g2.Yanez.ramirez.elizabeth.matematica

8/10/2019 g2.Yanez.ramirez.elizabeth.matematica

1/18

Nombre de la asignatura: Matemticas para la Administracin

Parcial de estudio: Segundo

Introduccin

Mientras los cientficos de importantes compaas estudian y desarrollan mtodos paraluchar contra los virus de computadora, tambin disean modelos matemticos de la rapidez

con que estos se propagan. El virus conocido como Melisa contagi 100.000 computadorasen tan solo tres das.

Las funciones exponenciales que en este parcial estudiaremos con detalle, nos proporcionanmodelos matemticos plausibles, los que nos permiten realizar estimaciones sobre el nmerode computadoras contagiadas, en un determinado intervalo de tiempo; los modelosexponenciales son ms precisos para valores de tiempo relativamente cortos, pero a pesarde esta limitacin, los modelos exponenciales explican el porqu con frecuencia los nuevosvirus infectan a miles de mquinas, antes de que los expertos en antivirus tengan tiempo dereaccionar.

Las empresas que realizan almacenamiento de artculos o presentacin y manipulacin dedatos o elaboracin de artculos derivados de la mezcla de varios ingredientes, se valen de

programas de computacin, los que nos permiten verificar cantidades de artculos o tipos dedatos en cualquier instante.

Los programas de computacin se valen de matrices o arreglos para guardar estainformacin y mediante operaciones entre matrices se puede obtener cualquier tipo deinformacin adicional que se desee. Como esta existen infinidad de aplicaciones de lasmatrices al servicio de las industrias.

Asesora didctica 1

Hagamos un pequeo repaso de lo aprendido en algebra, en el semestre anterior, para luego

pasar a las aplicaciones de estas funciones en la Administracin y Economa.

Funcin exponencial

A la funcin f, definida por: f(x) = bx en la cual: b > 0 , b 1 y el exponente x escualquier nmero real, se le denomina funcin exponencial, con base b.

Algunas funciones que no parecen tener la forma exponencial, pueden ponerse en tal formaaplicando las reglas de los exponentes, por ejemplo:

2-x = 1/(2x) = (1/2)x

32x= (32)x= 9x

En la siguiente figura se muestran las grficas de algunas funciones exponenciales en ellaspodemos observar lo siguiente:


2/18



Propiedades

El dominio de todas las funciones exponenciales son todos los nmeros reales.

El rango de todas las funcionesexponenciales son los nmeros reales positivos.

Todas las funciones exponenciales, cortan al eje de las Y en el punto(0; 1),porque: b0 = 1, no tienen interseccin con el eje de lasX.

Lasfunciones exponenciales tienen dos formas bsicas, que dependen de si b > 1 o

bien 0 < b < 1.

Si b > 1 , entonces la grfica de y = bx asciende de izquierda a derecha, esdecir, si aumentael valor de la x tambin aumenta el valor de la y hasta valores

muy grandes.

Si 0 < b < 1 , entonces la grfica de y = bx desciende de izquierda a derecha, es

decir, al aumentarla x el valor de la y disminuye y toma valores muy cercanos acero.

En todos los casos el eje de las x es una asntota horizontal de la curva.

En las matemticas hay el nmero e como una base de las funciones exponenciales, conmuchas aplicaciones en el anlisis econmico y en problemas que implican crecimiento odecrecimiento natural, como en casos de inters compuesto y de poblaciones.


3/18



Ejemplo de anlisis de una funcin exponencial

Analizar y graficar la funcin:

x

xfy

56

4

3)(

+

==

Para trazar los grficos se sugiere utilizar el programa DERIVE o cualquier otro graficador.

a) Puntos de corte con los ejes:

Si X = 0

)18,0;0(P;18,0y;4

3y

6

=

=

Si Y = 0

x56

4

30

+

= No se cumple nunca, la curva no corta el eje x

b) Dominio y rango

No existe impedimento alguno para que la x tome todos los valores, por tanto:

Dominio = Reales

Como elevado a cualquier potencia siempre es diferente de cero y positivo, entonces:

Rango = Reales positivos

c) Asntotas

El eje de las x ser asntota horizontal.

d) Grfico

Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-1; 3/4); P (1; (3/4)11) para realizar sugrfica, pues ya conocemos las caractersticas de estas curvas.

4

3


4/18



Analicemos otro ejemplo.

Analizar y graficar la funcin: 2ey1x3

+=

+

a)Puntos de corte con los ejes

Si x = 0

y = e + 2 ; y = 4,72 ; P(0 ; 4,72)

Si y = 0

2e;2e0 1x31x3 =+= ++

No se da nunca, la curva no corta al eje x.

b) Dominio y rango

Dominio: Como x est en el exponente puede tomar cualquier valor.

Dominio = Reales

Rango:

132 += xey

)eln()2yln( 1x3 += 2y;02y >>

Rango: 2< y <

c) Asntotas

Asntota horizontal: y=2

d) Grfico

Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-0.5; 14.2); P (0.5; 2.5) para realizarsu grfica, pues ya conocemos las caractersticas de estas curvas.


5/18



Funcin logartmica

Funciones logartmicas: son de la forma:y = logbx si y solo si: by= x

En esta funcin b es la base, siendo: b > 0 y b 1.

En la figura tenemos algunas funciones logartmicas y en ellas podemos observar:

Propiedades

El logaritmo de un nmero es el exponente al que hay que elevar la base paraobtener el nmero.


6/18



El dominiode estas funciones son los reales positivos.

El rango son todos los nmerosreales.

Todas las funciones cortan al eje de las X en el punto (1 ; 0), porque el logaritmo deuno en cualquier base vale cero.

Si la base es mayor que uno, las funciones son crecientes, al aumentar x la ytambin crece y tiendeal infinito.

Si la base es mayor que cero pero menor que uno las funciones son decrecientes.

Eleje de las y es asntota vertical.

Otros logaritmos importantes, que debemos estudiar con atencin son los logaritmosnaturales (ln) que tienen como base al nmero e, y cumplen con todo lo establecido paralas funciones logartmicas.

Ln x significa logex

Como e >1 la grfica de y = ln x tiene la forma general de una funcin logartmica con b> 1 y asciende de izquierda a derecha.

Ejemplo de anlisis de una funcin logartmica

Analizar y graficar: y = log (5 - 4x)


7/18



a) Puntos de corte con los ejes

Si x = 0

y = log (5);

y = 0.7 ; P (0; 0.7)

Si y = 0

0 = log (5 4x)

Esto se cumple solo si: 5 4x = 1

De donde: x = 1 ; P (1; 0)

b) Dominio y rango

y = log (5 4x); para que exista el logaritmo debe cumplirse que: 5 - 4x > 0, porque solo

hay logaritmos de cantidades positivas, por tanto:

Dominio:-< x < 5/4.

Rango: poniendo la expresin en forma exponencial: 10y= 5 4x; la y puede tomar todoslos valores, por tanto:

Rango:Reales

c) Asntotas

x = 5/4 ser asntota de la curva.

d) Grfico

Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-2; 2.5); P (1.20; -2) para realizar su

grfica, pues ya conocemos las caractersticas de estas curvas.

Analizar y graficar: y = log(7 4x) -3

a) Puntos de corte con los ejes:


8/18



Analicemos otro ejemplo

Analizar y graficar: y = log (4x -3) - 3

a) Puntos de corte con los ejes

Si x = 0

y = log ( 3) - 3 No se da nunca, la curva no corta al eje x.

Si y = 0

3 = log (4x - 3) ; 103= 4x - 3 ; 1000 = 4x - 34x = 1003 ; x = 250.75 ; P (250.75; 0)

b) Dominio y rango

y = log (4x - 3) 3 ; Debe cumplirse que: 4x - 3 > 0 ; 4x > 3 ; x > 3/4

Dominio: x > 3/4

Rango: y + 3 = log (4x 3) ; 10y+3= 4x -3 Como y est en el exponente puede tomar

cualquier valor.

Rango: Reales

c) Asntotas

Asntota vertical: x = 3/4


9/18



Una de las habilidades que debe desarrollar con el estudio de estos temas, es el paso de laforma logartmica a la forma exponencial y viceversa, para ello basta recordar la definicinde lo que es el logaritmo de un nmero.

Es importante recordar las propiedades generales de los logaritmos.

M

log

n

1Mlog

MlogPMlog

NlogMlog)N/M(log

NlogMlog)N.M(log

an

a

aP

a

aaa

aaa

=

=

=

+=

M = logaN El logaritmo de un nmero es el exponente al que hay que elevar la

base, para obtener el nmero. aM= N

Asesora didctica 2

Los conocimientos adquiridos en el captulo, deben ser aplicados a la resolucin deproblemas de inters compuesto, valor presente, inversiones, etc. Solo debe tener cuidadoen elegir los perodos correctamente.

La frmula: proporciona el monto acumulado S de un capital P al final de n

perodos de inters a una tasa peridica de r.

n)r1(PS +=

Para una composicin semanal n = 52

Parea una composicin diaria n = 365

Para una composicin trimestral n = 4

Para una composicin semestral n = 2

Para una composicin anual n = 1

Veamos unos ejemplos

Cul es el monto compuesto para $7.654.32 durante 2 aos al 3.54% compuesto

cuatrimestralmente?


10/18



Determine el valor presente de $800.000 pagaderos dentro de 8 aos al 12%

compuesto anualmente.

T= 8 aosS= 800000

r = 12%

S=223106,58 dlares

Otro ejemplo

Una empresa obtiene un prstamo de $ 4000000 a 10 aos plazo con una tasa de

inters de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el inters y el monto que

debe pagar a la fecha de vencimiento.

n= 10*2 = 20 semestres

P= 4000000

r = 15%

S= 16991404,40 dlares

I = S P = 16991404,40 4000000 = 12991404,40.

La frmula: proporciona la poblacin al cabo de t aos que tendr una

poblacin Poque crece a un r% anual.

t)r1(PoP +=

Si la poblacin declina en su crecimiento poblacional P t)r1(Po =

Al trabajar con logaritmos de cantidades numricas, debe hacerlo con todos los decimalesque la calculadora le entrega, para que los errores de clculo sean mnimos.

Veamos unos ejemplos:

La poblacin de un pas tiene una tasa de crecimiento del 2.67% anual, luego de 2

aos es 14230,524.02 habitantes. Cul era la poblacin inicial?


11/18



Otro ejemplo

La ciudad de Cuenca tiene actualmente 800.000 habitantes con una tasa decrecimiento anual del 1.18%. Cunto tiempo debe transcurrir para que llegue a tener1600.000 habitantes?

Asesora didctica 3

La actividad tres es de aplicacin de las funciones exponenciales y logartmicas a la vida real,tiene que dar especial atencin a la elaboracin de los grficos (se sugiere usar el programaDERIVE).

Asesora didctica 4

En el texto gua debe estudiar la definicin de matriz, su nomenclatura, las operacionesbsicas y sus propiedades, con estos conocimientos realice algunos de los ejerciciospropuestos en el texto gua; UD debe desarrollar la habilidad de realizar operaciones conmatrices.

Veamos un ejemplo

Dado16

25

=A y 83

71

=B Determine (A-B)

2


12/18



Luego de estudiar la reduccin de matrices, debemos poder distinguir cuando una matriz esreducida o no, as como dominar el procedimiento para reducir matrices, debe desarrollar lahabilidad de realizar operaciones de rengln, para esto revise los ejercicios resueltos yresuelva algunos de los ejercicios propuestos.

Veamos un ejemplo

Resolver por el mtodo de reduccin de matrices la siguiente matriz:

a + b - c = 4

2a - 3b + 2c = -5

-4a + b + c = 0

=

=

+

=

+

=

+

3

5

2

100

010

001

4

5/

5/

3

15

7

100

050

011

4

4

3

3

4

100

450

111

16

13

4

350

450

111

4

2

0

5

4

114

232

111

13

2

21

13

32

31

2313

12

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

RR

R

RR

RR

RR

RR

RRRR

RR

Respuesta:

A = 2B = 5C = 3

El concepto de matriz inversa y su campo de aplicacin, deben quedar perfectamente clarosluego de estudiar el tema en el texto gua.

Debemos revisar cuidadosamente el mtodo o procedimiento para hallar la inversa de lasmatrices que la poseen, una vez que tengamos esta habilidad la aplicamos en la resolucin

de sistemas lineales.

Veamos un ejemplo.

Resolver el sistema utilizando la inversa:

2x + 4y + 2z = 03x + z = 52x 2y + 2z = 3

= =

F1 2


13/18



=

-3F1 +F2

-2F1 +F3

F2 *(-1/6)

=

-2F2 +F1

F3 *(1/2)6F2 +F3

=

-1/3F3 +F1-1/3F3 +F2

X= * 0 + * 5 - * 3 = 2

Y= * 0+ 0* 5 - * 3 = -1/2

Z= * 0 - * 5 + * 3 = -1

Actividades de aprendizaje

ctividad de aprendizaje 2.1.

Planteamientos

En las funciones dadas, determine: los puntos de corte de la curva con losejes, el dominio y rango, las ecuaciones de las asntotas, en caso de queexistan y realice un grfico. (2 puntos)

67

9)(

11

+

==

+x

xfy

Solamente las matrices cuadradas poseen matriz inversa y para que la tengan elvalor de su determinante debe ser diferente de cero.


14/18



7)74log( += xy

En los siguientes ejercicios determine el valor de x: (3 puntos)

!

!

!

!

!

!

Objetivos

1.

Analizar funciones logartmicas y exponenciales.

2.

Graficar las funciones logartmicas y exponenciales en el sistema coordenado.

3. Aplicar correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales delas funciones logartmicas y exponenciales

4. Resolver problemas de aplicacin de las funciones logartmicas y

exponenciales.

Orientacionesdidcticas

Estos son ejercicios de repaso del semestre anterior, si no recuerdaconsulte el texto gua y los ejemplos que constan en la asesora 1.

Criterios deevaluacin

Determina dominios y rangos de funciones logartmicas y exponenciales.

Grafica las funciones logartmicas y exponenciales en el sistema coordenado.

Aplica correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de lasfunciones logartmicas y exponenciales.

Resuelve problemas de aplicacin de las funciones logartmicas y exponenciales.


Planteamientos

1.

En los siguientes ejercicios, halle el monto compuesto y el interscompuesto para la inversin y tasa anual dadas: (1 punto)

$3.014,81 durante 5 aos al 3,33% compuesto semestralmente. $978,32 durante 6 aos al 4,21% compuesto bimensualmente.

$1854,59 durante 3 aos al 2.24% compuesto trimestralmente.

$554.25 durante 7 aos y cinco meses al 3.87% compuesto anualmente.

2. La poblacin actual de Ambato es de 2.000.000, y crece a una tasa del


15/18



3,30% anual. En el ao 2015 se deben elegir concejales, uno por cada80.000 habitantes, cuntos concejales sern elegidos? (1 punto)

3.

La ciudad de Loja tiene actualmente 750.000 habitantes, con una tasa decrecimiento anual del 2.84%. Cunto tiempo debe transcurrir para quellegue a tener 1950.000 habitantes? (1 punto)

4.

La poblacin de buenos Aires tiene una tasa de crecimiento del 3.12%anual, luego de 3 aos es 12547,693 habitantes. Cul era la poblacininicial? (1 punto)

5.

El Ministerio de salud del Ecuador debe importar medicamentos a unpromedio de $9 por habitante cada ao. Si la poblacin actual es de14200.000 habitantes y la tasa de crecimiento es del 3,14% anual,Cunto se debe presupuestar para cubrir este rubro durante el perododel 1 de Enero del 2017 al 31 de Diciembre del 2020. (1 punto)

Objetivos

1.

Resolver problemas de monto e inters compuesto.

2. Analizar las aplicaciones de las funciones logartmicas y exponenciales en laAdministracin de Empresas.

3. Aplicar correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales delas funciones logartmicas y exponenciales.

4.

Resolver problemas de aplicacin de las funciones logartmicas yexponenciales.

Orientaciones

didcticas

Revise aplicaciones de las funciones exponencial y logartmica, en su texto

gua.


Resuelve problemas de monto e inters compuesto.

Analiza las aplicaciones de las funciones logartmicas y exponenciales.




Planteamiento

1.

En una transaccin financiera, se compra un certificado de depsito de$1030.000 en $850.000 y se debe mantenerlo en el banco durante 6 aos.Si el certificado devenga una tasa efectiva del 3,1%, cul es su valor alfinal de ese perodo? (1 punto)

2. La poblacin de Bolivia es de 18 millones de habitantes y la de Uruguay de27 millones, si la poblacin de Bolivia crece a una tasa anual del 3,96% yla de Uruguay al 2,11% Al cabo de cuntos aos los dos pases tendrnigual poblacin? (1 punto)


16/18



3. El nmero estimado de unidades que sern vendidas por una empresa en t

meses a partir de ahora est dado por:t

e .tN07,0000.100)( =

a. Cules son las ventas presentes (t = 0)?

b. Cules sern las ventas en 2 meses? En 6 meses?

c. Realice un grfico de la funcin y luego responda a la pregunta:

Recuperarn las ventas su nivel presente? (2 puntos)

4. El nmero de visitantes a los parques nacionales pueden aproximarse porla funcin logartmica f(x) = - 255 + 81 ln(x). En esta funcin xrepresenta el nmero de aos desde 1930. En que ao el nmero devisitantes ser de 1 milln? Realice una grfica de la funcin. (1 punto)

ObjetivosResolver problemas de aplicacin de las funciones logartmicas y exponenciales en

la administracin de empresas.

Orientacionesdidcticas

Realice los grficos utilizando un graficado (DERIVE), revise laspropiedades de los logaritmos.





Planteamientos

1.

Dado

Encuentre: (A + B)2

Encuentre : A2+ 2AB + B2

c.- Es (A + B)2= A2 + 2AB +B2? (2 puntos)

2.

Resuelva

(1 punto)

35

46

72

415

6132

865

31473

3.

Resuelva por el mtodo de reduccin. (1 punto)

a + b - c = 22a + 7b + 3c = -1

-4a + b - 3c = 3

4.

Resuelva por el mtodo de la inversa. (1 punto)


17/18



3x - 2y + 2z = 2x - 5y - 1z = -1

-3x - 2y + z = 1

Objetivos

1.

Conocer y escribir correctamente las matrices.

2.

Aplicar correctamente las propiedades de las matrices.

3.

Resolver problemas sobre matrices.

4. Analizar las aplicaciones de las matrices a la administracin de empresas.

5. Resolver problemas de administracin de empresas mediante el uso dematrices.

OrientacionesdidcticasAplique los mtodos pedidos, los mismos que estn definidos en sutexto gua.


Aplica correctamente los principios y las propiedades de las matrices.

Resuelve problemas sobre matrices.

Analiza las aplicaciones de las matrices a problemas de economa.

Resuelve problemas de economa y administracin de empresas mediante el usode matrices

Formato deentrega

Archivo de Microsoft Office.

Enviar a

Enve en un solo archivo que no pese ms de 5.0 MB, a travs de laplataforma, mediante la seccin Contenidos, cuyo nombre debe ser:

Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura

Preguntas odudas

Enve sus preguntas o dudas a travs de la plataforma: utilice la seccin Enviarcorreo y marque el nombre de su tutor.

Puntaje por actividad

Actividades de aprendizajePuntaje

Actividad de aprendizaje 2.1. 5Actividad de aprendizaje 2.2. 5Actividad de aprendizaje 2.3. 5Actividad de aprendizaje 2.4. 5

20


18/18



En c a s o d e q u e p a r a e l e x am e n s e a e s t r ic t a m e n t en e c e s a r i a la c o n s u l t a d e t a b l a s , f r m u l a s , e s q u em a s o

g rf i c o s , e s t o s s e rn i n c l u i d o s c om o p a r t e d e l e x am eno e n u n a n e x o .EL EXAM EN SER SI N CON SULTA .

El tutor de la asignatura

Documents

g2.Yanez.ramirez.elizabeth.matematica