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TEMA 1: CURVAS1. CÓNICAS
* Parábolas* Elipses* Hipérbolas* Ecuación General de una cónica
2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA
3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO
* Coordenadas polares* Curvas en coordenadas polares
CÓNICASSUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN
eje
generatriz
vértice
PARÁBOLA HIPÉRBOLA
SECCIONES CÓNICAS O CÓNICAS
ELIPSE
CÓNICAS
ECUACIÓN GENERAL DE UNA CÓNICA
Proposición
Si una cónica no degenerada viene dada por la ecuación
, la cónica será:
- parábola, si A=0 ó C=0, pero no ambos coeficientes nulos
- elipse, si A y C tienen el mismo signo
- hipérbola, si A y C tienen distinto coeficiente
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx
CÓNICASPARÁBOLASDefinición y elementos
P(x,y)
Foco (F)
Directriz (d)
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y) que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija dada llamada directriz (d).
),(),( dPdFPd =
P ∈ parábola determinada por la recta r y el punto F ⇔
Directriz (d)
Foco (F)
P(x,y)
CÓNICASPARÁBOLASDefinición y elementos
P(x,y)
Foco (F)
Directriz (d)
* Eje es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
* Vértice es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Vértice
EjeDirectriz (d)
Foco (F)
P(x,y)
CÓNICASPARÁBOLAS
Ecuación reducida o canónica de una parábola
X
X
Y Y
(0,0)
(0,0)
X X
Y Y
(0,0) (0,0)
Posición estándar
CÓNICASPARÁBOLAS
Teorema
i) La ecuación reducida de la parábola con vértice (0,0) y Foco (0,c) es:
Ecuación reducida o canónica de una parábola
X
X
Y Y
(0,0)
(0,0)
2
41 xc
y =
•Si c>0, la parábola se abre en la dirección positiva del eje Y.
•Si c<0, la parábola se abre en la dirección negativa del eje Y.
F(0,c)
d: y=-c
F(0,c)
d: y=-c
CÓNICASPARÁBOLAS
Teorema
ii) La ecuación reducida de la parábola con vértice (0,0) y Foco (c,0) es:
Ecuación reducida o canónica de una parábola
2
41 yc
x =
•Si c>0, la parábola se abre en la dirección positiva del eje X.
•Si c<0, la parábola se abre en la dirección negativa del eje X.
X X
Y Y
(0,0) (0,0)
CÓNICASPARÁBOLASParábolas trasladadas
X
Y
O(0,0)
X’
Y’
O’(h,k)
2'41' xc
y =
En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la parábola viene dada por la expresión:
CÓNICAS
( )241 hxc
ky −=−
PARÁBOLASParábolas trasladadas
Teorema
i) La ecuación de la parábola con vértice V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje Y es:
ii) La ecuación de la parábola con vértice V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje X es:
, con foco F(h,c+k) y directriz y=k-c.
( )241 kyc
hx −=− , con foco F(c+h,k) y directriz x=h-c.
CÓNICASPARÁBOLASAplicaciones
X
Y
O
P(x,y)F α
α
Propiedad reflectora de la parábola:La recta tangente a una parábola en un punto P forma ángulos iguales con las siguientes rectas:-la que pasa por P y por el foco F,-la que pasa por P y es paralela al eje de simetría de la parábola.
CÓNICASELIPSESDefinición y elementos
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y) tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos denominados focos (F y F’) es una constante dada, siendo este valor mayor que la distancia entre los focos.
teconsFPdFPd tan)',(),( =+
P ∈ elipse ⇔P (x,y)
FF’
CÓNICASELIPSESDefinición y elementos
- Focos son los puntos fijos F’ y F. La distancia entre ambos es 2c.- Centro (C) es el punto medio entre los dos focos.- Ejes de simetría son la recta que pasa por los focos y su perpendicular por el punto C.
P (x,y)
FF’ C
- Vértices son los puntos de intersección de los ejes con la elipse (A, A’, B y B’).- Eje mayor es el segmento AA’de longitud 2a (a es el valor del semieje mayor)- Eje menor es el segmento BB’de longitud 2b (b es el valor del semieje menor.- Excentricidad, e, al número resultante de dividir la distancia entre los focos, entre la longitud del eje mayor,
AA’
B’
B
ace /=
CÓNICAS
)',(),()',(),( FBdFBdFAdFAd +=+
ELIPSES (relación entre el semieje mayor y el semieje menor)
FF’ C(0,0)A(a,0)A’(-a,0)
B’(0,-b)
B(0,b)
A y B pertenecen a la elipse:
c
ba
222 cba +=
CÓNICASELIPSES
OBSERVACIONES:
1. La constante que aparece en la definición de la elipse es 2a, es decir,
P ∈ elipse ⇔ aFPdFPd 2)',(),( =+
con 2a>d(F,F’)=2c.
2. La longitud del eje mayor es mayor o igual a la del eje menor, esto es, a ≥ b. La igualdad se verifica cuando c = 0, en cuyo caso los focoscoinciden en un mismo punto, y en este caso la elipse es una circunferencia de radio a = b.
3. Para dibujar una elipse basta con fijar dos puntos y atar los extremos de la cuerda a dos puntos fijos y se mantiene la cuerda tensa al mismo tiempo que se desliza un lápiz (Método del jardinero).
CÓNICASELIPSES
OBSERVACIONES:
3. Para dibujar una elipse basta con fijar dos puntos y atar los extremos de la cuerda a dos puntos fijos y se mantiene la cuerda tensa al mismo tiempo que se desliza un lápiz (Método del jardinero).
CÓNICASELIPSES
OBSERVACIONES:
4. La excentricidad es un número que mide el achatamiento mayor o menor de la elipse:
-Si c < a, la excentricidad de la elipse es menor que 1, es decir, e < 1.- Si c → 0, la excentricidad e → 0. En este caso la elipse es una circunferencia (los focos se aproximan).- Si c → a , la excentricidad e → 1. En este caso, el vértice B se aproxima al centro y la elipse al segmento AA’.
CÓNICASELIPSES
Ecuación reducida o canónica de una elipse
Posiciones estándar
−5 0 5−5
0
5
−5 0 5−5
0
5
X X
Y Y
O (c,0)(-c,0)(a,0)(-a,0)
(0,b)
(0,-b)
(b,0)(-b,0)
(0,a)
(0,-a)
(0,c)
(0,-c)
Eje mayor horizontal Eje mayor vertical
Teorema
La ecuación reducida de una elipse de centro (0,0), ejes de longitud 2a y 2b con a ≥ b y focos en el eje mayor a distancia c del centro, siendo a2=b2+c2, es:
i) , si el eje mayor es horizontal.
ii) , si el eje mayor es vertical.
CÓNICAS
12
2
2
2
=+by
ax
12
2
2
2
=+by
ax
ELIPSESEcuación reducida o canónica de una elipse
−5 0 5−5
0
5
−5 0 5−5
0
5
X X
Y Y
O (c,0)(-c,0)(a,0)(-a,0)
(0,b)
(0,-b)
(b,0)(-b,0)
(0,a)
(0,-a)
(0,c)
(0,-c)
12
2
2
2
=+bx
ay
CÓNICASELIPSESElipses trasladadas
X
Y
O
X’
Y’
O’(h,k)
1''2
2
2
2
=+by
ax
En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la elipse viene dada por la expresión:
ó 1''2
2
2
2
=+bx
ay
CÓNICASELIPSESElipses trasladadas
X
Y
O
X’
Y’
O’(h,k)
1''2
2
2
2
=+by
ax
En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la elipse viene dada por la expresión:
ó 1''2
2
2
2
=+bx
ay
CÓNICAS
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
ELIPSESElipses trasladadas
Teorema
i) La ecuación de la elipse de centro C(h,k) y eje mayor paralelo al eje X es:
ii) La ecuación de la elipse de centro C(h,k) y eje mayor paralelo al eje Y es:
, con a ≥ b.
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
bhx
aky
, con a ≥ b.
CÓNICASELIPSESAplicaciones
Propiedad reflectora de la elipse:
La recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que lo unen a sus focos.
Como consecuencia se tiene que un rayo de luz procedente de uno de los focos se reflejará, en un espejo elíptico pasando por el otro foco.
CÓNICASHIPÉRBOLAS
Definición y elementos
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.
X
Y
P (x,y)
FF’ C
* Centro (C) es el punto medio entre los focos. La distancia entre los focos es 2c.
•Ejes de simetría son las rectas que unen los focos y su perpendicular.
•Los puntos A, A’, B y B’son los vértices de la hipérbola.
AA’
B
B’
CÓNICASHIPÉRBOLAS
Definición y elementos
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.
X
Y
P (x,y)
FF’ C
* Eje transversal es el segmento AA’ de longitud 2a.
•Eje conjugado es el segmento BB’ de longitud 2b.
•En el triángulo rectángulo CAB se cumple el teorema de Pitágoras:
AA’
B
B’222 cba =+
a
cb
CÓNICASHIPÉRBOLAS
Definición y elementos
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.
* Excentricidad: e=c/a>1
X
Y
P (x,y)
FF’ C AA’
B
B’ •Si c→a, la excentricidad e→1. Las ramas se cierran y se aproximan a las semirrectas de origen A y A’ que contienen el eje focal.•Si c→∞, la excentricidad e→∞. Las ramas se abren cada vez más y se aproximan a rectas perpendiculares al eje transversal
CÓNICASHIPÉRBOLAS
Definición y elementos
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x,y), tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante dada que es menorque la distancia entre los focos.
X
Y
P (x,y)
FF’ C
P ∈ hipérbola determinada por los focos F y F’ ⇔
AA’
B
B’
( ) ( ) aFPdFPd 2',, =−
con a<c.
CÓNICASHIPÉRBOLASEcuación reducida o canónica de una hipérbola
Posiciones estándar
Eje transversal horizontal Eje transversal vertical
A’(-a,0) A(a,0)
F’(-c,0) F (c,0)
A’(0,-a)A (0,a)
F’(0,-c)
F(0,c)
Teorema
La ecuación reducida de una hipérbola de centro (0,0), vértices a distancia “a”del centro y focos a distancia “c” del centro con a<c y c2=b2+a2, es:
i) , si el eje transversal es horizontal.
ii) , si el eje transversal es vertical.
CÓNICAS
12
2
2
2
=−by
ax
HIPÉRBOLASEcuación reducida o canónica de una hipérbola
A’(-a,0) A(a,0)
F’(-c,0) F (c,0)A’(0,-a)A (0,a)
F’(0,-c)
F(0,c)
12
2
2
2
=−bx
ay
CÓNICASHIPÉRBOLASAsíntotas
Teorema
Para una hipérbola situada en posición estándar,
i) si el transversal es horizontal, las ecuaciones de sus asíntotas son
e
ii) si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de sus asíntotas son
e xbay −=
xaby = x
aby −=
xbay =
CÓNICASHIPÉRBOLASHipérbolas trasladadas
X
Y
O
1''2
2
2
2
=−by
ax
En el sistema de referencia X’Y’, la ecuación canónica de la hipérbola viene dada por la expresión:
ó 1''2
2
2
2
=−bx
ay
X’
Y’
O’(h,k)
Teorema
Sea una hipérbola de centro c(h,k), vértices a distancia “a” del centro y focos a distancia “c” del centro y c2=a2+b2. Su ecuación y la de sus asíntotas son:
i) Si su eje transversal es horizontal,
CÓNICAS
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
−−
bhx
aky
HIPÉRBOLASHipérbolas trasladadas
ii) Si su eje transversal es vertical,
, asíntotas:
, asíntotas: ( )hxabky −+= ( )hx
abky −−=,
( )hxbaky −+= , ( )hx
baky −−=
CÓNICAS
222 axy =−222 ayx =−
HIPÉRBOLASHipérbola equilátera
Si a = b, la hipérbola recibe el nombre de hipérbola equilátera. Su ecuación, según sea el eje transversal horizontal o vertical será:
X
Y
P (x,y)
FF’ C
* Los valores de c y e son:
•Sus asíntotas son, en ambos casos, las rectas:
AA’
ó
2ac = 2=e,
xy = xy −=,
CÓNICAS
0≠kkxy =
HIPÉRBOLASHipérbola equilátera
Ecuación de una hipérbola referida a sus asíntotas
•Si k<0, la gráfica estásituada en el segundo y cuarto cuadrante.
•Si k>0, la gráfica estásituada eN el primer y tercer cuadrante.
siendo
CÓNICASHIPÉRBOLASAplicaciones
Propiedad reflectora de la hipérbola:
La recta tangente a una hipérbola en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que lo unen a sus focos.
Como consecuencia se tiene que un rayo de luz procedente de uno de los focos se reflejará siguiendo la recta que pasa por el otro foco.
COORDENADAS POLARES
Un sistema de coordenadas
polares consta de un punto fijo O
denominado polo, y una semirrecta
con origen en dicho punto llamada
eje polar.
OPolo Eje polar
P(r,θ)
θ
•(r,θ) son las coordenadas polares del punto del plano P,
donde:
r: distancia orientada desde O hasta P
θ: es el ángulo, orientado en sentido contrario a las agujas
del reloj, que forma el eje polar con el segmento de recta
OP.
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS CARTESIANAS
X
Y
O
P(x,y) = P(r,θ)
y
x
r
θ
θcosrx =θrseny =
222 ryx =+
xytg =θ
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
Teorema
Sean F un punto fijo (llamado foco) y s una recta fija (llamada directriz) en el plano. Sea e una constante positiva (denominada excentricidad). El conjunto de todos los puntos P del plano tales que
es decir, cuya relación entre la distancia d(P,F) y la distancia d(P,s), es igual a la constante e, es una sección cónica, que se identifica:
i) es una elipse si e<1,ii) es una parábola si e=1,iii) es una hipérbola si e>1.
( )( ) e
sPdFPd
=,,
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
Teorema
Una ecuación polar de la forma
ó
representa una sección cónica de excentricidad e, la cónica es:
i) es una elipse si e<1,
ii) es una parábola si e=1,
iii) es una hipérbola si e>1.
θcos1 eedr
±=
θesenedr
±=
1
SIMETRÍAS
(r,θ)
θ
(r,θ)
θ
(r,θ)
θ
-θ
(r,-θ)(-r,π-θ)
Respecto al eje X
π-θ(-r,-θ)(r,π-θ)
Respecto al eje Y Respecto del origen (0,0)
π+θ
(-r, θ)(r,π+θ)
Una curva dada en coordenadas polares es simétrica respecto al
1) Eje OX si al sustituir θ por -θ se obtiene una ecuación equivalente.2) Eje OY si al sustituir θ por π-θ se obtiene una ecuación equivalente.3) O(0,0) si al sustituir r por –r se obtiene una ecuación equivalente.
DEFINICIÓN de una curva dada en forma paramétrica
Las ecuaciones x = x(t), y = y(t), definidas en el intervalo I ⊂R, es decir, el parámetro t ∈ I, siendo las funciones x e y continuas en t, son unas ecuaciones paramétricas de una curva plana cuyos puntos de coordenadas (x,y) se obtienen al hacer variar el parámetro t en el intervalo I.
CURVA SUAVE
i) Una curva plana es suave si tiene una parametrización de la forma x = x(t), y = y(t), en un intervalo I ⊂ R, tal que las derivadas x’ e y’ respecto de t, son continuas en I y no se anulan simultáneamente excepto tal vez en los extremos del intervalo I.
ii) Una curva es suave a trozos si se puede dividir el intervalo I en subintervalos cerrados de modo que la curva sea suave en cada subintervalo.