Galaxias espirales

Unos dos tercios de todas las galaxias son espirales y de estas, más de dos tercios tienen una

estructura espiral regular, con dos brazos que pueden seguirse continuamente desde el centro de

la galaxia (el bulbo central) hasta los extremos del disco. Una descripción adecuada se consigue

en la mayoría de los casos a través de la teoría de ondas de densidad. Pero antes, para entender

estas galaxias, debemos estudiar la estabilidad gravitatoria de un disco galáctico y definir las

principales características de las órbitas de las estrellas en el disco (teoría de los epiciclos).

1. Dinámica estelar, estabilidad y órbitas

Dinámica estelar

El gas en una galaxia espiral tiene una masa como máximo del 10% de la galaxia. A efectos

prácticos, sólo la masa de las estrellas tiene importancia. Al estudiar las galaxias elípticas vimos

que el potencial gravitatorio de la galaxia podía expresarse como un potencial promedio, en donde

las atracciones de muchas estrellas a grandes distancias eran más importantes que las atracciones

de unas pocas estrellas a distancias pequeñas. Similarmente a como vimos para las galaxias

elípticas, los tiempos de relajación (trel) y de cruce (tcross) cumplen la relación:

elipcross

rel

espcross

rel

t

t

R

h

N

N

R

h

t

t

≈≈

ln8

donde N ≈ 1011 es el número de estrellas en la galaxia. Un valor típico entonces para la razón

anterior es trel/tcross ≈ 108 con tcross ≈ 108 años.

Al igual que ocurría con las galaxias elípticas, el tiempo de relajación por colisiones entre estrellas

de las galaxias espirales es mucho mayor que la edad del universo, por lo que las colisiones

pueden ser despreciadas. El conjunto de estrellas constituye un medio sin colisiones, cuyo estado

de equilibrio en un potencial dado viene gobernado por la ecuación de Vlasov.

Estabilidad

Una vez que se ha alcanzado un estado de equilibrio, no se mantendrá necesariamente en ese

estado. El ejemplo más sencillo es el de un disco frío (velocidades de dispersión pequeñas)

representando una galaxia espiral en equilibrio rotacional. Cada estrella se mueve en una órbita

circular con una velocidad angular tal que ( )( )rr ∂∂=Ω φ12 . Este sistema es violentamente

inestable y forma condensaciones: se necesita un cierto grado de dispersión de velocidades para

evitar la aparición de inestabilidades de Jeans . Este tipo de perturbaciones se llama

2

perturbaciones axisimétricas para distinguirlas de las inestabilidades en forma de barras o brazos

espirales, las cuales pueden ocurrir en un disco suficientemente caliente para evitar las

inestabilidades de Jeans.

Inestabilidades de Jeans

El método de Jeans para determinar el criterio de estabilidad ya fue descrito anteriormente.

Recordemos que este criterio asume un medio homogéneo e infinito en equilibrio. Desde el punto

de vista ondulatorio, el método consiste en perturbar ligeramente la densidad del sistema ρo

mediante una onda del tipo:

)(1

tkrie ωαρ −=

y linealizar el sistema de ecuaciones para encontrar la relación de dispersión ω(k) de estas ondas.

El sistema es inestable cuando ω2 < 0, esto es, si existe una solución que aumenta

exponencialmente con el tiempo: te2ω− .

Para un fluido con una densidad ρo y presión Po = ρocs2 (cs la velocidad del sonido en el medio), el

criterio de Jeans establece que las perturbaciones con un tamaño mayor que la longitud λJ de

Jeans:

J

o

s

G

c λρ

λ =>

son inestables. Esto significa que el sistema es inestable para un tamaño λ si la onda de sonido no

tiene suficiente tiempo (r/cs) para cruzar esta región en el tiempo de caída libre (tiempo dinámico)

ρGt ff 1= . Por tanto, la fuerza debida a la presión es despreciable frente a la gravedad. Puede

usarse el método de Jeans para un sistema de estrellas linealizando las ecuaciones de Poisson y

de Vlasov, y considerando los movimientos aleatorios de las estrellas como una forma de presión.

Esta presión de las estrellas puede escribirse como ρoσ2, donde σ es la velocidad de dispersión.

Entonces, cada elemento de masa de tamaño λ es inestable si el tiempo de cruce de este

elemento por una estrella es mayor que el tiempo dinámico correspondiente, esto es, si:

o

JGρσλλ => .

Estabilidad debida a la rotación

La rotación de un disco galáctico permite la estabilidad en escalas grandes, en contrate con los

efectos de presión que se estabilizan en escalas pequeñas.

3

Consideremos una pequeña región de tamaño L en un disco de densidad superficial µ y de masa

µL2, girando con una velocidad angular Ω, a una distancia d del centro. En el sistema de referencia

de esta región, las fuerzas presentes son la gravitatoria, centrífuga y de Coriolis. Imaginemos una

perturbación que aumenta localmente la densidad superficial en una cantidad µε. El resultado es

que un elemento de la periferia de esta región se acerca una distancia εL. El incremento en la

fuerza gravitatoria será:

( )[ ] µεεµ GLLLLG 2222 ≈−− −−

por unidad de masa.

Por la conservación del momento angular por unidad de masa, J = d2Ω, la velocidad de rotación de

la región contraída aumentará también proporcionalmente a ε, debido a que:

02 2 =∆Ω+∆Ω=∆ dddJ

y

d

L

d

d ε22 =∆−=Ω

∆Ω.

La fuerza centrífuga también aumenta en una cantidad ∆(Ω2d) ≈ 3εLΩ2. Si esta fuerza es suficiente

para mandar la masa a su posición inicial, el sistema será estable. De aquí se deduce que:

23

2

Ω=> µG

LL crit .

La rotación estabiliza pues a regiones grandes, al revés que la presión.

El orden de magnitud de Lcrit puede estimarse a partir de que Ω2R = V2/R ≈ GµR2/R2 = Gµ, y por

tanto Lcrit ≈ R. Así, la rotación estabiliza estructuras con tamaños de la galaxia, en vez de

estructuras locales.

El criterio de estabilidad

Para garantizar la estabilidad en todas las escalas lo que se necesita es una velocidad de

dispersión mínima para hacer que la longitud de Jeans crítica sea igual a Lcrit. Calculemos la

longitud de Jeans para un disco delgado en función de la densidad superficial. Los tiempos de

caída libre y de cruce son, respectivamente:

σµ

Lt

GLt

cross

ff

==

4

donde σ es la velocidad de dispersión. Si igualamos estas dos escalas de tiempo obtenemos la

longitud de Jeans:

µσλG

J

2

= .

La estabilidad en todas las escalas se produce cuando λJ = Lcrit, o sea, cuando σ = Gµ/Ω. En

realidad se necesita un cálculo más riguroso para encontrar el factor numérico. Para un disco

infinitamente delgado, la velocidad de dispersión radial mínima σr = 3.36 Gµ/κ, donde κ es la

frecuencia epicíclica que calcularemos posteriormente. La razón entre la dispersión radial de

velocidades observada y la velocidad de dispersión crítica se denota como Q, por lo que la

estabilidad se obtiene cuando Q > 1. Este es el criterio de Toomre . En la vecindad solar, Q

adopta un valor entre 1 y 2. Las estrellas que nacen en el medio interestelar empiezan con una

velocidad de dispersión baja, del orden de la dispersión del gas (10 km/s). Esta baja dispersión

crea inestabilidades locales, que aumentan σ hasta un valor tal que Q > 1.

Órbitas estelares

Muchas veces, el comportamiento colectivo de las estrellas en una galaxia puede entenderse con

más claridad si conocemos las órbitas de las estrellas individuales o, al menos, los principales tipos

de órbitas periódicas. El cálculo orbital en un potencial promedio se justifica por el hecho de que

una galaxia constituye un medio sin colisiones.

Epiciclos

Consideremos un potencial gravitatorio axisimétrico y aplastado, correspondiente a una galaxia

espiral, de la forma U(r,z), con U(z) simétrico respecto al plano z = 0. Escogemos un sistema de

coordenadas cilíndricas (r,θ,z). Consideremos las órbitas más numerosas, que son casi circulares.

Llamemos x a la desviación radial con respecto al círculo de radio R e y a la desviación azimutal:

yt

xRr

+Ω=+=

θ

donde Ω es la velocidad angular para una trayectoria circular:

r

RU

R ∂∂=Ω )0,(12 .

En coordenadas cilíndricas, las ecuaciones de movimiento se escriben como:

5

.

,02

,2

z

Uz

rrr

Urr

∂∂−=

=+∂∂−=−

θθ

θ

Desarrollando en series de Taylor el potencial U(r,z) en la vecindad de la trayectoria circular

obtenemos:

zr

RUz

r

RUx

r

U

r

RU

∂∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂ )0,()0,()0,( 2

2

2

.

El último término en la expresión anterior es igual a cero debido a la simetría de U(z). Linealizando

las ecuaciones de movimiento encontramos que en primer orden de aproximación:

.)0,(,02

,)0,(

2

2

2

2

22

z

RUzz

xyRr

RUxxRyx

∂∂−=

=Ω+∂

∂−=Ω−Ω−

Este resultado se conoce como aproximación epicíclica. Integrando la segunda ecuación del

movimiento obtenemos:

constante, 2 ≡=Ω+ axyR

e insertando esto en la primera ecuación:

2

22 )0,(

)2(2r

RUxxxax

∂∂−=Ω−Ω−Ω−

.

Esta ecuación pude expresarse en la forma:

0)( 02 =−+ xxx κ

y

R

xy

Ω−= 2

,

con

222

22 43

)0,( Ω+Ω=Ω+∂

∂=dR

dR

r

RUκ .

6

Podemos tomar a = 0, de donde x0 = 0 (de otra manera las pequeñas oscilaciones ocurrirían

alrededor de otro punto de equilibrio, lo que alteraría las condiciones iniciales r = R). De esta

manera, x e y ejecutan movimientos oscilatorios con frecuencia epicíclica κ; de la misma forma, z

oscila con frecuencia νz, tal que 22 )0,( zRUz ∂∂=ν .

La trayectoria de una estrella proyectada en el plano de la galaxia es el resultado de un círculo y de

un epiciclo (una pequeña elipse en el sistema de referencia en rotación), como se muestra en la

Figura 1: en general la forma es la de una roseta. La estrella se mueve a través del epiciclo en

dirección contraria al movimiento circular, siendo la razón entre los ejes κ/2Ω. La curva de rotación

de una galaxia espiral puede modelarse aproximadamente como una composición de:

1. Rotación fija cerca del centro, con Ω=Ω0 constante y V = Ω0r.

2. Rotación lejana, donde la rotación es diferencial con V = V0 constante y con Ω = V0/r.

En el primer caso, κ = 2Ω, y luego se hace κ = 2 Ω (véase Figura 2). Para potenciales reales, κ/Ω

toma valores entre 1 y 2. Se puede determinar entonces la forma de las rosetas, siendo el número

de lóbulos por revolución κ/Ω. Cuando κ = 2Ω, la órbita se cierra exactamente en una elipse, con

dos lóbulos por revolución.

Figura 1 Aproximación epicíclicade primer orden. (a) Definición decoordenadas. (b) La trayectoria epicíclicaen el plano xOy para una estrella; elepiciclo viaja en sentido retrógrado. (c)Caso en que κ = 2Ω; aquí la curva derotación es fija (V = Ω0r) o una órbitaresonante en el sistema de referencia enrotación (Ωp = Ω - κ/2). (d) La órbita de laestrella en un sistema en corrotación,Ωp = Ω; la razón de los ejes epicíclicos esκ/2Ω.

Hay exactamente tres constantes del movimiento: el momento angular Lz (que se conserva porque

U/θ = 0), y la energía de dos osciladores, en la dirección z y epicíclica, dado que:

;2

,2

222

222

xxE

zzE

x

zz

κ

ν

+=

+=

otra constante posible es la energía total.

7

Figura 2 Modelo simplificado de curva derotación galáctica. Región 1: rotación fija, v(r) = Ω0r.Región 2: curva de rotación plana, v(r) = V0. La razónκ/Ω está entre 1 y 2.

Resonancias de Lindblad y de corrotación

Tanto si existe una perturbación espiral con m brazos, una barra o incluso una galaxia compañera

en interacción, a menudo existe una velocidad angular privilegiada Ωp que juega un papel especial

para las estrellas. En le sistema de referencia en rotación con la perturbación, las estrellas giran

con una velocidad angular Ω' = Ω - Ωp. Hay entonces regiones de la galaxia en las que Ω' = κ/m, o

sea, regiones en las que las órbitas epicíclicas se cierran después de m lóbulos. Las estrellas en

estas órbitas se alinean con la perturbación y se mueven con ella. Al interactuar con la

perturbación siempre con el mismo signo, se ponen en resonancia. Estas son las resonancias de

Lindblad (Figura 3). El caso más común es m = 2. Otra resonancia es la de corrotación Ω(rCR) = Ωp

que ocurre en el radio de corrotación rCR. En el sistema de referencia en rotación, las órbitas en las

resonancias son periódicas.

Figura 3 Resonancias de Lindblad. (a) Una representación de las órbitas resonantes en elsistema de referencia en rotación con velocidad angular de la perturbación espiral, Ωp (Ωs en lafigura): la resonancia interna (Ωp = Ω - κ/2); la corrotación (Ωp = Ω); la resonancia externa(Ωp = Ω + κ/2). (b) Las curvas de rotación Ω(r) y las curvas combinadas con la frecuencia epicíclicaΩp = Ω ± κ/2 permiten determinar las resonancias de Lindblad.

8

Imaginemos que la velocidad Ω - κ/2 fuese prácticamente constante para la mayoría de las

estrellas de la galaxia. En el sistema de referencia en rotación con una velocidad Ωp cualquier

estructura adoptada por las estrellas en un momento dado sería muy duradera, no deformándose

sino girando como un sólido rígido en el sistema de referencia fijo. Para nuestra galaxia, la curva

Ω - κ/2 determinada por observaciones permanece constante y cercana a Ωp a grandes distancias.

Ninguna otra curva Ω - κ/m cambia tan lentamente como Ω - κ/2. Este hecho ayuda a entender la

mayor cantidad de galaxias con dos brazos espirales.

2. La teoría de las ondas de densidad

La mayoría de las galaxias tienen estructura espiral, algunas sorprendentes por su simetría y

regularidad. Estas estructuras son elementos esenciales en la formación y evolución de estas

galaxias, ya que es en los brazos espirales donde se forman la mayoría de las estrellas,

particularmente las más masivas y luminosas. La espiral también es un medio de llevar momento

angular hacia el exterior, permitiendo la formación de barras y concentraciones en los centros

galácticos.

El problema de la estructura espiral

La existencia de la espiral es un gran problema teórico. Los brazos espirales no pueden cimentar

su estructura en la materia, ya que la rotación diferencial de la galaxia enrollaría los brazos y la

desharía. El centro de la galaxia puede haber dado mil revoluciones desde su formación, mientras

que las regiones externas apenas han completado unas decenas de órbitas.

Lindblad fue el primero en proponer en 1963 que los brazos espirales pueden ser una estructura

girando como un sólido rígido. En el centro de la galaxia, la materia gira más deprisa que la espiral,

mientras que las regiones externas lo hace más lentamente. En medio, hay una resonancia de

corrotación entre las estrellas y la espiral. Lindblad propuso que el mantenimiento de la estructura

puede ser un efecto debido a la autogravedad de las estrellas.

Estas ideas están detrás de la teoría de onda de densidad, desarrollada por Lin y Shu entre 1964 y

1970. Los brazos espirales son vistos como ondas que pueden propagarse en una galaxia. La

hipótesis de Lin y Shu es suponer la existencia de ondas estacionarias o cuasiestacionarias que

permiten la duración de la estructura espiral (un paquete de onda progresiva no se mantendría

mucho más tiempo que unos brazos de materia).

La relación de la onda de dispersión

El principal problema estriba en la coherencia de las ondas. Imaginemos una onda espiral en un

disco infinitamente delgado. La densidad superficial es:

9

),,()( 10 trr θσσσ += ,

donde σ0(r) es la densidad axisimétrica no perturbada y σ1 la perturbación.

Expandiendo la expresión anterior en series de Fourier, obtenemos:

[ ] tirim oer ωθθσσ +−= )(11 )( ,

que representa una onda espiral con m brazos y amplitud σ1(r). La forma de los brazos queda

determinada por la media de la función θ0(r). Sólo la parte real de la expresión tiene sentido físico.

En primera aproximación, se asume que la perturbación es sinusoidal, con ω/m la velocidad

angular de la onda. El número de onda correspondiente es k = dθ0(r)/dr. Se puede considerar

entonces dos casos:

1. k < 0: si los ángulos se miden positivamente en la dirección de rotación de la

materia (Ω), las partículas entran en los brazos por el lado cóncavo. La

estructura espiral se atrasa.

2. k > 0: las partículas entran en los brazos por el lado convexo. La estructura

espiral se adelanta. La forma de los brazos espirales viene dada por el ángulo

de inclinación i entre la tangente a la espiral y el círculo de radio r:

krd

dr

ri

11tg

0

==θ

(para una espiral muy enrollada, kr > > 1).

Figura 4 Dirección en la que seenrolla la onda espiral respecto alsentido de rotación de la galaxia.Cuando la materia cruza los brazosdesde el borde cóncavo (a), la onda seretrasa; en (b) se adelanta. La direccióndepende del sigo del número de ondak = dθ0/dr, donde θ0(r) determina laforma geométrica de los brazos.

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Obtención de la relación de dispersión

La relación de dispersión de ondas se obtiene en tres pasos. En primer lugar, el potencial

gravitatorio creado por la distribución de masa σ1 puede calcularse a partir de la ecuación de

Poisson:

ρπφ G4=∆ ,

donde

)()( zr δσρ = .

En el caso de galaxias elíptica, calculábamos la respuesta de una estrella a cierto potencial en

función del estado del sistema descrito por la función de distribución f(r,v,t), tomado a partir de la

ecuación de Vlasov. Análogamente, Lin y Shu usaron la ecuación de Liouville para determinar la

probabilidad fN(rn,vn) de encontrar un conjunto de N estrellas en el estado (rn,vn) por unidad de

volumen en el espacio de fase. Esta probabilidad se llama función de distribución de N partículas.

Con este segundo paso se puede obtener, integrando sobre las velocidades, la densidad de

estrellas en el disco.

El último paso consiste en identificar la distribución de estrellas obtenida anteriormente con la

distribución inicial, con el fin de asegurar la coherencia de la hipótesis. La ecuación resultante es la

relación de dispersión de las ondas. El cálculo analítico sólo es posible en la aproximación de

ondas de densidad muy enrolladas (la longitud de onda o distancia radial entre los brazos espirales

es pequeña comparada con el radio de la galaxia). Esta aproximación permite despreciar el

acoplamiento en gran escala, haciendo la ecuación local. De hecho, la densidad superficial oscila

rápidamente al alejarnos del punto de cálculo, asegurando la cancelación de las contribuciones

distantes al potencial perturbado. La aproximación de ondas de densidad muy enrolladas suele

llamarse WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) por su similitud a la aproximación del mismo nombre en

el contexto de mecánica cuántica.

En realidad, muchas galaxias no tienen una estructura espiral suficientemente enrollada para

justificar el uso de la aproximación WKB. En la mayoría de las galaxias, además, el potencial

espiral supone algo más que una pequeña perturbación, y la teoría lineal debe ser utilizada con

precaución. Aparte de estas limitaciones, la teoría de ondas WKB es una herramienta fundamental

para entender la naturaleza de las ondas espirales en galaxias.

La relación de dispersión se muestra en la Figura 5: las curvas representan los valores absolutos

de la frecuencia local de las ondas de densidad en unidades de la frecuencia epicíclica, ν = m(Ωp-

Ω)/κ, en función de la longitud de onda λ/λcrit [en unidades de la longitud de onda crítica para la

inestabilidad de Jeans: λcrit = 4π2Gµ(r)/κ2(r)]. Las curvas representan el valor absoluto de ν, la

11

frecuencia a la que una estrella del disco se encuentra con la onda (ν = 0 para la corrotación. Las

curvas pueden extender por simetría respecto a la corrotación: ν = ±1 corresponde a las

resonancias externa e interna de Lindblad. En estos puntos, por ejemplo en una espiral con dos

brazos, Ωp = Ω ± κ/2, y en el sistema de referencia de las ondas las estrellas tienen órbitas elípticas

periódicas. Similarmente, solo se representan longitudes de onda positivas λ = 2π/k, que

corresponden a ondas retrasadas, pero las curvas se pueden generalizar a ondas adelantadas por

simetría para valores negativos de k.

Figura 5 Relación de dispersión para ondas WKB obtenida por Lin y Shu en 1964. En el ejey se muestra la frecuencia de la onda ν = (ω-mΩ)/κ = m(Ωp-Ω)/κ, en unidades de la frecuenciaepicíclica κ. La velocidad angular de la onda es Ωp = ω/m. Debido a la simetría, sólo se muestranlos valores absolutos de ν y valores positivos de λ. Las curvas representan relaciones dedispersión para varios valores de la velocidad de dispersión (Q). Para Q = 1 toda la región entreν = -1 y 1 (resonancias externa e interna de Lindblad) está permitida, pero para Q > 1 aparece unaregión prohibida alrededor de la corrotación (ν = 0). Para una frecuencia dada, puede haber dossoluciones en cada una de las ramas de onda (corta o larga).

Las diferentes curvas corresponden a distintos valores de Q (parámetro de estabilidad de Toomre).

Solamente se muestran curvas tales que Q > 1, para las que las velocidades de dispersión son

suficientemente grandes para que las inestabilidades de Jeans no fragmenten la galaxia. La curva

Q > 1 delimita dos regiones en el diagrama, correspondientes a las longitudes de onda corta y

larga. La aproximación WKB restringe la validez de los cálculos a las longitudes cortas, dado que

λcrit es del orden del radio de la galaxia. Sin embargo, las longitudes de onda largas son esenciales

para producir ondas espirales cuasiestacionarias, y los cálculos siempre acaban usándose en la

rama larga.

Otro resultado fundamental mostrado en la Figura 5 es la existencia de una región prohibida para

Q > 1 alrededor de la corrotación en el que las ondas son evanescentes (el número de onda k es

12

complejo). El área prohibida se amplía al aumentar Q (para estrellas con mayor velocidad de

dispersión).

Estos resultados pueden interpretarse fácilmente si recordamos la necesidad de ajustar los ritmos

de precesión Ω - κ/2 a las órbitas periódicas de las estrellas a grandes distancias para evitar la

deformación de la espiral formada por dichas órbitas en un momento dado. Cuando la

autogravedad es despreciable, el ritmo de precesión es exactamente Ω - κ/2, y la coincidencia sólo

se produce en las resonancias de Lindblad (ν = ±1). Esto se indica por la evolución de las curvas

como función de Q. Cuando Q tiende a infinito (la velocidad de dispersión hace despreciable la

autogravedad), la relación de dispersión tiende a una línea recta horizontal ν = 1, y las ondas se

restringen a la región de resonancia.

La autogravedad tiene el efecto de disminuir la frecuencia radial de oscilación de las estrellas de κ

a νκ. El nuevo ritmo de precesión de las órbitas periódicas se hace Ω - νκ/2. Este ajuste sólo

puede conseguirse variando la longitud de onda. En el caso límite Q = 1 (la autogravedad se

vuelve importante) las ondas pueden propagarse entre las dos resonancias de Lindblad al tomar ν

todos los valores posibles en la rama corta.

La relación de dispersión de las ondas permite calcular la forma de la espiral. Para una Ωp dada

obtenemos k(r) e integrando θ0(r) (ya que k = dθ0/dr), la forma geométrica del modo

correspondiente. Puede observarse, a partir de la evolución de la relación de dispersión en función

de Q, que para un sistema caliente (altas velocidades de dispersión) la espiral será más abierta

que para un sistema frío (Figura 6), para la rama corta. Lo contrario se cumple para la rama larga.

Como veremos más adelante, la onda de la rama larga tiene mayor amplitud en la amplificación,

las espirales abiertas indican sistemas fríos.

Figura 6 Forma geométrica de las ondasdeducida a partir de la relación de dispersión. Parauna cierta frecuencia, la longitud de onda esproporcional a Q para la rama corta e inversamenteproporcional a Q para la rama larga. Esta última semuestra en la figura para (a) un sistema de estrellasfrío y (b) un sistema caliente.

Dado que la relación de dispersión de la Figura 5 se refiere a ondas progresivas, éstas se moverán

a lo largo del disco de la galaxia y llevarán energía y momento angular. La velocidad con la que un

paquete de ondas se mueve es la velocidad de grupo, que en un medio dispersivo se escribe como

13

vg = vlκ)/k) = ω/N. Esta velocidad tiene dirección radial y puede calcularse a partir de la

relación de dispersión. Toomre (1969) fue el primero en calcular la velocidad de grupo,

demostrando que el tiempo de propagación de la corrotación en la resonancia interna es muy

corto, del orden de unas pocas rotaciones de la galaxia, lo que crea el problema del mantenimiento

de las ondas si desaparecen en la resonancia interna.

Propagación de la onda

En las galaxias Q > 1. Las ondas no se pueden propagar entonces a través de la corrotación. Sin

embargo, se puede determinar el comportamiento del paquete de ondas entre las resonancias. La

Figura 7 indica la naturaleza de las ondas (atrasadas o adelantada, cortas o largar) y la dirección

de la velocidad de grupo en función de la posición en la galaxia. Obsérvese que en la vecindad del

área prohibida cerca del radio de corrotación, la velocidad de grupo cambia de signo. Esto puede

interpretarse como una reflexión del paquete de onda. Sigamos, por ejemplo, un paquete de onda

adelantado y muy enroscado (ondas cortas) cuando deja la resonancia interna de Lindblad. Se

propaga hacia el exterior, abriéndose progresivamente (λ aumenta). Cuando regresa, justo antes

de alcanzar la corrotación, está tan abierta que choca contra la rama de longitudes de onda largas.

Cuando la onda llegar a la resonancia interna de Lindblad, la teoría WKB no es apropiada, ya que

el número de onda k = 0 y la aproximación kr > > 1 no se satisface. Sin embargo, λcrit permanece

pequeña respecto al radio R, las ondas largas adelantadas se reflejarán en la resonancia interna

de Lindblad como ondas largas retrasadas. Después de reflejarse en la resonancia interna de

Lindblad el paquete de ondas retrasa, y se propaga hacia la corrotación intensificándose (λ

disminuye). Allí, de nuevo, se refleja y se dirige hacia el centro a lo largo de la rama corta. Estas

condiciones de frontera nos permiten imaginar la formación de ondas estacionarias.

Uno de los problemas que las relaciones obtenidas hasta ahora dejan sin resolver es el

comportamiento de ondas retrasadas muy enroscadas en la resonancia interna de Lindblad. Varios

autores (Mark 1971; Lynden-Bell y Kalnajs 1972) han mostrado que las ondas se amortiguan en la

resonancia interna de Lindblad mediante un fenómeno similar al amortiguamiento de Landau: la

interacción entre las ondas y las partículas en la resonancia permite el intercambio de energía, las

estrellas se calientan con el debilitamiento de la onda. Sin embargo, si la función Q(r) crece

suficientemente hacia el centro (aunque no tanto como para violar la aproximación WKB), la teoría

predice que el paquete de onda se reflejará antes de alcanzar la resonancia interna. Un paquete de

ondas cortas retrasado se refleja como ondas largas. Estas reflexiones en la resonancia interna y

en la corrotación nos hace esperar una posible amplificación de las ondas.

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Figura 7 Otra forma de la relación de dispersión, mostrando el número de onda k (en el ejeX y en unidades del número crítico de onda kcrit = 2π/λcrit) en función del radio (en el eje Y y enunidades del radio de corrotación rCR). Sólo se representa la región entre la resonancia interna deLindblad y la corrotación. El valor correspondiente de Q es 1.5. Las flechas indican la dirección dela velocidad de grupo de los paquetes de onda correspondiente. De izquierda a derecha podemosseguir la propagación de una onda corta adelantada: De A a B la onda se propaga hacia el exteriory alcanza la corrotación C, abriéndose cada vez más. Se refleja, la velocidad de grupo cambia designo, y se propaga hacia el centro de la galaxia como una onda larga adelantada. En laresonancia interna de Lindblad (E) las ondas adelantadas pueden reflejarse como ondasretrasadas. La onda larga retrasada (F) se refleja otra vez en la corrotación y se convierte en unaonda corta retrasada (G) propagándose hacia la región interna.

Para confirmar e ilustrar la propagación del paquete de ondas en el esquema de la teoría WKB se

utiliza simulaciones numéricas como la de la Figura 8. La parte analítica de la teoría llega a su

límite de validez cuando aparecen ondas largas. La simulación, realizada por Toomre y Zang

(1981), calcula la evolución de un paquete de ondas adelantado y enroscado a partir de la teoría

de perturbaciones lineales. De esta manera se puede estudiar la propagación de ondas largas sin

necesidad de la aproximación kr > > 1. La Figura 8 muestra la transformación en la resonancia

interna del paquete inicial de ondas adelantado en un paquete retrasado. Para interpretar

intuitivamente la transformación adelantado-atrasado (y atrasado-adelantado) del paquete de

ondas en el centro de la galaxia, sigamos una onda retrasada a través de los puntos A, B y C en su

movimiento radial hacia el centro en el sistema de referencia en rotación con la onda. La última

posición de estos tres puntos puede dibujarse esquemáticamente (Figura 9). Puesto que la

velocidad de grupo es igual para todos los puntos de la onda, estos puntos habrán cubierto la

misma distancia, así que AA' = BB' = CC'. Puede verse fácilmente que la dirección de enroscado

del brazo espiral se invierte al pasar por el centro.

15

Figura 8 La evolución de un paquete de onda adelantado enroscado, calculado a partir delas simulaciones de Zang (Toomre 1981), en un disco de estrellas con parámetros Q = 1.5 y X = 2.Las distintas etapas, de la 1 a la 9, están separadas por un intervalo de tiempo correspondiente ala mitad del período de la espiral. Las posiciones de las resonancias se indican mediante círculos.Esta simulación muestra la gran amplificación de oscilación de un paquete de onda retrasadooriginado por un paquete de onda incidente adelantado.

Figura 9 El cambio en la dirección deenrollado al pasar la onda por el centro de la galaxia.En este esquema simplificado, los tres puntos dereferencia A, B y C de la onda retrasada incidentealcanzan, después de un tiempo de propagación, lasposiciones A', B' y C' de manera tal que los caminosrecorridos son los mismos (la velocidad de grupo esconstante: AA' = BB' = CC'. Los puntos de referenciaA', B' y C' indican que la perturbación se hatransformado en una onda adelantada.

16

Amplificación de oscilación

La simulación en la Figura 8 revela un fenómeno que en la teoría WKB no es evidente: la notable

amplificación de la amplitud de la onda original adelantada durante su transformación en una onda

retrasada. Cuando la onda retrasada se intensifica (etapa 9), es más intensa que la onda original

adelantada, pero la amplificación temporal como ondas abiertas retrasadas es considerable. Este

mecanismo, conocido como amplificación de oscilación (swing amplification), había sido ya

considerado por Goldreich y Lyden-Bell en 1965, pero se popularizó con el trabajo de Toomre en

1981. El principio puede entenderse a partir de la Figura 10. La amplificación tiene lugar cuando el

paquete abierto de ondas adelantadas se transforma en un paquete retrasado, debido a la rotación

diferencial. De esta manera el movimiento de la onda intermedia empieza a resonar a una

frecuencia κ, y durante su epiciclo cada estrella interactúa fuertemente con la onda debido a que la

sigue. La autogravedad lleva a la estrella más cerca, lo que amplifica la perturbación espiral que

están formando. Debido a que todo esto ocurre cuando la onda cambia de adelantada a atrasada,

Toomre habla de conspiración entre la cizalla de la rotación diferencia y la oscilación epicíclica. La

amplificación de la energía de la onda se obtiene en detrimento de la energía de rotación.

Figura 10 El principio de la amplificación de oscilación, que deriva de la cooperación entre larotación diferencial, oscilación epicíclica, y autogravedad. El diagrama representa el movimiento deestrellas atrapadas en una región de brazo espiral (la zona punteada). La dirección x es radial,hacia el exterior de la galaxia; la dirección y es tangencial, en la dirección de rotación. En (a) laonda se adelanta; se abre en (b). En (c) y (d) se ha convertido en una onda retrasada debido a larotación diferencial. Durante este tiempo la autogravedad, que atrae las estrellas en el brazo, y losmovimientos epicíclicos conspiran para mantener las estrellas en el brazo y reforzar la amplitud dela onda.

17

Varias simulaciones realizadas variando los parámetros, en especial la velocidad de dispersión y el

grado de apertura de la onda, han permitido determinar las condiciones favorables para la

amplificación de oscilación. Definamos el parámetro X como la razón entre la longitud de onda

proyectada (λ/sin i; de hecho suele considerarse la proyección k sin i del número de onda) y la

longitud crítica: X = λ/sin i/λcrit, donde i es el ángulo de inclinación de los brazos espirales.

Recordemos que toda perturbación mayor que λcrit = 4π2Gµ/κ2 es estable respecto a las

inestabilidades de Jeans debido a los efectos de rotación. La Figura 11 muestra los resultados para

X > 1. La amplificación máxima se alcanza para X =2 y decrece abruptamente hasta anularse en

X = 3. La autogravedad no es lo suficientemente fuerte como para aglomerar las partículas a

distancias mucho mayores que el tamaño de la inestabilidad crítica. Esto sucede cuando κ

aumenta, haciéndose los movimientos propios de dispersión más importantes, y también cuando m

es menor. De forma análoga, se entiende porqué el mecanismo es mucho más efectivo en un disco

frío donde la autogravedad es predominante

Figura 11 La variación del ritmo de la amplificación de oscilación en función de losparámetros Q y X. La amplificación es mucho menos eficiente para un sistema caliente (Q grande);por otra parte, el ritmo de amplificación es máximo para X = 2 y se anula en X = 3 (cuando laautogravedad del disco se cancela por la acción, por ejemplo, de masa invisible con unadistribución esférica). Los tres sistemas de curvas comparan los resultados obtenidos por (a)Goldreich y Lynden-Bell (1965, (b) Julian y Toomre (1966), y (c) Zang (1981).

Ondas de choque inducidas en el gas

Las finas líneas de polvo a lo largo de los brazos espirales y los rayones de polvo que cruzan las

barras de las galaxias SB sugieren la existencia de ondas de choque inducidas en el gas por la

perturbación gravitatoria de las ondas de densidad. La emisión en el radio continuo se ve

considerablemente amplificada en estas líneas, lo que confirma la compresión del gas interestelar

y del campo magnético, congelado en la materia.

18

En 1964 Lin y Shu se dieron cuenta de que el gas estaba mucho más frío que las estrellas (su

velocidad de dispersión es menor). La respuesta a las ondas de densidad debe ser mucho mayor

en el gas, por ser inversamente proporcional a la velocidad de dispersión. Puesto que el contraste

entre los brazos y las regiones que los separan debe exceder por mucho el de las estrellas, la

contribución a la perturbación gravitatoria de la propia onda debe ser substancial, a pesar de que el

gas raramente constituye más de un 10% de la masa total.

El medio interestelar continuo

Hasta finales de los años 70, el medio interestelar se modelaba como un medio continuo con dos

componentes. una componente fría, formada por nubes de hidrógeno atómico a una temperatura

de 100 K, y una componente caliente, gas ionizado a 104 K en la vecindad de estrellas jóvenes.

Como la mayor parte de la masa en el medio frío, el gas es muy sensible al pozo de potencial

gravitatorio de los brazos espirales. La energía potencial del pozo corresponde a una energía

cinética tal que la velocidad relativa del gas se hace supersónica: un onda tenue de choque se

produce cuando el gas entre en los brazos. El punto de entrada corresponde al lado cóncavo del

brazo si la estructura espiral se retrasa, y el radio de corrotación se localiza dentro de los límites

del disco visible.

La diferenciación de la estructura espiral se debe a estas ondas de choque y a la compresión del

gas al entrar en los brazos. La compresión del gas causa inestabilidades gravitatorias en las nubes

de gas, que estaban en equilibro antes de entrar en los brazos. Esto provoca colapsos que forman

estrellas o cúmulos de estrellas. Pueden formarse estrellas de cualquier masa, pero las

importantes desde el punto de vista de radiación son las más masivas. La luminosidad de una

estrella varía en proporción a la cuarta potencia de su masa (L ∝ M4), y aún tomando en cuenta el

espectro inicial de masa de las estrellas, las estrellas masivas dominan. La vida media de las

estrellas masivas es muy corta (varía como la razón M/L ∝ M-3). La duración de las asociaciones

OB es del orden de unos cuantos 107 años, que es del mismo orden que el tiempo medio que le

toma a la materia cruzar un brazo espiral. La mayoría de las estrellas masivas cuya formación se

desencadena a partir de la onda de choque dejan de brillar al salir del brazo espiral.

El estudio de la circulación del gas en una galaxia perturbada por una onda de densidad espiral fue

desarrollado en este contexto por Roberts en 1969. La idea de que la formación de estrellas

masivas se desencadena al cruzar el gas un brazo espiral, aún cuando no está completamente

desarrollada, ofrece muchas oportunidades de ser confirmada a partir de observaciones. Nos

permite explicar la presencia de regiones H II alineadas en los brazos espirales, el gran contraste

de la componente joven de la galaxia (gas interestelar, regiones ionizadas y estrellas jóvenes) en

los brazos comparado con las regiones que los separan, y la presencia de líneas de polvo. Esto

19

nos permite entender por qué los brazos espirales son muy luminosos aún cuando la perturbación

espiral es pequeña comparada con la masa total (menos que un 10%).

Figura 12 El comportamiento no lineal delgas interestelar, considerado como un mediocontinuo, en un potencial gravitatorio con formaespiral. Las ondas de choque se forman cuandoel gas penetra el brazo espiral: el contraste entrelos brazos y las regiones que los separan es de5 a 10. (a) La compresión del gas al entrar en elbrazo provoca inestabilidades de Jeans y laformación de nuevas estrellas masivas. Estasestrellas ionizan el gas que las rodea, lo queexplica la presencia de muchas regiones H II trasla onda de choque (que está trazada por elpolvo). (b) Al cruzar el brazo el gas experimentagrandes variaciones en su velocidad: seproducen desviaciones sistemáticas en latrayectoria cuasicircular del gas.

Nubes interestelares y el medio templado

Los primeros modelos de la respuesta del gas a una onda de densidad espiral se basaban en una

visión excesivamente simplificada del medio interestelar, la cual sufrió revisiones muy importantes

en la década de los ochenta. Las observaciones de moléculas en el milimétrico pusieron de

manifiesto que la mayor parte de la masa del medio interestelar está contenida en nubes

moleculares densas, cuyo factor de llenado (filling factor) volumétrico es muy pequeño (f ≈ 3%).

Además, observaciones en rayos X y consideraciones teóricas (McKee y Ostriker 1977) revelaron

que las nubes interestelares están inmersas en un medio caliente y tenue, llamado medio coronal

por su semejanza con el gas de la corona solar (a temperatura 106 K y con densidad 10-3 cm-3).

Este medio es el resultado de la superposición de burbujas de plasma alrededor de los remanentes

de supernova, y su factor de llenado volumétrico puede alcanzar el 80%. Este gas no responde al

potencial espiral, debido a su alta temperatura y su correspondiente velocidad, que es la del

sonido, vs (vs2 es mucho mayor que la energía del pozo de potencial espiral). Sólo las nubes

interestelares es sensible al potencial espiral.

20

Los resultados de Roberts con un medio interestelar continuo podrían generalizarse fácilmente si

consideráramos el conjunto de nubes interestelares como un fluido, cuyas moléculas fueran las

nubes, y a una temperatura equivalente medida a través de la velocidad de dispersión entre nubes.

Sin embargo, el conjunto de nubes es solamente un fluido muy imperfecto, ya que el tiempo de

colisión tcol es del mismo orden de magnitud que el tiempo de cruce de un brazo espiral (tc = 108

años). La distribución del conjunto de nubes no tiene suficiente tiempo para alcanzar el equilibrio

en el tiempo dinámico, por lo que no podemos definir la temperatura equivalente. Esto implica que

las nubes se comporten como partículas balísticas en el potencial gravitatorio espiral, y estén

sujetas a colisiones.

Una solución simple de este problema puede obtenerse si la estructura espiral está fuertemente

enroscada (kr > > 1). En tal caso la perturbación espiral introduce únicamente fuerzas radiales de la

forma A sin(kr + mφ). Puesto que el movimiento azimutal de las partículas permanece constante,

podemos escribir φ = (Ω0-Ωp)t en el sistema de referencia en rotación a Ωp. De esta manera, el

problema se reduce a calcular el movimiento de N osciladores e una dimensión ( la radial) cuya

frecuencia propia es la frecuencia epicíclica κ y que está sujeta a una perturbación sinusoidal

A sin[kr + m(Ω0 - Ωp)t]. Este problema simple de mecánica clásica se muestra en la Figura 13,

donde puede verse claramente la acumulación de partículas en el pozo de potencial de la onda

progresiva.

Figura 13 El movimiento de nubesmoleculares en un potencial espiral, enanalogía con el problema clásico de Nosciladores unidimensionales confrecuencia epicíclica κ. La perturbaciónsinusoidal es de la forma A sin(kx - mΩ't).El péndulo se acumula en el pozo depotencial (a). Para perturbaciones másfuertes pueden incluso producirsecolisiones entre los péndulos (b).

En planteamientos más realistas, se debe tener en cuenta las colisiones entre nubes que, si no son

elásticas, favorecen la acumulación de materia. Esperamos entonces que el contraste entre los

brazos y las regiones intermedias sea aún más pronunciado para las nubes masivas. Las

observaciones de nubes moleculares gigantes en galaxias cercanas confirman estas predicciones.

Todas las nubes en los modelos de medio interestelar continuo se acumulan en los brazos

espirales, sin la existencia de choques estrictamente, pero estiradas una distancia de unos pocos

caminos libres medios (1 kpc), que es el grosor típico de un brazo espiral. En el caso general, por

21

el contrario, no hay una secuencia bien definida entre el gas comprimido, la formación estelar, las

regiones ionizas y el gas atómico.

El amortiguamiento de las ondas

Gran parte de la energía de la onda se puede disipar bien por ondas de choques en un medio

continuo o por colisiones no elásticas de las nubes que proliferan en los brazos espirales. Por

ejemplo, en nuestra galaxia, hay una cantidad pequeña de estrellas con velocidades de dispersión

suficientemente bajas como para participar activamente en las ondas de densidad. Por tanto, casi

la mitad del potencial de onda se debe al medio gaseoso. A falta de un mecanismo que mantenga

indefinidamente las ondas, su tiempo de vida puede entonces estimarse de unas pocas rotaciones.

En conclusión, el problema del amortiguamiento de las ondas confirma lo que ya se había

mencionado cuando estudiamos el proceso de amplificación de oscilación: debemos abandonar la

explicación de la estructura espiral como ondas cuasipermanentes, con tiempo de vida similar a la

de la galaxia (varias decenas de rotaciones, entre 109 y 1010 años). De hecho, los ejemplos más

espectaculares de ondas de densidad espirales se hallan claramente en galaxias en interacción

(M51 y NGC 5195; M81 y M82) o en galaxias barradas. En un tiempo muy corto después de su

formación, una galaxia espiral puede amplificar varios paquetes de onda provocados por una

perturbación externa, como la interacción de marea con una galaxia vecina.

3. Mecanismos de Generación de ondas espirales

Toda la exposición anterior sobre la dinámica y cinemática de las galaxias espirales deja muchos

problemas sin resolver. Entre ellos, cabe destacar el hecho de que las ondas de densidad espirales

se retrasan siempre que se han podido medir y el que la amplificación sea tan eficiente para ondas

retrasadas y no para las adelantadas. Hemos visto que la relación de dispersión para las ondas no

da una respuesta apropiada a estas preguntas. El número de onda siempre aparece elevado al

cuadrado, por lo que los dos tipos de onda podrían ser igualmente probables. Este comportamiento

debe estar asociado con el hecho de que si la galaxia se encuentra en estado estacionario y sólo

se tiene en cuenta las estrellas y las fuerzas gravitatorias, la simetría con respecto a una inversión

temporal asocia una solución adelantada con una retrasada. De acuerdo con esta simetría, la

morfología de la galaxia se mantiene pero las velocidades se invierten, así como la dirección de

rotación. Esta es la base del Teorema antiespiral de Lynden-Bell y Ostriker (1967).

Transferencia de momento angular

La existencia principalmente de ondas retrasadas puede explicarse por el papel que juegan las

ondas en la transferencia de momento angular desde el centro hasta el borde de la galaxia. Un

disco galáctico tiende a transferir su momento angular hacia el exterior para disminuir su energía

22

total. Las ondas retrasadas cumplen este cometido, mientras que las adelantadas llevan momento

desde el borde al centro.

La evolución natural de un sistema aislado es buscar estados de máxima entropía. En estos

estados la energía cinética asociada con movimientos desordenados es máxima. Para una galaxia

en estado estacionario satisfaciendo el teorema del virial, la energía total E (constante), la energía

cinética T y la potencial W cumplen:

−==

⇒

=++=

ET

EW

TW

TWE 2

02

T puede descomponerse en la suma de las energías de rotación y aleatoria, T = Trot + Trand. Puesto

que T es constante, un aumento en Trand implica una disminución en Trot. Para encontrar la

tendencia correspondiente en la distribución del momento angular escribamos Trot como una

función de la distribución µ(j), con µ la masa cuyo momento angular j = rvθ se encuentra entre j y

j+dj. Trot se define como ½ ∫ j2 r-2 µ(j) dj. Por tanto, una disminución de Trot implica que la masa debe

moverse hacia el exterior llevando su momento, de manera tal que r aumenta. Debe haber alguna

compensación para que la energía potencial W también permanezca constante. W se balancea

gracias a la masa central. El resultado es que hay una transferencia de momento angular hacia las

regiones externas, que aumentan su tamaño, y hay una contracción pequeña de las regiones

interiores (lo que conserva W). Así, la evolución natural del sistema es hacia estados de mínima

energía, con aumento de la entropía.

Veamos los estados de mínima energía para un conjunto de dos partículas de masas m1 y m2,

momentos por unidad de masa j1 y j2, y energías por unidad de masa e1 y e2. La energía del

conjunto es m1e1 + m2e2. El momento debe permanecer constante: J = m1j1 + m2j2.

Llamemos ε(j) a la energía mínima por unidad de mas que puede tener una estrella con momento j.

Entonces:

),(2

2

222

zrUr

jvv

ezr

+

++

= .

U(r,z) es mínima cuando z = 0, y el mínimo de e corresponde a una trayectoria circular con radio Rj

(donde vr = vz = 0). Rj queda definido por la relación:

003

2

=∂∂+−==

r

U

r

j

dr

de.

23

Entonces, la mínima energía por unidad de masa es:

)0,(2

1)(

2

2

jj

RUR

jj +=ε .

La variación de la energía del conjunto resulta ser:

)()( 222111 jdjmjdjmdE εε ′+′= ,

donde

dj

dj

εε =′ )( ,

y

02211 =+ djmdjm .

Calculando la derivada queda:

)(2

)(22

2

2 jjjj

j

j

RR

jU

R

j

Rj

R

R

jj Ω==

+

∂∂

∂∂

+=′ε ,

( ) ( ) 0)()( 21112111 <Ω−Ω=′−′= djmjjdjmdE εε .

Para que dE sea negativo, el cambio de momentos debe ocurrir en beneficio de la partícula con la

menor Ω. En el caso de una galaxia Ω disminuye desde el centro hacia el exterior. Por tanto, las

regiones externas deben absorber el momento angular.

Lynden-Bell y Kalnajs (1972) calcularon el momento de la fuerza ejercida por la perturbación

espiral. El resultado fundamental es que el signo de los momentos para espirales retrasadas y

adelantadas es opuesto. En el caso de ondas retrasadas, el momento ejercido en las regiones

externas por las regiones internas debido a la simetría axial es positivo. Además, si la onda es

cuasiestacionaria, los intercambios de momento angular entre las estrellas y la onda ocurren

solamente en las resonancias de Lindblad o de corrotación. Para una estrella que no esté en

resonancia, el promedio de las variaciones de momento angular debe cancelarse, ya que la estrella

interactúa con la onda en fases diferentes. Por el contrario, los efectos en las resonancias se

acumulan. Los cálculos de Lynden-Bell y Kalnajs muestran que las estrellas ceden momento

angular en la resonancia interna y lo absorben en la corrotación y en la resonancia externa. Por

tanto, sólo las ondas retrasadas pueden transferir j. Esto se ilustra en la Figura 14, donde se

muestran las fuerzas tangenciales debidas a la perturbación espiral. Estas fuerzas se cancelan por

simetría si la trayectoria es circular, pero se acumulan para una órbita elíptica resonante. En la

24

resonancia externa, la dirección de rotación se invierte, así como el sentido de los intercambios de

e y j.

Figura 14 Fuerzas ejercidas sobre las estrellas porla perturbación espiral en la reonancia de Lindbladinterna. (a) El excedente de fuerzas radiales y ladeformación correspondiente de las órbitas circulares.(b) El excedente de fuerzas tangenciales experimentadopor la órbita perturbada. Las fuerzas se dirigen siempreen sentido opuesto al de movimiento de la estrella en suórbita. Por tanto, la estrella pierde energía y momentoangular. Lo contrario sucede en la resonancia externa.

Excitación de las ondas espirales por una compañera

El paso de una compañera crea fuerzas de marea características. La fuerza de atracción

diferencial ejercida sobre las estrellas hace que el lado más cercano a la compañera sea atraído

con mayor fuerza que el más lejano, alargando la galaxia (Figura 15). La descomposición del

potencial de marea en series de Fourier tiene un término dominante en m = 2. Esta estimación sólo

es válida si las dos compañeras están suficientemente lejos. Para galaxias muy cercanas el

término dominante es m = 1.

Figura 15 Las fuerzas de marea ejercidas por una compañera C a una distanciarelativamente lejana del centro galáctico G produce un alargamiento en la dirección GC. Por lotanto, el paso de la compañera tiene como efecto excitar las oscilaciones epicíclicas de la partícula,cuya órbita se hace elíptica y precesa a un ritmo Ω - κ/2.

25

Las simulaciones del encuentro de dos compañeras representadas por potenciales centrales y

partículas de prueba muestran como se desarrollan las perturbaciones en las regiones externas.

Dado que en estas simulaciones no se tiene en cuenta la autogravedad, el desarrollo de las ondas

es cinemático: la órbita circular de una estrella se hace elíptica por la elongación producida por las

fuerzas de marea, con el eje mayor alineado con la compañera. En otras palabras, la compañera

excita las oscilaciones epicíclicas. Las órbitas deformadas precesan a ritmos diferentes y se

enroscan formando una espiral. Sin embargo, esto no explica cómo la onda espiral interna se

prolonga hasta formar los brazos espirales externos. Tomemos el caso de M51. Su compañera

NGC 5195 puede dar origen a una gran onda espiral (las fuerzas de marea son nulas en el centro

de la galaxia y varían como r2). La onda debe excitarse dentro de los límites de la galaxia y

propagarse hacia el centro, pero el tiempo de propagación es relativamente largo (unas cuantas

rotaciones galácticas) y la compañera podría haber tenido tiempo de alejarse. Este problema

desaparece al tener en cuenta el mecanismo de amplificación de oscilación. Incluso una

perturbación de marea pequeña en el centro puede amplificarse y lo hará mucho más rápidamente

que en las regiones exteriores, ya que las causas de la amplificación (rotación diferencial y

epiciclos) varían rápidamente (ver Figura 2). El ciclo de amplificación es tan rápido en el centro que

una perturbación inicial muy débil puede desarrollar una amplitud mucho mayor que una

perturbación exterior muy fuerte. Esto sucede antes de que la onda se propague desde el centro al

borde de la galaxia (Figura 16, simulación de N-cuerpos de Zang y Toomre 1981).

Figura 16 La respuesta de un discouniforme de partículas a un impulso de mareade la forma cos 2θ. En (a), (b) y (c) se tieneen cuenta la gravedad. El tiempo de impulsodurante el cual las fuerzas de marea actúanaumenta en razones 0.5, 1 y 2respectivamente. La amplitud de laperturbación es la misma (2%) en los trescasos. En (d) se desprecia la autogravedad:sólo se desarrollan ondas cinemáticas, y lasregiones internas de la galaxia apenasmuestran perturbación, aún cuando laamplitud de las fuerzas de marea es el doble(4%). La autogravedad, que permite laamplificación de oscilación, es esencial paraque se desarrolle la onda de densidad espiralen las regiones interiores.