Fundamentos de Matemática Difusa

Daniel Reina

Director:Leonardo Jiménez Moscovitz

MatemáticoEspecialista en Informática y Ciencias de la Computación

Fundación Universitaria Konrad LorenzFacultad de Matemáticas

10 de junio de 2008

Resumen

Este trabajo presenta la base fundamental de la matemática difusa,dentro del desarrollo de un proyecto de investigación en la Universidad.Se tratan los conjuntos difusos, la lógica difusa y la aritmética difusa ylas operaciones lógicas, conjuntistas o aritméticas que se pueden realizar

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con estos objetos, así como sus propiedades. El tema se ha desarrolladobuscando en lo posible una presentación preferiblemente axiomática

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Índice

Introducción 4

1. Preliminares 61.1. Desarrollo Intuitivo de la Matemática Difusa . . . . . . . . . . . 6

2. Fundamentación de la Matemática Difusa 102.1. Conjuntos Difusos y Lógica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. La Función de Pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Números Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Variables Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Proposiciones y Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Cuantificadores Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1. Cuantificadores Difusos Absolutos . . . . . . . . . . . . . 302.6.2. Cuantificadores Difusos Relativos . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Modificadores Lingüísticos (Linguistic Hedge) . . . . . . . . . . . 33

3. Operaciones Difusas 343.1. Operaciones entre Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1. Complementos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2. Intersecciones Difusas (T-normas) . . . . . . . . . . . . . 373.1.3. Uniones Difusas (T-conormas) . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Operaciones Aritméticas en Intervalos Difusos . . . . . . . . . . . 403.3. Operaciones Aritmeticas en Números Difusos . . . . . . . . . . . 433.4. Reticula de Números Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Inferencia Difusa 554.1. Inferencia para Proposiciones Difusas Condicionales . . . . . . . 55

4.1.1. Modus Ponens Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.2. Modus Tollens Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3. Silogismo Hipotético Generalizado . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Inferencia para Proposiciones Difusas Condicionales Calificadas . 604.3. Inferencia de Proposiciones Cuantificadas . . . . . . . . . . . . . 63

5. Conclusiones 67

Referencias 69

Introducción

Este trabajo forma parte del desarrollo del proyecto de investigación delGrupo Promente de la Fundación Universitaria Konrad Lorenz, en el proyectodenominado Desarrollo de un Producto de Software para aplicación de la Lóg-ica Difusa a los problemas de Regresión y Clasificación, dentro de la línea deSistemas Computacionales BioinspiradosDentro de los intereses del Grupo de Investigación Promente, se encuentra

por supuesto el de la investigación sobre la fundamentación matemática. Estetrabajo pretende introducir justamente los formalismos matemáticos, desde unpunto de vista puramente teórico, aunque se introducen algunos ejemplos con elfin de aclarar los conceptos. Sin embargo, el alcance de este trabajo no pretendeconecta la teoría con los sistemas prácticos, tema que se desarrolla por otrosintegrantes del grupo de investigación.Dentro de la literatura que se consigue en el área de los sistemas difusos,

es proporcionalmente escasa la que se puede conseguir en idioma español, ymás escasa aún la que trata de los temas matemáticos que se encuentran en lospropios fundamentos de los sistemas difusos. Dentro del exámen bibliográficoque se realizó, aún en idioma inglés, pocos son los libros que tratan esta funda-mentación teórica con la suficiente profundidad. Se examinó particularmente ellibro de Ross [Ros04], que contiene abundante información tanto a nivel teóri-co como aplicado, así como el libro de George Klir y Bo Yuan, Fuzzy Sets andFuzzy Logic [Gky95] que tiene también una excelente profundidad y tratamientomatemático.El presente trabajo se basa fuertemente en el libro de Klir & Yuan, del cual

se toman varios ejemplos y desarrollos. Se hizo de esta manera para ir propor-cionando, tanto al grupo de investigación como a quien consulte el libro de Klir& Yuan, de un punto de entrada al mismo y al excelente tratamiento y temáticaque el cobija. El tratamiento que aquí se hace de los temas abordados no esexhaustivo, dado que por limitaciones de tiempo y por los propios intereses delgrupo, se ha centrado en solo algunos de los temas más relevantes alli tratados.Se espera con esto contribuir en algo a la literatura en idioma español sobre estatemática, así como familiarizar al lector con los temas que trata el libro de Klir& Yuan.En el capítulo 1 se hace una presentación intuitiva del concepto de matemáti-

ca difusa, presentando un ejemplo simple. Alli se hace una presentación inicialde los conceptos de conjunto difuso y función de pertenencia, entre otros. En elcapítulo 2, se presenta la fundamentación axiomática básica de la matemáticadifusa y una definición más formal de la función de pertenencia y sus propieda-des. Con base en esto, se introduce el concepto de número difuso, llevando así elconcepto de conjunto difuso al campo de los números reales o un subconjuntode ellos. Por otra parte, se presentan las variables lingüísticas y los llamadosmodificadores lingüísticos, que facilitan la conexión de la teoría estudiada conlas expresiones más usuales del lenguaje natural que utiliza el ser humano ensu comunicación habitual. Se expone también la teoría más general sobre loscuantificadores difusos, mencionando solo dos de los más importantes.

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En el capítulo3 se presentan las operaciones difusas. Por una parte, se ex-ponen las operaciones con conjuntos difusos, tales como complemento, unión eintersección, para pasar luego a las operaciones aritméticas tanto con númeroscomo con intervalos difusos. Se exponen las retículas de números difusos, quepermiten introducir el concepto de orden en ellos. En el capítulo 4 se exponenlos principales conceptos relacionados con la inferencia difusa, así como algunosde sus principales esquemas.Dentro de los temas que no se tocan en este trabajo, está el de los mecan-

ismos de inferencia prácticos (que corresponden a otros integrantes del grupode investigación). Por supuesto que tampoco se toca la mecánica práctica queutilizan. No se aborda por ejemplo el tema de las relaciones difusas, por cuantono era relevante en esta etapa del proyecto de investigación.El trabajo se ha desarrollado en LaTex siguiendo muy de cerca las normas

AMS (American Mathematical Association) para la presentación de trabajos enmatemáticas.

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1. Preliminares

El concepto intuitivo de conjunto clásico corresponde al de una colección deobjetos, reunidos usualmente mediante la referencia a alguna propiedad que loscaracteriza. En teoría de conjuntos clásica, un conjunto esta bien definido si sepuede determinar de manera absoluta si determinado elemento pertenece o noal conjunto sin ninguna ambigüedad.Las operaciones que se pueden realizar con los conjuntos clásicos, tales como

la unión, intersección, complemento, diferencia se definen mediante axiomassencillos que, como se verá en el desarrollo del trabajo, corresponden a casosparticulares de la matemática difusa, en particular de los conjuntos difusos.La lógica clásica igualmente se puede considerar como un caso particular de

la lógica difusa. Por tanto, es conveniente tener presente tanto los fundamentosde la misma, las operaciones que se pueden realizar con los objetos de la lógica,y las principales propiedades.que poseen dichas operaciones.La idea de la matemática difusa nació en un artículo de Lotfi A. Zadeh pub-

licado en 1965, que tenía por título "Fuzzy Sets.en la cual se permite representarde forma matemática conceptos difusos, borrosos o imprecisos. La matemáticadifusa tiene en cuenta que solo en pocas ocasiones el concepto de blanco/negroo verdadero/falso es absoluto. Por el contrario, existen infinitos tonos de griso valores de verdad en muchos de los aspectos de la realidad. Tras la publi-cación de la obra de Lotfi A. Zadeh, la lógica difusa comenzó a tener auge y sedesarrollaron rápidamenta aplicaciones con base en ella.

1.1. Desarrollo Intuitivo de la Matemática Difusa

Un conjunto clásico es definido de tal manera que divide los individuos engrupos: miembros y no miembros. Esta división es bien definida, no ambigüa,y se da de manera abrupta, y puede ser suficientemente válida para algunosconceptos y conjuntos, como por ejemplo la pertenencia de un número a N, ode una letra determinada al conjunto de las vocales en el idioma español.Siendo así, una función de pertenencia para un conjunto clásico A se puede

definir como:

vA =

{0 si el elemento no pertenece a A1 si el elemento pertenece a A

(1)

Sin embargo, muchos conceptos de clasificación presentan otra característica.Por ejemplo el conjunto de las personas altas o de los autos veloces, no tienenuna frontera clara de clasificación, la cual se caracteriza más bien por ser pocoprecisa, de manera que se puede considerar la transición gradual desde la nopertenencia hasta la pertenencia total al conjunto.Para definir un conjunto difuso, se debe establecer una función de pertenen-

cia (o también llamada función de membresía en algunos textos) que permitaasignar a cada elemento, un valor real que indica que tanto pertenece al conjun-to, generalmente en el intervalo unitario [0, 1] .Los valores más grandes denotansuperior grado de pertenencia al conjunto, mientras que los valores pequeños de-notan poca pertenencia. En los extremos, se tiene que el valor 0 denota ninguna

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pertenencia mientras que el valor 1 denota pertenencia total..Usualmente se uti-liza cualquiera de las siguientes notaciones para hacer referencia a esta función:

κA : X → [0, 1] (2)

A : X → [0, 1] (3)

donde el símbolo A denota tanto al conjunto como a la función de pertenenciaasociada. Se utilizará esta última notación, de la cual se puede verificar que nogenera ninguna ambigüedad.En el campo aplicativo, la lógica difusa ha llegado a ser importante por

cuanto permite al científico e ingeniero explotar la tolerancia a la imprecisiónque se da en situaciones y problemas reales. La lógica difusa es de gran valorprincipalmente en los siguentes casos:

Situaciones complejas donde es prácticamente imposible tener un modelomatemático que la represente adecuadamente. Esto puede deberse en partea la complejidad del problema, y en parte a que no se tiene suficienteinformación sobre el mismo.

Situaciones complejas donde intentar obtener una alta precisión puedellegar a ser muy costoso.

Situaciones donde obtener una alta precisión puede requerir demasiadotiempo.

Situaciones donde la solución encontrada por los métodos clásicos requieresimplificar excesivamente el problema real. En otras palabras, mediante losmétodos clásicos se obtendría un modelo que no representa con adecuadafidelidad la situación de interés.

Así, la lógica difusa tiene un gran potencial para entender sistemas que sonesquivos a desarrollos analíticos por su complejidad [Ros04]. Este tipo de prob-lemas no está circunscrito a ser de un determinado tipo; por ejemplo, puedenser de tipo lineal o no lineal. En casos donde se presenta esta incertidumbre,es conveniente utilizar aproximadores universales, esto es, sistemas que de-scriben en cierta manera el comportamiento de sistemas complejos, usualmenteno lineales.Los sistemas difusos pueden verse como aproximadores universales, es-

to es, sistemas que describen en cierta manera el comportamiento de sistemascomplejos, usualmente no lineales. Esta condición de aproximador universal hasido demostrado en varios trabajos [Kos94]. En ellos se llegó a establecer un iso-morfismo entre el álgebra abstracta y lineal y la estructura de un sistema difuso.Dicho isomorfismo se basa en esencia, en que el desarrollo de los sistemas difusosse basan en el teorema de aproximación de Stone-Weierstrass, que es-tablece que toda función real contínua cuyo dominio es un intervalo compacto,esto es cerrado y acotado, puede ser aproximado uniformemente por polinomios.

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Por otra parte, es común que al abordar inicialmente el tema de la lógicadifusa asocie erradamente este término con la probabilidad como tal. Sin em-bargo [Ros04] hace una clara distinción entre estos dos términos: "difuso"hacereferencia a una falta de distinción de un evento, mientras que la probabilidaddescribe la incertidumbre en la ocurrencia de dicho evento.Los conjuntos difusos representan conceptos lingüísticos como bajo, medio

y alto, que se emplea a menudo para definir los estados de una variable. Talvariable normalmente se llama variable difusa. En Fig.1(a), por ejemplo, latemperatura dentro de un rango [T1, T2] se caracteriza como una variable difusa,y se contrasta en la fig.1(b). Los estados de la variable difusa allí indicados sonconjuntos difusos que representan cinco conceptos lingüísticos: muy bajo, bajo,medio, alto,muy alto. Todos ellos estan definidos por las funciones de pertenenciaque se pueden expresar de la siguente forma:

[T1, T2]− > [0, 1].

Figura 1: Comparación entre conjuntos difusos y clásicos.

La importancia de las variables difusas es que ellas facilitan las transicionesgraduales entre los estados y por consiguiente, poseen una capacidad naturalpara expresar y tratar con observación e incertidumbre en la medida. Una me-dida suminstrada al sistema representado en la fig.1(a) es clasificada en algúnestado según la frontera que la cobije mayormente.La incertidumbre en cuanto

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al estado alcanza el valor máximo en cada frontera donde trapecios adyacentesse intersectan. En ese punto, una medida debe considerarse como evidencia paracualquiera de los dos estados en la frontera. Al tratar con las variables clásicas,fig. 1(b), el caso es muy diferente, ya que la incertidumbre incluso se ignoraen este caso extremo; la medida se considera como evidencia exclusiva parauno de los estados en la frontera, dependiendo de cual estado contiene al puntofronterizo en la definición matemática.Dado que las variables borrosas capturan las incertidumbres de la medida

como la parte de datos experimentales, ellos se armonizan más a la realidadque las variables clasicas. Es una paradoja interesante que las bases de datosalimentadas con variables borrosas nos proporcionan, de hecho, evidencia másexacta y más real de los fenómenos que la base de datos alimentadas con lasvariables clásicas.Aunque la matemática basada en los conjuntos difusos tiene mejor capaci-

dad expresiva que la matemática basada en los conjuntos clásicos, su utilidaddepende críticamente de la capacidad que se tenga para construir las funcionesde pertenencia apropiadas para diferentes conceptos den diferentes contextos.

Ejemplo 1.1 (Conjunto Difuso) Se considerarán [Gky95] ahora tres conjun-tos difusos que representan los conceptos de persona joven, de mediana edad yvieja.Se puede obtener una expresión razonable de estos conceptos si se utilizan

Edadx

Mediana Edad A

Figura 2: Función de pertenencia trapezoidal.(ejemplo tomado de [Gky95]).

funciones de pertenencia trapezoidales A1, A2, A3 tal se muestra en Fig.2. Estasfunciones se pueden definir en el intervalo [0, 80] como sigue:

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A1(x) =

1 cuando x ≤ 20(35−x)15 cuando 20 < x < 35

0 cuando x ≥ 35(4)

A2(x) =

0 cuando x < 20 o x > 60

(x−20)15 cuando 20 < x < 35

(60−x)15 cuando 45 < x < 60

1 cuando x ≥ 60

(5)

A3(x) =

0 cuando x ≤ 4520(x−45)15 cuando 45 < x < 60

1 cuando x ≥ 60(6)

Es necesario en algún momento realizar una de las posibles aproxima-

ciones discretas de los valores difusos. Las aproximaciones son importantesporque, como se verá posteriormente, son necesarias en las representaciones yen el cálculo de conjuntos difusos. Por ejemplo, se puede tomar la función A2,que se muestra en la ec. 5 y la fig.2 y definir la aproximación discreta comosigue:

Es importante notar la simetría implícita en la definición de la aproximacióndiscreta.

2. Fundamentación de la Matemática Difusa

2.1. Conjuntos Difusos y Lógica Difusa

El alfabeto utilizado en la lógica difusa es en gran parte similar a la lógicaclásica. Por una parte, se requieren proposiciones, conectivos, y en general, deun lenguaje mediante el cual se pueda expresar de manera clara. Por una parte,se verá más adelante que la lógica difusa se puede ver como una extensión de lalógica tradicional en muchos aspectos. Como tal. toma parte de sus elementosde ella.La matemática difusa se basa en una fundamentación axiomática similar a la

teoría de probabilidades, con la cual comparte la mayoría de los axiomas. Esteconstructo requiere la definición de una retícula que consiste de los siguientesnodos:

1. X que es el universo del discurso.

2. T que es un elemento maximal.

3. F que es un elemento minimal.

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x D2x

x ∉ 22,24, . . . , 58 0.00

x ∈ 22,58 0.13

x ∈ 24,56 0.27

x ∈ 26,54 0.40

x ∈ 28,52 0.53

x ∈ 30,50 0.67

x ∈ 32,48 0.80

x ∈ 34,46 0.93

x ∈ 36,38, . . . , 44 1.00

Figura 3: Aproximación Discreta de la función de pertenencia A2 mediante lafunción D2 de la forma: D2 : {0, 2, 4, ..., 80} → [0, 1] . [Gky95].

4. ∧ la conjunción.

5. ∨ la disyunción.

La retícula se puede denotar por L (X,T, F,∧,∨) .Las letras x, y, z denotanelementos de X dentro de la retícula.Los axiomas presentan inicialmente, la definición de la retícula:

Axioma 2.1 (Idempotencia) Para todo x ∈ L, se tiene que:

x ∧ x = x ∨ x = x (7)

Axioma 2.2 (Conmutatividad) Para todo x, y ∈ L, se tiene que:

x ∨ y = y ∨ x (8)

x ∧ y = y ∧ x (9)

Axioma 2.3 (Asociatividad) Para todo x, y, z ∈ L, se tiene que:

x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z (10)

Axioma 2.4 (Absorción) Para todo x, y ∈ L, se tiene que:

x ∨ (x ∧ y) = x (11)

x ∧ (x ∨ y) = x (12)

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Axioma 2.5 (Elemento Maximal y Minimal) Para todo x ∈ L se tieneque:

x ∨ T = T y x ∧ T = x (13)

Axioma 2.6 (Relación de Órden) Para todo x, y ∈ L se tiene que:

x ≤ y si existe z ∈ L tal que y = x ∨ z (14)

A cada elemento de la retícula se le puede aplicar una función de val-uación, que indicará su valor de verdad en el intervalo [0, 1] . La función devaluación de denotará por

p : L→ [0, 1] (15)

y está sujeta a las siguientes condiciones:

Axioma 2.7 p(F ) = 0 y p(T ) = 1

Axioma 2.8 Para todo x, y ∈ L,

si x ≤ y entonces p(x) ≤ p(y) (16)

Axioma 2.9 (Aditividad) Para todo x, y ∈ L,

p(x ∧ y) + p(x ∨ y) = p(x) + p(y) (17)

donde p(x ∧ y) ≤ mın(p(x), p(y)) ≤ max(p(X), p(y)) ≤ p(x ∨ y)

Axioma 2.10 (Equivalencia o Congruencia) Para todo x, y ∈ L,

x↔ y si p(x ∧ y) = p(x ∨ y) (18)

Los10 axiomas anteriores son comunes a prácticamente la totalidad de laslógicas.

Axioma 2.11 (Distancia) Para todo x, y ∈ L,

d(x, y) = p(x ∨ y)− p(x ∧ y) (19)

donde d(x, y) cumple que 0 = d(x, x) ≤ d(x, y) ≤ 1

Axioma 2.12 (Medida de Equivalencia) Para todo x, y ∈ L, se tiene:

p(x↔ y) = 1− d(x, y) = 1− p(x ∨ y) + p(x ∧ y) (20)

Axioma 2.13 (Medida de la Fuerza de la Implicación.) Para todo x, y ∈L, se tiene:

p(x→ y) = p(x↔ x ∧ y) (21)

= 1− d(x, x ∧ y)

= 1− p(x)− p(x ∧ y)

= 1 + p(y)− p(x ∨ y)

= 1− d(x, x ∨ y)

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Axioma 2.14 (Negación) Para todo x ∈ L, se cumple

p(x) = p(x↔ F ) = 1− p(x) = 1− d(x, F ) (22)

Axioma 2.15 (Distributividad) Para todo x, y, z ∈ L, se tiene que

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) (23)

Axioma 2.16 (Implicación Estricta) Para todo x, y ∈ L, se tiene que

{p(x→ y) = 1 ∨ p(y → x) = 1} (24)

La versión debilitada del axioma es tomada usualmente por la lógica difusa:

p((x→ y) ∨ p(y → x)) = 1 (25)

La función de valuación (ec. 15) es equivalente a la ec. 3, cuyas propiedadesy características se explican en la sección 2.2.

2.2. La Función de Pertenencia

La función de pertenencia describe toda la información contenida en unconjunto difuso. Tal como se mencionó en la sección 1.1, se espera que estafunción sea contínua, cerrada y acotada, y que posea algunas propiedades quela hagan interesante.

Definición 2.1 (Propiedades de Función de Pertenencia) Dado un con-junto difuso A, se espera que su función de pertenencia cumpla con las siguientespropiedades:

1. Propiedad de Normalidad: debe existir x ∈ A tal que A(x) = 1. Sise tiene que A(x) < 1 para todo x ∈ A, al conjunto difuso se le llamasubnormal.

2. Propiedad de Monotonicidad: si x1 es más próximo a x que el valorx2, entonces A(x1) > A(x2)

3. Propiedad de Simetría: Si x1 y x2 son equidistantes de x, entoncesA(x1) = A(x2)

Algunas funciones de pertenencia de uso común, que cumplen con las pro-piedades mencionadas, se muestran en la fig. 4.

Uno de los conceptos más importantes de conjuntos difusos es el conceptode corte α y su variante el corte estricto, que se exponen en la siguientedefinición.

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1

.5

01 2 3

A (x)

0 4 x

1

1

.5

01 2 3

A (x)

0 4 x

1

1

.5

01 2 3

A (x)

0 4 x

1

1

.5

01 2 3

A (x)

0 4 x

1

1

.5

01 2 3

A (x)

0 4 x

1

Figura 4: Algunas funciones de transferencia comunes.

Definición 2.2 (Corte Alfa) Dado un conjunto difuso A definido en X ycualquier número α ∈ [0, 1], el corte α, denotado por αA, y el corte estricto,α+A,son los conjuntos tradicionales o clásicos de la forma:

αA = {x/A(x) ≥ α} (26)α+A = {x/A(x) > α}. (27)

Esto es, son los conjuntos clásicos αA y α+A donde están contenidos todoslos elementos x del conjunto referencial X cuyo grado de pertenencia es mayorque o igual al valor específico de α.

Una propiedad importante de corte α y corte α estricto que siguen inmedi-atamente de sus definiciones, es que la clasificación total de valores de α enel intervalo [0, 1] es inversa en la forma que conserva la inclusión de los cortesα correspondientes, y de manera análoga para los cortes α estrictos. Es decir,para cualquier conjunto difuso A y para α1, α2 ∈ [0, 1] de distinto valor tal queα1 < α2, se tiene:

α1A ⊇α2 Ayα1+A ⊇α2+ A. (28)

Esta propiedad también puede expresarse por las ecuaciones

α1A ∩α2 A =α2 A,α1 A ∪α2 A =α1 A, (29)

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yα1+A ∩α2+ A =α2+ A,α1+A ∪α2+ A =α1+ A (30)

Una consecuencia obvia de esta propiedad es que todos los cortes α y todoslos cortes α estrictos de cualquier conjunto difuso forman dos familias distintasde conjuntos clásicos anidados. Por ejemplo, los intervalos que representan loscortes α y los cortes α estrictos de los conjuntos difusos A1, A2, y A3 en la fig.2 cortan con el α creciente. Desde que los conjuntos de nivel A1, A2, y A3 sontodos [0, 1], claramente, las familias de todos los cortes α y todos los cortes αestrictos son en este caso infinitos para cada uno de los conjuntos.En este punto conviene conocer la forma general de una función de perte-

nencia, y conocer los nombres asignados a algunas de sus partes.

Definición 2.3 (Núcleo - core) El centro (core) de una función de pertenen-cia para un conjunto difuso A se define como la región del universo que se carac-teriza por la completa y total pertenencia de sus elementos al conjunto A. Estoes, es el conjunto clásico definido como:

centro de A = {x | A(x) = 1} (31)

Luego el centro de A se puede definir como el corte 1A.

Definición 2.4 (Soporte - support) El soporte (support) de una función depertenencia para un conjunto difuso A se define como la región del universo quese caracteriza por tener un grado de pertenencia al conjunto A, que sea mayorque 0 Esto es, es el conjunto clásico definido como:

soporte de A = {x | A(x) > 0} (32)

Luego el soporte de A se puede definir como el corte estricto 0+A

Definición 2.5 (Frontera - boundary) La frontera (boundary) de una fun-ción de pertenencia para un conjunto difuso A se define como la región deluniverso que se caracteriza por tener un grado de pertenencia al conjunto A,que sea mayor que 0, pero menor que 1 Esto es, es el conjunto clásico definidocomo:

frontera de A = {x | 0 < A(x) < 1} (33)

Luego la frontera de A se puede definir como 0+A−1 A.

Definición 2.6 (Altura) La altura h(A) de un conjunto difuso A es el mayorgrado de pertenencia obtenido por cualquier elemento en ese conjunto. Formalmente:

h(A) = supx∈X

A(x). (34)

donde si el conjunto difuso cumple la propiedad de normalidad,se tiene queh(A) = 1.

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Ejemplo 2.1 Con base en el ejemplo 1.1, se puede tener una caracterizacióncompleta de todos cortes α y los cortes estrictos α para los Paconjuntos difusosA1, A2, A3 según la fig. 2. Para todo α ∈ (0, 1]

0A1 = 0A2 =0 A3 = [0, 80] = X

αA1 = [0, (35− 15α)]αA2 = [(15α+ 20) , (60− 15α)]αA3 = [(15α+ 45) , 80]α+A1 = (0, (35− 15α))α+A2 = ((15α+ 20) , (60− 15α))α+A3 = ((15α+ 45) , 80)1+A1 = 1+A2 =

1+ A3 = ∅

Definición 2.7 (Conjunto Nivel) El conjunto de todos los valores α ∈ [0, 1]para un conjunto difuso dado A es llamado un conjunto nivel de A. Formal-mente,

Λ(A) = {α/A(x) = α para algún x ∈ X}donde Λ denota el nivel del conjunto difuso A definido en X.

Ejemplo 2.2 Para el ejemplo 1.1 se tienen los siguientes conjuntos nivel:

Λ(A1) = Λ(A2) = Λ(A3) = [0, 1]

Λ(D2) = {0, 0,13, 0,27, 0,4, 0,53, 0,61, 0,8, 0,93, 1}

Teorema 2.1 (Conjunto difuso convexo) Un conjunto difuso A en � esconvexo si y solo si

A(λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın[A(x1), A(x2)]

para todo x1, x2 ∈ � y todo λ ∈ [0, 1], donde mın denota al operador mínimo.

Demostración. Es similiar a la demostración para conjuntos clásicos.

1. Se asume que A es convexo y sea α = A(x1) < A(x2).Entonces, x1, x2 ∈α

A y λx1 + (1 − λ)x2 ∈α A para algun λ ∈ [0, 1] por la convexidad de A.Luego

A(λx1 + (1− λ)x2) ≥ α = A(x1) =min [A(x1), A(x2)] .

2. Se supone que A satisface A(λx1 + (1 − λ)x2) ≥ min[A(x1), A(x2)], senecesita demostrar que para cualquier α ∈ (0, 1],αA es convexo.

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Se tiene que cualquier x1, x2 ∈α A. (esto es, A(x1) ≥ α,A(x2) ≥ α), paracada λ ∈ [0, 1],

Por A(λx1 + (1− λ)x2) ≥ min[A(x1), A(x2)]

A(λx1 + (1− λ)x2) ≥ min [A(x1), A(x2)] ≥ mın(α,α) = α;

es decir λx1 + (1 − λ)x2 ∈α A, αA es convexo para cualquier α ∈ (0, 1].Luego A es convexo.

Las tres operaciones básicas en conjuntos clásicos que son complemento,intersección y unión, pueden generalizarse a los conjuntos difusos en más deuna manera. Sin embargo, una generalización particular que es de interés esla que produce las llamadas operaciones difusas estándar, que sonlas que setendrán en cuenta de ahora en adelante, y se definen a continuación.

Definición 2.8 (Complemento) El complemento normal A, de un conjuntodifuso A con respecto al conjunto universo X es definido para todo x ∈ X porla ecuación

A(x) = 1−A(x) (35)

Los elementos de X para los que A(x) = A(x) se llaman puntos de equi-

librio de A.

Para el complemento normal, es claro que el grado de función de pertenenciade los puntos de equilibrio es de 0,5. por ejemplo, el punto de equilibrio de A2en Fig.2 es de 27,5 y 52,5.

Definición 2.9 (Unión) Dado dos conjuntos difusos, A y B, la unión normal,A ∪B, se define para todo x ∈ X por las ecuaciones

(A ∪B)(x) = max[A(x),B(x)] (36)

Definición 2.10 (Intersección) Dado dos conjuntos difusos, A y B su inter-sección normal, A ∩B, se define para todox ∈ X por las ecuaciones

(A ∩B)(x) =min[A(x), B(x)] (37)

Donde el min y max denotan al operador mínimo y al operador máximo, re-spectivamente. Debido al asociatividad demin ymax, estas definiciones puedenextenderse a cualquier numero finito de conjuntos difusos. Con base en el ejemplo1.1, se tiene que la operaciones de unión (A1∪A3) se puede definir gráficamentecomo se observa en la fig 5.Mientras que un ejemplo de las operaciones de intersección y el complemento

se observan en la fig. 6Cualquier conjunto potencia difuso, denotado por F (X) puede verse como

una retícula, en la cual la intersección difusa normal y la unión difusa normal

17

1

A 2

A (x)3

(x)3

x

x

x

A )

Figura 5: Unión difusa: A1 ∩A3 según el ejemplo 1.1.

18

x

x

x

x

(x)(B C)

(x)

(x)B

1

1

1

(x)(B C)

C

Figura 6: Operaciones difusas.para el ejemplo [Gky95]19

juegan los papeles de ínfimo y supremo respectivamente. Esto satisface todaslas propiedades de la retícula Booleana definidas en la sec. ??, exceptuando laley de contradicción y la ley de medio excluido. Tal retícula es a menudo llamadaun Retícula de De Morgan o un Álgebra de De Morgan.La retícula de De Morgan también puede definirse como el par (F (X),⊆),

donde el ⊆ denota la inclusión difusa, gracias a la cual los elementos de F (X) es-tán parcialmente ordenados. Entonces, si se tienen dos conjuntos difusos A,B ∈F (X), A es un subconjunto de B, y se denota (A ⊆ B) si,

A(x) � B(x)

para todo x ∈ X. Se puede verificar que con las operaciones difusas estándar,A ⊆ B si A ∩B = A y A ∪B = B para cualquierA,B ∈ F (X).Si bien muchas propiedades de la lógica clásica y la lógica difusa se comparten

entre ellas, es necesario tener precaución porque no sucede con todas las leyes.Este es el caso de la Ley de Contradicción. Si esta ley se cumpliera en lógicadifusa, se debería tener siempre que min[A(x), 1 − A(x)] = 0. Esto se puedetraducir afirmando que o bien un valor de verdad o bien su contrario debe sertotalmente falso (valor 0). Sin embargo, es fácil verificar que esta igualdad no secumple para cualquier valor A(x) ∈ (0, 1) y sólo se cumple para A(x) ∈ {0, 1},que corresponde al caso particular de los conjuntos clásicos.

Definición 2.11 (Cardinalidad Escalar) Para cualquier conjunto difuso Adefinido en un conjunto universal finito X, se define la cardinalidad escalar, |A|mediante la expresión

|A| =∑

x∈XA(x) (38)

Es usual encontrar que a |A| se le llama cuenta sigma de A.

Ejemplo 2.3 Según esta definción, la cardinalidad escalar del conjunto difusoD2 definido en el ejemplo 1.1 es

|D2| = 2(0,13 + 0,27 + 0,4 + 0,53 + 0,67 + 0,8 + 0,93) + 5 = 12,46

Al igual que un elemento tiene un grado de pertenencia a un conjunto difu-so, se puede realizar una consideración análoga respecto de la inclusión de unconjunto en otro conjunto difuso. Para este último caso, se habla del grado deinclusión como una medida análoga al grado de pertenencia.

Definición 2.12 (Grado de Inclusión) Sean A,B un par cualquiera de sub-conjuntos difusos definidos en un conjunto universal finito X. El grado de in-clusión de A en B, denotado por S(A,B), se define mediante la expresión

S (A,B) =1

|A|

(

|A| −∑

x∈Xmax[0, A(x)−B(x)]

)

(39)

20

la cual se puede expresar de manera más resumid, mediante algunas trans-formaciones, de la forma

S(A,B) =|A ∩B||A| (40)

En esta definición, la∑describe la suma de los grados a que la desigual-

dad del subconjunto A(x) � B(x) se viola. La diferencia describe la falta deestas violaciones, y la cardinalidad |A| en el denominador permite normalizar laexpresión en el rango 0 ≤ S(A,B) ≤ 1 como es de esperarse.

2.3. Números Difusos

Entre los diversos tipos de conjuntos difusos, de importancia especial sonlos conjuntos difusos que se definen en el conjunto R de números reales. Comodicho conjunto es infinito, el conjunto difuso tendrá infinitos miembros. Además,como en todo conjunto difuso, a cada número real se corresponde un valor depertenencia que es asignado por una función de pertenencia. Las funciones depertenencia de estos conjuntos tienen la forma

A : R− > [0,1] (41)

Esta función tiene claramente un significado cuantitativo y bajo ciertascondiciones, se puede ver a A como un número difuso o intervalo difu-so. En general, un número difuso se puede definir de manera breve tal como seexpone a continuación.

Definición 2.13 (Número Difuso) Se define un número difuso como unconjunto normalizado y convexo A ⊆ R, cuya función de pertenencia es almenos, contínua a trazos y tiene el valor funcional A(x) = 1 justo para unelemento.

Analizando la anterior definición, se tiene que el conjunto difuso se puedever intuitivamente como el conjunto de números cercanos a un valor r en A, talcomo muestra la fig. 7. El conjunto A debe ser normal, y bajo esta concepciónel grado de pertenencia de r en cualquier conjunto difuso debe ser 1, o en otraspalabras, A(r) = 1. El soporte de un número difuso y todos sus cortes α, paraα �= 0, debe ser un intervalo cerrado, para permitir la definicion del signifi-cado de operaciones aritméticas en números difusos en cuanto a las operacionesaritméticas ordinarias en los intervalos cerrados, que son bien establecidas entérminos del análisis clásico de intervalos [Gky95].

Definición 2.14 (Intervalo Difuso) Se define un intervalo difuso como unconjunto indeterminado normalizado y convexo A ⊆ R que posee un intervalointermedio cuya función de pertenencia es como mínimo, contínua a trazos ytiene el valor funcional A(x) = 1 justo para todo x del intervalo intermedio.

21

Intuitivamente, los números o intervalos difusos se pueden ver como númeroso intervalos aproximados, como "los números cercanos a un número real" o "losnúmeros reales que estan alrededor de un intervalo de números reales"[Gky95]Ya que un corte α de cualquier número difuso requiere estar dentro de un

intervalo cerrado para todo α ∈ (0,1], cada número difuso es un conjunto difusoconvexo. Lo inverso, sin embargo, no necesariamente es verdad, ya que cortes αde algunos conjuntos difusos convexos, quizá sean abiertos o intervalos abiertospor la mitad.

Ejemplo 2.4 (Números e Intervalos Difusos) La fig. 7 muestra los sigu-ientes casos:

1. El número real ordinario 1,3

2. El intervalo ordinario [1,25, 1,35].

3. Un número difuso que expresa la proposición "cerca de 1.3".

4. Un intrervalo difuso que expresa la proposición "cerca del intervalo [1.28,1.32]".

1

00

Figura 7: Número e Intervalo Difuso.

22

Las formas de la función de pertenencia más usuales para los números difusosson precisamente las mostradas en la fig. 7, aunque el tipo de aplicación y lanecesidad pueden determinar el uso de otras formas, incluso asimétricas, talcomo se observa en la fig. 8.La función de pertenencia asimétrica de la fig.8(c) aumenta hasta llegar a

cierto valor, mientras que la función de pertenencia de la fig. 8(d) disminuyedespués de cierto valor, lo que también satisface los requisitos de los númerosdifusos en el sentido que captan nuestra concepción de un número grande ynúmero pequeño respectivamente, en el contexto de una aplicación particular.Aún cuando estas funciones tampoco cumplen la condición de simetría, su im-portancia y utilidad es clara.

1

1

0

0

A

C

a (b)

B

D

1

1

0

0

(d)(c)

Figura 8: Funciones de Pertenencia Asimétricas.

Teorema 2.2 (Representación de número difuso) Sea A ∈ F (R). Enton-ces, A es un número difuso.si en A existe un intervalo cerrado [a, b] �= ∅ de talmanera que

A(x) =

1 para x ∈ [a, b]l(x) para x ∈ (−∞, a)r(x) para x ∈ (b,∞),

(42)

23

Donde la función l es una función monótona creciente, contínua a la derechadefinida como:

l : (−∞, a)→ [0,1] (43)

de tal manera que l(x) = 0 para x ∈ (−∞, w1). La función r es una funciónmonótona decreciente, contínua a la izquierda definida como:

r : (b,∞)→ [0, 1] (44)

de tal manera que r(x) = 0 para x ∈ (w2,∞).

La implicación del teorema 2.2 es que cada número difuso puede ser repre-sentado de forma fragmentada, tal como se expone en la gráfica 9.

0

A

a b

D 1

Figura 9: Representación fragmentada de un número difuso.

Ejemplo 2.5 Se definen los cuatro números difusos en el fig.7 asi:

1. w1 = a = b = w2 = 1,3, ,l(x) = 0 para todo x ∈ (−∞, 1, 3), r(x) = 0 paratodo x ∈ (1,3,∞).

2. w1 = a = 1,25, b = w2 = 1,35, ,l(x) = 0 para todo x ∈ (−∞, 1,25),r(x) = 0 para todo x ∈ (1,35,∞).

24

3. a = b = 1,3, w1 = 1,2, w2 = 1,4,

l(x) =

{0 para x ∈ (−∞, 1,2)

10(x− 1,3) + 1 para x ∈ (1,2, 1,3]

r(x) =

{0 para x ∈ (1,4,∞)

10(1,3− x) + 1 para x ∈ (1,3, 1,4]

4. a = 1,28, b = 1,32, w1 = 1,2, w2 = 1,4,

l(x) =

{0 para x ∈ (−∞, 1,2)

12,5(x− 1,28) + 1 para x ∈ [1,2, 1,28)

r(x) =

{0 para x ∈ (1,4,∞)

12,5(1,32− x) + 1 para x ∈ (1,32, 1,4]

Usando los números difusos, se puede definir el concepto de cardinalidaddifusa para conjuntos difusos que están definidos en conjuntos universales finitos.

Definición 2.15 (Cardinalidad Difusa) Sea A un conjunto difuso definidoen un conjunto universo finito X. La cardinalidad difusa de A, denotada por|A|, es un número difuso definido en N mediante la fórmula

∣∣A∣∣ (|αA|) = α para todo α ∈ Λ(A).

Ejemplo 2.6 El cardinal difuso para el conjunto D2 definido en la fig. 3 cuyocorte α esta en la fig. 2, es

∣∣D∣∣ =

0,13

19+0,27

17+0,4

15+0,53

13+0,67

11+0,8

9+0,93

7+1

5= 0,572 82

2.4. Variables Lingüísticas

Las variables difusas cuantitativas se formulan con ayuda del conceptode número difuso, que permite representar el estado de dicha variable. Pero losnúmeros difusos se utilizan para representar conceptos lingüísticos (tales comopeqeño, mediano, grande, etc), que pueden ser interpretados en un contextoparticular, se generan estructuras llamadas variables lingüísticas [Gky95].Cada variable lingüística cuyo estado se expresa mediante terminos lingüís-

ticos interpretados como números difusos específicos es definido en terminos deuna variable base, cuyos valores son números reales dentro de un rangoespecífico. Una variable base es una variable en el sentido clásico (por ejemplola temperatura, la presión, la velocidad, el voltaje, la humedad, etc.) así co-mo cualquier otra variable numérica, (por ejemplo, envejecer, actuación, sueldo,cantidad de sangre, probabilidad, fiabilidad, etc.). En una variable lingüísti-ca se representan valores aproximados de terminos linguisticos de una variablebase, pertinente a una aplicación particular, capturados por los números difusosapropiados.

25

Definición 2.16 (Variable Lingüística) Una variable lingüística se carac-teriza totalmente por un quíntuplo (v, T (x),X, g,m) en donde

v es el nombre de la variable lingüística,

X es el conjunto universo

T es el conjunto de terminos lingüísticos de v que se refiere a una variablebase.de quien el rango de valores es un conjunto X,

g es una regla sintáctica (una gramática) por lo general los términoslingüísticos en T , y

m es una regla semántica que asigna a cada término lingüístico t ∈ T susignificado m(t) que es un conjunto difuso en X. Es decir m : T → F (X).

Para hacer claridad en estos conceptos conviene introducir aquí un ejemplo,tomado de [Gky95].

Ejemplo 2.7 Un ejemplo de una variable lingüística se muestra en la fig.10. Elnombre de la variable lingüística es .actuación"(performance). Esta variable ex-presa la actuación (variable base en este ejemplo) de la entidad meta-orientada(una persona, la máquina, la organización, el método, etc.) en un contexto dadopor cinco terminos lingüísticos básicos, que son: muy pequeño, pequeño, medi-ano, grande, muy grande, vistos como condiciones lingüísticas generadas poruna regla sintáctica (no explícitamente mostrado en la fig.10), como no muypequeño, grande o muy grande, muy muy pequeño, y asi sucesivamente.

A cada uno de los términos lingüísticos básicos es asignado uno de los cinconúmeros difusos según una regla semántica, como mostrado en la figura [Gky95].Los números difusos cuyas funciones de pertenencia tienen la forma trapezoidalusual, se han definido en el intervalo [0, 100].

2.5. Proposiciones y Conectivos

Las proposiciones difusas se diferencian de las proposiciones clásicas por elrango de sus valores de verdad, ya que el grado de verdad de una proposiciondifusa se expresa por un numero en el intervalo de la unidad [0, 1] , mientras queel grado de verdad de una proposición clásica se encuentra únicamente en losextremos de dicho intervalo, esto es {0, 1}Las proposiciones difusas que se puedan encontrar en los textos son expre-

sadas generalmente en cuatro tipos:

1. Las proposiciones incondicionales e inhabiles.

2. Las proposiciones incondicionales y calificadas.

3. El condicional y las proposiciones inhabiles.

4. El condicional y las proposiciones calificadas.

26

Variable Linguistica

Valores Linguisticos

PEQUEÑO MEDIANO MUY ALTO ReglaSemantica

RestricciónDifusa

Variable Base

Figura 10: Ejemplo de variable lingüística (tomado de [Gky95]).

Definición 2.17 (Proposiciones Incondicionales No-Calificadas) Una pro-posición incondicional no-calificada es una expresión p de la forma

p : V es F (45)

donde V es una variable que toma valores v de algun conjunto universal devaluaciones V , y F es un conjunto difuso en V que representa un predicadodifuso.

Si T (p) es el grado de verdad de la proposición p, y v es un valor particularde V, entonces v ∈ F con grado de pertenencia F (v), y se cumple que

T (p) = F (v) (46)

La expresión se puede generalizar si V es asignada según un determinadoconjunto índice I, de tal manera que V : I → V, donde si i ∈ I, y V es elconjunto de valores que puede eventualmente tomar V (i) , la expresión de la ec.toma la forma más general

p : V (i) es F donde i ∈ I (47)

T (p) = F (V (i)) (48)

El papel que cumple la ec.46 es de vital importancia, ya que provee un puentede conexión entre la teoría de conjuntos y las proposiciones difusas, tal como severá en el ejemplo 2.8.

27

Ejemplo 2.8 Sea V una variable que representa la temperatura. Sea "altaünpredicado, donde "alta"∈ F. Sea p una proposición difusa que espresa:

p : La temperatura (V) es alta (F )

De acuerdo con la definición, el grado de verdad T (p) depende tanto delvalor real de la temperatura como de la definición de .alta". Suponga ahora quese tiene la función de pertenencia definida en la fig. 11

Figura 11: Ejemplo de la Temperatura (tomado de [Gky95]).

Se sabe que V toma valores particulares de acuerdo v con la temperatura. Sise tiene como caso particular que V = v = 85 grados, tal como se indica en lagráfica, el grado de pertenencia que le corresponde es de F (v) = F (0,85) = 0,75.Y de acuerdo con la ec 46, y tal como se observa en la fig. 12, T (p) = F (v) =0,75.

Ejemplo 2.9 Sea I un conjunto de personas, cada persona se caracteriza porsu edad, y dado un conjunto difuso expresado por el predicado "joven", la formageneral p : V (i) es F sera p : edad(i) es joven.

El grado de verdad de esta proposicion T (p) es determinado para cada per-sona i, luego T (p) = Joven(edad(i)).

Definición 2.18 (Proposiciones Condicionales No-Calificadas) Una pro-posición condicional no-calificada es una expresión p de la forma:

p : si V es F, entonces W es G (49)

donde V,W son variables que toman valores respectivos v ∈ V, w ∈ W,donde V,W son universos de valuaciones, y F,G son conjuntos difusos enV,W que representa un predicado difuso.

28

Figura 12: Ejemplo de conexión entre Teoría de Conjuntos Diusos y Proposi-ciones Difusas.

Estas proposiciones también pueden verse como las proposiciones de la forma

{V,W} es R, (50)

donde R es un conjunto difuso en el producto cartesiano V × W que esdeterminado para cada v ∈ V y cada w ∈W de la forma

R(v,w) = j [V(v),W(w)] (51)

donde j denota un operacion binaria en [0, 1], representando la implicacióndifusa conveniente de acuerdo con la necesidad.

2.6. Cuantificadores Difusos

Se puede extender el alcance de los predicados difusos mediante el uso decuantificadores difusos. Los cuantificadores difusos son números difusos quetoman parte en las proposiciones difusas, con algunas especificaciones que seintroducen en esta sección.Los cuantificadores difusos pueden ser de de dos tipos: los absolutos, definidos

en R y los relativos, definidos en [0, 1].

29

2.6.1. Cuantificadores Difusos Absolutos

Los cuantificadores difusos absolutos están definidos en R y se caracteri-zan mediante determinados términos lingüísticos que lo evidencian: "casi 10","mucho más de 1500", "aproximadamente 270", por ejemplo.Las expresiones de este tipo se pueden representar formalmente de tres ma-

neras equivalentes:

p : Hay Q i′s en I tales que V(i) es F (52)

p′ : Hay Q E′s donde E(i) = F (V(i)) (53)

p′′ : X es Q (54)

donde p es la expresión más analítica, p′ es la expresión resumida, y p′′ es unaexpresión equivalente aún más resumida y más habitual en el lenguaje natural,que pueden representar todas el mismo concepto como se verá en el ejemplo. Setiene en estas expresiones que Q es un número difuso en R, V es una variableque asume el valor V(i) para el individuo i ∈ I, y F es un conjunto difusoconstituido por todos los posibles valores de V.En la ec. 54 se tiene que X es una variable que toma valores en R que

representa la cardinalidad del escalar del conjunto difuso, esto es, W = |E| ,donde |E| =∑i∈I E(i) =

∑i∈I F (V(i)).Además, se puede verificar que

T (p) = T (p′) = T (p′′) = Q (|E|) . (55)

Ejemplo 2.10 Se tiene que p ="Hay alrededor de 57 trabajadores que tienenbuen rendimiento en ventas en la empresa". Donde I es el conjunto de tra-bajadores, Q es el número difuso real .alrededor de 57", V(i) es el grado derendimiento del vendedor i, y F es el conjunto difuso definido con los posiblesvalores de V que representan al término lingüístico "buen".

Se puede tener una expresión para p′ ="Hay alrededor de 57 trabajadoresbuenos-vendedores en la empresa".

Ejemplo 2.11 Sea la proposiciónp : "Hay aproximadamente tres estudiantes del curso cuya facili-

dad en inglés es alta".Sea I conformado por los integrantes del curso, es decir I = {Andres, Blanca,

Carlos, Diego, Viviana}Sea V es una variable con los valores en el intervalo [0, 100] grados que expre-

san la facilidad para el inglés, V(i) es la facilidad en inglés del integrante i. F esel conjunto difuso conformado por todos los posibles valores de V. Comparandola proposición p con

p : "Hay Q i’s en I tal ese V (i) es F ,se puede ver que Q, en este

caso,es el cuantificador difuso .aproximadamente 3, y F es un conjuntodifuso que toma valores en [0, 100], y captura numéricamente el término lingüís-tico ”facilidad-alta”. Q y F se definen en la fig. 13 Se asume que:

30

V (Andres) = 35,

V (Blanca) = 20,

V (Carlos) = 80,

V (Diego) = 95,

V (Esteban) = 70.

El valor de verdad de la proposición es:

E = 0Andres

+ 0Blanca

+ ,75Carlos

+ 1Diego

+ ,5Esteban

.

Luego, se calcula el cardinal de E:

|E| = ∑i∈I

E(i) = 2,25.

Finalmente, se usa T (p) = T (p) = Q (|E|) para obtener el valor de verdadde nuestra proposición:

T (p) = 2(2,25) = 0,625.Asumiendo, por otro lado, que las cuentas de los estudiantes no son cono-

cidas, no se construye E. La proposición proporciona, en este caso, con la in-formación sobre los grados de posibilidad de varios valores del cardinal de E.por ejemplo, Q(3) = 1, la posibilidad de |E| = 3 es 1; esto es imposible porque|E| = 5, y así sucesivamente.

3

1

0

0.625

1 2 4 5 6

2.25

Q (E)

(E)

Q: �cerca de 3�

0.75

0.5F(a)

1

0 50 100

FluidezF:

a

BrendaAndres Carlos David

Figura 13: Gráfica para el ejemplo 2.11 (tomado de [Gky95])

2.6.2. Cuantificadores Difusos Relativos

Los cuantificadores difusos del segundo tipo se definen en [0, 1] y se carac-terizan por terminos lingüísticos que lo evidencian: "casi todos", "la mayoría","poco más de la mitad", por ejemplo. Se puede observar la representación gráficade un cuantificador de este tipo en la fig 14.

31

0 0.63

0.4

1

Casi Todo

1

Aprox mitad Medio

Figura 14: Cuantificador difuso definido en [0, 1] .

Las proposiciones difusas con los cuantificadores del segundo tipo tienen laforma general

p : Entre los i′s en I tales que V (i) es F1hay Qi′s en I tales que V2(i) es F2(56)

p′ : Q E′1s son E′

2s (57)

p′ : X es Q (58)

donde Q es un número difuso en [0, 1], y el significado de los símbolosrestantes es el mismo como previamente se definieron, y E1, E2 son los con-juntos difusos:

E1(i) = F1(V1(i)) (59)

E2(i) = F2(V2(i)),∀i ∈ I (60)

Ejemplo 2.12 Un ejemplo de una proposición de este formulario es la proposi-ción ”Entre los estudiantes en una clase dada que es joven, casi todos

tienen la facilidad en inglés y nivel alto”Se puede modificar como sigue: ”Casi todo joven los estudiantes en una clase

dada son estudiantes cuya la facilidad en inglés es alta.”

32

También se llaman cuantificadores del primer tipo los cuantificadores abso-lutos, mientras los cuantificadores del segundo tipo se llama los cuantificadoresrelativos. Esta terminología tiene el sentido cuando se comparan las definicionesde la variable W para los cuantificadores del primer tipo y segundo tipo, dadopor las ecuaciones correspondientes.

2.7. Modificadores Lingüísticos (Linguistic Hedge)

Los modificadores lingüísticos son términos lingüísticos especiales que modi-fican otros términos lingüísticos. Algunos de ellos son, por ejemplo, mismo, máso menos, justamente, ligeramente, algo o sumamente Los modificadores difusosse pueden usar para modificar tanto los predicados difusos, como el valor de losgrados de verdad difusa y las probabilidades difusas.

Ejemplo 2.13 una expresión con uso de modificador (en negrilla) es "x es unapersona ligeramente gorda".

Otra proposición, tal como .es joven" que se asume significa ”x es joven esverdad”, puede afectarse por los modificadores de las siguiente maneras: ”esverdad que x es muy joven”, ”es muy cierto que x es joven”.

En general, dada una proposición difusa p, se puede modificar ésta medianteun modificador lingüístico H, quedando formalmente así:

p : x es F (61)

Hp : x es HF, (62)

donde HF denota el predicado difuso obtenido aplicando el modificador H alos datos del predicado F . Las modificaciones adicionales pueden ser obtenidasaplicando el cerco al valor de verdad difuso o a la probabilidad difusa empleadaen la proposición dada.Dado un predicado difusoF en X, y un modificador h definido como una

operación unaria asociada un modificador lingüístico H [Gky95], el predicadodifuso modificado HF es determinado para cada x ∈ X en la ecuación

HF (x) = h(F (x)) (63)

Esto significa que las propiedades de los modificadores lingüísticos pueden serestudiadas observando las propiedades de los modificadores asociados. Cualquiermodificador h es un biyeccion creciente. Si h(a) < a para todo a ∈ [0, 1], elmodificador se llama fuerte; si h(a) > a para todo a ∈ [0, 1], el modificadorse llama débil. El modificador especial vacio para el que h(a) = a se llama unmodificador identidad.

Definición 2.19 (Modificador Lingüístico Fuerte y Débil) Un modifica-dor fuerte fortalece un predicado difuso al que es aplicado, reduciendo el valorde verdad de la proposición asociada. Un modificador débil debilita el predicadoy el valor de verdad aumenta en la proposición.

33

Por ejemplo, considere tres proposiciones difusas:p1 : John es joven,p2 : John es muy joven,p3 : John es bastante joven,Matemáticamente se permite que los modificadores lingüísticos h se repre-

sente por a2 si es fuerte, y por√a si es débil. Si se asume que John tiene 26

años y, según el conjunto difuso JOVEN representando el predicado difuso joven,JOVEN (26) = 0,8. Entonces, MUY JOVEN (26) = 0,82 = 0,64 y BASTANTEJOVEN (26) =

√(0,8) = 0,89. De, T (P1) = 0,8, T (p2) = 0,64, y T (p3) = 0,89.

Estos valores están de acuerdo con nuestra intuición: entre más fuerte la aserciónes menor su valor de verdad y viceversa.

Teorema 2.3 (Propiedades del Modificador Lingüístico h) Es fácil de-mostrar que cada modificador h satisface las siguientes condiciones:

1. h(0) = 0 and h(l) = 1;

2. h es una función continua;

3. si h es fuerte, entonces h−1 es débil y viceversa;

4. dado algun modificador g, las composiciones de g con h y h con g tam-bién son modificadores y, si h y g son fuertes (o débiles), entonces soncompuestas.

3. Operaciones Difusas

En este capítulo se introducen o amplían los operaciones difusas ya vistas,tanto para los conjuntos como para los números e intervalos difusos.

3.1. Operaciones entre Conjuntos Difusos

En esta sección se redefinen las funciones como complemento, intersección,y unión, desde la persepectiva de los conjuntos difusos.Para el complemento:

A(x) = 1−A(x) (64)

Para la intersección:

(A ∩B)(x) = min[A(x),B(x)], (65)

Para la intersección:

(A ∪B)(x) =max[A(x), B(x)], (66)

para todo x ∈ X. Estos son las operaciones difusas normales.Se puede ver fácilmente, que las operaciones difusas normales se realizan

como las operaciones correspondientes para los conjuntos clásicos o tradicionales

34

cuando el rango de la funcion de pertenencia se restringe al conjunto {0, 1}. Esdecir, las operaciones difusas normales son generalizaciones de las operacionesde conjuntos clásicos. Se entiende ahora bien, sin embargo, que ellos no sonlas únicas posibles generalizaciones. Para las tres operaciones, existe una claseamplia de funciones cuyos miembros también califican como las generalizacionesdifusas de las operaciones clásicas. Estas tres clases de funciones se examinan enlas secciones siguientes, donde cada una se caracteriza por los axiomas descritos.Funciones que califican como las intersecciones difusas y las uniones difusasnormalmente se divulgan en la literatura como las t-normas y t-conormas,respectivamente.Desde que el complemento, la intersección y la unión difusa no son las únicas

operaciones, contrariamente a sus análogos para la lógica clásica, diferentes fun-ciones pueden ser definidas y funcionar apropiadamente para representar estasoperaciones en diferentes contextos.Entre la gran variedad de complementos, intersecciones y uniones difusas

la propiedad de las operaciones difusas poseen ciertas propiedades que les danuna importancia especial. Por ejemplo, la intersección difusa normal (operadormin) produce el conjunto mas grande entre aquéllos producidos por todas lasposibles intersecciones difusas (t-normas). La unión difusa normal (operadormax) produce, al contrario, el conjunto difuso más pequeño entre los conjuntosdifusos producidos por todas las posibles uniones difusas (t-conormas).Un rasgo deseable de los operaciones difusos normales es su prevención in-

herente del componente de errores de los operadores. Si cualquier error ε esasociado con la funcion de grados de pertenencia A(x) y B(x), entonces el errormáximo asociado con la funcion de pertenencia x en A, A ∩ B, y A ∪ B siguesiendo ε. La mayoría de las operaciones de los conjunto difusos alternativoscarecen esta característica.Las intersecciones difusas (t-normas) y las uniones difusas (t-conorms) no

cubren todos los operaciones porque pueden agregarse los conjuntos difusos,pero cubren todos agregando operaciones que sean asociativas [Gky95].

3.1.1. Complementos Difusos

Sea A un conjunto difuso en X. por la definición, A(x) se interpreta comoel grado en el que x pertenece a A. donde cA denota un complemento difusode A de tipo c. Entonces, cA(x) puede ser no sólo interpretado como el gradoa que x pertenece a cA, sino también como el grado a que x no pertenece aA. Similarmente, A(x) también puede interpretarse como el grado a que x nopertenece a cA.Como una convención de notacion, el complemento cA se define por la fun-

ción

c : [0, 1]→ [0, 1] (67)

que asigna un valor c(A(x)) a cada grado de pertenencia A(x) para cualquierconjunto difuso A. El valor c(A(x)) se interpreta como el valor de cA(x). Esdecir,

35

c(A(x)) = cA(x) (68)

para todo x ∈ X por definición. Dado un conjunto difuso A, se obtiene cAaplicando la función c a los valores A(x) para todo x ∈ X.Se debe tener en cuenta que esta función c es totalmente independiente de los

elementos x que valoran al A(x) asignado; sólo depende de los propios valores.En la investigación siguiente de su las propiedades formales, se puede ignorar x yse asume que el argumento de c es un número arbitrario a ∈ [0, 1]. Sin embargo,para usar la función pora determinar un complemento de un conjunto difuso A,se tiene que guardar huella de elementos x para hacer la conexión entre A(x) ycA(x) expresado por la ec. 68.La función c debe ser también válida intuitivamente, como los complementos

significativos de conjuntos difusos. Para caracterizar la funcion c que producelos complementos difusos significativos, se pueden declarar intuitivamente laspropiedades justificables por lo que se refiere a los requisitos axiomáticos. Luegose puede determinar la clase de funciones que satisfacen estos requisitos.Para producir los complementos difusos significantes, la función c debe sat-

isfacer por lo menos los axiomas definidos a continuación.

Axioma 3.1 (Límite Condicional para Complementos) Si c representa alcomplemento difuso, entonces

c(0) = 1 (69)

c(1) = 0

Axioma 3.2 (Monotonía para Complementos) Sea c el complemento di-fuso. Para todo a, b ∈ [0, 1], se cumple que

a ≤ b→ c(a) ≥ (b). (70)

Axioma 3.3 (Continuidad del Complemento) Si c el complemento difuso,c es una función contínua.

Axioma 3.4 (Propiedad Involutiva del Complemento) Si c el complemen-to difuso, c es involutivo esto es, que para cada a ∈ [0, 1]

c(c(a)) = a

Según el Axioma 3.1, la función c debe producir los complementos correctospara los conjuntos clásicos. Según el Axioma 3.2, se exige ser monotonamentedecreciente: cuando su grado de pertenencia en A aumenta (cambiando x), la

36

calidad del número de miembros correspondiente en cA no debe aumentar: puededisminuir o, por lo menos, permanecer igual.Hay muchas funciones que satisfacen los Axiomas 1 y 2. Para cualquier

conjunto difuso A, conjuntos difusos diferentes cA constituyen su complemento,cada uno se produce por una función distinta c. toda funcion que satisfacelos axiomas forman la clase más general de complementos difusos. Es bastanteobvio que la exclusión o debilidad de estos axiomas agregarían algunas funcionestotalmente inaceptable como los complementos.Una violación del Axioma 3.1 incluiría funciones que no conforman al com-

plemento normal para los conjuntos clasicos. El axioma 3.2 es esencial, se esperaintuitivamente que un aumento en el grado de pertenencia en un conjunto di-fuso deba producir una disminución o en el caso extremo, ningún cambio en elgrado de pertenencia de su complemento. Los Axiomas 3.2 y 3.2 son llamadosel esqueleto axiomático para los complementos difusos.En la mayoría de los casos de importancia práctica, es deseable considerar

adicionar varios requisitos para los complementos difusos. Cada uno de ellosreduce la clase general de los complementos difusos a un subclase especial. Dosde los requisitos más deseables que normalmente se listan en la literatura entrelos axiomas de complementos difusos están especificados en los axiomas 3.3 y3.4.

3.1.2. Intersecciones Difusas (T-normas)

La intersección de dos conjuntos difusos A y B se especifica en general poruna operacion binaria en el intervalo unitario; es decir, una función de la forma

i : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]. (71)

Para cada elemento x del conjunto universal, esta función toma como suargumento el par que consiste en grado de pertenencia en los conjuntos A y B, yretorna el grado de pertenencia de sus elementos que constituyen la intersecciónde A y B, asi,

(A ∩B)(x) = i[A(x), B(x)] (72)

para todo x ∈ X.Un orden para cualquier función i de esta forma para calificar una intersec-

ción difusa, debe tener propiedades apropiadas que aseguren que conjuntos difu-sos producidos por i son intuitivamente aceptables como las interseccionesdifusas de cualquier par de conjuntos difusos. Esta funcion es conocida comot-norma. De hecho, las t-normas son generalmente aceptadas como el equiva-lente a la clase de intersecciones difusas. Se puede usar el termino t-normas ointersecciones difusas.

37

Dada una t-norma y los conjuntos difusos A y B, se tiene que aplicar la ec.72 para cada x ∈ X para determinar la intersección de A y B basada en i. Sinembargo, la función i es totalmente independiente de x; sólo depende de losvalores A(x) y B(x). Se puede ignorar x y asumir que los argumentos de i sonlos números arbitrarios a, b ∈ [0, 1] en las propiedades formales de t-normas quese examinan a continuación.Una interseccion difusa o t-norma i es una operacion binaria en el intervalo

unitario que satisface al menos los siguientes axiomas para todo a, b, d ∈ [0, 1]:

Axioma 3.5 (Límite Condicional) i(a, 1) = a

Axioma 3.6 (Monotonía para Intersección) b ≤ d implica i(a, b) ≤ i(a, d)

Axioma 3.7 (Conmutatividad para Intersección) i(a, b) = i(b, a)

Axioma 3.8 (Asociatividad para Intersección) i(a, i(b, d)) = i(i(a, b), d)

Estos axiomas conforman el esqueleto axiomático para las intersecciones ot-normas difusas. Es fácil ver que los primeros tres axiomas aseguran que laintersección difusa definida por la ec 72 se vuelve la intersección clásica cuandoAy B son clasicos: el i(0, 1) = 0 y i(1, 1) = 1 se sigue directamente del axioma dellímite condicional; i(1, 0) = 0 se deriva entonces del axioma de commutatividad,mientras que i(0, 0) = 0 del axioma monotonia. Cuando un argumento de ies 1 la condición del límite y commutatividad también aseguran,como nuestraconcepción intuitiva de los requerimientos intersección difusa, que la calidaddel número de miembros en la intersección es igual al otro argumento en laexpresión.Monotonicidad y commutatividad expresan el requisito natural que una dis-

minución en el el grado de número de miembros en conjuntos A o B no puedeproducir un aumento en el grado de pertenencia en la intersección. Commuta-tividad asegura que la intersección difusa simétrica, que es indiferente al ordenen que se consideran los conjuntos a ser combinados. El último axioma, la aso-ciatividad, asegura que se puede tomar la intersección de cualquier número deconjuntos en cualquier orden con parejas arbitrarias; este axioma permite ex-tender el funcionamiento de intersección difusa a más de dos conjuntos.En muchas ocasiones es deseable restringir la clase de intersecciones difusas

(t-normas) considerando varios requisitos adicionales. Tres de las restriccionesmás importantes se expresan por los axiomas siguientes, dadas las especifica-ciones para i, a, b dadas anteriormente:

Axioma 3.9 (Continuidad para Intersección) i es una función continua

Axioma 3.10 (Subidempotencia para Intersección) i(a, a) < a

Axioma 3.11 (Monotonía Estricta para Intersección) a1 < a2 y b1 < b2implica i(a1, b1) < i(a2, b2)

38

El axioma de continuidad previene una situación en que un pequeño cambioen el grado de pertenencia de cualquier conjunto difuso A o B produzca unadiscontinuidad en el grado de pertenencia A ∩B.El axioma de subidempotencia trata un caso especial, en que el grado de

pertenencia en A y B (para algún x) tiene el mismo de valor de a. El axiomaexpresa el requisito que el grado de la funcion de pertenencia A∩B en este casoespecial no debe exceder a. Este requisito es más débil que el de idempotencia,el requisito i(a, a) = a, es llamado el subidempotencia. Finalmente, el axiomade monotonía estricta expresa una forma más fuerte que el de monotonicidad.

3.1.3. Uniones Difusas (T-conormas)

La discusión de uniones difusas es estrechamente paralela de interseccionesdifusas. Como la intersección difusaa, la unión difusa general de dos conjuntosdifusos A y B se especifica por una función

u : [0, 1]× [0, 1]− [0, 1]. (73)

El argumento a esta función es el par que consiste en el grado de pertenenciade algunos elementos x en el conjunto difuso A y el grado de pertenencia deese mismo elemento en el conjunto difuso B. La función devuelve el grado depertenencia para los elemento en el conjunto difuso A ∪B. De aqui,

(A ∪B)(x) = u[A(x), B(x)] (74)

para todo el x ∈ X.Las propiedades que una función u debe satisfacer para ser intuitivamente

aceptable como una unión difusa está exactamente igual que las propiedades defunciones como que son conocido en la literatura como t-conormas. Se puedeusar los términos t-conormas o uniones difusas indistintamente.Un union difusa o t-conorma u es una operacion binaria en el intervalo

unitario que satisface por lo menos los axiomas que se enuncian a continuación.Para todo a, b, d ∈ [0, 1]:

Axioma 3.12 (Límite Condicional para Unión) u(a, 0) = a

Axioma 3.13 (Monotonicidad para Unión) b ≤ d implica u(a, b) ≤ u(a, d)

Axioma 3.14 (Conmutativida para Unión) u(a, b) = u(b, a)

Axioma 3.15 (Asociatividad para Unión) u(a, u(b, d)) = u(u(a, b), d)

39

Estos axiomas son el esqueleto axiomátioco esencial para las uniones difusaso t-conormas. Se puede hacer un análisis análogo al caso del complemento eintersección y verificar que las propiedades se cumplen para los conjuntos clásicosy que son suficientemente válidas de manera intuitiva.Análogamente al caso de la intersección, se pueden establecer restricciones

axiomáticas para lograr algunos resultados esperados.

Axioma 3.16 (Continuidad para Unión) u es una función contínua

Axioma 3.17 (Superidempotencia para Unicón) u(a, a) > a

Axioma 3.18 (Monotonía Estricta para Unión) a1 < a2 y b1 < b2 impli-ca u(a1, b1) < u(a2, b2)

3.2. Operaciones Aritméticas en Intervalos Difusos

La aritmética difusa esta basado en dos propiedades de números difusos[Gky95]:

1. Cada conjunto difuso, y cada número difuso, puede representarse total-mente y singularmente por cortes α

2. Los cortes α de cada número difuso son intervalos cerrados de númerosreales para todo α ∈ (0, 1].

Estas propiedades permiten definir las operaciones aritméticas en los númerosdifusos en terminos de operaciones aritméticas en sus cortes α, es decir, opera-ciones aritméticas en intervalos cerrados. Estas operaciones son un asunto deanálisis de intervalos, una área bien fundamentada de la matemática clásica.Notese que un número real r ∈ R también puede considerarse como un intervaloespecial degenerado [r, r].Si� denota cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas más comunes en

los intervalos cerrados:+.−, ·,� (suma, resta, multiplicación, división). Entonces,

[a, b]�[d, e] = {f�g | a ≤ f ≤ b, d ≤ g ≤ e) (75)

es una propiedad general de todos las operaciones aritméticas en los inter-

valos cerrados, teniendo en cuenta la excepción del caso [a,b][d,e] , que no se define

cuando 0 ∈ [d, e]. Es decir, el resultado de una operacion aritmética en unintervalo cerrado es de nuevo un intervalo cerrado.

Definición 3.1 (Operaciones Aritméticas Básicas) Las cuatro operacionesaritméticas básicas definidas en intervalos cerrados se definen como sigue:

[a, b] + [d, e] = [a+ d, b+ e] (76)

[a, b]− [d, e] = [a− d, b− d] (77)

[a, b] · [d, e] = [mın(ad, ae, bd, be),max(ad, ae, bd, be)] (78)

[a, b]

[d, e]= [mın(

a

d,a

e,b

d,b

e),max(

a

d,a

e,b

d,b

e)] siempre que 0 /∈ [d, e](79)

40

Cuando uno de los intervalos descritos en las ecuaciones de la definición 3.1es el intervalo degenerado, se obtienen las operaciones especiales; cuando dos delos intervalos se degeneran, se obtiene la aritmética normal de números reales,como sería de esperarse.

Ejemplo 3.1 Se deben verificar cuidadosamente las siguientes expresiones, con-statando con la definición 3.1:

[2, 5] + [1, 3] = [3, 8]

[0, 1] + [−6, 5] = [−6, 6]

[2, 5]− [1, 3] = [−1, 4]

[0, 1]− [−6, 5] = [−5, 7]

[−1, 1] · [−2,−0,5] = [−2, 2]

[3, 4] · [2, 2] = [6, 8]

[−1,1][−2,−0,5] = [−2, 2]

[4,10][1,2] = [2, 10].

Las operaciones aritméticas en los intervalos cerrados satisfacen algunas pro-piedades útiles, que se describen a continuación.

Teorema 3.1 (Propiedades de las Operaciones Aritméticas) Sean A =[a1, a2], B = [b1, b2], C = [c1, c2], 0 = [0, 0], 1 = [1, 1]. Las propiedades de lasoperaciones aritméticas difusas se definen como sigue:

1. Conmutatividad:

A+B = B +A,

A ·B = B ·A

2. Asociatividad:

(A+B) +C = A+ (B +C)

(A ·B) ·C = A · (B · C)

3. Identidad:

A = 0 +A = A+ 0

A = 1 ·A = A · 1

41

4. Subdistributiva:

A · (B +C) ⊆ A ·B +A · C

5. Distributiva:

si b · c ≥ 0 para cadab ∈ B y c ∈ .C, entonces A · (B+C) = A ·B+A ·C .

Si A = [a, a], entonces a · (B +C) = a ·B + a · C

6. 0 ∈ A−A y 1 ∈ AA.

7. si A ⊆ E y B ⊆ F , entonces:

A+B ⊆ E + F (80)

A−B ⊆ E − F (81)

A ·B ⊆ E · F (82)

A

B⊆ E

F(83)

Demostración. La mayoría de estas propiedades sigue directamente deecuaciones descritas en la def. 3.1 Se demuestran las propiedades menos ob-vias de subdistributividadty y distributividad

1. Primero, se tiene que:

A · (B +C) = {a · (b+ c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C] (84)

= {a · b+ a · c | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C) (85)

⊆ {a · b+ a′ · c | a′ ∈ A, b ∈ B, c ∈ C) (86)

= A ·B +A · C. (87)

Luego A · (B +C) ⊆ A ·B +A ·C.

2. Se asume ahora, sin pérdida de generalidad, que b1 ≥ 0 y c1 ≥ 0. Entonces,se tienen que considerar los siguientes tres casos:

si a1 ≥ 0, entonces,si a1 < 0ya2 ≤ 0, entonces −a2 ≥ 0, (−A) = [−a2,−a1], ysi a1 < 0 y a2 > 0, entonces

A · (B +C) = [a1 · (b2 + c2), a2(b2 + c2)] (88)

= [a1 · b2, a2 · b2] + [a1 · c2, a2 · c2] (89)

= A ·B +A ·C. (90)

Esta distributividad no es general. Para verificarlo, sea A = [0,1], B =[1, 2], C = [−2,−1], entonces, A·B = [0, 2],A·C = [−2, 0],B+C = [−1, 1],y A · (B +C) = [−1, 1] ⊂ [−2, 2] = A ·B +A · C.

42

3.3. Operaciones Aritmeticas en Números Difusos

A continuación se presentan dos métodos para desarrollar la aritmética di-fusa. Un método es basado en la aritmética de intervalos. El otro método esel principio de extensión por medio del cual se extienden operaciones en losnúmeros reales a las operaciones en los números difusos. Para ello se asumiráque los números difusos son representados por funciones de pertenencia con-tinuas.

Definición 3.2 Sean A y B números difusos y sea � que denota cualquierade las cuatro operaciones aritméticas básicas. Entonces, se define un conjuntodifuso en R, A ∗B, por definicion en corte α, α(A�B), como

α(A�B) =α A�αB (91)

para algun α ∈ (0, 1]. (Cuando � = /, claramente, se requiere que 0 /∈α Bpara todos α ∈ (0, 1].)

Se puede demostrar [Gky95] que A�B puede expresarse como

A�B = ∪α∈[0,1]

α(A�B) (92)

donde α(A�B) es un intervalo cerrado para cada α ∈ (0, 1] y A,B sonnúmeros difusos, A�B es también un número difuso.

Ejemplo 3.2 Considere dos numeros difusos de forma triangular A,B definidos:

A(x) =

o para x ≤ −1yx > 3

x+12 para − 1 < x ≤ 13−x2 para 1 < x ≤ 3

B(x) =

o para x ≤ 1y x > 5

x−12 para 1 < x ≤ 3

5−x2 para 3 < x ≤ 5

Sus cortes α son:

αA = [2α− 1, 3− 2α]αB = [2α+ 1, 5− 2α].

Con base en la definición de operación difusa en intervalos, se tieneα(A+B)− [4a, 8− 4a] para α ∈ (0, 1],α(A−B) = [4a− 6, 2− 4a] para α ∈ (0, 1],

43

α(A,B) =

[−4a2 + 12α− 5, 4α2 − 16α+ 15] para α ∈ (0, ,5][4a2 − 1, 4a2 − 16α+ 15] para α ∈ (,5, 1]

α AB=

[2α−12α+1 ,

3−2α2α+1

]para α ∈ (0, ,5]

[2α−15−2α ,

3−2α2α+1

]para α ∈ (,5,−1]

los numeros difusos resultantes son entonces:

(A+B)(x) =

0 para x ≤ 0 y x > 8

x4 para 0 < x ≤ 48−x4 para 4 < x ≤ 8

(A−B)(x) =

0 para x ≤ −6 y x > 2

x+64 para − 6 < x ≤ −22−x4 para − 2 < x ≤ 2

(A ·B)(x) =

0 para x < −5 y x ≥ 153− 2

√4−x2 para − 5 ≤ x < 0

2√1+x2 para 0 ≤ x < 3

4− 2√1+x2 para 3 ≤ x < 15

(AB)(x) =

0 para x < −1 y x ≥ 3x+12−2x para − 1 ≤ x < 0

5x+12x+2 para 0 ≤ x < 1

3

3−x2x+2 para 1

3 ≤ x < 3

Esto se representa gráficamente según muestra la fig. 15.

El segundo método esta basado en el principio de extensión. Empleando esteprincipio, se extienden operaciones aritméticas normales en los números realesa los números difusos.Sea � cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas y sean A,B

numeros difusos. Entonces, se define un conjunto difuso en R, A�B, por laecuación,

(A�B)(z) = supz=x∗y

mın[A(x), B(y)], (93)

para todo z ∈ R.Especificando para todo z ∈ R, se define:

44

Figura 15: Operaciones aritméticas con números difusos.

45

(A+B)(z) = supz=x+y

mın[A(x), B(y)], (94)

(A−B)(z) = supz=x−y

mın[A(x), B(y)], (95)

(A ·B)(z) = supz=x·y

mın[A(x), B(y)], (96)

(A

B

)(z) = sup

z=xy

mın[A(x), B(y)], (97)

Aunque A ∗ B definido por Ec 93 es un conjunto difuso en R, se tiene quemostrar que es un numero difuso para cada � ∈ {+,−, ·, /}.

Teorema 3.2 (Operación difusa contínua) Sea� ∈ {+,−, ·, /}, y sean A,Bnúmeros difusos contínuos. Entonces, el conjunto difuso A�B definido por (ec.93):

(A�B)(z) = supz=x∗y

mın[A(x), B(y)], (98)

es un número difuso contínuo.

Demostración. Primero, hay que demostrar Ec.??mostrando que α(A�B)es un intervalo cerrado para α ∈ (0, 1]. Para cualquier z ∈α A�αB, existe algúnx0 ∈α A y y0 ∈α B tal que z = x0�y0.Así,

(A�B)(z) = supz=x∗y

mın [A(x), B(y)] (99)

≥ mın [A(x0), B(y0)] (100)

≥ α. (101)

De aqui, z ∈α (A�B) y, por consiguiente,

αA�αB ⊆α (A�B).

Para cualquier z ∈α (A�B), se tiene (A�B)(z) = supz=x∗y

mın[A(x), B(y)] ≥

α.más, para cualquier n > [ 1

a] +1, donde [ 1

a] denota el entero más grande que

es igual a 1a, exista xn y yn tal que z = xn�yn y

min[A(xn),B(yn)] > a− 1

n.

Es decir, xn ∈a−1

n A, yn ∈a−1

n B y se pueden considerar dos sucesiones, {xn}

46

y {yn}, siempre quea− 1

n≤ a− 1

n+ 1,

y se tienea−1n+1A ⊆a−1

n A,a−1n+1 B ⊆a−1

n B.

De aqui, {xn} y {yn} entre en algunosa−1

n A ya−1

n B, respectivamente. Desde

el último son intervalos cerrados, {xn} y {yn} se limita las sucesiones. Así, existeuna sucesion convergente {xn,i} tal que xn,i → x0. Para la correspondientesecuencia {yn,i,}, también existe una subsequencia convergente {yn,i,j) tal queyn,i,j → y0. Si se toma la correspondiente subsecuencia, {xn,i,j} desde {xn,j},entoncesxn,i,j → x0. Así, se tienen dos sucesiones, {xn,i,j} y{yn,i,j}, tal quexn,i,j → x0 y yn,i,j → y0 y xn,i,j�yn,i,j = z.

Ahora, desde que � es contínuo,

z = limj→∞

xn,i,j�yn,i,j =

(limj→∞

xn,i,j

)�

(limj→∞

yn,i,j

)= x0�y0.

También, desde A(xn,i,j) > a− 1ni,j

y B(yn,i,j) > a− 1ni,j

,

A(x0) = A

(limj→∞

xn,i,j

)= limj→∞

A(xn,i,j) ≥ limj→∞

(a− 1

ni,j) = a

B(x0) = B

(limj→∞

yn,i,j

)= limj→∞

B(yn,i,j) ≥ limj→∞

(a− 1

ni,j) = a

Por consiguiente, existe x0 ∈ aA, y0 ∈ aB tal que z = x0�y0. Es decir, z ∈aA� aB . Así,

a(A�B) ⊆a A�aB,

luego,a(A�B) =a A�aB.

Ahora se demuestra que A�B debe ser continuo. Se puede demostrar que lafunción de pertenencia de A�B debe ser de la forma general. Se asume A�Bno es contínua en z0; es decir,

limz→z

0−

(A�B)(z) < (A�B)(z0) = supz0=x∗y

min[A(x), B(y)].

Entonces, debe existir x0 y y0 tal que z0 = x0�y0 y

limz→z

0−

(A�B)(z) < min[A(x0), B(y0)]. (102)

47

Dado que la operacion � ∈ (+,−, ·, /} es monótona con respecto al primeroy segundo argumentos respectivamente, siempre se pueden encontrar dos suce-

siones {xn} y {yn} tal que xn → x0, yn → y0, ya que n → ∞, y xn ∗ yn < z0para cualquier n. Sea zn = xn�yn; entonces zn → z0 ya.que n→∞.

Así.

limz→z

0−

(A�B)(z) = limn→∞

(A�B)(zn)

= limn→∞

supz0=x∗y

min[A(x), B(y)]

≥ limn→∞

min[A(x0), B(y0)]

= min[A( limn→∞

xn), B( limn→∞

yn)]

=min[A(x0), B(y0)]. (103)

Esto contradice la ec. 102 y, por consiguiente, A�B debe ser un númerodifuso continuo.

3.4. Reticula de Números Difusos

Como es bien conocido, el conjunto R de números reales es ordenado lin-ealmente. Para cada par de numeros reales, x y y, se tiene x ≤ y o y ≤ x. Elpar (R,≤) es una retícula que puede ser expresada por lo que se refiere a dosoperaciones:

min(x, y) =

{x si x ≤ yy si y ≤ x

(104)

max(x, y) =

{y si x ≤ yx si y ≤ x

(105)

para cada par x, y ∈ R. El orden lineal de los números reales no se extiendea los numeros difusos. Para introducir un orden significante de números difusos,primero se extendiende la operacion de la retícula min y max en los numerosreales, como se define por Ec.104 y 105, para definir las operaciones correspon-dientes en los números difusos que se denotarán por MIN y MAX.

Definición 3.3 (Orden en números difusos) Para cualquier dos númerosdifusos A y B, esto se define como:

MIN(A,B)(z) = supz=mın(x,y)

mın[A(x).B(y)] (106)

MAX(A,B)(z) = supz=mın(x,y)

mın[A(x), B(y)] (107)

para todo z ∈ R.

48

A B

1

-2 -1 0 1 2 3 4

B A

1

min

B A

1

-2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4

Figura 16: Comparación de las operaciones MIN, min, MAX, max.

49

Observe que los símbolos MIN y MAX que denotan las operaciones intro-ducidas en números difusos, debe distinguirse para los símbolos min y max, quedenotan la operacion usual de mínimo y máximo en los números reales, respec-tivamente. Tanto min y max son operaciones continuas, de Ec.106, ??, y delTeorema 4.2 tanto MIN (A, B) y MAX (A, B) son números difusos.Es importante comprender que las operaciones MIN y MAX son totalmente

diferentes dela intersección y la union difusa normal, min y max. Esta diferencia se ilustra

en la fig ??, donde

A(x) =

0 para x < −2 y x > 4x+23 para -2 ≤ x ≤ 14−x3 para 1 ≤ x ≤ 4

B(x) =

0 parax < 1 y x > 3x− 1 para 1 ≤ x ≤ 23− x para 2 ≤ x ≤ 3

MIN(A,B)(x) =

0 para x < −2 y x > 3x+23 para − 2 ≤ x ≤ 14−x3 para 1 ≤ x ≤ 2,5

3− x para 2,5 < x < 3

MAX(A,B)(x) =

0 para x < 1 y x > 4x− 1 para 1 ≤ x ≤ 23− x para 2 ≤ x ≤ 2,54−x3 para 2,5 < x ≤ 4

Si se tiene que R que denota el conjunto de números difusos. Entonces,operaciones MIN y MAX son claramente funciones de la forma R× R → R.El teorema siguiente que establece las propiedades básicas de estas operaciones,asegura que la tripleta (�,MIN,MAX) es una retícula distributiva en dondeMIN y MAX representan la reunión y unión, respectivamente.

Teorema 3.3 Sea MIN y MAX las operaciones binarias en R definidas en laec. 106 y ??. Entonces:

MIN(A,B)(z) = supz=mın(x,y)

mın[A(x).B(y)] (108)

MAX(A,B)(z) = supz=mın(x,y)

mın[A(x), B(y)] (109)

Y además, para cualquier A,B,C ∈ R, se cumplen las siguientes propieda-des:

1. Propiedad conmutativa:

MIN(A,B) =MIN(B,A),

MAX(A,B) =MAX(B,A).

50

2. Propiedad asociativa:

MIN [MIN(A,B), C] =MIN [A,MIN(B,C)],

MAX[MAX(A,B), C] =MAX[A,MAX(B,C)].

3. Propiedad de idempotencia:

MIN(A,A) = A, MAX(A,A) = A.

4. Propiedad de absorción:

MIN [A,MAX(A,B)] = A,

MAX[A,MIN(A,B)] = A.

5. Propiedad distributiva:

MIN [A,MAX(B,C)] =MAX[MIN(A,B),MIN(A,C)],

MAX[A,MIN(B,C)] =MIN [MAX(A,B),MAXIMO(A,C)].

Demostración. Se desarrollará la demostración de las propiedades asocia-tiva, de absorción y distributiva, ya que las propiedades conmutativa y de idem-potencia son triviales. Por ejemplo, para demostrar la propiedad asociativa setiene que, para todo z ∈ R,

MIN [A,MIN(B,C)](z) = supz=mın(x,y)

min[A(x),MIN(B,C)(y)]

= supz=mın(x,y)

min[A(x), supy=mın(u,v)

min[B(u), C(v)]]

= supz=mın(x,y)

supy=mın(u,v)

min[A(x), B(u), C(v)]

= supz=mın(x,u,v)

min[A(x), B{u), C(v)]

= supz=mın(s,v)

sups=mın(x,u)

min[A(x), B(u), C(v)]

= supz=mın(x,v)

min[ sups=mın(x,u)

min [A(x), B(u)] , C(v)]

= supz=mın(s,v)

min[MIN(A,B)(s), C(v)]

= MIN [MIN(A,B), C](z).

La prueba de la asociatividad de MAX se realiza de manera análoga. Paraprobar la propiedad de absorción se tiene que para todo z ∈ R,

MIN [A,MAX(A,B)](z) = supz=mın(x,y)

min[A(x),MAX(A,B)(y)]

= supz=mın(x,y)

min[A(x), supz=max(x,y)

min[A(u), B(v)]]

= supz=mın(x,max(u,v))

min[A(x), A(u), B(v)].

51

Se utilizará M para denotar el lado derecho de la última ecuación. Des-de que B sea un número difuso, existe v0 ∈ �, tal que B(v0) = 1. Por z =min[z,max(z, v0)], se tiene

M ≥min[A(z), A(z), B(v0)] = A(z).

Por otro lado, desde que z =min[x,max(u, v)], se tiene

min(x, u) ≤ z ≤ x ≤ max(x, u).

Por la convexidad de números difusos [Gky95].

A(z) ≥ min[A[min(x, u)], A[max(x, u)]] (110)

= min[A(x), A(u)]

≥ min[A(x), A(u), B(v)]

Así, M = A(z) y, por consiguiente, MIN [A,MAX(B,C)] = A. La pruebade la propiedad de absorción es similar.Para demostrar la propiedad distributiva se toma z ∈ R, y se ve claramente

que:

MIN [A,MAX(B,C)](z) = supz=mın[x,max(u,v)]

min[A(x), B(u), C(v)], (111)

MAX[MIN(A,B),MIN(A,C)](Z) = supz

min[A(m), B(n), A(s), C(t)] (112)

donde x = max

[mın(m,n),mın(s, t)

]

Para demostrar que Ec.111 y 112 son iguales, se muestra primero que E ⊆ Fdonde

E = {min[A(x), B(u), C(v)]/min[x,max(u, v)] = z}F = {min[A(m), B(n), A(s), C(t)]/max[min(m,n),min(s, t)] = z}

Para cada a = min[A(x), B(u), C(v)] tal que min[x,max(u, v) = z (es decir,

a ∈ E), donde existe m = s = x, n = u, y t = v tal que,

max[min(m,n),min(s, t)] = max[min(x, u),min(x, v)]

= min[x,max(u, v)] = z

donde a = min[A(x), B(u), A(x), C(v)] = min[A(m), B(n), A(s), C(t)]. Es

decir, a ∈ F y, por consiguiente, E ⊆ F . Esto significa que la ec.112 es mayorque o igual a la ec.111. Ahora, se muestra que estas dos funciones son igualesmostrando que para cualquier número b en F , existe un número a en E tal queb ≤ a.

52

Para cualquier b ∈ F , existem,n, s, y t tales quemax[min(m,n),min(s, t)] =

z, b = min[A(m), B(n), A(s), C(t)] de donde,

z = min[max(s,m),max(s, n),max(t,m),max(t, n)].

Sea x = min[max(s,m),max(s, n),max(t,m)], u = n, y v = t. Enton-

ces, z = min[x,max(u, v)]. Por otro lado, es fácil ver que min(s,m) ≤ x ≤max(s,m).Por la convexidad de A,

A(x) ≥ min[A(min(s,m)), A(max(s,m))]

= min[A(s), A(m)]

De allí, existe a = min[A(x), B(u), C(v)] con min[x,max(u, v)] = z (es

decir, a ∈ F ), y

a = min[A(x), B(u), C(ti)] ≥min[A(s),A(m), B(n), C(t)] = b

Es decir, para cualquier b ∈ F , existe a ∈ F , tal que b ≤ a. Esto implica que

supF ≤ supE.

Esta desigualdad, junto con el resultado anterior, asegura que (111) y (112)son iguales. Esto concluye la prueba de la primera ley distributiva. La pruebade la segunda ley distributiva se realiza de manera análoga.La reticula (R,MIN,MAX) también puede expresarse como el par (R,≤),

donde ≤ es una clasificación parcial definida como:

A ≤ B si MIN(A,B) = A ó

A ≤ B si MAX(A,B) = B

para cualquier A,B ∈ R. También se puede definir la clasificación parcialpor lo que se refiere a los cortes α pertinentes:

A ≤ B si min(αA,aB) =a A ó

A ≤ B si max(aA,aB) =a B

para cualquier A,B ∈ R y a ∈ (0, 1], donde aA y aB son los intervaloscerrados aA = [a1, a2],

aB = [b1, b2]. Entonces,

min(aA,aB) = [min(a1, b1),min(a2, b2)]

max(aA,aB) = [max(a1, b1),max(a2, b2)]

53

Si se define la clasificación parcial de intervalos cerrados de la manera usual,eso es, [a1, a2] ≤ [b1, b2] si a1 ≤ b1 y a2 ≤ b2, entonces para cualquier A,B ∈ R,se tiene

A � B si aA ≤a B

para todo α ∈ (0, 1]. Esto significa por ejemplo, que los dos números difusosA y B en la fig. ??, no son comparables. Sin embargo, los valores de las vari-ables lingüísticas en la mayoría de las aplicaciones son definidos por númerosdifusos que son comparables. Por ejemplo, los valores de la variable lingüísti-ca la .actuación" definido anteriormente forma una cadena de la forma: "muypequeño�pequeño�mediano�grande�muy grande".Aunque el conjunto R no es de orden lineal, hay algunos subconjuntos que

se comportan como tal, y son subconjuntos muy importnates en las aplicacionescomunes de la teoría difusa.

54

4. Inferencia Difusa

Las reglas de la inferencia dentro del armazón de lógica difusa son usadaspara facilitar el razonamiento aproximado. Ellas pueden describir generaliza-ciones de tres inferencias clásicas, que son: las reglas modus ponens, modustolens, y el silogismo hipotético. Estas generalizaciones se basan en la reglacomposicional que se llama inferencia.

4.1. Inferencia para Proposiciones Difusas Condicionales

Considerense las variables χ y γ que toman valores de los conjuntos X y Y ,respectivamente, y asumase que para todo x ∈ X y todo y ∈ Y las variablesestan relacionadas por una función y = f(x). Entonces, dado X = x, se puedeinferir que y = f(x). Igualmente, sabiendo que el valor de X está en un conjuntodado A, se infiere que el valor de V está en el conjuntoB = {y ∈ Y/y = f(x), x ∈A}.Se asume ahora que las variables están relacionadas por una relación arbi-

traria en X × Y , no necesariamente una función. Entonces, dado X = u y unarelación R, se infiere que y ∈ B donde B = {y ∈ Y/(x, y) ∈ R}, como se ilustraen la fig.17(a). Igualmente, se sabe que X ∈ A, se puede inferir que γ ∈ B,donde B = {y ∈ Y | (x, y) ∈ R,x ∈ A}, como se ilustra en la fig.17(b).Observese que esta inferencia puede expresarse igualmente bien por lo que

se refiere a las funciones características χA, χB, χR de conjuntos A,B,R respec-tivamente, por la ecuación

χB(y) = supx∈X

n[χA(x), χR(x, y)] (113)

para todo y ∈ Y.Se asume que R es una relación difusa en X × Y , y A′, B′ son conjuntos

difusos en X y Y , respectivamente. Entonces, si R y A′ son dados, se puedeobtener B′ por la ecuación

B′(y) = supx∈X

min [A′(x),R(x, y)] (114)

para todo y ∈ Y . Lo anterior es una generalización de la ec 113 obtenidareemplazando la función característica en ec. 113 con las funciones de pertenen-cia correspondientes. Esta ecuación también puede escribirse en forma matricialcomo:

B′ = A′ ◦Ry es llamada la Regla de Inferencia Composicional. Esta regla se ilustra enFig.18

55

Y

B

R

X u

(a)

B

Y

X A

(b)

R

Figura 17: Regla de Inferencia Composicional [Gky95].

56

B 1 0

Y

Relación Difusa R

0

1

A

X

Figura 18: Regla de inferencia composicional

La relación difusa que se empleó en la ec. 114 normalmente no es usada di-rectamente, pero si es usada de otras formas, se considera el caso de proposicióndifusa condicional.

4.1.1. Modus Ponens Generalizado

Como se explico anteriormente, la relaciónR que se usado en una proposicióndifusa condicional p de la forma

p : Si χ es A, entonces γ es B

es determinado para todo x ∈ X y todo y ∈ Y mediante la expresión

R(x, y) = j[A(x), B(y)], (115)

donde j denota una implicación difusa .Usando la relación R obtenida de laproposición dada p en Ec.115, y dado otra proposición q de la forma

q : χ es A′

57

se puede concluir que γ es B′ por la regla de inferencia composicional de la ec.114. Este procedimiento se llama un modus ponens generalizado.La proposición p es una regla y la proposición q como un hecho, el modus

ponens generalizado se expresa por el esquema siguiente:

Regla si X es A, entoncesY es BFactor .......................... X es A

___________________________Conclusion ...... Y es B

(116)

En este esquema B es calculado por la ec. 114, y R en esta determinado porla ec. 115.Se observa que ec.116 se vuelve el modus ponens clásico cuando los conjuntos

son los clásicos y A′ = A,B′ = B.

Ejemplo 4.1 Los conjuntos de valores de variables X y Y son X = {x1, x2, x3}y Y = {y1, y2), respectivamente. Se asume una proposición ”si X es A, entoncesY es B”, donde A = ,5

x1+ 1x2+ ,6x3

y B = 1y1+ ,4y2. Entonces, dado un hecho

expresado por la proposición ”x es A′” donde A′ = ,6x1+ ,9x2+ ,7x3, usar el modus

ponens generalizado, ec. ?? para derivar una conclusión de la forma "y es B′". Por ejemplo, usando la implicación de Lukasiewicz [Gky95]se obtiene

R = 1x1, y1 +

,9x2, y2 +

1x2, y1 +

,4x2, y2 +

1x3, y1 +

,8x3, y2 por ec. 115. Entonces,

por la regla de inferencia composicional ec. 114, se tiene

B′(y1) = supx∈X

min [A′(x), R(x, y1)]

= max [min(,6, 1),min(,9, 1),min(,7, 1)] = ,9

B′(y2) = supx∈X

min[A′(x), R(x, y2)]

= max[min(,6, ,9),min(,9, ,4),min(,7, ,8)] = ,7

Ejemplo 4.2 se concluye que Y es B′, donde B = ,9y1+ ,7y2.

4.1.2. Modus Tollens Generalizado

Otra regla de inferencia en lógica difusa es elmodus tollens generalizadoy se expresa:

Regla: Si χ es A, entonces γ es BHecho: γ es B′____________________________________Conclusión: χ es A′En este caso, la regla de inferencia composicional tiene la forma

A′(x) = supy∈Y

min[.B′(y), R(x, y)], (117)

58

y R en esta ecuación es determinado mediante la ec. 115.

Ejemplo 4.3 Sean X,Y, j,A,B y R definidas en las líneas aneriores. Asumaahora que se da un hecho que se expresó por la proposición que ”y es B’ ” ,donde

B′ = ,9y1+ ,7y2. Entonces, por ec. 117,

A′(x1) = supy∈Y

min [B′(y),R(x1, y)]

= max[min(,9, 1),min(,7, ,9)] = ,9,

A′(x2) = supy∈Y

min[B′(y), R(x2, y)]

= max[min(,9, 1),min(,7, ,4)] = ,9,

A′(x3) = supy∈Y

min[B′(y), R(x3, y)].

= max[min(,9, 1),min(,7, ,8)] = ,9.

se concluye que X es A′ donde A′ = ,9x1+ ,9x2+ ,9x3.

4.1.3. Silogismo Hipotético Generalizado

Finalmente, una generalización de silogismo hipotético que es basado endos proposiciones difusas condicionales. El silogismo hipotético generalizado seexpresa por el esquema siguiente:

Regla1 : Si χ esA, entonces γ es B (118)

Regla2 : Si γ es B, entonces z es C (119)

Conclusion : Si χ es A, entonces z es C (120)

En este caso, χ, γ, z son variables que toman los valores en los conjuntosX,Y,Z, respectivamente, y A,B,C son los conjuntos difusos en los conjuntosX,Y,Z, respectivamente.Para cada proposición difusa condicional en ec. 118, hay una relación difusa

determinada por ec. 115, estas relaciones son determinadas para cada x ∈ X,y ∈Y , y z ∈ Z por las ecuaciones:

R1(x, y) = j[A(x), B(y)] (121)

R2(y, z) = j[B(y), C(z)]

R3(y, z) = j[A(y), C(z)]

Una vez obtenidas R1, R2, R3,mdiante estas ecuaciones, se tiene la regla desilogismo hipotetico generalizado asi:

59

R3(x, z) = supy∈Y

mın [R1(x, y),R2(y, z)] , (122)

que de nuevo expresa la regla de inferencia composicional. Esta ecuacióntambién puede escribirse en forma matricial como:

R3 = R1 ◦R2. (123)

Ejemplo 4.4 Sea X,Y como se han definido en las líneas anteriores , y sea

Z = {z1, z2}. Además, sea A = ,5x1+ lx2+ ,6x3, B = l

y1+ ,4y2, C = ,2

z1+ 1z2, y

j(a.b) = {1 si a ≤ b, b si a > b}Entonces se puede verificar fácilmente que

R1 =

1 0,41 0,41 0,4

R2 =

[0,2 10,2 1

]

R3 =

0,2 10,2 10,2 1

Y por tanto el silogismo hipotético generalizado se ha verificado en esetecaso, ya que R1 ◦R2 = R3.

4.2. Inferencia para Proposiciones Difusas CondicionalesCalificadas

La regla de inferencia permite involucrar las proposiciones difusas condi-cionales con los calificadores de verdad difusos. Dado un condicional y la pro-posición difusa calificada p de la forma

p : Si X es A, entonces Y es B es S, (124)

donde S es un calificador de verdad difuso, y a partir de un hecho de laforma ”X es A”’, se quiere hacer una inferencia de la forma ”Y es B”.Un método desarrollado para este propósito, se llama método de restricciones

de valores de verdad, método que se basa en la manipulación de valores de verdadlingüísticos. El método involucra cuatro pasos, que se describen a continuación.

60

Paso 1 Calcule el valor de verdad difuso relativo de A′ con respecto a A, de-notado por RT (A′/A), que es un conjunto difuso en el intervalo unitariodefinido por:

RT (A′/A)(a) = supx:A(x)=a

A′(x), (125)

para todo a ∈ [0, 1]. El valor de verdad de la relacion difusa RT (A′/A)expresa el grado en que la proposición difusa ec. 124 es verdad dado elhecho ”X es A′ ”.

Paso 2 Seleccione una implicación j difusa conveniente para la proposicióndifusa de la ec. 124. Esto es similar a la selección de implicación difusacuyo propósito es para expresar un condicional.

Paso 3 Calcule el valor de verdad difuso relativo RT (B′/B) mediante la ex-presión

RT (B′/B)(b) = supa∈[0,1]

mın[RT (A′/A)(a), S(j(a, b))] (126)

para todo a ∈ [0, 1], donde S es el calificador difuso de la ec. 124. Clara-mente, el papel del calificador S es modificar el valor de verdad de j(a, b).Se nota que cuando S es verdadero (es decir, S(a) = a) para todo a ∈ [0, 1],entonces S(j(a, b)) = j(a, b). El valor de verdad difuso relativo RT (B′/B)expresa el grado en que la conclusión de la proposición difusa ec.124 esverdadera.

Paso 4 Calcule el conjunto B′ relacionado en la inferencia ”γes B ” mediantela ecuación

B′(y) = RT (B′/B)(B(y))para todo y ∈ Y .

Ejemplo 4.5 Se supone un condicional difuso y la proposición calificada,p : "Si X es A, entonces Y es B es muy cierto"

donde A = 1x1+ ,5x2+ ,7x3, B = ,6

y1+ 1y2, y S es muy cierto; sea S(a) = a2

para todo a ∈ [0, 1]. Dado un hecho ”X es A”’, donde A′ = ,9x1+ ,6x2+ ,7x3, se

concluye que ”Y es B”, donde B es calculado por los pasos siguientes.

Paso 1. Se calcula RT (A′/A) por ec. 125:RT (A′/A)(1) = A′(x1) = ,9,RT (A′/A)(,5) = A′(x2) = ,6,RT (A′/A)(,7) = A′(x3) = ,7,RT (A′/A)(a) = 0 para todo a ∈ [0, 1] - {,5, ,7, 1).Paso 2. Se selecciona la implicación difusa j.Paso 3. Se calcula RT (B′/B):

61

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.9

1

0.10 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.375 0.537 0.7370.375 0.849

2

( 0.3 +x ) 2

2

Figura 19: Funcion RT (B′/B)

RT (B′/B)(b) = max {min[,9, S(j(,9, b))],min[,6, S(j(,6, b))],min[,7, S(j(,7, b))]}

=

(0,4 +B)2 para b ∈ [0, 0,375),6 para b ∈ [0,375, 0,475)

(0,3 + b)2 para b ∈ [0,475, 0,537)0,7 para b ∈ [0,537, 0,737)

(0,1 + b)2 para b ∈ [0,737, 0.− 849)0,9 para b ∈ [0,849, 1]

Un gráfico de esta función RT (B′/B) se muestra en Fig.??.Paso 4. Se calcula B por Ec ??:

B′(y1) = RT (B′/B)(B(y1)) = RT (B′/B)(,6) = ,7,

B′(y2) = RT (B′/B)(B(y2)) = RT (B′/B)(1) = ,9

Donde, se infiere ”γ es B′ ” , B′ = ,7y1+ ,9y2.

62

Cuando S en la ec. 124 es la función de identidad, el método de las restric-ciones del verdad-valor es equivalente al modus pones generalizado bajo unacondicion particular, expuesta en el teorema siguiente.

Teorema 4.1 Sea S una proposición difusa de la forma descrita en la ec. 124,donde S es la función identidad (es decir, S posiciones para verdadero), y supón-gase que se tiene un hecho de la forma ”X es A”’, donde

sup A′(x) = A′(x0)

para todo a ∈ [0, 1] y algún x0tal que A(x0) = a. Entonces, la inferencia ”Ves B ” obtenido por el método de restricciones del valor de verdad es igual alobtenido por el modus generalizado.

Para la demostración se pueden consultar varios textos, en particular [Gky95].

4.3. Inferencia de Proposiciones Cuantificadas

Todos los cuantificadores pueden expresar las proposiciones difusas de laforma p : W es Q, donde W es una variable cuyos valores son |E|, cuando Q es

un cuantificador absoluto, o es Pro(E2E2) = |E1∩E2|

|E1| cuando Q es un cuantificador

relativo.En general, el problema de inferencia de las proposiciones difusas cuantifi-

cadas puede declararse como se describe a continuación.Si se tienen n proposiciones difusas cuantificadas de la forma

pi :Wi es Qi (i ∈ Nn), (127)

dondeQi es un cuantificador absoluto o un cuantificador relativo, yWi es unavariable compatible con el cuantificador Qi para cada i ∈ Nn, se puede inferirde estas proposiciones un posible principio que es conocido en la literatura comoel principio de extensión de cuantificador. Para discutir este principio, se asumeque la probable inferencia se expresa por lo que se refiere a una proposicióndifusa cuantificada de la forma

p :W es Q. (128)

El principio declara que si existe una función

f : Rn → R (129)

y tal que

W = f(W1,W2, ....,Wn) (130)

Q = f(Q1, Q2, ....Qn) (131)

63

donde el significado de f(Q1, Q2, ....Qn) se define mediante el principio de laextensión. Entonces se puede concluir p de la forma p1, p2, ..., pn.Una alternativa más general para formular el principio se puede establecer,

afirmando que si existen dos funciones

f : Rn → R (132)

g : Rn → R (133)

tales que

f(W1,W2, ....,Wn) ≤W ≤ g(W1,W2, ....,Wn) (134)

entonces se puede concluir que p es de la forma p1, p2, ..., pn, donde Q en laproposición p es un cuantificador especial denotado por

Q = [≥ f(Q1, Q2, ....Qn)] ∩ [≤ g(Q1, Q2, ....Qn)] (135)

que quiere decir ”por lo menos f(Q1, Q2, ....Qn) y a lo sumo g(Q1, Q2, ....Qn)”.Los conjuntos difusos f(Q1, Q2, ....Qn) y g(Q1, Q2, ....Qn) se obtienen de nuevopor el principio de la extensión.

Ejemplo 4.6 Suponga que se tienen las siguientes proposiciones cuantificadasdifusas [Gky95]:

p1 : Hay aproximadamente 10 personas en el cuarto.p2 : La mitad de las personas en el cuarto son mujeres.Si se quiere hacer una inferencia a la proposiciónp : Hay Q mujeres en el cuarto,Sean Q1, Q2 los cuantificadores ”aproximadamente 10” y ”sobre la mitad”

respectivamente.Sean E,F el conjunto de personas y el conjunto de mujeres en el cuarto.

Usando estos símbolos, se pueden dar las proposiciones de la formap1 : W1 es Q1

p2 :W2 es Q2

p :W es Q,

donde W,W1,W2 son las variables con los valores |E|, |E∩F ||E| , |F |, respecti-vamente.

Existe una función f : R2− > R tal que f(W1,W2) = W para las variablesdefiniddas. Es la función del producto, f(a, b) = ab :

f(W1,W2) =W1W2 = |E||E ∩ F ||E| = |E ∩ F | = |F | =W

Por el principio de extensión de cuantificador, si Q = Q1 ·Q2 es el cuantificador

en la proposición p, donde Q1 ·Q2 es el producto aritmético de numeros difusosQ1 y Q2 empleados en las proposiciones dadas. Entonces p es una inferenciacorrecta de la forma p1 y p2.

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El principio de extensión de cuantificador puede usarse para derivar variasreglas de inferencia para las proposiciones borrosas cuantificadas. Dos de lasreglas derivadas son:

Definición 4.1 (Inferencia del Silogismo Intersección - Producto) Estaregla se expresa mediante el esquema

p1 : Q1E′s son F ′s (136)

p2 : Q2(E ∧ F )′s son G′s,p : (Q1 ·Q2)E′s son (F ∧G)′s

donde E,F,G son los conjuntos difusos del conjunto universal X, Q1 y Q2 sonlos cuantificadores relativos (números difusos en [0, 1]), y Q1 ∗Q2 es el productoaritmético de los cuantificadores. Como se explicó previamente, proposicionesp1, p2 y p pueden expresarse de la forma:

p1 : W1 es Q1,p2 :W2 es Q2,p :W es Q,y donde W1 = Pro(F

E), W2 = Pro( G

E∩F ), y W = Pro(F∩GE).

para probar que el esquema de la inferencia indicada en la ec.136 es válido,se tiene que demostrar (según el cuantificador del principio de la extensión) que”W =W1 ·W2”. Esta demostración es como sigue:

W1 ·W2 = Pr op(F

E) ∗ Pro(

G

E ∩ F)

=|E ∩ F ||E| ∗ |E ∩ F ∩G|

|E ∩ F |

=|E ∩ F ∩G|

|E|

= Prop(F ∩G

E)

= W.

Luego el esquema de inferencia de la ec. 136 es válido.

Ejemplo 4.7 Considerense las proposiciones borrosas cuantificadas siguientes:p1 : La mayoría de los estudiantes es joven.p2 : la mitad de estudiantes jóvenes son hombres.Mediante silogismo del interseccion producto en 136, se infiere la proposiciónp : Q de estudiantes son jóvenes y hombres,donde Q es un cuantificador obtenido tomando el producto aritmético de

números difusos que representa los cuantificadores la mayoría y sobre la mitad.

Definición 4.2 (Silogismo de la Conjunción Consecuente) Es una reglade infernecia que se expresa mediante el esquema

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p1 : Q1E’s son F ’sp2 : Q2E’s son G’sp : QE’s son (F y G)’sdonde E,F,G son los conjuntos difusos en algún conjunto universal X,

Q1, Q2 son los cuantificadores relativos, y Q es un cuantificador relativo da-do por

Q = [≥MAX(0, Q1 +Q2 − 1)] ∩ [≤MIN(Q1, Q2)]

es decir, Q es por lo menos MAX(0, Q1 +Q2 − 1) y a lo sumo MIN(Q1, Q2).

Se tiene que MIN y MAX son extensiones de las operaciones min y max delos números reales a los números difusos.

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5. Conclusiones

Los desarrollos matemáticos, en particular del análisis han permitido ofre-cer una sólida fundamentación matemática a los sistemas difusos, aunque suconcepción filosófica ha sido criticada por algunos, afirmando, como W. Kahn,que afirmaron que .E l peligro de la lógica borrosa es que da alas a esa suerte depensamiento impreciso que nos ha traído tantos problemas".Sin embargo, uno de los aspectos más importantes que se perciben en el

trabajo con matemática difusa, es la importancia de replantear los conceptosclásicos de verdad y falsedad, y pertenencia y no-pertenencia, para involucraren nuestras concepciones, de una manera formal, el concepto de borrosidad ovaguedad [Kos94], en la cual los conceptos clásicos de la lógica bi-valuada sontan solo un caso extremo. y particular. Incluso principios tal universalmenteaceptados como el principio del tercio excluido y el de no contradicción pierdengranparte de su validez, y pasan igualmente a ser comportamientos en casosparticulares.La matemática difusa nos permite entender y manipular matemáticamente

conceptos que son a la vez parcialmente verdaderos y parcialmente falsos enla mayoría de las veces, o conceptos de no están definidos de manera precisaen el lenguaje y trabajo habitual (tales como alto, pesado, etc). Permite, (demanera útil además), asignar valores de verdad a las proposiciones, en el inter-valo unitario, y operar matemáticamente con ellos. Permite luego introducir"borrosidades.en las propias proposiciones (las variables y los modificadoreslingüísticos). Estos aspectos, simples en apariencia, abren nuevas perspectivassobre conceptos aparentemente "trillados"basados en la lógica y teoría de con-juntos clásicos. Las reglas de inferencia toman gracias a esto una nueva dimen-sión, más cercana al razonamiento humano.En este trabajo se introdujeron temas relativos a las operaciones con con-

juntos, números e intervalos difusos. Se examinaron algunas reglas de inferenciadifusas, que aunque no abarcan la totalidad de las reglas que se pueden encon-trar, son las más importantes desde un punto de vista teórico: modus ponens,modus tollens y el silogismo hipotético generalizados.Dentro de las muchas líneas posibles en las que conviene reforzar los temas

presentados, y que no se incluyeron por limitaciones de tiempo y espacio, seencuentran:

Las relaciones difusas,

Los procedimientos de diseño de funciones de pertenencia adecuadas. Elbuen diseño de una función de pertenencia es vital para el correcto mod-elamiento de un sistema difuso, y adaptarlo a las necesidades.

Las funciones de pertenencia se pueden diseñar mediante asignación direc-ta, mediante una función propuesta por el diseñador del sistema, o bienmediante procesos probabilísticos y estadísticos que sufieren un modelodeterminado.

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Los sistemas de inferencia utilizados en la práctica. Son los mecanismosque permiten la toma de decisiones por parte del sistema. Un procesopráctico de inferencia difusa involucra la funciónde pertenencia, los oper-adores lógicos difusos y un conjunto de reglas si-entonces. Los sistemasde inferencia difusa tienen asociados una cantidad de nombres, debido aque sonutilizaods de manera interdisciplinaria: sistemas expertos difusos,sistemas expertos basados en reglas difusas, modelamiento difuso, contro-ladores lógicos difusos, entre otros.

Dentro de estos sistemas de inferencia sobresalen dos, que son práctica-mente los más utilizados: el Sistema de Inferencia Difusa de Mamdani y elSistema de Inferencia Difusa de Sugeno. El primero de ellos, tal vez el máscomún, fue desarrollado en 1975 por E. Mamdani basado en los trabajosde L. Zadeh.

El trabajo con sistemas difusos aplicados tales como Mamdani o Sugenorequieren de la aplicación precisa de gran parte de los conceptos aquí tratados.Este tema se puede profundizar y llevar a la práctica de manera bastante ágilutilizando el Toolbox de Lógica Difusa de Matlab.

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Referencias

[Ros04] T. Ross, Fuzzy Logic with Engineering Applications. NJ, USA: JohnWilwy and Sons (2004)

[Gky95] G. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. NJ, USA: Prentice Hall(1995)

[Got01] S. Gottwald, A Treatise on Many Valued Logics. England: ResearchStudies Press (2001)

[Bbs02] B. Martin, A, Sans, Redes Neuronales y Sistemas Difusos. México: Al-faomega (2002)

[Kos94] B. Kosko, Pensamiento Borroso. Barcelona: Ed. grijalbo (1992)

[Kos92] B. Kosko, Neural Networks and Fuzzy Logic. NewJersey: Prentice-Hall(1992)

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