Fundamentos de Transferencia de masa - Fenomenos de … · Para el caso se un gas ideal, y i se puede calcular como PresiónTotal Presiónparcialde ienlamezcla P P y i ... Volumen

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA

Realizado Por: Prof. Johemar Almera y Pedro Vargas Punto Fijo, Julio 2008

I. Conceptos preliminares de transferencia de masa Para poder establecer una base común para los estudios de transferencia de masa es

importante estudiar primero las definiciones y relaciones que se utilizan a menudo para

cuantificar las cantidades de los componentes en las mezclas.

1.1 Concentraciones Las diferencias de concentración pueden expresarse de varias maneras, antes de definir las

leyes y ecuaciones que regulan la transferencia de masa es necesario definir las diferentes

formas de contabilizar la cantidad de una especie (i) en una mezcla de n componentes. A

continuación se presentan las formas más comunes de expresar las concentraciones de un

componente en una mezcla.

Concentración Másica (ρi): es la cantidad de masa del componente i por unidad de volumen de

solución. La suma de todas las contribuciones de los componentes es igual a la densidad de la

mezcla

∑=

ρ=ρn

ii

1 (2)

Donde: n= Número de componente presente en la mezcla.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

totalvolumenidemasa

Vm

iρ (3)

De su concepto se desprende lo que se conoce como fracción másica

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ρρ

=totalmasa

idemasaw ii

1w

n

1ii =∑

= (4)

Concentración Molar (Ci): es la cantidad de moles del componente i por unidad de volumen de

solución. La suma de todas las contribuciones de los componentes es igual a la concentración

molar de la mezcla

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

totalvolumenidemol

VnCi

(5)

∑=

=n

1iiCC (6)

De su concepto se desprende lo que se conoce como fracción molar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

totalmolidemol

CCx i

i

1x

n

1ii =∑

= (7)

Fenómenos de transporte: Transferencia de masa Prof. Johemar Almera y Pedro Vargas

3

Con frecuencia se discrimina entre xi y yi, para referirse a las fracciones molares de la

fase líquida y la fase gaseosa respectivamente. Para el caso se un gas ideal, yi se puede

calcular como

TotalesiónPrmezclalaenideparcialesiónPr

PPy i

i == (8)

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

P moles totalesCRT vol total

En el sistema internacional

P [Pa] R: 8,314 J mol-1 K-1 T [K] C [mol m-3]

Las concentraciones másicas y molares se relacionan mediante la siguiente expresión:

iii MC=ρ (9)

Y la concentración total de la mezcla

V

n

VnC

n

1ii

T∑===

(10)

1.2 Relaciones de flujo El flujo másico, molar o volumétrico de una especie

dada es una cantidad vectorial que denota la cantidad de la

especie particular que pasa en un tiempo dado a través de

un área unitaria normal al vector. Para calcular el flujo de

una especie, a menudo resulta conveniente cuantificar la

transferencia con respecto a un sistema de coordenadas fijo

en ese caso el flujo molar de la especie i puede escribirse

como: Figura 3. Flujo por unidad de

superficie


4

iii UCN = (11)

iN : Flujo molar de i ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡tiempoLongitud

moles2

iU : Velocidad del componente i respecto a un sistema de referencia fijo

De la misma forma para el flujo de masa

iii Un ρ= (12)

in : Flujo másico de i ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡tiempoLongitud

masa2

Con frecuencia se hacer necesario referir el flujo molar a alguna velocidad distinta de

cero, en este caso velocidad de referencia (U0)

( )00 UUj iii −ρ= (13)

( )00 UUCJ iii −= (14)

Donde ji y Ji representan los flujos de masa y molar respecto a la velocidad de referencia U0.

1.3 Velocidades media de masa En un sistema de componentes múltiples, las diferentes especies se moverán de manera

normal a diferentes velocidades; por lo tanto, para evaluar la velocidad de la mezcla de gases,

se necesitan promediar la velocidad de cada una de las especies presente.

∑=

=n

1iii

m UwU Másica promedio (15)

∑=

=n

1iii

M UxU Molar promedio (16)

∑=

=n

1iiii

_UCVUυ

Volumétrica promedio (17)

Donde:

iU : Velocidad absoluta de la especie i con relación a ejes estacionarios de coordenadas.


5

i

_V : Volumen molar parcial [moles de i/ volumen total]

En el caso en que la velocidad de referencia sea la promedio molar, másica o

volumétrica, la expresión para el flujo relativo en cada caso queda expresada de la siguiente

forma:

( )miiim UUj −ρ= (18)

( )MiiiM UUCJ −= (19)

La velocidad de una especie particular con relación a la masa promedio o velocidad

molar media se llama velocidad de difusión.

Ui-Um = Velocidad relativa de la especie i a la velocidad media másica.

Ui-UM = Velocidad relativa de la especie i a la velocidad media molar.

De acuerdo a la ley de Fick, una especie puede tener una velocidad relativa a la masa o

una velocidad molar media, solamente si existen los gradientes en la concentración.


6

1.4 Ejercicios sección 1 1. Una solución ideal contiene 0,1 x 10-3 m3 de metanol y 0,9 x 10-3 m3 de benceno se mueve a

una velocidad media molar de 0,12 m/s. Si el flujo molar del benceno relativo a la velocidad

media de masa es de -1,0 kgmol m-2s-1 ¿Cual es el flujo total del metanol NA y la velocidad

media de masa?

2. Una mezcla gaseosa binaria de A y de B se desplaza a una velocidad media molar de 2,375

m/s y una velocidad media másica es de 2,6 m/s. La presión total del sistema es de 1 atm y la

presión parcial de A es PA= 0,25 atm. Calcule el flujo másico de A relativo a la velocidad másica

promedio (mjA) y el flujo másico convectivo de A (XA(nA+nB)). Escriba todas sus suposiciones. El

sistema se encuentra a 70 ºC.

PMA= 20 kg/kgmol PMB= 35 kg/kgmol

3. En un recipiente de 1500 pie3 se encuentra aire a 250 ºF y 1,5 atm. Determinar las siguientes

propiedades de la mezcla de gas seco.

a) Fracción molar del oxígeno. b) Fracción en volumen del oxígeno.

c) Peso de la mezcla. d) Densidad de la masa de nitrógeno.

e) Densidad de la masa de oxígeno f) Densidad en masa de la mezcla.

g) Densidad molar de la mezcla. h) Peso molecular promedio de la mezcla.

i) Presión parcial de oxígeno.

4. Una mezcla gaseosa a una presión total de 1,5 x 105 Pa y 295 K contiene 20 % H2, 40 % O2 y

40 % H2O en volumen. Las velocidades absolutas de casa especie son – 10 m/s, -2 m/s y 12

m/s respectivamente, todas ellas en la dirección z.

a) Determinar la velocidad promedio en masa.

b) Determinar los Flujos mjO2, MJ02, N02 y nO2.


7

II. ECUACIÓN DE FICK PARA LA DIFUSIÓN MOLECULAR El movimiento de un compuesto en particular dentro de una mezcla, no se debe sólo al arrastre

que sobre el produce la mezcla (flujo convectivo). Hasta ahora hemos estudiado el

desplazamiento de los componentes de una mezcla en grupos de la misma forma que se

produce el movimiento de un compuesto puro. Si embargo, cuando existen diferencias de

concentraciones en una mezcla, se produce una migración selectiva de los componentes de la

mezcla cuya distribución de concentraciones no sea uniforme. Este movimiento se da

específicamente desde las zonas de alta concentración hasta las zonas de baja concentración

(de la misma forma como en transferencia de calor el flujo se da desde la zona de alta

temperatura hacia la zona de baja temperatura) y esto es lo que en fenómenos de transporte se

conoce como transferencia de masa.

La difusión molecular (o transporte de molecular) puede definirse como la transferencia (o

desplazamiento) de moléculas individuales a través de un fluido por medio de los

desplazamientos individuales y desordenados de las moléculas. Podemos imaginar a las

moléculas desplazándose en línea recta y cambiando su dirección al rebotar otras moléculas

cuando chocan. Puesto que las moléculas se desplazan en trayectorias al azar, la difusión

molecular a veces se llama también proceso con trayectoria aleatoria (Figura 3).

Las leyes de transferencia de masa ponen de manifiesto la relación entre el flujo de las

sustancias que se están difundiendo y el gradiente de concentración responsable de esta

transferencia de masa.

Figura 3. Diagrama esquemático del proceso de difusión molecular.

En la figura 3 se muestra esquemáticamente el proceso de difusión molecular. Donde se

ilustra la trayectoria desordenada que las moléculas de A donde puede seguir difundiéndose

del punto (1) al (2) a través de las moléculas de B. Si hay un número mayor de moléculas cerca


8

del punto (1) con respecto al punto (2) , entonces, y puesto que las moléculas se difunden de

manera desordenada en ambas direcciones, habrá más moléculas de A difundiéndose de (1) a

(2) que de (2) a (1) . La difusión neta de A va de una región de alta concentración a otra de

baja concentración.

El flujo neto de moléculas se relaciona entonces directamente con la diferencia de

concentración respecto a la posición (gradiente de concentración) mediante una relación causa

efecto, es decir la diferencia de concentración producirá el flujo de masa difusivo. La relación

básica correspondiente a la difusión molecular define el flujo molar relativo a la velocidad molar

media MJi. Fick fue quien primero postuló una relación empírica para este flujo molar y, por lo

tanto, se le llama Primera LEY DE FICK. Esta define el componente A de difusión en un sistema

isotérmico e isobárico. Si la difusión se lleva a cabo únicamente en la dirección z, la ecuación

de Fick de la rapidez de flujo molar es :

zxCDJ A

ABAZM ∂∂

−= Molar (20)

zwDj A

ABAZm ∂∂

ρ−= Másico (21)

O para el caso de transferencia de masa en todas las direcciones

AABAM xCDJ ∇−= Molar (20)

AABAm wDj ∇ρ−= Másico (21)

El signo negativo se debe a que el flujo se da en la dirección de concentración

decreciente

AZM J : Es el flujo molar en la dirección de z relativa a la velocidad molar promedio (Kg mol de A

s-1m-2) ó (Lbmol de A s-1pie-2)

zxk

yxi

xxix AAA

A ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ Gradiente de concentración.

xA : Fracción molar del componente A

C : Concentración molar de la mezcla [moles de mezcla/ volumen de mezcla]

z: Coordenada espacial [m o pie]

DAB: El factor de proporcionalidad, es la difusividad de la masa o coeficiente de difusión

correspondiente a un componente A que se difunde a través del componente B [m2s-1 ó pie2 h-1]


9

Según lo definido anteriormente, la velocidad de difusión, en este caso está referida a la

velocidad promedio de la mezcla bien sea molar o másica, es decir que la ecuación de difusión

molecular de Fick contabiliza el movimiento adicional debido exclusivamente al gradiente de

concentración. Retomando la expresión para el flujo relativo ( )MiiiM UUCJ −= , reacomodando

y despejando Ni

iMii JNxN +=

iii xCDNxN ∇−=

DifusivoFlujo

ConvectivoFlujo

fijo scoordenada de

sistema un a respectoA componente del Flujo

+=

Es decir que el movimiento de un componente i en una mezcla es el resultado de la

contribución de dos efectos, el flujo convectivo asociado al desplazamiento en grupo de

moléculas, y al flujo difusivo el cual se debe a la diferencia de concentración del componente.

La mayoría de los casos que vamos a estudiar en esta guía van a tratar sobre sistemas

binarios, en ese caso las expresiones que hemos escrito anteriormente de manera genérica

adoptan la siguiente forma para una mezcla con dos componentes A y B.

AABAAMAA xCDNxJNxN ∇−=+= Molar (22)

AABAAmAA wDnwjnwn ∇ρ−=−= Másico (23)

MA: Peso molecular de A

Aρ : Concentración en masa de A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡soldevol

Ademasa

AC : Concentración molar de A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡soldevolAdemol

ρρ

= AAw

: Fracción de masa A⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡soldemasaAdemasa


10

CCx A

A =: Fracción molar A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡soldemolesAdemoles

1ww BA =+ 1xx BA =+

1

B

B

A

A

Mw

MwM

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

BBAA MxMxM += Peso molecular de la mezcla

AA

BBAA

AAA M

MwM/wM/w

M/wx =+

= ( )2

BA

AA M/1MM

dwdx =

Tabla 3. Flujos para sistemas binarios.

Sistema de referencia Flujo molar Flujo de masa

Coordenadas fijas AAA UCN = AAA Un ρ=

Velocidad promedio molar ( )MAAAM UUCJ −= ( )M

AAAM UUj −ρ=

Velocidad promedio de masa ( )mAAAm UUCJ −= ( )m

AAAm UUj −ρ=

Velocidad promedio de volumen ( )υυ −= UUCJ AAA ( )υυ −ρ= UUj AAA

Tabla 4. Relación entre flujos para sistemas binarios.

Relación entre flujos de masa

y molar Flujo molar relativo a UM Flujo molar relativo a Um

AAA MNn = M

BA CUNN =+ m

BA Unn ρ=+

AmB

AM JMMj =

0=+ BMAM JJ 0=+ BmAm JJ

AAMAM MJj = ( )BAAAMA NNxJN ++= ( )BAAAmA nnwjn ++=

AMB

Am JM

MJ =

MAAMA UCJN +=

MAAmA UJn ρ+=

Tabla 5. Forma de la primera Ley de Fick para sistemas binarios.

Flujo molar Flujo de masa

AABAM xCDJ ∇−= AABAm wDj ∇ρ−=

AABBA

AM wDMCM

J ∇ρ

−=2

AAB

BAAm xDMMCj ∇

ρ−=

2

( ) AABBAAA xCDNNxN ∇−+= ( ) AABBAAA wDnnwn ∇ρ−+=


11

1.1 Coeficiente de Difusión La constante de proporcionalidad de la ecuación de Fick (DAB), se conoce con el nombre

de coeficiente de difusión. Sus dimensiones fundamentales, que pueden obtenerse a partir de la

siguiente ecuación:

zCJD

A

AMAB

∂∂

−≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡s

m2

La unidad es idéntica a la de las otras propiedades de transferencia fundamentales: la

viscosidad cinemática (ν) y la difusividad térmica (α). La difusividad de la masa se ha dado en

cm2s-1, las unidades SI son m2s-1; o sea un factor 10-4 veces menor. En el sistema inglés, pie2h-

1, son las unidades utilizadas. Para hacer conversiones de uno a otro de estos sistemas se

utilizan las siguientes relaciones:

412

AB

12AB 10

)sm(D)scm(D −

−

−

=

87,3)scm(D)spie(D

12AB

12AB =−

−

El coeficiente de difusión depende de la presión de la temperatura y de la composición

del sistema. Como es de esperar, de acuerdo con la movilidad de las moléculas, los

coeficientes de difusión son generalmente mayores en los gases (10-5 m2s-1), que en relación

con los líquidos (entre los valores 10-10-10-9 m2s-1) que son mayores a los valores obtenidos en

relación con los sólidos (10-14-10-10 m2s-1).

En ausencia de datos experimentales, se han obtenido expresiones semi-teóricas que

aportan aproximaciones cuya validez es tan buena como la de los valores experimentales

debido a las dificultades que existen para la medición de estas últimas.

1.2 Coeficiente de difusión molecular de los gases Para mezclas gaseosas binarias a baja presión DAB es inversamente proporcional a la

presión, aumenta con la temperatura y es casi independiente con la composición, para una

mezcla de dos gases determinados. Combinando los principios de la teoría cinética y de los

estados correspondientes se ha obtenido la siguiente ecuación, para estimar DAB a bajas

presiones (Bird et al., 1992).


12

( ) ( )

PMM

TTBPPC

TTTaD

/

BA

/cBcA

/cAb

cBcAAB

2112531 11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

(23)

DAB [cm2/s] P[atm] T[K]

Para mezclas binarias no polares a= 2,745 10-4 b= 1,823

Para Agua con un gas no polar a= 3,640 10-4 b= 2,334

A presiones elevadas DAB, ya no disminuye linealmente con la presión. En realidad, se

sabe muy poco acerca de la variación de la presión, excepto en el caso límite de la auto difusión

que se puede investigar muy bien experimentalmente utilizando trazadores isotópicos.

Para el caso de mezcla binaria de gases no polares a bajas presiones, la teoría

desarrollada por CHAMPMAN–ENSKOG, establece la siguiente expresión para el coeficiente de

Difusión

21

2

237 111085831/

BAAB,DAB

/

AB MMPTx,D ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ωσ=

−

[m2 s-1] (24)

T [K] P = Presión total del sistema [atm] σi, j= Diámetro de colisión [Amstrong]

AB,DΩ : Función adimensional de temperatura y del campo de potencial intermolecular (integral

de colisión) = F(KT / εi-j)

K = constante de Boltzman (1,38x10-16 ergios /°K)

εi-j =Energía de interacción molecular generalmente se estima los parámetros de Lennard–

Jones de la siguiente forma:

( )BAAB,D 21 σσ +=Ω

BAAB εεε =

A continuación se muestran unos valores experimentales de difusividades de gases

diluidos (Tabla 6).

Tabla 6. Difusividades experimentales de algunos sistemas binarios de gases diluidos (Bird et

al. 1992)


13

Sistema Gaseoso Temperatura (K) DAB (cm2s-1)

CO2-N2O 273,2 0,096

CO2-CO 273,2 0,139

CO2-N2 273,2 0,144

288,2 0,158

298,2 0,165

Ar-O2 293,2 0,200

H2-SF6 298,2 0,420

H2-CH4 298,2 0,726

1.3 Difusión Molecular en líquidos La difusión de solutos en líquidos es muy importante en muchos procesos industriales,

en especial en las operaciones de separación, como extracción líquido – líquido o extracción

con disolventes, en la absorción de gases y en la destilación. La difusión en líquidos también es

frecuente en la naturaleza como en los casos de oxigenación de ríos y lagos y la difusión de

sales en la sangre.

Resulta evidente que la velocidad de difusión molecular en los líquidos es mucho menor

que en los gases. Las moléculas de un líquido están muy cercanas entre sí en comparación

con las de un gas, por lo tanto, las moléculas del soluto A que se difunden chocaran contra las

moléculas del líquido B con más frecuencia y se difundirán con mayor lentitud que en los

gases. En general, el coeficiente de difusión es de un orden de magnitud 105 veces mayor que

en un líquido. No obstante, el flujo específico en un gas no obedece la misma regla, pues es

sólo unas 100 veces más rápido, ya que las concentraciones en los líquidos suelen ser

considerablemente más elevadas que en los gases.

Las moléculas de un líquido están más próximas unas de otras que en los gases, la

densidad y la resistencia a la difusividad en aquél son mucho mayores. Además, y debido a

esta proximidad de las moléculas, las fuerzas de atracción entre ellas tienen un efecto

importante sobre la difusión.

Una diferencia notoria de la difusión de los líquidos con respecto a lo gases es que las

difusividad suelen ser bastante dependientes de la concentración de los componentes que se

difunden. Las ecuaciones para predecir difusividades de solutos diluidos en líquidos son

semiempíricas por necesidad, pues la teoría de la difusión en líquidos todavía no está

completamente explicada una de las primeras teorías, la ecuación de Stokes- Einstein, se

obtuvo para una molécula esférica muy grande (A) que se difunde en un disolvente líquido (B)


14

de moléculas pequeñas. Se usó la Ley de Stokes para describir el retardo en la molécula móvil

del soluto. Después fue modificada al suponer que todas las moléculas son iguales, distribuidas

eb un retículo cúbico y cuyo radio molecular se expresa en términos del volumen molar.

31

1610969/

AAB V

Tx,Dμ

=−

(25)

Donde:

DAB = Difusividad [m2s-1]

T = Temperatura absoluta [K]

μ = viscosidad de la solución [Pa.s]

VA = volumen molar del soluto a su punto de ebullición [m3 kgmol-1]

La ecuación (25) no es válida para solutos de volumen molar pequeño. Se ha intentado obtener

otras deducciones teóricas, pero las fórmulas obtenidas no predicen las difusividades con

precisión razonable. Debido a esto, se han desarrollado diversas expresiones semiteóricas

como la correlación de WILKE- CHANG, puede usarse para la mayoría de los propósitos

generales cuando el soluto (A) está diluido con respecto al disolvente (B).

( ) 602116101731 ,

AB

/BAB V

TMx,Dμ

ϕ= −

(26)

Donde:

MB = Peso molecular del disolvente B

μB = Viscosidad de B en [Pa.s]

VA = Volumen molar del soluto en el punto de ebullición [m3 kgmol-1]

φ = Parámetro de asociación del disolvente (para el agua =2,6, metanol = 1,9, etanol = 1,5,

benceno , éter, heptano = 1,0, disolventes sin asociación = 1,0).

Cuando el volumen molar es superior a 500 cm3/ gmol se debe utilizar la ec. (25).


15

Tabla 7. Difusividades experimentales de algunos sistemas binarios de líquidos (Bird et al.,

1992).

Sistema binario Temperatura (K) xA DABx105(cm2s-1)

283 0,033 0,096 Clorobenceno (A)

Bromobenceno (B) 0,264 1,007

0,512 1,146

0,965 1,291

298 0,05 1,13 Etanol (A)

Agua (B) 0,50 0,90

0,95 2,20

Agua(A) 303 0,131 1,24

n-Butanol (B) 0,358 0,560

0,524 0,267

1.4 Difusión molecular en sólidos Ahora se estudiarán los sólidos porosos que tienen canales o espacios vacíos

interconectados que afectan a la difusión. En la figura a se muestra el corte transversal de un

sólido poroso típico.

Figura 4. Esquema de un sólido poroso Típico

En caso de que los espacios vacíos estén totalmente llenos de agua líquida, la

concentración de sal en agua en el punto 1 es cA1 y en el punto 2 es cA2. Al difundirse en el agua

por los conductos vacíos, la sal sigue una trayectoria sinuosa desconocida que es mayor que

(z2 – z1) por un factor z, llamado sinuosidad. (En el sólido inerte no hay difusión.) Se aplica la

siguiente ecuación para la difusión en estado estacionario de la sal de una solución diluida.


16

( )( )12

21

zzCCDN AAAB

A −τ−ε

= (27)

donde ε es la fracción de espacios vacíos, DAB es la difusividad de la sal en agua y τ es un

factor de corrección de la trayectoria más larga que (z2 – z1). En sólidos de tipo inerte τ varía

desde 1,5 hasta 5. En muchos casos es conveniente combinar los términos en una expresión

de difusividad efectiva:

ABeff,A DDτε

= (28)

Tabla 8. Difusividades experimentales de algunos sistemas binarios de gases diluidos (Bird et

al., 1992)

Sistema Gaseoso Temperatura (K) DAB (cm2s-1)

He en SiO2 293 2,4-5,5 x 10-10

He en pirex 293 4,5 x 10-11

780 2 x 10-8

Bi en Pb 293 1,1 x 10-16

Hg en Pb 293 2,5 x 10-15

Sb en Ag 293 3,5 x 10-21

Al en Cu 293 1,3 x 10-30

Cd en Cu 293 2,7 x 10-15


17

EJERCICIOS 1. Calcular la difusividad del manitol, CH20H(CHOH)4CH20H, C6H14O6, en solución diluida en

agua a 20 ºC. Comparar con el valor observado, 0,56 x 10-9 m2s-1.

Calcule las difusividades de las siguientes mezclas gaseosas:

2NH3 N2 + 3H2

a) Acetona-aire, 1 atm, 0 ºC.

R: 9,25x10-6 m2s-1.

b) Nitrógeno-dióxido de carbono, 1 atm, 25 ºC.

c) Cloruro de hidrógeno-aire, 200 kN m-2, 25 ºC.

R: 9,57x10-6 m2s-1.

d) Tolueno-aire, 1 atm, 30 ºC. Valor experimental 0,088 cm2s-1.

e) Anilina-aire. 1 atm, 0 ºC. Valor experimental 0,0610 cm2s-1.

2. La difusión de CO2(A), a través de una película de Aire (B) es estudiada mediante la

medición de concentraciones en diferentes posiciones a lo largo de una película. Datos

experimentales muestran que el perfil de fracciones molares es el siguiente (Fig. 1). Si

el flujo total de NA es 0,150 kgmol m-2s-1, calcule la contribución debida a difusión y la

debida a convección en unidades molares (MJA y xA(NA+NB)).

La presión del sistema es de 1 atm y se encuentra a 300 K.

PMA= 44 kg kgmol-1 PM B= 29 kg kgmol-1 DAB= 5,1x10-5 m2s-1.

Fracción molar vs Posición

0,2820,2840,286

0,2880,2900,2920,2940,296

0,2980,3000,302

0,099 0,100 0,101 0,102 0,103 0,104 0,105 0,106 0,107pos(mm )

X A


18

III. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE MASA Si se hace un balance de masa en un cuno de volumen diferencial con dimensiones Δx,

Δy Δz,

Figura 5. Elemento diferencial de volumen

Entra-Sale+Genera-Consume= Acumula

( ) ( ) ( )t

zyxzyxryxnnzxnnzynn AA

.

zzAzzAzyyAxyAyxxAxxAx ∂ρ∂

ΔΔΔ=ΔΔΔ+ΔΔ−+ΔΔ−+ΔΔ−υ

Δ+Δ+Δ+

Donde υ

A

.r es lo que se genera o se consume por unidad de volumen de A debido a

reacción química. Dividiendo por zyx ΔΔΔ y tomando el límite cuando tienden a cero: υ

=∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂ρ∂

A

.AzAyAxA rz

ny

nx

nt (29)

0rn.t

A

.

AA =−∇+

∂∂ υρ

(30)

Esto es lo que se conoce como la Ecuación de continuidad para el componente A de una

mezcla binaria que describe la concentración de A con respecto al tiempo para un punto fijo en

el espacio, la variación resulta del movimiento de A y de las reacciones químicas en las que se

ve involucrado. Haciendo el mismo balance para el componente B y combinando con la

ecuación anterior ( 0=+υυ

B

.

A

.rr )

( ) ( ) 0=∇+∂ρ∂ n.t (31)

Haciendo el mismo balance anterior pero en función de unidades molares,


19

0=−∇+∂∂ υ

A

.

AA RN.t

C Para A (32)

υυ

+=∇+∂∂

B

.

A

.RRN.

tC

Para la mezcla (33)

Reescribiendo la ecuación de continuidad para el componente A tanto en balance molar

como másico en función de la Ley de Fick, obtenemos:

( )υ

=ρ∇+∇ρ∇−∂ρ∂

A

.m

AAAA rU.wD.t (34)

( )υ

=∇+∇∇−∂∂

A

.M

AAAA RUC.xCD.t

C (35)

Caso 1: Para el caso en que no hay reacción química, la sustitución de la primera ley de Fick

en la ecuación (35) da

( ) 01

1=∇+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∇

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

∇+∂∂ υUC.xCD

xVC.

tC

AAAA

A

_

AA

(36)

Caso 2: En la ausencia de flujo convectivo.

( )AAA xCD.t

C∇∇=

∂∂

(37)

Caso 3: Para el caso de concentración total y difusividad constante

AAA CDt

C 2∇=∂∂

(38)

Esta ecuación es llamada la segunda Ley de Fick y ha encontrado amplia aplicación en

la determinación experimental de coeficientes de difusión.

Caso 4: Para el caso de régimen permanente (estado estable, estacionario)

02 =∇ AC (39)

Válida cuando, C= constante, U0=0, DA=constante 0=

∂∂

tCA

y 0=υ

A

.R

Escribiendo estas ecuaciones para el caso de diversas geometrías tenemos:


20

Tabla 9. Ecuación de continuidad de A en diversos sistemas coordenados.

Coordenadas rectangulares υ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

A

.AzAyAxA Rz

Ny

Nx

Nt

C

Coordenadas cilíndricas

( )υ

θ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

+∂∂

A

.AzA

ArA R

zNN

rrN

rrtC 11

Coordenadas esféricas

( ) ( )υ

φθ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

+∂∂

A

.A

AArA R

N)(rsen

)(senN)(rsen

Nrrrt

C 111 22

Tabla 10. Ecuación de continuidad de a para ρ y DAB constantes.

Coordenadas rectangulares υ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

A

.AAA

ABA

zA

yA

xA R

zC

yC

xCD

zCv

yCv

xCv

tC

2

2

2

2

2

2

Coordenadas cilíndricas

υ

θ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+θ∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

+∂∂

A

.AAA

ABA

zAA

rA R

zCC

rrCr

rrD

zCvC

rv

rCv

tC

2

2

2

2

2

111

Coordenadas esféricas

υ

φθ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φ∂∂

θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛θ∂

∂θ

θ∂∂

θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ∂

∂θ

+θ∂

∂+

∂∂

+∂∂

A

.AAA

AB

AAAr

A

RC)(senr

C)(sen)(senrr

Crrr

D

C)(rsen

vCr

vr

Cvt

C

2

2

2222

2

111

11

Ya deducidas las ecuaciones diferenciales que describen el proceso de difusión se

deben seleccionar las condiciones límites a las cuales deben ser resueltas. Para los casos de

régimen permanente, las condiciones límites a menudo encontradas son como las que se

mencionan (condiciones de borde).

Concentración en la superficie CA=CA1 en z=z1

El flujo de masa en una superficie ( )∞=−= AAczzAZ CCkN 11 kC es el coeficiente de transferencia

de masa 3. Reacción química en la superficie para una reacción de primer orden

1111 As

s

z,A

.

zzAZ CkRN ===


21

Difusión a través de una película de gas estancada Estudiemos el caso en el que una columna de líquido (A) que se

evapora en el seno de una fase gaseosa. La concentración del

gas (A) varía desde la concentración de saturación en la interfase

(CA1) hasta el seno de una corriente gaseosa (CA2).

Aunque es sólo el componente A el que se evapora,

necesitamos información acerca de la transferencia de masa del

componente B. A continuación deduciremos las expresiones que

regulan el proceso de transferencia de masa a las condiciones

descritas.

Tradicionalmente cuando todos los componentes se

mueven a la misma velocidad, basta con la ecuación de

continuidad y las condiciones de borde adecuadas para describir el movimiento, sin embargo en

el caso en que los componentes se mueven a diferentes velocidades, debemos imponer alguna

relación adicional en la que se especifique el movimiento relativo de los componentes entre si o

con respecto a la mezcla. A continuación vamos a ver los dos casos límite mas estudiados,

contradifusión equimolar y difusión a través de una película estática.

4.1 Contradifusión equimolar El caso de contradifusión equimolar es un caso límite, en el que se considera que cada mol de

A que difunde en una mezcla binaria es repuesto con un flujo de igual magnitud pero de signo

contrario de B. En este caso, para la geometría que estamos considerando, NAZ=-NBZ, de esta

forma el flujo convectivo de la mezcla será nulo.

Basados en la expresión de la ecuación de continuidad con difusión para este caso

(geometría crectangular) tenemos que

υ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

A

.AzAyAxA Rz

Ny

Nx

Nt

C

Suposiciones

- Difusión en estado estacionario

0=∂∂

tCA

- Si no hay reacción química.


22

0=υ

A

.R - Si la transferencia de masa es sólo en la dirección z

0=∂

∂=

∂∂

yN

xN AyAx

En ese caso la ecuación de continuidad quedará expresada de la siguiente forma

0=∂

∂z

NAZ

cteNAZ =

Es decir que bajo estas suposiciones, la conclusión es que el flujo de NA en la dirección

z es constante. Sustituyendo la expresión general para la estimación del flujo de A tenemos

( )z

XCDxNNN AABABZAZAZ ∂

∂−+=

Por ser contradifusión equimolar NAZ=-NBZ. Entonces:

zCDN A

ABAZ ∂∂

−= (40)

Esta ecuación diferencial debe ser resuelta bajo las siguientes condiciones de borde.

CB1 CA(z=z1)=CA1 CB2 CA(z=z2)=CA2

Queda como

( )2112

AAAB

AZ CCzz

DN −−

= (41)

A la distancia z2-z1, se le conoce como trayectoria de difusión y generalmente se denota con la

letra δ.

( )21 AAAB

AZ CCDN −δ

= (42)

A la relación δABD

es lo que se le conoce como coeficiente de transferencia de masa y se

denota por la letra k. Es bien importante hacer notar que el coeficiente de transferencia de masa

se debe a dos cantidades: al coeficiente de difusión del sistema de estudio y a alguna

trayectoria de difusión que independientemente del arreglo geométrico de alguna forma debe


23

contabilizar el recorrido que realiza una molécula de A que difunde desde la concentración CA1

hasta la concentración CA2.

δ= AB´

cDk

[longitud2 tiempo-1]

( )21 AAćAZ CCkN −=

Para líquidos

( ) ( ) ( )212121 AA´xAA

´LAA

´LAZ xxkxxCkCCkN −=−=−= (43)

Para gases a bajas presiones

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2121212121 AAýAA

´GAA

´GAA

ć

AAćAZ yykyyPkPPkPP

RTk

CCkN −=−=−=−=−=(44)

1.5 Difusión a través de una película estática El segundo caso limite que se estudia es aquel en el que a difunde a través de un gas B

que permanece estático (NBZ=0). En ese caso y bajo las mismas suposiciones que en el caso A,

la ecuación de continuidad queda como:

0=∂

∂z

NAZ

cteNAZ =

Es decir que bajo estas suposiciones, la conclusión es que el flujo de NA en la dirección

z es constante. Sustituyendo la expresión general para la estimación del flujo de A tenemos

( )z

XCDxNNN AABABZAZAZ ∂

∂−+=

Por ser B estático NBZ=0. Entonces:

( )z

CDxN AABAAZ ∂

∂−=−1

(45)

Esta ecuación diferencial debe ser resuelta bajo las siguientes condiciones de borde.

CB1 CA(z=z1)=CA1 CB2 CA(z=z2)=CA2

( ) ( )211 AAMA

ABAZ CC

xDN −−δ

= (46)

Donde


24

( )21 Ax−

( ) ( ) ( )( )( )

BM

A

A

AAMA x

xxln

xxx =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−=−

1

2

12

11

111

(47)

Para líquidos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121211 AAxAALAALAAMA

ABAZ xxkxxCkCCkCC

xDN −=−=−=−−δ

= (48)

Para gases

( ) ( ) ( )212121 AABM

GAA

BM

ć

AABM

ABAZ PP

PPk

PPRTP

PkPP

PRTPDN −=−=−δ

= (49)

O bien

( ) ( ) ( )212121 AAyAAGAAGAZ yykyyPkPPkN −=−=−= (50)

Tabla 11. Resumen de coeficientes de transferencia de masa.

Contradifusión equimolar Difusión a través de una película

estática

Unid. Coef. Transf.

Masa

Flujo Coef. Transf.

Masa Flujo

Coef. Transf.

masa

Gases Gases

( )21 AAĆA CCkN −= δ

= ABć

Dk

( )21 AACA CCkN −= BM

ABC P

PDkδ

=

mol

(tiempo)(área)(mol/vol)

( )21 AA´GA PPkN −= RT

Dk AB´G δ=

( )21 AAGA PPkN −= BM

ABG RTP

PDkδ

=

mol

(tiempo)(área)(presión)

( )21 AAýA yykN −= RT

PDk ABý δ=

( )21 AAyA yykN −= BM

ABy RTP

DPkδ

=2

mol

(tiempo)(área)(fracción

mol)

Líquidos Líquidos

( )21 AA´LA CCkN −= δ

= AB´L

Dk

( )21 AALA CCkN −= BM

ABL x

Dkδ

=

mol

(tiempo)(área)(mol/vol)

( )21 AA´xA xxkN −= δ

= AB´x

Dk

( )21 AAxA xxkN −= BM

ABx x

CDkδ

=

Mol

(tiempo)(área)(fracción

mol)


25

EJERCICIOS

1. Se han investigado varios métodos para reducir la evaporación de agua de recipientes

grandes regiones semiáridas. Uno de los métodos que se ha aprobado es el de rociar una

sustancia química no volátil sobre la superficie del recipiente. En un intento por determinar la

eficiencia de este método, la superficie de un recipiente rectangular de 1 m x 5 m lleno con agua

se cubrió con una capa de la sustancia química de 0,002 m de grosor. En vista de que el agua y

el químico sólo son ligeramente miscibles, la velocidad de evaporación del agua se puede

determinar al calcular la difusión del agua a través de una película de la sustancia química

estática. Usando los datos que se dan abajo, calcule el coeficiente de transferencia de masa y

la velocidad a la cual se evapora. El coeficiente de difusión del agua a través de la película es

2,30 x10-9 m2 s-1. La concentración del agua en la sustancia química en la interfase líquido-

líquido es CW1= 0,3 kgmol m-3. La concentración del agua en la sustancia química en la

interfase gas-líquido es CW2= 0,05 kgmol m-3. Suponga que la densidad molar de la sustancia

química es 0,35 kgmol m-3.

2. Se esta difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condiciones de

estado estacionario, con el monóxido de carbono sin difundirse. La presión total es 105 N m-2 y

la temperatura es 0 ºC. La presión parcial de oxígeno en dos planos separados por 2,0 mm es,

respectivamente, 13000 y 6500 N m2. La difusividad para la mezcla es 1,87x10-5 m2 s-1. Calcular

la rapidez de difusión del oxigeno en kgmol s-1 a través de cada metro cuadrado de los dos

planos.

3. Calcular la rapidez de difusión del ácido acético(A) a través de una película de agua, no

difusiva de 1 mm de espesor a 17 ºC, cuando las concentraciones en los lados opuestos de la

película son respectivamente 9 y 3% en peso de ácido. La difusividad del ácido acético en la

solución es 0,95 x10-9 m2 s-1.

En una mezcla gaseosa de oxigeno-nitrógeno a 1 atm 25 ºC, las concentraciones del oxigeno

en dos planos separados 2 mm son 10 y 20% en vol., respectivamente. Calcular el flujo de

difusión del oxigeno para el caso en que:

a) El nitrógeno no se esta difundiendo.

R: 4,97x10-5 kgmol m-2 s-1.

b) Existe una contradifusión equimolar de los dos gases.


26

4. El H2S sale en condiciones normales de la refinería a una concentración de 1,0x10-5 kgmol m-

3. Un día en particular, la torre de absorción encargada de extraerlo de las corrientes gaseosas

de proceso se daña, razón por la cual, el gas que es desechado a la atmósfera sale a una alta

concentración de H2S (x= 0,051). Los límites máximos permitidos de H2S son 1,0x10-3 kgmol m-

3de sin causar daños a la salud. Si el poblado mas cercano está a 1 Km, y el flujo por unidad de

área que sale de la torre es de 1,45x10-10 kgmol m2s-1, formule un modelo que le permita

determinar la concentración de H2S en las cercanías del pueblo, para ver si hay o no riesgo de

daños a la salud de los habitantes.

Suponga que hay transferencia de masa sólo por difusión en la dirección x, y que el flujo

de masa se relaciona con la diferencia de concentraciones por una relación de contradifusión equimolar. El coeficiente de difusión del H2S en aire es de 8,1 x 10-5 m2 s-1. Las condiciones

ambientales son P= 1 atm y T= 300 K.


27

BIBLIOGRAFÍA - C. J. Geankopolis. Procesos de transporte y operaciones unitarias. Operaciones Unitarias.

Compañía editorial continental. 1995.

- R. B. Bird, W.E. Stewart y E. N. Lightfoot. Fenómenos de transporte. Editorial Reverté, México,

1998.

- Hines A. y Maddox R., Transferencia de masa, Fundamentos y aplicaciones. Prentice-Hall

Hispanoamericana, México 1987.

Documents

Fundamentos de Transferencia de masa - Fenomenos de … · Para el caso se un gas ideal, y i se puede calcular como PresiónTotal Presiónparcialde ienlamezcla P P y i ... Volumen