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6- 1 6. ÓPTICA GEOMÉTRICA La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de obstáculos ó aberturas que se encuentra a su paso. Esto permite en general despreciar los efectos de interferencia y difracción asociados al carácter ondulatorio de la luz. Sobre esta hipótesis se asume una propagación rectilínea de los rayos de luz dando lugar a la disciplina conocida como óptica geométrica. Los axiomas sobre los que se construye la óptica geométrica son: 1. Las trayectorias de los rayos de luz en los medios homogéneos e isótropos son rectilíneas 2. El rayo incidente, el refractado y la normal están en un mismo plano 3. Se cumple la ley de la reflexión 4. Se cumple la ley de la refracción 5. Las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles 6. No existe interacción entre los diferentes rayos donde los cinco primeros axiomas se deducen del principio de Fermat, tal y como vimos en el capítulo anterior, y el último supone ignorar el carácter ondulatorio de la luz. La óptica geométrica se ocupa principalmente de la formación de imágenes por espejos y lentes, base de la construcción de instrumentos ópticos tales como microscopios ó telescopios. 6.1 Espejos La figura 6.1 .a muestra un haz de rayos que procede de un punto P situado en el eje de un espejo esférico cóncavo y que después de reflejarse en el mismo convergen en el punto P´. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina imagen real debido a que la luz realmente emana del punto imagen y puede verse por un ojo situado a la izquierda de la imagen y que mire hacia el espejo. La figura 6.1.b muestra un haz de rayos luminosos que proceden de una fuente puntua l P y se reflejan en un espejo plano. Después de la reflexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P´ situado detrás del espejo dando lugar a una imagen virtual debido a que la luz no procede Figura 6.1. Reflexión en un espejo cóncavo (a) y plano (b)

Fundamentos fisicos -Optica geometrica

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Optica geometrica

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  • 6-1

    6. PTICA GEOMTRICA

    La longitud de onda de la luz suele ser muy pequea en comparacin con el tamao de obstculos aberturas que se encuentra a su paso. Esto permite en general despreciar los efectos de interferencia y difraccin asociados al carcter ondulatorio de la luz. Sobre esta hiptesis se asume una propagacin rectilnea de los rayos de luz dando lugar a la disciplina conocida como ptica geomtrica. Los axiomas sobre los que se construye la ptica geomtrica son:

    1. Las trayectorias de los rayos de luz en los medios homogneos e

    istropos son rectilneas 2. El rayo incidente, el refractado y la normal estn en un mismo plano 3. Se cumple la ley de la reflexin 4. Se cumple la ley de la refraccin 5. Las trayectorias de la luz a travs de distintos medios son reversibles 6. No existe interaccin entre los diferentes rayos

    donde los cinco primeros axiomas se deducen del principio de Fermat, tal y como vimos en el captulo anterior, y el ltimo supone ignorar el carcter ondulatorio de la luz. La ptica geomtrica se ocupa principalmente de la formacin de imgenes por espejos y lentes, base de la construccin de instrumentos pticos tales como microscopios telescopios. 6.1 Espejos

    La figura 6.1 .a muestra un haz de rayos que procede de un punto P situado en el eje de un espejo esfrico cncavo y que despus de reflejarse en el mismo convergen en el punto P. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina imagen real debido a que la luz realmente emana del punto imagen y puede verse por un ojo situado a la izquierda de la imagen y que mire hacia el espejo. La figura 6.1.b muestra un haz de rayos luminosos que proceden de una fuente puntua l P y se reflejan en un espejo plano. Despus de la reflexin, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P situado detrs del espejo dando lugar a una imagen virtual debido a que la luz no procede

    Figura 6.1. Reflexin en un espejo cncavo (a) y plano (b)

  • 6-2

    realmente de la imagen. A pesar de esta diferencia entre imagen real y virtual, los rayos luminosos que divergen desde ambos tipos de imagen son idnticos para el ojo. La figura 6.2 esquematiza el proceso de reflexin de un rayo que procedente de un punto objeto P a una distancia s medida segn el eje ptico, se refleja en un espejo esfrico y pasa por el punto imagen P situado a una distancia s. El punto C es el centro de curvatura del espejo y el punto V sita la interseccin del espejo con el eje ptico. Los rayos incidente y reflejado forman ngulos iguales con la lnea radial CA que es perpendicular a la superficie del espejo.

    Figura 6.2. Proceso de reflexin de un rayo en un espejo cncavo

    De la geometra expuesta en la figura se deduce que el ngulo b=a+q y que

    g=a+2q. La distancia imagen s desde el vrtice V del espejo a P puede relacionarse con la distancia objeto s asumiendo que los ngulos son pequeos y que senq q, rayos paraxiales. El resultado es

    rss2

    11

    =+ [6.1]

    Cuando la distancia objeto es grande en comparacin con el radio de

    curvatura, s=, la distancia imagen es rs21

    = y recibe el nombre de distancia focal f

    del espejo. El punto focal F es el punto en donde resultan enfocados todos los rayos paralelos al eje del espejo

    rf21

    = [6.2]

    La distancia focal de un espejo esfrico es igual a la mitad del radio de curvatura. En funcin de la distancia focal f, la ecuacin [6.1] toma la forma

  • 6-3

    fss1

    11 =+ [6.3]

    conocida como ecuacin del espejo. El criterio de signos a aplicar a la hora de utilizar correctamente estas ecuaciones es el siguiente s + si el objeto est delante del espejo (objeto real)

    - si el objeto est detrs del espejo (objeto virtual) s + si la imagen est delante del espejo (imagen real)

    - si la imagen est detrs del espejo (imagen virtual) r,f + si el centro de curvatura est delante del espejo (espejo cncavo)

    - si el centro de curvatura est detrs del espejo (espejo convexo)

    Un mtodo que resulta til a la hora de situar imgenes consiste en la construccin de un diagrama de rayos esquematizado en la figura 6.3. Existen tres rayos principales convenientes para la construccin de la imagen 1. El rayo paralelo al eje ptico. Este rayo se refleja pasando por el punto focal 2. El rayo focal, que pasa por el punto focal. Este rayo se refleja paralelamente al eje ptico 3. El rayo radial, que pasa por el centro de curvatura. Este rayo incide sobre el espejo perpendicularmente a su superficie y por ello se refleja coincidiendo consigo mismo

    La interseccin de dos rayos cualesquiera sita el punto imagen superior pudindose utilizar el tercer rayo como comprobacin. Cuando el objeto est entre el espejo y su punto focal, los rayos reflejados no convergen sino que parecen divergir desde un punto situado detrs del espejo, imagen virtual, tal y como se ilustra en la figura 6.4. En la figura 6.5 se muestra el diagrama de rayos para un objeto situado delante de un espejo convexo. El rayo central que se dirige hacia el centro de curvatura C es perpendicular al espejo y se refleja sobre

    Figura 6.3. Diagrama de rayos en un espejo concavo

    Figura 6.4. Imagen virtual en un espejo cncavo

    Figura 6.5. Imagen virtual en un espejo convexo

  • 6-4

    si mismo. El rayo paralelo al eje se refleja como si procediese del punto focal F detrs del espejo. Podemos ver en la figura que la imagen est detrs del espejo y, por tanto, es virtual.

    La relacin entre el tamao del

    objeto y de la imagen se denomina aumento lateral de la imagen. En la figura 6.6, y utilizando la aproximacin de rayos paraxiales, podemos ver que el aumento lateral es igual a

    ss

    yy

    m

    -== [6.4]

    Un aumento negativo, lo que tiene lugar cuando s y s son positivos, significa

    que la imagen est invertida. En el caso de espejos planos el radio de curvatura es infinito implicando que la distancia focal es infinita. Esto da lugar a que s=s y m=1. Esto da lugar a una imagen virtual, derecha (no invertida) y del mismo tamao que el objeto. 6.2 Lentes 6.2.1 Imgenes formadas por refraccin. La formacin de una imagen por refraccin en una superficie esfrica que separa dos medios con ndices de refraccin n1 y n2 se ilustra en la figura 6.7.

    Figura 6.7. Refraccin en una superficie esfrica

    En esta figura n2>n1 de modo que las ondas se mueven ms lentamente en el

    2 medio. Aplicando la ley de Snell, con la aproximacin de rayos paraxiales, y de los tringulos ACP y PAC obtenemos

    baq

    gqbqq

    +=

    +==

    1

    2

    2211 nn [6.5]

    y utilizando las aproximaciones de ngulos pequeos, rayos paraxiales

    Figura 6.6 Aumento lateral en un espejo cncavo

  • 6-5

    sl

    a , rl

    b , sl

    g [6.6]

    obtenemos la ecuacin que liga la distancia imagen s con la distancia objeto s, el radio de curvatura r de la superficie y los ndices de refraccin de los dos medios

    r

    nnsn

    sn 1221

    -

    =+ [6.7]

    En la refraccin, las imgenes reales se obtienen detrs de la superficie que recibe el nombre de lado de transmisin, mientras que las imgenes virtuales se presentan en el lado de incidencia delante de la superficie. Por tanto el convenio de signos que utilizamos para la refraccin queda

    s + (objeto real) para los objetos delante de la superficie (lado de incidencia) - (objeto virtual) para los objetos detrs de la superficie (lado de transmisin)

    s + (imagen real) para las imgenes detrs de la superficie (lado de transmisin) - (imagen virtual) para las imgenes delante de la superficie (lado de incidencia)

    r + si el centro de curvatura est en el lado de transmisin - si el centro de curvatura est en el lado de incidencia

    Se denomina punto focal objeto F a la posicin de un objeto puntual sobre el eje ptico tal que los rayos refractados son paralelos al eje ptico, lo cual equivale a tener la imagen del punto en el infinito. La distancia del objeto a la superficie esfrica se denomina distancia focal objeto f. Anlogamente, cuando los rayos incidentes son paralelos al eje ptico, objeto en el infinito, los rayos refractados pasan por el punto focal imagen F situado a la distancia focal imagen f de la superficie.

    Segn la figura 6.8 y utilizando de nuevo la ley de Snell y la aproximacin de rayos paraxiales llegamos a que el aumento debido a la refraccin en una superficie esfrica es igual a

    snsn

    yy

    m2

    1 -== [6.8]

    Figura 6.8 Aumento debido a la refraccin en una superficie esfrica

  • 6-6

    6.2.2 Lentes delgadas. La aplicacin ms importante de la ecuacin [6.7] para la refraccin en una superficie simple consiste en hallar la posicin de la imagen formada por una lente siendo sta un medio transparente de ndice de refraccin n limitado por dos superficies esfricas de radios r1 y r2 y de espesor despreciable, lente delgada. Segn la figura 6.9, si un objeto est a una distancia s de la primera superficie se puede encontrarse la distancia s1 de la imagen debido a la refraccin aplicando [6.7]

    1

    1

    11r

    nsn

    s-=+ [6.9]

    Figura 6.9. Refraccin de la luz y formacin de imagen en una lente delgada

    Esta imagen no llega a formarse porque la luz se refracta de nuevo en la segunda superficie. En este caso s1 es negativa indicando que sera una imagen virtual. Los rayos dentro del vidrio, refractados por la primera superficie, divergen como si procediesen del punto imagen P1. Estos inciden sobre la segunda superficie formando los mismos ngulos que si se encontrase un objeto en este punto imagen. Por consiguiente, la imagen dada por la primera superficie se convierte en objeto para la segunda superficie. Como la lente es de espesor despreciable, la distancia objeto s2 es de valor igual a s1 pero de signo positivo dado que est en el lado de incidencia para la segunda superficie s2=-s1. Aplicando [6.7] para esta segunda refraccin obtendremos la distancia imagen s para la lente

    2

    1

    1

    1r

    nss

    n -=+

    - [6.10]

    y eliminando s1 al sumar [6.9] y [6.10] tenemos

    --=+

    21

    11)1(

    11rr

    nss

    [6.11]

    La ecuacin [6.11] da la distancia imagen s en funcin de la distancia objeto s y de las propiedades de la lente delgada. Como en el caso de los espejos, la

  • 6-7

    distancia focal de una lente delgada se define como la distancia imagen que corresponde a una distancia objeto infinita. Haciendo s= y escribiendo f en lugar de la distancia imagen se tiene

    --=

    21

    11)1(

    1rr

    nf

    [6.12]

    denominada ecuacin del constructor de lentes y que da la distancia focal de una lente en funcin de sus propiedades. Introduciendo [6.12] en [6.11] obtenemos la denominada ecuacin de la lente delgada

    fss1

    11 =+ [6.13]

    En una lente delgada los dos puntos focales, objeto F e imagen F , estn simtricamente ubicados a ambos lados de la lente delgada y a una distancia igual a la focal f.

    Cuando la distancia focal calculada a partir de [6.12] es mayor que cero se dice que la lente es positiva convergente, figura 6.10, teniendo el punto focal objeto F en el lado de incidencia y el punto focal imagen F en el lado de transmisin. Las lentes ms gruesas en el centro que en los extremos, biconvexas, son lentes positivas, siempre que su ndice de refraccin sea mayor que el del medio que las rodea. Sin embargo, cuando la distancia focal es menor que cero, tenemos una lente negativa divergente y el punto focal objeto est en el lado de transmisin y el punto focal imagen en el lado de incidencia, figura 6.11, siempre que su ndice de refraccin sea mayor que el del medio que las rodea. El valor inverso de la distancia focal se denomina potencia de la lente. Cuando se expresa en metros la distancia focal, la potencia viene dada en recprocos de metros denominados dioptras (D)

    Figura 6.10. Lente convergente

    Figura 6.11. Lente divergente

  • 6-8

    fP 1= dioptras [6.14]

    midiendo la capacidad de la lente para enfocar los rayos paralelos a una distancia corta de la misma. Si combinamos en un sistema ptico dos ms lentes delgadas, podemos hallar la imagen final producida por el sistema de lentes mltiples hallando la distancia imagen correspondiente a la primera lente y utilizndola junto con la distancia entre lentes para hallar la distancia objeto correspondiente a la segunda lente. Es decir, se considera cada imagen, sea real virtual y se forme no como el objeto para la siguiente lente. En caso de que las dos lentes delgadas de distancias focales f1 y f2 estn en contacto, la distancia focal equivalente de la combinacin viene dada por

    21

    111fff

    += [6.15]

    6.2.3 Diagramas de rayos para las lentes. Como sucede con las imgenes formadas por los espejos, es conveniente situar las imgenes dadas por las lentes mediante mtodos grficos. La figura 6.12 ilustra este mtodo para lentes convergentes donde los rayos principales son

    Figura 6.12. Diagrama de rayos en una lente convergente

    1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo se desva de

    modo que pasa por el segundo punto focal de la lente 2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre

    desviacin dado que las caras de la lente son paralelas en este punto y la lente es delgada

    3. El rayo focal, que pasa por el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje

    Estos tres rayos convergen en el punto imagen. En este caso la imagen es

    real e invertida y la amplificacin lateral vale, igual que en caso de espejos, m=-s/s.

  • 6-9

    Los rayos principales para una lente divergente, tal y como se esquematiza en la figura 6.13, son

    1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo diverge como si procediese del segundo punto focal de la lente

    2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviacin

    3. El rayo focal, que se dirige hacia el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje

    Figura 6.13. Diagrama de rayos en una lente divergente

    6.2.4 Aberraciones. Cuando los rayos procedentes de un punto objeto no se

    enfocan en un solo punto imagen, la imagen borrosa resultante del objeto se denomina aberracin. Los motivos de las aberraciones suelen clasificarse en los siguientes tipos

    i) Aberracin esfrica. Los rayos que procedentes de un objeto en el eje

    ptico, inciden sobre una lente lejos del eje, rayos no paraxiales, se desviarn ms que los prximos al mismo, figura 6.14, con el resultado de que no todos los rayos se enfocan en un solo punto. En lugar de ello, la imagen tiene el aspecto de un disco circular. El crculo de mnima confusin, en donde se encuentra el dimetro mnimo, se encuentra en el punto C

    Figura 6.14. Aberracin esfrica en una lente

  • 6-10

    ii) Coma y astigmatismo. Son aberraciones propias de puntos fuera del eje ptico, que dan lugar a imgenes no puntua les del punto objeto, y motivadas por considerar rayos no paraxiales al igual que en la aberracin esfrica.

    iii) Curvatura de imagen. An considerando que la imagen de un punto es otro punto, puede ocurrir que los puntos del plano objeto no estn todos en el mismo plano imagen sino en una superficie curva produciendo una curvatura de la imagen

    iv) Distorsin. Da lugar a una imagen no semejante a la forma del objeto y es motivada por el hecho de que la amplificacin lateral depende de la distancia de los puntos objeto al eje

    v) Aberracin cromtica. El hecho de que el ndice de refraccin de la lente depende de la longitud de onda, fenmeno que ya analizamos en el captulo anterior y conocido como dispersin, produce aberraciones cuando trabajamos con luz no monocromtica dado que la distancia focal depende de n. La figura 6.15 ilustra este fenmeno al iluminar con luz formada por tres colores una lente

    Figura 6.15. Aberracin cromtica en una lente

    Las aberraciones son corregidas parcialmente utilizando superficies no

    esfricas para lentes y espejos, generalmente ms costosas de producir que las superficies esfricas. Por ejemplo, es habitual el uso de superficies reflectoras parablicas que enfocan en un punto los rayos paralelos al eje sin importar lo alejados que estn estos del eje ptico.

    Otro mtodo habitualmente utilizado para corregir aberraciones es usar

    combinaciones de varias lentes, en lugar de una sola lente. Por ejemplo, una lente positiva, y otra negativa de mayor distancia focal, pueden utilizarse juntas para producir un sistema de lentes convergente que tenga una aberracin cromtica mucho menor que una lente simple de la misma distancia focal. El sistema ptico de una buena cmara fotogrfica contiene normalmente seis elementos para corregir las diversas aberraciones presentes.

  • 6-11

    6.3 Mtodo matricial para el anlisis de sistemas pticos Un sistema ptico compuesto por dos ms lentes delgadas se puede analizar algebraicamente grficamente por los mtodos hasta ahora expuestos sin ms que tratar la imagen formada por la primera lente como objeto de la segunda y as sucesivamente a travs de todo el sistema. El problema aparece cuando el sistema contiene una mas lentes de espesor no despreciable dejando de ser vlidos los mtodos de anlisis anteriormente desarrollados. En este apartado desarrollaremos un mtodo de anlisis basado en clculo matricial que nos permitir abordar sistemas pticos compuestos por varias lentes gruesas.

    Los sistemas pticos contienen regiones de diferente ndice de refraccin. Las superficies de separacin entre ellas son partes de superficies esfricas cuyos centros estn situados sobre un eje comn denominado eje ptico. Siguiendo el esquema de la figura 6.16 tenemos que un rayo ptico alcanza la superficie de refraccin formando un ngulo a con el eje ptico y a una altura l sobre ese mismo eje. Debido al proceso de refraccin en la superficie, tenemos que ese rayo ptico

    cambia su ng ulo con el eje ptico pasando a ser g mientras que la altura contina siendo l. Las ecuaciones [6.5] nos muestran que para rayos paraxiales )()( 21 gbba +=+ nn [6.16]

    y considerando que rl

    =b nos queda

    ga =+

    -

    2

    1

    2

    1 11nn

    lrn

    n [6.17]

    Utilizando notacin matricial podemos poner que el rayo ptico (l,a) se ha

    transformado debido a la refraccin en el rayo (l,g) segn la operacin

    =

    - ga

    11

    01

    2

    1

    2

    1ll

    nn

    rnn [6.18]

    a

    b

    gq1 b

    q2b

    l

    r C

    Figura 6.16 Proceso de refraccin de un rayo ptico en una superficie esfrica

  • 6-12

    donde R=

    -

    2

    1

    2

    1 11

    01

    nn

    rnn recibe el nombre de matriz de refraccin y C=

    al

    matriz

    del rayo ptico . Por tanto la accin de la superficie sobre el rayo se describe por la operacin RC= C [6.19]

    Si no existen superficies donde cambia el ndice de refraccin, el rayo ptico seguir trayectorias rectilneas. Veamos como aplicar el clculo matricial para describir la transmisin del rayo entre dos superficies separadas una distancia t y que limitan una regin de ndice de refraccin cons tante, figura 6.17. Estas superficies representadas por planos en la figura son realmente esfricas, pero al estar los rayos paraxiales cerca del eje al atravesar el sistema podemos considerarlas como planos que cortan al eje ptico en puntos denominados vrtices.

    Al seguir una trayectoria recta, el ngulo con el eje ptico no cambia a=g. La

    relacin entre las distancias l y l con el eje ptico vienen dadas, asumiendo rayos paraxiales, por la ecuacin ltl =+ a [6.20] Utilizando de nuevo notacin matricial escribimos

    =

    ga

    101 llt

    [6.21]

    y notando T=

    10

    1 t como la matriz de transformacin tenemos

    TC= C [6.22] Con este sistema de anlisis matricial podemos trazar la trayectoria de

    cualquier rayo paraxial a travs de cualquier sistema ptico llevando a cabo una serie de multiplicaciones matriciales en las que intervienen matrices de transmisin y de refraccin.

    l

    l

    t

    a

    g

    Figura 6.17 Transmisin de un rayo ptico entre dos planos que limitan una regin de n

    constante y separados una distancia t

  • 6-13

    Consideremos por ejemplo una lente gruesa de espesor t21 esquematizada en la figura 6.18. Un rayo paraxial desde el plano objeto se dirige desde la derecha hacia la primera superficie de la lente, de radio de curvatura r1, y que separa los medios de ndice de refraccin n1 y n2. En esta superficie se refracta y contina trasladndose hacia la segunda superficie de radio de curvatura r2, superficie que separa los medios de ndice n2 y n3 donde se refracta de nuevo y contina hasta el plano imagen.

    r1r2

    s t21 s

    Planoobjeto

    Planoimagen

    n1 n3n2

    Figura 6.18. Lente gruesa de espesor t21 y trayectoria de un rayo ptico desde el plano objeto hasta el

    plano imagen

    Si especificamos el rayo ptico por su matriz C, que nos da la altura por

    encima del eje y su pendiente al abandonar el plano objeto, tenemos que al llegar a la primera superficie la matriz del rayo ptico C vendr dada por TC=C donde T es

    T=

    10

    1 s [6.23]

    siendo sta la matriz de transmisin desde el plano objeto hasta la primera superficie a lo largo de una distancia s. Una vez en esta superficie, el rayo sufre un proceso de refraccin siendo ahora la matriz del rayo ptico R1TC=C con una matriz de refraccin

    R1=

    -

    2

    1

    12

    1 11

    01

    nn

    rnn [6.24]

    La matriz del rayo ptico inmediatamente antes de llegar a la segunda superficie de refraccin ser T21R1TC=C con una matriz de translacin, que lleva al rayo ptico desde la primera superficie hasta la segunda, dada por

  • 6-14

    T21=

    10

    1 21t [6.25]

    Entonces el rayo se refracta en la segunda superficie de la lente gruesa pasando la matriz del rayo ptico a valer R2T21R1TC=C con una matriz de refraccin

    R2=

    -

    3

    2

    23

    2 11

    01

    nn

    rnn [6.26]

    Despus de abandonar la segunda superficie de refraccin, el rayo ptico

    contina hasta el plano imagen siendo ahora la matriz de transmisin T

    T=

    101 s

    [6.27]

    Por tanto podemos describir la trayectoria del rayo ptico, descrito por su

    matriz C, desde el plano objeto, hasta el plano imagen, donde llega como C, por la operacin

    TR2T21R1TC= C [6.28] Definimos para este sistema ptico la matriz S del sistema como R2T21R1= S [6.29]

    de forma que podemos escribir la ecuacin [6.28] como TSTC= C [6.30] Para un sistema ptico ms complicado que el analizado hasta ahora bastar escribir la matriz del sistema ptico como la expresin general

    R3T32R2T21R1= S [6.31]

    siendo el ltimo trmino de la izquierda la matriz de refraccin de la ltima superficie del sistema ptico. Esta matriz del sistema ptico nos permitir trazar cualquier rayo paraxial a travs del sistema utilizando [6.30].

    Realicemos ahora los clculos para trazar los rayos pticos desde un objeto a travs de un sistema ptico hasta la imagen formada de este objeto. Para este propsito escribimos la matriz del sistema ptico en su forma ms general

  • 6-15

    S=

    dcba

    [6.32]

    La figura 6.19 indica un sistema ptico general, el plano sobre el que est

    situado el objeto que enva los rayos paraxiales a travs del sistema, as como el plano de la imagen que el sistema produce del objeto.

    Cualquier sistemade lentes

    Plano en la primerasuperficie

    Plano en la ltimasuperficie

    Plano del objeto Plano de la imagen

    y y

    s s

    Figura 6.19. Sistema ptico general

    Cuando un rayo sale del plano objeto, ste se especifica por la matriz C=

    al

    y la matriz de transmisin T=

    10

    1 s lleva el rayo a lo largo de la distancia s desde el

    plano objeto hasta la primera superficie refractora del sistema ptico. Por consiguiente, al llegar a esta primera superficie el rayo se especifica por la matriz

    10

    1 s

    al

    =

    +a

    asl [6.33]

    La matriz del sistema lleva el rayo a travs del sistema ptico y cuando

    abandona la ltima superficie de refraccin se especifica por la matriz

    dcba

    +a

    asl=

    ++++

    aaaa

    dcsclbasal

    [6.34]

    Finalmente la matriz de tranmisin T=

    101 s

    lleva el rayo la distancia s

    desde la ltima superficie de refraccin hasta el plano de la imagen y al llegar se especifica por la matriz

  • 6-16

    101 s

    ++++

    aaaa

    dcsclbasal

    =

    ++

    +++++aa

    aaaadcscl

    dscssclsbasal =

    gl

    [6.35]

    quedndonos entonces las ecuaciones escalares l = aaaa dscssclsbasal +++++ g = aa dcscl ++ [6.36]

    Consideremos la primera de estas dos ecuaciones escalares l = a)()( dscssbaslcsa +++++ [6.37] donde l expresa la altura por encima del eje ptico en el plano imagen de un rayo que abandono el plano objeto a una altura l y pendiente a. Pero todos los rayos paraxiales que abandonan un punto del plano objeto independientemente de cul sea su pendiente llegan al mismo punto en el plano imagen. Por consiguiente los valores de l no pueden depender de a y esto implica que los valores de s y s se relacionan por la ecuacin

    0)( =+++ dscssbas [6.38] Es decir dado el valor de s, y despejando de la ecuacin anterior, podemos

    encontrar el valor de s utilizando la ecuacin

    dcsbas

    s++

    -= [6.39]

    Calculamos el aumento lateral de la imagen combinando las ecuaciones [6.37] y [6.38]

    csall

    m

    +== [6.40]

    Las ecuaciones [6.39] y [6.40] determinan completamente las caractersticas

    de la imagen que un sistema ptico arbitrario produce de un objeto sin ms que calcular el valor de la matriz del sistema ptico.

  • 6-17

    6.4 Instrumentos pticos

    6.4.1 El ojo. El sistema ptico de mxima importancia es el ojo, esquematizado en la figura 6.19. La luz entra en el ojo a travs de una abertura variable, la pupila, y se enfoca mediante el sistema lente-cornea sobre la retina, una pelcula de fibras nerviosas que cubre la superficie posterior del ojo. La retina contiene diminutas estructuras sensibles denominadas bastones y conos, que reciben la imagen y transmiten informacin

    a lo largo del nervio ptico hasta el cerebro. La forma de la lente cristalina puede alterarse ligeramente mediante la accin de los msculos ciliares. Cuando el ojo se enfoca sobre un objeto alejado, el msculo se relaja y el sistema lente-cornea tiene su mxima distancia focal, aproximadamente 2.5 cm, que es la distancia de la cornea a la retina. Cuando el objeto se acerca al ojo, se tensan los msculos ciliares aumentando la curvatura del cristalino ligeramente y disminuyendo de este modo su distancia focal, y la imagen se enfoca de nuevo en la retina en un proceso denominado de acomodacin. Si el objeto est demasiado cercano al ojo, el cristalino no puede enfocar del mismo en la retina y la imagen resulta borrosa. El punto ms prximo para el cual el cristalino puede enfocar una imagen en la retina se denomina punto prximo xpp. El valor normalizado tomado como punto prximo es 25 cm y el poder resolvente del ojo para esta distancia es alrededor de 10-2 cm. El tamao aparente de un objeto queda determinado por el tamao de la imagen sobre la retina. Cuanto mayor es esta imagen, mayor es el nmero de bastones y conos activados. En la figura 6.20 podemos ver que el tamao de la imagen sobre la retina es mayor cuando el objeto est cerca y ms pequeo si est alejado. As, aunque el tamao del objeto no vara, su tamao aparente es mayor cuando se acerca al ojo.

    Figura 6.20. Formacin de imagen en la retina y tamao aparente segn la distancia

    Figura 6.19. Esquema del ojo humano

  • 6-18

    Una medida conveniente del tamao de la imagen sobre la retina es el ngulo q subtendido por el objeto en el ojo

    cm

    y5.2

    =q [6.41]

    El ngulo q est relacionado con el tamao del objeto y. Para ngulos pequeos

    sy

    tg == qq [6.42]

    y combinando ambas ecuaciones resulta

    sy

    cmy 5.2 = [6.43]

    As pues, el tamao de la imagen sobre la retina es proporcional al del objeto y es inversamente proporcional a la distancia entre el objeto y el ojo. Como el punto prximo es el ms cercano al ojo para el cual se forma una imagen ntida en la retina, la distancia al punto prximo es la distancia de mayor visin distinta (sin confusin). Si el ojo es menos convergente de lo que debiera, dando como resultado que las imgenes quedan enfocadas detrs de la retina, se dice que la persona es hipermtrope. Esta persona ve correctamente objetos lejanos, para lo que se requiere poca convergencia, pero tiene problemas a la hora de ver claramente objetos cercanos. La hipermetropa se corrige con una lente convergente (positiva) como se observa en la figura 6.21. Por el contrario, el ojo de una persona miope tiene excesiva convergencia y enfoca la luz procedente de objetos distantes delante de la retina. Una persona miope puede ver objetos cercanos, ya que los rayos incidentes demasiado convergentes pueden ser enfocados sobre la retina. La miopa se corrige con una lente divergente (negativa) como muestra la figura 6.22.

    Figura 6.21. Hipermetropa y su correcin con una lente convergente

    Figura 6.22. Miopa y su correcin con una lente divergente

  • 6-19

    6.4.2 El microscopio. Un microscopio es un sistema de lentes que produce una imagen virtual aumentada de un objeto pequeo. El microscopio ms simple es una lente convergente, llamada comnmente lupa. El objeto AB, figura 6.23, se coloca entre la lente y el foco F de modo que la imagen es virtual y est a una distancia s igual al punto prximo xpp. Como s es casi igual a f, especialmente si f es muy pequea, podemos escribir para el aumento

    f

    x

    ss

    M pp-=

    [6.44]

    F F

    sf

    s=Xpp

    A

    B

    a

    b

    Figura 6.23. Microscopio simple El microscopio compuesto es ms elaborado, figura 6.24. Consiste en dos lentes convergentes de pequea distancia focal, llamadas el objetivo y el ocular. La distancia focal f del objetivo es mucho menor que la distancia focal f del ocular. Tanto f como f son mucho menores que la distancia entre el objetivo y el ocular y la distancia entre el segundo punto focal del objetivo y el primer punto focal del ocular recibe el nombre de longitud del tubo L. El objeto AB se coloca a una distancia del objetivo ligeramente mayor que f formndose una primera imagen real ab que hace de objeto para el ocular. La imagen ab debe estar a una distancia del ocular ligeramente menor que f. La imagen final ab es virtual, invertida y mucho mayor que el objeto. El objeto AB se coloca de manera tal que ab est a una distancia del ocular igual al punto prximo xpp. Esta condicin se obtiene mediante la operacin de enfoque, que consiste en mover todo el microscopio respecto al objeto. El aumento debido al objetivo es, teniendo en cuenta que en los microscopios L es prcticamente igual a la distancia entre el objetivo y el ocular

    fL

    ABbaMb -= [6.45]

    y el debido al ocular

  • 6-20

    f

    x

    baab

    M ppc = [6.46]

    con lo que el aumento total es

    ffLx

    ABabMMM PPcb -=== [6.47]

    Objetivo Ocular

    Fb

    Fb Fc

    Fc

    f f

    A

    B

    a

    b

    a

    b Xpp

    L

    Figura 6.24. Microscopio compuesto 6.4.3 El telescopio. Otro instrumento ptico importante es el telescopio, utilizado para observar objetos muy distantes. En el telescopio de refraccin, el objetivo, figura 6.25, es una lente convergente de distancia focal f muy grande, a veces de varios metros. Como el objeto AB es muy distante, su imagen ab producida por el objetivo, est en su foco F b. Solo hemos indicado los rayos centrales ya que es todo lo que necesitamos porque conocemos la posicin de la imagen. El ocular tambin es una lente convergente pero de distancia focal f mucho menor. Se coloca de forma tal que la imagen intermedia ab est entre Fc y el ocular y la imagen final ab est a xpp. El enfoque se realiza moviendo el ocular solamente. El aumento producido por este instrumento no es lineal porque la imagen es siempre menor que el objetivo. En su lugar se define un aumento angular, definido como el cociente entre el ngulo b subtendido por la imagen y el ngulo a subtendido por el objeto

  • 6-21

    ab

    =M [6.48]

    A causa de la proximidad de la imagen, el ngulo b es mucho mayor que a, siendo esto lo que crea la sensacin de aumento. De acuerdo con la figura y teniendo en cuenta que los ngulos son pequeos obtenemos

    fba

    -=a

    fba

    =b [6.49]

    donde se ha considerado que la distancia de ab al ocular es prcticamente f.

    Sustituyendo en [6.48] tenemos

    f

    fM -= [6.50]

    En consecuencia, para obtener un gran aumento, la distancia focal del objetivo debe ser muy grande y la del ocular muy pequea. Prcticamente, la longitud del instrumento est determinada por la distancia focal f del objetivo.

    Objetivo

    Ocular

    Fc

    Fc

    Fb

    Xpp

    f f

    a

    b

    a

    b

    ab

    Figura 6.25. Telescopio La principal consideracin a tener en cuenta en el caso de un telescopio astronmico no es su poder amplificador, sino su capacidad de recoger la luz procedente del objeto lejano, que depende del tamao del objetivo. Cuanto mayor es el objetivo, mayor es la luminosidad de la imagen. Sin embargo son muy difciles de fabricar lentes muy grandes sin aberraciones a lo que hay que unir el problema del peso de las mismas. Un telecopio reflector, figura 6.26, utiliza un espejo cncavo en lugar de una lente como objetivo. Esto ofrece varias ventajas importantes entre las que destacan que un espejo no produce aberracin cromtica y su peso es mucho menor que una lente de calidad ptica semejante.

  • 6-22

    Figura 6.26. Telescopio reflector

    Los instrumentos pticos son mucho ms complicados que la versin simplificada que hemos presentado, principalmente por la necesidad de producir una imagen tan desprovista de aberraciones como sea posible. Por esta razn, los oculares y los objetivos suelen consistir en sistemas de varias lentes.

  • 6-23

    Problemas

    1. Un objeto est situado a 12 cm de un espejo cncavo cuyo radio de curvatura es 6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen.

    2. Un objeto de 2 cm de alto est a 10 cm de un espejo convexo de radio de curvatura 10 cm. Localizar la imagen y su altura.

    3. Un espejo esfrico cncavo de 0,5 m de distancia focal est frente a un espejo plano situado a 1,8 m del vrtice del primero. A 20 cm del espejo plano y entre ste y el cncavo se encuentra un punto luminoso que se refleja primero en el espejo plano y luego en el cncavo. Encontrar la posicin de la imagen producida por el sistema y su aumento.

    4. En los supermercados se utilizan espejos convexos para conseguir un amplio margen de observacin y vigilancia con un espejo de tamao razonable, de manera que un dependiente situado a una cierta distancia del espejo pueda inspeccionar el local entero. Un espejo convexo tiene un radio de curvatura de 1,2 m. Si un cliente est a 10 m del espejo, a qu distancia de la superficie del espejo est su imagen? La imagen est detrs o delante del espejo? Dibuje la trayectoria de los rayos. Si el cliente mide 2 m, qu altura tendr su imagen?

    5. Dentro de una pecera esfrica de radio 15 cm llena de agua se encuentra un pez. El pez mira a travs de la pecera y ve un gato sentado sobre la mesa a 10 cm de la pecera. Encontrar la imagen del gato y su aumento vista por el pez.

    6. Una lente biconvexa de vidrio, n=1,5, tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15 cm. Hallar su distancia focal y su potencia. Localizar la imagen grfica y algebraicamente de un objeto de 1,2 cm de alto que se coloca a 4 cm de la lente. A la derecha de esta lente y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de distancia focal 6 cm. Localizar ahora la imagen final del objeto anterior.

    7. Un objeto est colocado a 1,20 m de una lente. Determine la distancia focal y el tipo de lente (convergente o divergente) que produce una imagen (a) real y a 0,80 m de la lente; (b) virtual y a 3,20 m de la lente; y (c) virtual y a 0,60 m de la lente. Dibuje la trayectoria de los rayos en cada caso.

    8. Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan entre si 15 cm. Hallar la imagen final de un objeto a 15 cm de una de las lentes.

    9. Determinar las posiciones de los focos de un sistema de dos lentes delgadas separadas por una distancia t.

    10. Demostrar que la potencia de un sistema formado por dos lentes delgadas separadas una distancia t viene dada por

    2121

    111ff

    tfff

    -+=

    11. Se tiene un sistema ptico formado por dos lentes convergentes iguales de

    distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm est situado a 15 mm a la izquierda de la primera lente. Calcular cul debe ser la separacin entre las lentes para que la

  • 6-24

    imagen final sea real, derecha, y cuatro veces mayor que el objeto. Comprobarlo grficamente.

    12. Dos lentes de 4 y 6 dioptras estn separadas una distancia de 60 cm. Hallar los focos y potencia del sistema compuesto.

    13. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas, corregir la aberracin cromtica en una cierta regin espectral del visible. Cul debe ser la separacin t entre lentes para conseguir este hecho?

    14. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas en contacto, corregir la aberracin cromtica en una cierta regin espectral del visible. Qu condicin deben cumplir las focales y los ndices de refraccin de las dos lentes?

    15. Dos lentes, una biconvexa de radio r=50 cm y otra bicncava de r=30 cm se encuentran separadas una distancia t. Si las lentes se separan de forma que t se dobla, la potencia del sistema disminuye a la mitad. Calcular t asumiendo que el ndice de refraccin de ambas lentes es n=1,5.

    16. Determinar, utilizando el mtodo matricial, la posicin, tamao y orientacin de la imagen producida por una lente gruesa (r1=10 cm, r2=-5 cm, n=1,5 y espesor= 2 cm) de un objeto situado a 3 cm de la 1 superficie refractora. Determinar la posicin de la imagen considerando que fuera una lente delgada.

    17. La figura muestra un par convergente -divergente de lentes gruesas que se utilizan en cmaras de bajo costo para reducir la aberracin cromtica. Cul debe ser la distancia entre la superficie plana del sistema ptico y la pelcula cuando se toma la fotografa de un objeto lejano?

    n=1,5

    n=1,63

    r1=2 cm

    r2=2 cm

    0,4 cm0,5 cm

    18. Demostrar que la matriz del sistema ptico constituido por una lente delgada se expresa como

    S=

    - 1

    101

    f

  • 6-25

    19. Calcular cul es la variacin mxima en dioptras del cristalino segn este

    enfoque un objeto prximo o lejano 20. Una persona con 25 cm de punto prximo utiliza una lente de 40 dioptras como

    lupa. Qu amplificacin angular se obtiene? 21. Una lente convergente, n=1,7 y r=16 cm, se desea utilizar como lupa. Dnde

    hay que situar la lente respecto al objeto para que su imagen se genere a 25 cm del ojo?Cundo se obtiene el mayor aumento angular?

    22. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular de 2 cm de distancia focal separadas 20 cm. Hallar el poder amplificador si el punto prximo de observador est a 25 cm. En dnde deber colocarse el objeto si la imagen final ha de verse en el infinito?

    23. El objetivo y el ocular de un microscopio tienen unas potencias pticas de 50 y 60 dioptras. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm y con ste observamos una muestra de 3 mm. Calcular el aumento del microscopio. A que distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra?Dnde se produce y que tamao tiene la imagen intermedia producida por el objetivo?

    24. Un telescopio simple tiene un objetivo de 100 cm de distancia focal y un ocular de 5 cm de distancia focal. Se utiliza para mirar la luna que subtiende un ngulo de 0,009 radianes. Cul es el dimetro de la imagen formada por el objetivo?Qu ngulo subtiende la imagen final en el infinito?Cul es el poder amplificador del telescopio?