Gamboa- Aprendizaje de geometría.pdf

Revista Electrnica Educare Vol. XIV, N 2, [125-142], ISSN: 1409-42-58, Julio-Diciembre, 2010

Ronny Gamboa Araya y Esteban Ballestero Alfaro 125

La enseanza y aprendizaje de la geometra en secundaria, la perspectiva de los estudiantes

The Students Perspective of Geometry Teaching and Learning in High School

Ronny Gamboa Araya1Escuela de Matemtica de la Universidad Nacional de Costa Rica

Heredia, Costa [email protected]

Esteban Ballestero Alfaro2Escuela de Ciencias y Letras del Instituto Tecnolgico de Costa Rica

San Carlos, Costa [email protected]

Recibido 25 de marzo de 2010 Aceptado 24 de junio de 2010 Corregido 30 de julio de 2010

Resumen. El propsito de este artculo es presentar los resultados obtenidos con la aplicacin de un cuestionario dirigido a estudiantes de secundaria de Costa Rica para conocer su percepcin sobre la enseanza y aprendizaje de la geometra. Los resultados muestran que las clases de geometra en la educacin secundaria se han basado en un sistema tradicional de enseanza, donde docentes presentan la teora, desarrollan ejemplos y aportan los ejercicios que deben ser resueltos por estudiantes. Estas actividades enfatizan en la aplicacin de frmulas y aspectos memorsticos, lo que trae como conse-cuencia que procesos de visualizacin, argumentacin y justificacin no tengan un papel preponderante en la enseanza de la disciplina. La geometra se presenta a las estudiantes y los estudiantes como un conjunto de definiciones, frmulas y teoremas totalmente alejado de su realidad y donde los ejemplos y ejercicios no poseen ninguna relacin con su contexto, consecuentemente, la geometra se percibe como poco importante, ya que no es aplicable a la vida cotidiana, cuando la realidad es otra. Adems, el grupo estudiantil considera que para tener xito en geometra hay que saber utilizar la calculadora para reali-zar clculos, tener capacidad para memorizar definiciones, frmulas y teoremas, poseer capacidad para entender los dibujos geomtricos y realizar listas de ejercicios para desarrollar la habilidad prctica.

Palabras clave. Enseanza, aprendizaje, geometra, estudiantes.

[Nmero publicado el 15 de diciembre del 2010]

1 Mster en Ciencias en la especialidad de Matemtica Educativa del Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del Instituto Politcnico Nacional de Mxico. Licenciado en la Enseanza de la Matemtica de la Universidad Nacional de Costa Rica. Actualmente es el director de la Escuela de Matemtica de la Universidad Nacional de Costa Rica.

2 Mster en Ciencias en la especialidad de Matemtica Educativa del Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del Instituto Politcnico Nacional de Mxico. Bachiller en la Enseanza de la Matemtica asistida por Computadora del Instituto Tecnolgico de Costa Rica. Actualmente es profesor de la Escuela de Matemtica de la Universidad Nacional de Costa Rica y del Instituto Tecnolgico de Costa Rica, sede Santa Clara, San Carlos.


126 Ronny Gamboa Araya y Esteban Ballestero Alfaro

Abstract. The purpose of this article is to present the results obtained from a questionnaire applied to Costa Rican high school students, in order to know their perspectives about geometry teaching and learning. The results show that geometry classes in high school education have been based on a tradi-tional system of teaching, where the teacher presents the theory; he presents examples and exercises that should be solved by students, which emphasize in the application and memorization of formulas. As a consequence, visualization processes, argumentation and justification dont have a preponderant role. Geometry is presented to students like a group of definitions, formulas, and theorems completely far from their reality and, where the examples and exercises dont possess any relationship with their context. As a result, it is considered not important, because it is not applicable to real life situations. Also, the students consider that, to be successful in geometry, it is necessary to know how to use the calculator, to carry out calculations, to have capacity to memorize definitions, formulas and theorems, to possess capacity to understand the geometric drawings and to carry out clever exercises to develop a practical ability.

Key words. Teaching, learning, geometry, students.

Introduccin

La geometra ha sido considerada como uno de los pilares de formacin acadmica y cultural del individuo, dada su aplicacin en diversos contextos; su capacidad formadora del razonamiento lgico (Bez e Iglesias, 2007); y su contribucin en el desarrollo de habilidades para visualizar, pensar crticamente, intuir, resolver problemas, conjeturar, razonar deductivamente y argumentar de manera lgica en procesos de prueba o demostracin (Jones, 2002).

Hernndez y Villalba (2001) brindan una visin de la geometra como:

La ciencia del espacio, vista esta como una herramienta para describir y medir figuras, como base para construir y estudiar modelos del mundo fsico y fenmenos del mundo real.

Un mtodo para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras reas en matemticas y en otras ciencias; por ejemplo, grficas y teora de grficas, histogramas, entre otros.

Un punto de encuentro en una matemtica terica y una matemtica como fuente de mode-los.

Una manera de pensar y entender. Un ejemplo para la enseanza del razonamiento deductivo. Un modelo para la enseanza del razonamiento deductivo. Una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como innovadoras, como por ejemplo,

grficas por computadora, procesamiento y manipulacin de imgenes, reconocimiento de patrones, robtica, investigacin de operaciones.

Adems, autores como Castiblanco, Urquina, Camargo y Acosta (2004) sealan que el desarrollo histrico de la geometra ha estado relacionado con actividades humanas, sociales, culturales, cientficas y tecnolgicas; situacin que puede utilizarse para justificar un re-direccionamiento de los procesos de enseanza hacia el logro de una visin contextualizada de la geometra, la cual, a diferencia de la percepcin disjunta que concibe su evolucin de forma enajenada de la dinmica social, se oriente a potenciar su aplicabilidad y utilidad en la vida del ser humano, as como a incentivar en los estudiantes y las estudiantes el desarrollo de ciertas habilidades, entre ellas, razonamiento y justificacin (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000).



No obstante, en el sistema de educacin formal, en primaria y secundaria, usualmente los contenidos de geometra son presentados al estudiantado como el producto acabado de la actividad matemtica. La enseanza tradicional de esta disciplina se ha enfatizado en la memorizacin de fr-mulas para calcular reas y volmenes, as como definiciones geomtricas, teoremas y propiedades, apoyadas en construcciones mecanicistas y descontextualizadas.

Incluso autores como Abrate, Delgado y Pochulu (2006) sealan que algunas docentes y algunos docentes priorizan la enseanza de las matemticas en otras reas y van desplazando los contenidos de geometra hacia el final del curso, lo que les implica, en variados casos, la exclusin de estos temas o su atencin de manera superficial. La enseanza de la geometra con este enfo-que ha provocado que esta sea considerada como una disciplina difcil y poco til para la mayora estudiantil.

Esta situacin deja entrever que la enseanza de la disciplina no est logrando los objetivos deseados, pues la geometra se puede considerar como un instrumento reflexivo que le permite al ser humano resolver problemas de diversa ndole y comprender el mundo en cada uno de los esce-narios que lo conforman, sea este natural o artificial. Incluso, autores como Almeida (2002) sealan la existencia de algunos objetivos generales que toda persona debera alcanzar durante su formacin bsica: tener una cultura geomtrica con visin histrica e interdisciplinaria, aplicar conocimientos geomtricos para modelar, crear o resolver problemas reales, usar los diferentes lenguajes y repre-sentaciones, entre otros.

Aunque existen diversas investigaciones sobre la evolucin del conocimiento y el aprendizaje, especficamente en el rea de geometra, las diferentes situaciones que se presentan en las aulas evidencian la necesidad, por parte de docentes y estudiantes, de promover un aprendizaje efectivo (Goncalves, 2006).

Para realizar ese cambio efectivo que permita un mayor aprendizaje es necesario tener una visin general del contexto actual de la enseanza y aprendizaje de la geometra, lo cual permitir tomar acciones tendientes a mejorar y corregir los posibles errores.

Con el objetivo de lograr una visin general de la situacin actual de la enseanza y apren-dizaje de la geometra en la educacin secundaria costarricense, y con el propsito de conocer su opinin como actores fundamentales del proceso, se aplic un cuestionario dirigido a estudiantes y docentes.

En el presente artculo se muestran los resultados obtenidos con 233 estudiantes de secunda-ria, de todos los niveles. Primeramente se presentan algunos referentes tericos respecto al apren-dizaje y enseanza de la geometra y los procesos de visualizacin y justificacin (fundamentales en el aprendizaje de la disciplina).

Luego se realiza una breve descripcin de la metodologa utilizada para la aplicacin del cues-tionario y del proceso empleado para el anlisis de los datos. Posteriormente se presenta el anlisis de la informacin recolectada y se finaliza con algunas reflexiones y conclusiones a partir de los resultados obtenidos.

El aprendizaje y enseanza de la geometra

De acuerdo con el Costa Rica. Ministerio de Educacin Pblica (2005), en la enseanza de la geometra se debe combinar la intuicin, experimentacin y la lgica. Adems, se debe utilizar construcciones para caracterizar las figuras, para que, a partir de estas, el estudiantado formule deducciones lgicas.



Bez e Iglesias (2007) sealan seis principios didcticos que consideran fundamentales dentro de los procesos de enseanza y aprendizaje de la geometra:

Principio globalizador o interdisciplinar: Consiste en un acercamiento conciente a la realidad, donde todos los elementos estn estrechamente relacionados entre s.

Integracin del conocimiento: El conocimiento no est fragmentado, sino que representa un saber integrado, lo que implica tambin una integracin de los objetivos, contenidos, metodologa y la evaluacin.

Contextualizacin del conocimiento: Los conocimientos son adaptados a las necesidades y caractersticas de las estudiantes y los estudiantes, a partir del uso de hechos concretos.

Principio de flexibilidad: La organizacin y administracin del proceso educativo debe ser adaptable a las necesidades del alumnado, sin perder de vista el logro de los objetivos propuestos.

Aprendizaje por descubrimiento: Todo proceso de enseanza debe considerar una participa-cin activa del estudiantado, de manera que propicie la investigacin, reflexin y bsqueda del conocimiento.

Innovacin de estrategias metodolgicas: El grupo docente debe buscar y emplear estrategias metodolgicas que incentiven al alumnado hacia la investigacin, descubrimiento y construc-cin del aprendizaje.

Por otra parte, Veloso (1998), (citado por Almeida, 2002), hace tambin un aporte en esta direccin, sealando que la enseanza de la geometra en secundaria debe:

Profundizar y sintetizar los aspectos geomtricos en desarrollo, como la comprensin del espacio y de los respectivos modelos geomtricos que son dados por las matemticas; es decir, partir de problemas y situaciones relacionadas con el espacio, como la simetra, la forma y la dimensin.

Integrar la historia de la geometra en su enseanza, para permitir al alumnado tener la nocin de la existencia de otras geometras.

Buscar la conexin de la geometra con otras ramas de las matemticas, con otras disciplinas como el arte y promover su aplicabilidad en contextos reales.

El NCTM (2000), dentro de su visin de estandarizacin de la enseanza de las matemticas, aporta directrices para orientar la enseanza de la geometra desde la enseanza preescolar hasta la secundaria. Esta propuesta gira en torno a cuatro objetivos generales, para los cuales existen obje-tivos especficos en cada nivel. Los objetivos generales son:

Analizar las caractersticas y propiedades de figuras geomtricas de dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos matemticos sobre relaciones geomtricas.

Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas geomtricas y otros sistemas de representacin.

Aplicar transformaciones y usar la simetra para analizar situaciones matemticas. Utilizar la visualizacin, el razonamiento matemtico y la modelizacin geomtrica para

resolver problemas.

De dicha propuesta se puede observar que los procesos de descripcin, comprensin, anlisis, construccin, exploracin, visualizacin, argumentacin, aplicacin, entre otros, deben



ser implementados en la enseanza de la geometra mediante el planteamiento de situaciones problema que impliquen, para el alumnado, un nivel cognitivo no limitado al uso de una frmula o proceso algortmico.

Sin embargo, y a pesar de que las distintas propuestas sealan la importancia de la enseanza de la geometra y dan algunas pautas para ello, frecuentemente la enseanza de esta disciplina se ha limitado a reconocer figuras y dibujarlas en el papel. Las lecciones se han desarrollado de manera abstracta, sin proporcionarles a las estudiantes y a los estudiantes ejemplos reales o contextualizados que les faciliten un mejor entendimiento de los contenidos (Goncalves, 2006). Adems, los recursos utilizados para la enseanza de la geometra son limitados y se circunscriben a los tradicionales, pues en la mayora de los casos el proceso de enseanza est condicionado por los libros de texto, que impactan considerablemente en el qu y cmo ensear (Abrate et al., 2006).

Aunque las docentes y los docentes, en su mayora, son conscientes de la importancia de la geometra como una disciplina aplicable a muchos contextos y situaciones reales, el alumnado se encuentra en una disyuntiva cuando estudia la disciplina, pues si bien el profesorado les dice que es importante para su futuro como individuo, el mismo proceso educativo en el que se encuentra inmerso no le permite visualizar esa importancia con suficiente claridad; de manera que el aprendizaje de la geometra carece de sentido y con el tiempo repercute en su estado anmico (Bez e Iglesias, 2007).

Barrantes (2004) seala que en las ltimas dcadas la enseanza de la geometra se caracte-rizaba por:

Una fuerte tendencia a la memorizacin de conceptos y propiedades que muchas veces se basan en conceptos previos.

La resolucin automtica de problemas en la que se tratan aspectos aritmticos. Una exclusin de la intuicin, demasiado pronto, como acceso al conocimiento geomtrico.

Bez e Iglesias (2007) sealan que, a nivel de educacin bsica, la enseanza de las matemti-cas presenta dificultades, particularmente la enseanza y aprendizaje de la geometra, pues algunas veces las docentes y los docentes no desarrollan los contenidos geomtricos contemplados en los programas ya sea por desconocimiento de la importancia de la disciplina o por poco dominio de los contenidos geomtricos. En aquellos casos en que s se desarrollan, se hace enfatizando en el uso de frmulas y clculo de reas.

Al respecto, Goncalves (2006) seala que aunque las estudiantes y los estudiantes pueden resolver problemas concretos con bastante habilidad, carecen de estrategias de solucin cuando se enfrenten a las mismas situaciones planteadas en otros contextos diferentes, abstractos o ms for-malizados. Otra situacin tpica () es la de los estudiantes que tienen que recurrir a memorizar las demostraciones de los teoremas o las formas de resolver los problemas, pues es la nica manera de llegar a aprobar los exmenes (Goncalves, 2006, p. 90).

Si bien la importancia de la enseanza de la geometra radica en ser la disciplina donde el estudiantado lleva a cabo procesos de razonamiento, la situacin que se da en las aulas es distinta; pues uno de los problemas en la enseanza de la geometra es la dificultad que existe para que las estudiantes y los estudiantes pasen de la descripcin de las figuras a un proceso ms formal, basado en razonamientos y argumentacin (Castiblanco et al., 2004).

Cul es la visin de las estudiantes y los estudiantes que han pasado por los procesos edu-cativos formales, de la primaria y secundaria, sobre su experiencia directa al estudiar geometra? Barrantes y Blanco (2005, 2004) sealan algunas concepciones que estudiantes ya graduados poseen acerca de la enseanza de la geometra:



Consideran que la finalidad de la enseanza de la geometra es adquirir conocimiento, ya sea por cultura general o porque es una parte de las matemticas y todas son importantes.

Conciben la geometra escolar como una materia difcil, a la que se dedica poco tiempo. Sealan que la geometra es una materia muy terica, abstracta y complicada de entender,

para la que se necesita una mayor capacidad de razonamiento. Para el estudiantado la dificultad de la geometra radica, principalmente, en la memorizacin

de frmulas y saber cundo aplicarlas. Indican que para aprender geometra es necesario la explicacin de la profesora o profesor y

la prctica, pues si se es capaz de resolver las prcticas se puede verificar si se comprendi el tema en estudio.

Revelan que la metodologa clsica para la enseanza de la geometra se divide en dos: la parte terica, caracterizada por definiciones, propiedades, entre otros, y la parte prctica, donde se entienden como sinnimos las palabras problema y ejercicio.

Apuntan que los contenidos que ms se estudian son los relacionados con la geometra plana; en la geometra espacial se profundiza menos.

Manifiestan que la pizarra y el libro de texto son los recursos ms utilizados para la ensean-za de la geometra.

Destacan que el uso de materiales como figuras de madera u otros son poco frecuentes y cuando se utilizan se hacen construcciones o actividades sin ninguna utilidad posterior.

Declaran que las actividades geomtricas frecuentemente son extradas del libro de texto y suelen estar relacionadas con el estudio de elementos de las figuras, clasificacin y sobre todo de medida; es decir, resolucin de problemas tradicionales.

Indican que el examen es el elemento ms importante de la evaluacin.

Lo anterior nos indica que la enseanza de esta disciplina se ha inscrito en un ambiente aislado del entorno del estudiante, donde los contenidos no representan un conocimiento til para este y donde el ensayo, el error y la discusin no son aprovechados como un medio para lograr un aprendizaje.

Esta problemtica en la enseanza de la geometra plantea, a todos los involucrados en el pro-ceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas, un reto para hallar diferentes alternativas de solucin, pues se ha desvirtuado la enseanza de esta disciplina y se han dejado de lado procesos de razonamiento, argumentacin y visualizacin, trascendentales para el aprendizaje de la geometra.

Procesos de visualizacin y justificacin

El aprendizaje de la geometra implica el desarrollo de habilidades visuales y de argumenta-cin. Ms an, para lograr un aprendizaje significativo es necesario construir una interaccin fuerte entre estos dos componentes, de manera que el discurso terico quede anclado en experiencias perceptivas que ayuden a construir su sentido y, a su vez, las habilidades visuales deben ser guiadas por la teora, para ganar en precisin y potencia (Castiblanco et al., 2004).

Estos autores, adems, mencionan que el aprendizaje de la geometra se centra principalmente en tres aspectos:

a) Los procesos de visualizacin (que constituyen el soporte de la actividad cognitiva en geometra donde la estudiante y el estudiante evolucionan en su percepcin de los objetos) y su potencial heurstico en la resolucin de problemas.



b) Los procesos de justificacin propios de la actividad geomtrica.c) El papel que poseen las construcciones geomtricas en el desarrollo del conocimiento

geomtrico.

Para que el aprendizaje de la geometra no carezca de sentido, es importante que el grupo docente se preocupe por buscar un equilibrio entre la asociacin de habilidades de visualizacin y argumentacin, pues ambas habilidades son fundamentales dentro del proceso formativo del individuo. Es decir, no se trata slo de ensear contenidos como una receta o por cumplir con lo estipulado en el currculo sino que se pretende que con la enseanza de la geometra el estudiantado aprenda a pensar lgicamente.

El ser humano, desde su infancia, crea representaciones del mundo fsico que le rodea. Estas le generan una necesidad (terica y prctica) para lograr el entendimiento de ese mundo. El hemisferio derecho del cerebro resulta ser el ms beneficiado ante la presencia de estmulos visuales, a diferencia del hemisferio izquierdo, que tiene la responsabilidad de desarrollar las capacidades verbales.

El estudio de la geometra contribuye significativamente al desarrollo de esas necesidades espaciales de visualizacin; sin embargo, hasta una poca histrica reciente, que data a partir de la dcada de los aos 50, es cuando educadores matemticos se interesaron por el estudio de dicho campo, al vincular la capacidad matemtica con la capacidad espacial.

Aunque se ha reconocido la importancia de la capacidad aritmtica y el desarrollo de la capacidad de razonamiento, los contenidos geomtricos asociados a la capacidad espacial han sido desplazados a un segundo plano en importancia, pues prcticamente desapareci de los planes de estudio durante la poca de los aos sesenta y setenta, como consecuencia del posicionamiento de las llamadas Matemticas modernas, caracterizadas por su formalismo y la algebrizacin de la geometra.

Torregrosa y Quesada (2007) sealan que, en el estudio de la geometra, se denomina visua-lizacin al proceso o accin de transferencia de un dibujo a una imagen mental de un objeto (que no tiene que ser igual para todos) o viceversa. Es decir, un dibujo de un cuadrado (que est sujeto a ciertas definiciones y propiedades) condiciona en cada individuo una imagen mental de este, que va estar asociada a ciertas afirmaciones matemticas que el mismo individuo le proporciona.

La definicin anterior menciona que la visualizacin es, ante todo, un proceso; esto implica que debe darse de forma paulatina. La persona primeramente se ve expuesta ante un dibujo geom-trico esttico, pero cuando esta empieza a extraer relaciones o identificar algunas propiedades que le permiten conocer, con mayor profundidad, aquel dibujo, entonces se dice que est visualizando. La figura esttica empez a tener ms sentido y mentalmente empieza a construir una imagen ms compleja, que va ms all de los trazos externos. La capacidad de ver ms all de lo descriptivo en un dibujo geomtrico, identificando propiedades y comprendiendo su interrelacin, resume los elementos que pueden derivarse a partir de la visualizacin.

Clements y Battista (1992), (citado en Castiblanco et al., 2004), consideran que (...) la visua-lizacin integra los procesos por medio de los cuales se obtienen conclusiones a partir de las repre-sentaciones de los objetos bi o tridimensionales observadas en construcciones y manipulaciones (p. 10).

Por ejemplo, Gamboa y Morales (2008), basados en Castiblanco et al., 2004), proponen el siguiente ejemplo en el cual, despus de un proceso de visualizacin a partir de una representacin grfica, se puede realizar un proceso de justificacin de la conjetura obtenida.



B

D

A

C

Figura 1. Rectngulo ABCD

I

A

B

B

E

H

ID

D

C

G

F

B

E

H

F

ID

C

G

A

Figura 2. Rectngulo con vrtices A, B, C y D.

B

B

E

F

I

I

Sea el rectngulo ABCD, donde BD es una de sus diagonales (Figura 1).

Si sobre el segmento BD se construye un punto I y, adems, se construyen los puntos E, F, G, H tales que A E B, B F C, C G D, A H D, BC EG, AB FH y BD EG FH = {I} (Figura 2), qu se puede deducir de las reas de AEIH y IFCG?

{ }BD EG FH I=

Dada la representacin anterior, se puede investigar qu relacin tienen las reas de los cuadrilteros

AEIH y IFCG. Visualmente, se podra dar la siguiente solucin.

= =

{ }BD EG FH I=



H

I

D

= =D

G

IE

H

F

I

I

A

C

G

B

E

H

F

A

C

D

G

IB

E

H

F

A

C

D

G

II

Qu justifica esta conjetura?

Mediante una exploracin visual, el estudiantado podra observar que ABD DBC y (ABD) = (DBC) (Figura 3). Este resultado se puede aprovechar para dos cosas:

para que la estudiante y el estudiante conjeture que en un rectngulo, la diagonal divide a este en dos tringulos congruentes y, por lo tanto, con la misma rea;para que, al investigar por qu dicha propiedad se cumple, compruebe que existen dos resul-tados que apoyan esta conclusin:

la diagonal de un paralelogramo divide a este en dos tringulos congruentes;si dos tringulos son congruentes entonces poseen igual rea.

Figura 3. La diagonal de un rectngulo divide a este es dos tringulos congruentes.



Dado que los cuadrilteros BEIF y IHDG y son rectngulos con diagonales BI y DI y (Figura 3), respectivamente, la propiedad anterior permite deducir que:

BEI IFB y (BEI) = ( IFB) IHD DGI y (IHD) = ( DGI)

Luego, (ABD) = (BEI) + (IHD) + (AEIH) (DBC) = (IFB) + (DGI) + (IFCG)

As,

(ABD) = (DBC) (BEI) + (IHD) + (AEIH) = (IFB) + (DGI) + (IFCG) (AEIH) = (IFCG)

El ejemplo anterior permite describir un proceso que no se acaba al comprobar visualmente una determinada conjetura, sino que esta se convierte en un punto de partida para que el estudian-tado descubra, ofrezca argumentos y elabore razonamientos lgico-matemticos que la apoyen o la verifiquen.

Para avanzar en el aprendizaje de la geometra las estudiantes y los estudiantes deben pasar de un discurso informal basado en una argumentacin descriptiva, a un discurso formal, el cual, apo-yado en la visualizacin, genere un razonamiento que no se basa en una simple descripcin de una figura, sino que encadena proposiciones usando inferencia lgica, donde se enuncian definiciones y teoremas (Castiblanco et al., 2004).

As, si se pretende hacer un cambio en la enseanza y aprendizaje de la geometra, esta debe centrarse en facilitar los procesos de visualizacin y justificacin, que le permitan el estudiantado construir su propio conocimiento y valorar esta disciplina no como un producto ya acabado, sino como un campo de descubrimiento y una herramienta para comprender el mundo circundante. La responsabilidad de este cambio recae, en parte, en el personal docente, pues es este grupo quien debe valorar sus prcticas pedaggicas y proponer situaciones de aprendizaje innovadoras y orien-tadas a incentivar dichos procesos, con el fin de lograr un aprendizaje significativo.

Metodologa

Teniendo como base los referentes tericos expuestos anteriormente y con el objetivo de lograr una visin general de la situacin actual de la enseanza y aprendizaje de la geometra en la educacin secundaria costarricense, se aplic un cuestionario dirigido a estudiantes, con el pro-psito de conocer su opinin y elaborar un diagnstico de lo que sucede en la aulas costarricenses, respecto de la enseanza de la disciplina.

El cuestionario elaborado y aplicado a las estudiantes y los estudiantes const de 24 pregun-tas, las cuales estaban relacionadas con informacin general, su opinin respecto a qu es aprender geometra, temas en los cuales ha tenido mayor dificultad, tipo de dificultades que ha presentado al



estudiar geometra, estrategias metodolgicas empleadas por la profesora o profesor, estrategias de estudio y uso de la tecnologa.

Este cuestionario se elabor y se valid en el primer semestre 2008. Despus de su elaboracin el cuestionario se someti al juicio de expertos para su respetiva revisin; poste-riormente fue aplicado a 15 estudiantes de secundaria, que no formaron parte de la poblacin del estudio, con el propsito de analizar sus dudas y comentarios sobre el instrumento y, de ser posible, ser incorporadas en este para su posterior uso. La aplicacin se realiz en el segundo semestre del ao 2008 a un total de 233 estudiantes de tres instituciones educativas de secundaria (ver Cuadro 1).

Cuadro 1Distribucin de estudiantes de acuerdo al gnero por institucin educativa

InstitucinGnero

TotalMasculino Femenino No respondi

Colegio Tcnico Profesional de Puriscal 120 117 1 138Liceo de Santa Gertrudis 140 143 0 183Liceo Len Corts Castro 134 145 1 180No respondi el nombre de la institucin 117 115 0 132

Total 111 120 2 233

La seleccin de los estudiantes de las tres instituciones educativas se realiz teniendo presente la localizacin geogrfica del colegio y la disposicin del profesorado respectivo para la aplicacin del cuestionario.

Del total de estudiantes encuestados haba 111 hombres y 120 mujeres, distribuidos por nivel de la siguiente manera: 40 stimo, 78 octavo, 51 noveno, 40 dcimo, 23 undcimo y 1 duodcimo (ver Cuadro 2).

Cuadro 2Distribucin de estudiantes segn nivel por institucin educativa

InstitucinNivel

TotalStimo Octavo Noveno Dcimo Undcimo Duodcimo

Colegio Tcnico Profesional de Puriscal, Puriscal

10 27 10 10 10 1 138

Liceo de Santa Gertrudis, Grecia 13 22 19 18 11 0 183Liceo Len Corts Castro, Grecia 16 19 15 21 19 0 180No respondi en nombre de la institucin 11 10 7 11 13 0 132

Total 40 78 51 40 23 1 233



A continuacin se presentan los resultados ms relevantes.

Anlisis de resultados

Al grupo de estudiantes encuestados se le pidi completar la frase Para m aprender geo-metra es Aunque se obtuvieron variadas respuestas, la siguiente categorizacin resume los comentarios realizados por los estudiantes.

Tabla 3Comentarios realizados por el estudiantado para completar la frase Para m aprender geometra es

Frase Absoluto PorcentajeAlgo importante, interesante 172 130,9Difcil, una situacin que no es de mi agrado, aburrido 170 130,0Estudiar propiedades de las figuras 119 108,2Fcil 118 107,7Una forma de aprender, pensar y razonar 111 104,7Aprender matemtica 119 103,9Poco til, una prdida de tiempo 114 101,7Otros 114 106,0No respondi 116 106,9

Total 233 100,0

Como lo muestra el Cuadro # 3, aunque un importante nmero de estudiantes seala que estu-diar geometra es algo importante e interesante, una cifra no despreciable de alumnas y alumnos seala que es difcil y aburrido. Entre algunas de las respuestas dadas por estn: es una materia muy fcil, pero a veces es muy aburrida; la geometra es una forma de aprender e interesante, pero al mismo tiempo cansada y difcil; estudiar geometra es aprender a hacer muchas cosas matemticas; es como aprender cualquier otra cosa, da igual; es muy importante porque la geometra es parte de los que nos rodea; es difcil por las frmulas y aburrido; es algo muy interesante y divertido por que nos entretenemos haciendo los ejercicios, cada vez vamos aprendiendo ms; es algo importante, pero un poquito enredado; la geometra es muy importante, ya que se puede utilizar tanto en la vida cotidiana como en el colegio y la universidad; bonito, pero todo depende de la profesora o profesor; es fcil pero no me va a servir de nada; depende de la forma en que la profesora o el profesor la ensee es fcil o difcil; la geometra es lo ms aburrido del mundo; es una materia muy pero muy difcil y complicada, adems de aburrida; es difcil, pero con dedicacin se logra lo mejor en mate-mticas; es simplemente solo para pasar el colegio; aprender geometra es saber frmulas y aplicar conocimientos con los tringulos para poder avanzar en el mundo de las matemticas.

Se puede observar que el estudio de esta disciplina se asocia, por varias y varios estudiantes, como aprender propiedades de las figuras geomtricas, mientras que otras y otros consideran que estudiar geometra no tiene ninguna importancia y particularidad en especial, simplemente es parte de las matemticas. Es importante sealar que el estudiantado indica que la memorizacin



de frmulas y propiedades de las figuras geomtricas y el factor profesora o profesor son componentes que influyen en la enseanza y aprendizaje de la geometra.

Respecto de la importancia de aprender geometra en secundaria, 182 estudiantes respondieron afirmativamente y 46 indicaron que el estudio de esta disciplina no tiene relevancia en el colegio. Entre las razones que apuntaron para justificar que el estudio de esta disciplina no es importante estn:

Porque es muy aburrido. Porque no veo el modo de utilizarla ni ahora ni nunca y pienso que mucha gente tambin lo

piensa as. Porque algunas veces no se necesita en el futuro. Porque no tiene nada que ver con la carrera que yo quiero estudiar. Porque es muy difcil y sirve de muy poco, depende de la carrera que se escoja. No me gusta, es muy aburrido, innecesario, es el tema que complica la resolucin del examen

de matemtica en bachillerato Porque creo que es un tema fcil, por lo cual en la secundaria no sera tan importante. Porque eso se ve en la escuela y no precisa volver a verlo.

El principal argumento que brindan para justificar la poca importancia que se le da al estu-dio de la geometra, es que no le encuentran una utilidad a los contenidos que se desarrollan en secundaria y consideran que lo que aprendieron en la escuela es suficiente. Razones opuestas dan quienes consideran que aprender geometra en secundaria es importante, pues estos indican que los contenidos que se desarrollan son aplicables en la vida cotidiana. Pareciera, entonces, segn las razones dadas por las estudiantes y los estudiantes, que la importancia de aprender la disciplina est asociada a la aplicabilidad de esta, es decir, sera importante aprender solamente lo que se puede utilizar en la vida.

Respecto de los temas de geometra en los cuales el estudiantado ha tenido mayor dificultad, en orden descendente, se encuentran: ngulos entre dos rectas paralelas y una transversal, semejan-za de tringulos y teorema de Thales, rectas notables en un tringulo (altura, mediana, mediatriz, bisectriz) y tringulos (clasificacin, desigualdad triangular, ngulo externo, entre otros).

Al realizar el anlisis por nivel, los temas en los cuales sealaron haber tenido mayor dificul-tad son: rectas notables en un tringulo (altura, mediana, mediatriz, bisectriz) (stimo ao), seme-janza de tringulos y teorema de Thales (octavo ao), teorema de Pitgoras (noveno ao), ngulos entre dos rectas paralelas y una transversal (dcimo y undcimo ao), reas sombreadas y reas y volmenes de slidos (undcimo ao). Es importante sealar que el 71,2% de estudiantes seala que su profesora o profesor de Matemticas no le da una importancia especfica a algn tema de geometra.

Respecto a las dificultades que las estudiantes y los estudiantes presentan al estudiar geometra se encuentran: resolver un problema algebraicamente; calcular permetros, reas y volmenes, debido a que no identifican cul frmula aplicar y dificultad para interpretar qu es lo que dice un problema. Al realizar el anlisis por nivel, se puede observar que en el ciclo diversificado (dcimo y undcimo ao) la principal dificultad que presentan es interpretar lo que dice un problema. La principal dificultad de las alumnas y alumnos de stimo, octavo y noveno ao, es, respectivamente, comprender las frmulas del permetro, reas y volmenes y aprender las definiciones; resolver una situacin problema algebraicamente y dificultad para extraer informacin de un dibujo geomtrico.



Nuevamente se pone de manifiesto que la memorizacin constituye, para el estudiantado, un importante elemento en el aprendizaje de la geometra, dada la necesidad de saber frmulas, definiciones y caractersticas.

Si se analizan, de acuerdo con la opinin del grupo estudiantil, las actividades, estrategias, tcnicas o mtodos que las profesoras y profesores usualmente realizan durante el desarrollo de sus clases, se puede observar que la mayora del estudiantado indica que el profesorado desarrolla su clase de manera tradicional, es decir, inicia definiendo los conceptos, esto es, con la teora, y luego realiza algn ejemplo en la pizarra. Posteriormente deja prctica. Actividades como juegos para ensear algunos temas, uso de la tecnologa, uso de material concreto y lecturas complementarias son actividades que, segn el criterio de estudiantes, son poco utilizadas.

Debido a este corte tradicional de la enseanza de la geometra, actividades como realizar dibujos que representen situaciones geomtricas con el fin de comprender la materia estudiada, visualizar y conjeturar son poco utilizadas.

Entre las principales estrategias empleadas por los estudiantes para estudiar geometra estn: leer definiciones y entender los ejercicios que la profesora y el profesor hace en clase; apren-der de memoria las definiciones y frmulas para calcular permetros, reas y volmenes; tratar de identificar cul es el procedimiento algebraico que permite resolver un problema, para aplicarlo a otros similares; aprender trucos en la calculadora que les ayuden en el momento del examen y realizar listas de ejercicios para desarrollar la habilidad prctica.

Respecto de los recursos que las profesoras y profesores utilizan para desarrollar la clase de geometra, los estudiantes sealan que hay poca diversidad. Entre los principales recursos que uti-liza el profesorado para desarrollar la clase de geometra son, en orden de importancia y segn la opinin estudiantes, la pizarra, la tiza o pilot y borrador, material fotocopiado y libro de texto. Estos recursos y su importancia son consecuentes cuando se realiza el anlisis por nivel.

Segn la opinin de las estudiantes y los estudiantes, el uso de cartulina, peridico, tijeras, goma u otro material concreto, algn programa computacional especial para geometra y equipo tecnolgico (computadora, proyector de multimedia, calculadoras, entre otros) son poco empleados por las profesoras y profesores.

Al grupo de estudiantes tambin se les interrog sobre las habilidades, hbitos o actitudes que ellos consideran que se deben poseer para tener xito en geometra. En forma general, consideran que para tener xito en geometra las tres principales habilidades, hbitos o actitudes que se deber tener son:

Saber utilizar la calculadora para realizar clculos. Capacidad para memorizar definiciones, frmulas y teoremas. Capacidad para entender los dibujos geomtricos.

Sin embargo, al realizar el anlisis por nivel se puede observar que para el grupo estudiantil de los niveles de stimo y octavo ao lo principal es tener capacidad para memorizar definiciones, frmulas y teoremas; para los de noveno ao, capacidad para entender los dibujos geomtricos; para los de dcimo, saber utilizar la calculadora para realizar clculos y para los de undmico ao, realizar listas de ejercicios para desarrollar la habilidad prctica.

Cuando a las estudiantes y los estudiantes se les pregunt si utilizaban algn recurso tec-nolgico para estudiar geometra, de los 233 estudiantes que contestaron, 122 (52,4%) seal que s, 104 (44,6%) indic que no y 7 (3%) no contest, y result la calculadora como el recurso ms utilizado. Solamente 35 estudiantes (15%) seal que utilizaba la computadora. Un porcentaje muy



bajo (13,7%) indica que ha utilizado Internet para documentarse sobre temas relacionados con la geometra.

Un comportamiento similar se presenta cuando se les pregunta si su profesora o profesor ha utilizado algn equipo tecnolgico para ensear geometra, pues slo 64 estudiantes (27,5%) seal afirmativamente e indic que la calculadora cientfica era el recurso ms utilizado.

Respecto a si les gustara recibir clases de geometra en un laboratorio de cmputo, donde ellos pudiesen utilizar una computadora, 75,5% contest que s y 24% seal que no. Los estu-diantes sealan que con el uso de la computadora el estudio de la geometra se hara ms fcil, se podra trabajar una mayor cantidad de ejemplos, le tomaran ms importancia y aprenderan ms sobre el tema. Adems, sealan que les permitira hacer ms prctica que en un libro, jugar con la geometra y podran hacer figuras geomtricas tridimensionales, sera menos aburrido, aprenderan con memoria visual, se cambiara la rutina y se podra realizar trabajos ms buenos, ms ordenados y permitira aclarar algunas dudas.

Por otra parte, algunas y algunos estudiantes sealan que el uso de la computadora no se podra implementar en las clases de geometra porque la prctica hace al maestro y las computa-doras dan la respuesta, lo que provoca prdida del trabajo realizado a mano; adems, sera mucho ms difcil y nadie pondra atencin ni dejaran poner atencin, ya que la atencin se centrara en las computadoras y no en el tema que se est desarrollando.

En relacin con este tema, los estudiantes sealan posiciones diversas. Sin embargo, la profe-sora y el profesor deben tener presente que no todas ni todos los estudiantes aprenden de la misma forma y que algunas y algunos estudiantes podran presentar resistencia al uso de la tecnologa. Cmo se use y de qu forma es responsabilidad nica de la docente y el docente.

Los resultados presentados anteriormente dan una visin de lo que ocurre en las lecciones de geometra. Corresponde a la concepcin de las estudiantes y los estudiantes. Sin embargo, permite identificar algunos puntos a los cuales se deben prestar especial atencin y que sern comentados en la seccin posterior.

El propsito no es buscar culpables respecto al porqu o no de determinada situacin, sino poder plantear acciones integrales que contribuyan a mejorar el proceso de enseanza y aprendizaje de la geometra.

Conclusiones

Los resultados sealan que las clases de geometra se han basado en un sistema tradicional de enseanza, donde es la profesora o el profesor el principal actor de este proceso. Ellos presentan la teora, desarrollan ejemplos y aportan los ejercicios que deben ser resueltos por las estudiantes y los estudiantes. Sin embargo, estos ejercicios enfatizan en la aplicacin de frmulas y aspectos memorsticos donde se deja de lado procesos de visualizacin, argumentacin y justificacin, y se incentiva la bsqueda del procedimiento algoritmo o algebraico ms adecuado para dar solucin a las actividades que se proponen.

Debido a ello, la geometra se presenta al alumnado como una receta de definiciones, fr-mulas y teoremas totalmente alejada de su realidad y donde los ejemplos y ejercicios no poseen nin-guna relacin con su contexto. Esta situacin provoca que el estudiantado no considere importante el estudio de esta disciplina porque no es aplicable a la vida cotidiana.

Aunque no existe un tema especial al cual el cuerpo docente le otorge alguna importancia especial, las estudiantes y los estudiantes reconocen que los temas en los que han tenido mayor



dificultad son: ngulos entre dos rectas paralelas y una transversal, semejanza de tringulos y teorema de Thales, rectas notables en un tringulo (altura, mediana, mediatriz, bisectriz) y tringulos (clasificacin, desigualdad triangular, ngulo externo, entre otros). En general, sealan que las principales dificultades que poseen al estudiar geometra son:

resolver un problema algebraicamente; calcular permetros, reas y volmenes, debido a que no identifican cul frmula aplicar;dificultad para interpretar qu es lo que dice un problema.

Si bien todos los temas son importantes y la profesora y el profesor debe enfatizar en cada uno de ellos, conocer los contenidos en los cuales se presenta mayor dificultad y el tipo de problema, le implica a la docente y al docente otorgar una especial importancia en ellos y emplear estrategias metodolgicas que faciliten el aprendizaje.

El uso de recursos para la enseanza de la geometra es una responsabilidad docente. Seleccionar los ms adecuados, dependen de ellos. Aunque la tecnologa es uno de estos, la utilizan muy poco. El recurso ms utilizado es la calculadora. Sin embargo, otros como juegos, uso de mate-rial concreto, algn programa computacional especial para geometra y lecturas complementarias son poco utilizadas.

Esto se debe, principalmente, a la forma tradicional de enseanza en la que se desarrolla la disciplina en las aulas de secundaria, donde los principales recursos utilizados son pizarra, tiza o pilot y borrador, material fotocopiado y libro de texto.

Esta concepcin de la enseanza de la geometra desarrolla por el estudiantado a partir de su experiencia en las aulas, puede ser la causa que lo ha llevado a pensar que para lograr xito en geometra hay que saber utilizar la calculadora para realizar clculos, tener capacidad para memo-rizar definiciones, frmulas y teoremas, poseer capacidad para entender los dibujos geomtricos y realizar listas de ejercicios para desarrollar la habilidad prctica.

Los resultados obtenidos para nuestro contexto coinciden con los sealados por Goncalves (2006), quien seala que las lecciones de geometra se han desarrollado de manera abstracta, sin proporcionarles a los estudiantes ejemplos reales que les faciliten un mejor entendimiento de los contenidos y donde estos tienen que recurrir a memorizar las demostraciones de los teoremas o las formas de resolver los problemas, pues es la nica manera de aprobar los exmenes.

Si se comparan nuestros resultados con los expuestos por Barrantes y Blanco (2005, 2004), muchas de las concepciones del estudiantado espaol coinciden con las expuestas en este docu-mento. Aunque ese no es el objetivo de la investigacin, la problemtica en la enseanza de la geometra plantea un desafo a todos los involucrados en el proceso de enseanza y aprendizaje de las Matemticas para hallar alternativas de solucin, pues la enseanza de la geometra se ha desvirtuado y se han dejado de lado procesos de razonamiento, argumentacin y visualizacin, los cuales son trascendentales para el aprendizaje.

La enseanza de la geometra debe centrarse en desarrollar, en el estudiantado, habilidades para la exploracin, visualizacin, argumentacin y justificacin, donde ms que memorizar puedan descubrir, aplicar y obtener conclusiones. El cuerpo docente debe interiorizar que en este proceso no es l el principal actor, sino los estudiantes, los cuales deben ser promotores de su aprendizaje a partir de su gua, donde las actividades planteadas y los recursos disponibles faciliten y contri-buyan en dicho proceso.



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Gamboa- Aprendizaje de geometría.pdf