando To → ∞

curren en las e

a minúscula gar una función

mplido el objetodo el interva

(t), es posible

o transformadnsformable, e

n valor único des en cualquielutamente inte

___________

∞

Cuadro 1.1 becuaciones 1.1

g(t) para reprn de la frecuen

tivo de represalo -∞ <t<∞ .

determinar uvariable f."

da), se puede en el sentido d

con un númeer intervalo fiegrable, es dec

___________

. 19cuando To

resentar una ncia.

sentar una señ

Ecuació

una nueva func

Ecuación

recuperar la de Fourier, de

ero finito de mnito de tiempocir:

Ecuaciones


tiende a infin

función del

ñal g(t), no per

ón 1.120.

ción G(f), la c

1.121.

función del tebe satisfacer

máximos y mío.

1.122 (a y b)


Página 37

nito.

tiempo y una

riódica, en tér

cual es función

tiempo originr las condicio

ínimos y un n

.

ceres _____

7 de 123

a letra

rminos

n de la

nal g(t) ones de

número

SISTE_____

Simb

G(ω )espec La tracomp En lasFourie


ología a utiliz

o Sc

o S

o S

o S

) ó F(ω ): "Rtral".

ansformada deonentes expon

s ecuaciones er y transform


zar en las ope

Se utilizará el scorrespondien

Se utilizará el s

Se utilizará el s

Si se utiliza la f

Representa el

e Fourier es unenciales.

1.124 se muemada inversa d

NES ___________

eraciones de

símbolo ⇔ pates:

g(t)⇔ G(f)

símbolo F[ ] pF[ g(t)] = G

símbolo

frecuencia An

espectro de f

un instrumento

estran diferentde Fourier, en

___________

Transformad

ara indicar un

f).

para indicar uG(f).

para indic

ngular ω :

frecuencia de

o con el cual

tes notacionestérminos de g

___________

da de Fourier

n par de transf

una operación

car una transf

Ec

e g(t) ó f(t) y

se expresa un

s para indicarg(t) y de f(t).

Ecua


r:

formadas de F

n de transform

formación inv

cuaciones 1.12

se le llama f

na señal dada

r operaciones

aciones 1.124


Página 38

Fourier

mada de Fouri

versa de Fouri

23 (a y b).

función de den

a en términos

de transforma

(a y b).

ceres _____

8 de 123

ier

ier

nsidad

de sus

ada de

SISTE_____

La tradada gdesde La trade la s La tra

Dond

es el eF(ω )El esppara tPara u

Si g(t)

El espespect Ejemp


ansformada o g(t) (ó f(t)) en

e -∞ hasta ∞ .

ansformada Foseñal y especí

ansformada de

e:

espectro conti respectivamepectro se dentodas las frecuuna función de

) ó f(t)es una

pectro de amptro de fase θ (

plo 1.9: Encu

F


transformacin sus compone

ourier G(f) ó ífica las ampli

e Fourier G(f)

inuo de amplitente. omina continu

uencias. e valor real g(

función de va

plitud |G(f)| ó(f) ó θ (ω) es u

entre la transf

Figura 1.29. S

NES ___________

ión de Fourierentes exponen

F(ω ) de la seitudes relativa

es una funció

|G(f)| ó |F

tud de g(t)ó f(

uo debido a q

(t): G(f) = G*F(ω ) = F*

alor real del tie

ó |F(ω)| de ununa función im

formada de Fo

eñal cuadrada

___________

r proporcionanciales comple

eñal define la as de las diver

ón compleja de

F(ω)| Ecuaci

f(t), y θ (f) ó θ

que tanto la a

(-f) Ecuaci*(-ω ) Ecuaciempo, entonce

Ecua

na señal de vampar de f ó de

ourier del puls

a Pd(t), no peri

___________

a una herramiejas que ocupa

representaciósas componen

e la frecuencia

Ec

ión 1.126.

θ (ω ), es el es

amplitud com

ión 1.127a. ión 1.127b. es:

aciones 1.128

alor real es ue ω.

so rectangular

iódica, centrad


ienta útil paraan todo el inte

ón en el dominntes de frecuen

a f:

cuaciones 1.12

spectro continu

o la fase de G

(a, b, c y d).

una función p

que se muest

da en el origen


Página 39

a resolver unaervalo de frec

nio de la frecncia de la seña

25 (a y b).

uo de fase de

G(f) están def

ar de f ó de

tra en la figura

n.

ceres _____

9 de 123

a señal uencia

uencia al.

G(f) y

finidas

ω y el

a 1.29.

SISTE_____

Soluc

Fig

Ejemp


ción:

gura 1.30. Grá

plo 1.10: Encu


áfica de la tran

uentre la trans

Figura

NES ___________

nsformada de

sformada de F

a 1.31. Señal n

___________

Fourier de la

Fourier de f(t)

no periódica p

___________

señal cuadrad

definido en la

para el ejempl


da, se grafica s

a figura 1.31.

o 1.9b.


Página 40

sólo la magnit

ceres _____

0 de 123

tud.

SISTE_____

En la que: a) Un b) Unque poc) La el dom


figuras 1.32 s

pulso cuadran pulso cuadraodría ser un fiduración o an

minio de la fre

Figura 1.32.


se muestra la r

do en el domiado en el domiltro. ncho del pulsoecuencia, mult

Relación entr

NES ___________

relación que h

inio del tiempminio de la fre

o cuadrado (τ)tiplicada por l

re un pulso cu

___________

hay entre una

o se asocia coecuencia se as

, en el dominila amplitud de

uadrado, centr

___________

función Samp

on una señal dsocia siempre

io del tiempo, el pulso en el t

rado en el orig


pling y un puls

igital. e con una ban

es la amplitutiempo (A). F

gen y la funció


Página 41

so cuadrado. N

nda de paso o

d de la Sampligura 1.32 a.

ón Sampling.

ceres _____

1 de 123

Nótese

BW y

ling en

SISTE_____

1.10


Propiedad


des de la Tr

Tabla

Tabla

Tabla 1.2. Tr

NES ___________

ransformad

de propiedad

1.1. Propieda

ransformada d

___________

da de Fouri

des de la transf

des de la trans

de Fourier de a

___________

ier.

sformada de F

sformada de F

algunas funcio


Fourier

Fourier.

ones comunes


Página 42

.

ceres _____

2 de 123

SISTE_____

Propitiemp

Fig

Comprápida Por eCos(ωCos(2 Propi

Si se espectEntonen el d Propi Si Enton

ó

Si se por e(j

A este TeoreEn lorealizllama cantid


iedad Escalapo equivale a u

gura 1.33. Ilust

primir en el amente y en c

ejemplo: ωot) => tiene c2ωot) => tiene

iedad de Desp

desplaza una tro de magnitu

nces un despladominio de la

iedad de Desp

Fnces:

F

f(

desplaza una jωot) en el dome teorema tam

ema de Traslaos sistemas dea, generalmenmodulación.

dad ±ωo:


ar: La propieduna expansión

tración de la p

dominio delconsecuencia

componentes ecomponentes

plazamiento F

función en elud |F(ω)|, pero

azamiento de ta frecuencia, e

plazamiento

[ f(t) ] = F(ω)

[f(t)e(jωot)] = F

(t)e(jωot) ↔ F(ω

función en elminio del tiempmbién se le llam

ación en Frece comunicaciónte, multiplica Es así como

NES ___________

dad escalar en en el domini

propiedad esca

l tiempo en las componen

en ±ωo. Ecuas en ±2ωo. Ecu

en el TiempoF[f(t - to)] = F

f(t - to) ↔ F(

l dominio del o el espectro dto en el domins decir, a mul

en Frecuenci

)

F (ω - ωo) Ec

ω - ωo) Ecua

dominio de lpo. ma: "Teorema

uencia. ón, muy a meando la señal o el proceso

___________

stablece que o de la frecue

alar por medio

determinado ntes de frecue

ción 1.129 a.uación 1.129 b

o: Si F[f(t)] = FF(ω) e(-jωto) Ecu

ó (ω) e(-jωto) Ecua

tiempo la cande fase sufre unio del tiempoltiplicar por e(-

ia:

cuación 1.131

ación 1.131 b.

la frecuencia p

a de Traslación

enudo hay quf(t) por una sde Modulaci

___________

el comprimirncia.

o de la relació

factor signifencia se incre

b.

F(ω) entoncesuación 1.130

ación 1.130 b

ntidad de to seun cambio de o es equivalent

-jωto) en el dom

a.

por ωo rad/seg

n en Frecuenc

ue trasladar elseñal sinusoidión traslada e


r una función

ón "Sampling-

fica que la fementan prop

s: a.

.

egundos, ento-ωto. te a una desviminio de la fre

g, entonces eq

cia".

l espectro de dal o cosenoidel espectro d


Página 43

n en el domin

-Pulso Cuadra

función varíaorcionalment

onces no se alt

ación de fase ecuencia.

quivale a mult

frecuencia. Edal. Este proce frecuencias

ceres _____

3 de 123

nio del

ado".

ía más te.

tera su

de ωto

tiplicar

Esto se ceso se s en la

SISTE_____

PropiDeriv

Deri

Propi Integ

PropiEl Te

;dond Este TPropi


iedad de Difevar en el domi

ivar en el dom

iedad de Integrar en el dom

iedad de Coneorema de la C

de τ es una va

Th. Facilita laiedad de la co


erenciación eninio del tiemp

minio de la fre

egración en elminio del tiemp

nvolución en tConvolución

ariable indepe

a obtención donvolución en

NES ___________

E

n el tiempo y po equivale a m

ecuencia equi

l tiempo: mpo equivale a

tiempo y en f

endiente.

de resultados n el tiempo.

___________

Ecuación 1.13

en la frecuenmultiplicar po

ivale a una mu

a dividir entre

frecuencia:

importantes

___________

2.

ncia: or jω en el do

ultiplicación p

E

e jω en el dom

E

.


minio de la fr

Ecuación 1.1por -jt en el d

Ecuación 1.13

minio de la fre

Ecuación 1.13


Página 44

frecuencia.

133. dominio del ti

34.

cuencia.

35.

Ecuación 1

Ecuación 1.

ceres _____

4 de 123

empo.

1.135.

136.

SISTE_____

Enton

Es de

Ento

Propi

Enton

El Th

RelacA consimila1. Ley

2. Ley

3. Ley


nces

ecir:

onces:

iedad de la co

nces:

h. establece q

ciones de la Cntinuación seares a los de ly Conmutativ

y Distributiva

y Asociativa


onvolución en

que:

Convolución:e presentan ala multiplicacva

f1(t)*fa

f1(t)*

F1(t

NES ___________

n la frecuenci

algunas leyesción ordinari

f2(t) = f2(t)*f1(

*[f2(t)+f3(t)] =

t)*[f2(t)*f3(t)]

___________

ia.

s del álgebraia:

(t) Ecuación

= f1(t)*f2(t)+f1

] = [f1(t)*f2(t)

___________

a de convoluc

1.141 a.

1(t)*f3(t) Ecu

]*f3(t) Ecua


E

Ecu

E

Ecua

Ec

ción, la cual

uación 1.141 b

ación 1.141 c.


Página 45

cuación 1.135

uación 1.136.

Ecuación 1.1

Ecuación 1.13

ación 1.139.

cuación 1.140

sigue lineam

b.

ceres _____

5 de 123

5.

137.

38.

0.

mientos

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