Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo

7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo

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1 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector director

= (2, 5). Escribir su ecuacin vectorial.

2 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector director= (2, 5). Escribir sus ecuaciones para!tricas.


= (2, 5). Escribir su ecuacin continua.

4 Escribir la ecuacin punto pendiente de"

1 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector

director = (2, 5).

2 Una recta #ue pasa por los puntos A(2, 3) y $(%, 2).

3 Una recta #ue pasa por A(2, 3) y tiene una inclinacin de %5&.

5 Escribir la ecuacin 'eneral de la recta #ue"

1 asa por A (1, 5) y tiene coo vector director i'ual (2, 1).

2 asa por A (1, 5) y tiene coo pendiente = 2.

6 allar la ecuacin en *ora e+plcita de la recta #ue pasa por A

(1, 5) y tiene coo pendiente = 2.

7 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por A(1, 3) y $(2, 5).

8 Escribe de todas las *oras posibles la ecuacin de la recta #ue

pasa por los puntos A(1, 2) y $(2, 5).

9 allar la pendiente y la ordenada en el ori'en de la recta 3+ - 2y

= /.

10 Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones"

1 2+ - 3y % =/

2 + 2y - 1= /


2/83

3 3+ 2y 0 = /

4 %+ - y = /

5 2+ %y = /

6 2+ - 3y - 0 = /

11 4on secantes las rectas r + - y 2 = / y s + 2y - % =

/ En caso a*irativo calcular el punto de corte.

12 6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(, /), $(3,

/) y 6(, 3).

13 6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(%, 3),

$(3, /) y 6(/, 1).

14 8e un paralelo'rao A$68 conoceos A(1, 3), $(5, 1), 6(2,

/). alla las coordenadas del v!rtice 8.

15 4e tiene el cuadril7tero A$68 cuyos v!rtices son A(3, /), $(1,

%), 6(3, 2) y 8(1, 2). 6oprueba #ue es un paralelo'rao y

deterina su centro.

16 8e un paralelo'rao se conoce un v!rtice, A(, /), y el punto de

corte de las dos dia'onales, 9(, 2). :abi!n sabeos #ue otro

v!rtice se encuentra en el ori'en de coordenadas. 6alcular"

1 ;os otros v!rtices.

2 ;as ecuaciones de las dia'onales.

3 ;a lon'itud de las dia'onales.

17 allar la ecuacin de la recta r, #ue pasa por A(1 , 5), y es

paralela a la recta s 2+ - y - 2 = /.

18 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto (2, 3) y es

paralela a la recta #ue une los puntos (%, 1) y (2, 2).

19 ;a recta r 3+ - ny = / pasa por el punto A(3, 2) y es

paralela a la recta s + - 2y 13 = /. 6alcula y n.


3/83

20 8ado el tri7n'ulo A$6, de coordenadas A(/, /), $(%, /) y 6(%,

%)< calcula la ecuacin de la ediana #ue pasa por el v!rtice $.

21 ;os puntos A(1, 3) y $(3, 3), son v!rtices de un tri7n'ulo

issceles A$6 #ue tiene su v!rtice 6 en la recta 2+ %y - 3 = /siendo A6 y $6 los lados i'uales. 6alcular las coordenadas del

v!rtice 6.

SOLUCIONES

1)

Una recta pasa por el punto A(1, 3) y t iene un vector director =

(2, 5). Escribir su ecuacin vectorial.

2) Una recta pasa por el punto A(1, 3) y t iene un vector director

= (2, 5). Escribir sus ecuaciones para!tricas.

3) Una recta pasa por el punto A(1, 3) y t iene un vector director

= (2, 5). Escribir su ecuacin continua.

4) Ejercicio 4 resueltoEscribir la ecuacin punto pendiente de"


= (2, 5) .

2 Una recta #ue pasa por los puntos A(2, 3) y $(%,2).


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3 Una recta #ue pasa por A(2, 3) y tiene una inclinacin de

%5&.

Escribir la ecuacin 'eneral de la recta #ue"

1 asa por A (1, 5) y tiene coo vector director i'ual (2, 1).

2 asa por A (1,5) y tiene coo pendiente =2.

E>ercicio resuelto

allar la ecuacin en *ora e+plcita de la recta #ue pasa por A (1,

5) y tiene coo pendiente = 2.

E>ercicio resuelto

allar la ecuacin de la recta #ue pasa por A(1, 3) y $(2, 5).


5/83

E>ercicio resuelto

Escribe de todas las *oras posibles la ecuacin de la recta #ue

pasa por los puntos A(1, 2) y $(2, 5).

E>ercicio 0 resuelto

allar la pendiente y la ordenada en el ori'en de la recta 3+ - 2y

= /.


6/83

E>ercicio 1/ resuelto

Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones"

1 2+ - 3y % =/

2 + 2y - 1= /

3 3+ 2y 0 = /

4 %+ - y = /

5 2+ %y = /

6 2+ - 3y - 0 = /

Las rectas 1 y 4 son coincidentes , por#ue todos suscoe*icientes son proporcionales"

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente ,ya #ue e+iste proporcionalidad entre los coe*icientes de + y de y,

pero no en el t!rino independiente.


4on secantes las rectas r + - y 2 = / y s + 2y - % = / En

caso a*irativo calcular el punto de corte.



7/83

6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(, /), $(3,/) y

6(, 3).

6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(%, 3), $(3, /)

y 6(/, 1).


8/83

8e un paralelo'rao A$68 conoceos A(1, 3), $(5, 1), 6(2, /).

alla las coordenadas del v!rtice 8.

Ejercicio 15 resuelto

4e tiene el cuadril7tero A$68 cuyos v!rtices son A(3, /), $(1, %),

6(3, 2) y 8(1, 2). 6oprueba #ue es un paralelo'rao y

deterina su centro.


9/83


10/83


8e un paralelo'rao se conoce un v!rtice, A(, /), y el punto de

corte de las dos dia'onales, 9(, 2). :abi!n sabeos #ue otro

v!rtice se encuentra en el ori'en de coordenadas. 6alcular"

1 ;os otros v!rtices.

2 ;as ecuaciones de las dia'onales.


11/83

3 ;a lon'itud de las dia'onales.


allar la ecuacin de la recta r, #ue pasa por A(1 , 5), y es paralela a

la recta s 2+ - y - 2 = /.


allar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto (2, 3) y es

paralela a la recta #ue une los puntos (%, 1) y (2, 2).


12/83


;a recta r 3+ - ny = / pasa por el punto A(3,2) y es paralela

a la recta s + - 2y 13 = /. 6alcula y n.


8ado el tri7n'ulo A$6, de coordenadas A(/, /), $(%, /) y 6(%, %)ercicio % resuelto

6alcu la e l 7n'ulo #ue *o ran las rec tas r + - 3y 2 = / y s 2+

3y - 5 = /.


allar una recta paralela y otra perpendicular a r + - 2y - 3 = /,

#ue pasen por el punto A(3, 5).


17/83

E>ercicio resuelto

allar la ecuacin de la ediatriC del se'ento de e+treos A(2, 5)

y $(%, ).

E>ercicio resuelto

allar las ecuaciones de las bisectrices de los 7n'ulos #ue

deterinan las rectas r 3+ %y - 5 = / y s + - y - 1 = /.


18/83

E>ercicio resuelto

6alcular la ecuacin de la recta perpendicular a r + y 1 = /

y pasa por el punto (3, 2).


Una recta de ecuacin r + - 2y 0 = / es ediatriC de un

se'ento A$ cuyo e+treo A tiene por coordenadas (2, 1). allar

las coordenadas del otro e+treo.


19/83


alla el punto si!trico AD, del punto A (3, 2), respecto de la recta r

2+ - y 12 = /.


20/83


allar el 7n'ulo #ue *oran las rectas #ue tienen por ecuaciones"

1

2


allar el 7n'ulo #ue *oran las rectas #ue tienen por ecuaciones"


21/83

1

2


8adas las rectas r 3+ - y 1 = / y s 2 + - y = /, deterinar para #ue *oren un 7n'ulo de %5&.

E>ercicio 1% resuelto

Una recta es paralela a la #ue tiene por ecuacin r 5+ - y 12

= /, y dista unidades del ori'en. 6u7l es su ecuacin


22/83


Una recta es perpendicular a la #ue tiene por ecuacin r 5+ y

- 12 = / y dista % unidades del ori'en. 6u7l es su ecuacin


4e tiene el cuadril7tero A$68 cuyos v!rtices son A(3, /), $(1, %),

6(3, 2) y 8(1, 2). 6alcular su 7rea.


23/83


8ado el tri7n'ulo A(1, 1), $(, 5), 6(2, )< calcular las

ecuaciones de las alturas y deterinar el ortocentro del tri7n'ulo.


24/83


25/83

1 Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .

allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).

2 Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .

1 allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).

2 allar la trans*orada de una circun*erencia #ue tiene de centro

(3,%) y de radio 1

3 En una traslacin ediante el vector , un punto A (3, 2) se

trans*ora en un punto AD (1,5). 6alcular"

1 El trans*orado del punto $(2, %).

2 ;a trans*orada de una circun*erencia de centro (1,2).y radio 3.

4 Una traslacin tiene de vector . allar la *i'ura

trans*orada de un tri7n'ulo cuyos v!rtices son"


Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .

allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).


26/83


Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .

1 allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).

2 allar la trans*orada de una circun*erencia #ue tiene de centro

(3,%) y de radio 1


27/83


En una traslacin ediante el vector , un punto A (3, 2) se

trans*ora en un punto AD (1,5). 6alcular"

1 El trans*orado del punto $(2, %).

2 ;a trans*orada de una circun*erencia de centro (1,2).y radio 3.


28/83


Una traslacin tiene de vector . allar la *i'ura

trans*orada de un tri7n'ulo cuyos v!rtices son"


29/83

@B$;EFA4 8E HE6:B@E4

1 Un vector tienen de coponentes (5, 2). allar las

coordenadas de A si se conoce el e+treo $(12, 3).

2 8ado el vector = (2, 1), deterinar dos vectores e#uipolentes

a , , sabiendo #ue A(1, 3) y 8(2, /).

3 6alcular la distancia entre los puntos"

4 4i es un vector de coponentes (3, %), Gallar un vector unitario

de su isa direccin y sentido.

5 allar un vector unitario de la isa direccin #ue el vector

=(, ).

6 6alcula las coordenadas de 8 para #ue el cuadril7tero de v!rtices"

A(1, 2), $(%, 1), 6(5, 2) y 8< sea un paralelo'rao.

7 allar las coordenadas del punto edio del se'ento A$, de

e+treos A(3, 0) y $(1, 5).

8 allar las coordenadas del punto 6, sabiendo #ue $(2, 2) es el

punto edio de A6, A( 3, 1).

9 Averi'uar si est7n alineados los puntos" A ( 2, 3), $(1, /) y

6(, 5).

10 6alcular el valor de a para #ue los puntos est!n alineados.


30/83

11 8ados los puntos A (3, 2) y $(5, %) Galla un punto 6, alineado

con A y $, de anera #ue se obten'a .

12 8ados los v!rtices de un tri7n'ulo A(1, 2), $(3, %) y 6(1, 3),Gallar las coordenadas del baricentro.

13 8ados dos v!rtices de un tri7n'ulo A(2, 1), $(1, /) y el

baricentro I(2J3, /), calcular el tercer v!rtice.

14 allar el si!trico del punto A(%, 2) respecto de F(2, ).

15 allar el si!trico del punto A(3, 2) respecto de F(2, 5).

16 9u! puntos y 9 dividen al se'ento de e+treos A(1, 3) y

$(5, ) en tres partes i'uales

17 4i el se'ento A$ de e+treos A(1,3), $(, 5), se divide en

cuatro partes i'uales, cu7les son las coordenadas de los puntos de

divisin


Un vector tienen de coponentes (5, 2). allar las



Un vector tienen de coponentes (5, 2). allar las



31/83


6alcular la distancia entre los puntos"

E>ercicio % resuelto

4i es un vector de coponentes (3, %), Gallar un vector unitario

de su isa direccin y sentido.


allar un vector unitario de la isa direccin #ue el vector =(,

).


6alcula las coordenadas de 8 para #ue el cuadril7tero de v!rtices"

A(1, 2), $(%, 1), 6(5, 2) y 8< sea un paralelo'rao.


32/83

E>ercicio resuelto

allar las coordenadas del punto edio del se'ento A$, de

e+treos A(3, 0) y $(1, 5).

E>ercicio resuelto

allar las coordenadas del punto 6, sabiendo #ue $(2, 2) es elpunto edio de A6, A( 3, 1).


Averi'uar si est7n alineados los puntos" A ( 2, 3), $(1, /) y 6(,

5).


6alcular el valor de a para #ue los puntos est!n alineados.


33/83


8ados los puntos A (3, 2) y $(5, %) Galla un punto 6, alineado con A

y $, de anera #ue se obten'a


8ados los v!rtices de un tri7n'ulo A(1, 2), $(3, %) y 6(1, 3),

Gallar las coordenadas del baricentro.


8ados dos v!rtices de un tri7n'ulo A(2, 1), $(1, /) y el baricentro

I(2J3, /), calcular el tercer v!rtice.


34/83

E>ercicio 1% resuelto

allar el si!trico del punto A(%, 2) respecto de F(2, ).

allar el si!trico del punto A(3, 2) respecto de F(2, 5).


9u! puntos y 9 dividen al se'ento de e+treos A(1, 3) y $(5,

) en tres partes i'uales


35/83


4i el se'ento A$ de e+treos A(1,3), $(, 5), se divide en cuatro

partes i'uales, cu7les son las coordenadas de los puntos de

divisin


36/83

@B$;EFA4 @B8U6:B E46A;A@

18ados los vectores , Gallar el vector

cobinacin lineal

2 El vector , se puede e+presar coo cobinacin

lineal de los vectores

3 9u! pares de los si'uientes vectores *oran una base"

4 allar un vector unitario de la isa direccin del

vector .


37/83

5 4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del

plano los vectores tienen coo e+presiones"

6alcular el valor de M sabiendo #ue .

6 8ados los vectores =(2, M) y = (3, 2), calcula M para

#ue los vectores y sean"

1 erpendiculares.

2 aralelos.

3 Noren un 7n'ulo de /&.

7 allar M si el 7n'ulo #ue *ora = (3, M) con = (2, 1)

vale"

1 0/&

2 /&

3 %5&

8 4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del

plano los vectores tienen coo e+presiones"

6alcular el valor de M para #ue los dos vectores sean

orto'onales.

9 6alcular los 7n'ulos del tri7n'ulo de v!rtices" A(, /), $(3,

5), 6(1, 1).


38/83

10 6alcula la proyeccin del vector sobre el

vector .

11 6alcula la proyeccin del vector sobre el , siendo

A(, /), $(3, 5), 6(1, 1).

12 6oprobar #ue el se'ento de une los puntos edios de

los lados A$ y A6 del tri7n'ulo" A(3, 5), $(2, /), 6(/, 3), es

paralelo al lado $6 e i'ual a su itad.

13 4i K , L *ora una base ortonoral, calcular"

1 O

2 O

3 O

4 O


8ados los vectores , Gallar el vector

cobinacin lineal


El vector , se puede e+presar coo cobinacin lineal de

los vectores


39/83


9u! pares de los si'uientes vectores *oran una base"

E>ercicio % resuelto

allar un vector unitario de la isa direccin del

vector .


4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del plano los

vectores tienen coo e+presiones"

6alcular el valor de M sabiendo #ue .


40/83

E>ercicio resuelto

8ados los vectores =(2, M) y = (3, 2), calcula M para #ue los

vectores y sean"

1 erpendiculares.

2 aralelos.


41/83

3 Noren un 7n'ulo de /&.

E>ercicio resuelto

allar M si el 7n'ulo #ue *ora = (3, M) con = (2, 1) vale"

1 0/&

2 /&

3 %5&

E>ercicio resuelto


42/83

4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del plano los

vectores tienen coo e+presiones"

6alcular el valor de M para #ue los dos vectores sean

orto'onales.


6alcular los 7n'ulos del tri7n'ulo de v!rtices" A(, /), $(3, 5),

6(1, 1).


43/83


6alcula la proyeccin del vector sobre el vector

.


44/83


6alcula la proyeccin del vector sobre el , siendo A(, /),

$(3, 5), 6(1, 1).


6oprobar #ue el se'ento de une los puntos edios de los ladosA$ y A6 del tri7n'ulo" A(3, 5), $(2, /), 6(/, 3), es paralelo al

lado $6 e i'ual a su itad.


45/83


46/83


4i K , L *ora una base ortonoral, calcular"

1 O = 1 O 1 O cos /& = 1

2 O = 1 O 1 O cos 0/& = 0

3 O = 1 O 1 O cos 0/& = 0

4 O = 1 O 1 O cos /& = 1

@B$;EFA4 6B HE6:B@E4

1 E+presa el vector = (1, 2, 3) coo cominaci!n lineal de los

vectores" = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1).

2 4iendo = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1), deostrar

#ue dicGos vectores son linealente independientes y e+presa elvector = (1, 2, 3) coo cobinacin lineal de dicGos vectores.

3 8ados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, /) y = (1, 1,

/), deostrar #ue dicGos vectores *oran una ase y calculalas coordenadas del vector (1, 1, /) respecto de dicGa ase .

4 8ados los vectores" (1, 1, /), (1, /, 1) y (/, 1, 1).

1 8eostrar #ue *oran una ase .

2 allar las coordenadas de los vectores de la ase

can!nica respecto de esta base.


47/83

5 8eterinar el valor del par7etro M para #ue los vectores = M

2 - 3 , = - M - sean"

1"rto#onales

2 $aralelos

6 8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"

1 allar para #u! valores del par7etro aest7n alineados.

2 allar si e+isten valores de apara los cuales A, $ y 6 son tres

v!rtices de un paralelo'rao de 7rea 3 y, en caso a*irativo,calcularlos.

7 allar dos vectores de m!dulo la unidad y orto#onales a (2,

2, 3) y (3, 3, 2).

8 allar un vector perpendicular a y , y

#ue sea unitario .


E+presa el vector = (1, 2, 3) coo cominaci!n lineal de los

vectores" = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1).


48/83

4uaos iebro a iebro las tres ecuaciones y a la ecuacin

obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.


4iendo = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1), deostrar #ue

dicGos vectores son linealente independientes y e+presa el

vector = (1, 2, 3) coo cobinacin lineal de dicGos vectores.

El sistea adite Pnicaente la solucin trivial"

or tanto, los tres vectores son linealmente independientes .


49/83

4uaos iebro a iebro las tres ecuaciones y a la ecuacinobtenida se le resta cada una de las ecuaciones.


8ados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, /) y = (1, 1, /),

deostrar #ue dicGos vectores *oran una ase y calculalas coordenadas del vector (1, 1, /) respecto de dicGa ase .


50/83

El sist ema %omo#&neo slo adite la soluci!n trivial"

or tanto, los tres vectores son linealmente independientes y*oran una ase .

;as coordenadas del vector (1, 1, /) respecto a la aseson"

.


8ados los vectores" (1, 1, /), (1, /, 1) y (/, 1, 1).

'oluciones(

1 8eostrar #ue *oran una ase .

;os tres vectores *oran una ase si son linealmente

independientes .
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html


51/83

En el sistema %omo#&neo el ran'o coincide con el nPero de

inc'nitas, por tanto tan slo adite la solucin trivial"

;os vectores son linealmente independientes y, por tanto,*ora una ase.

2 allar las coordenadas de los vectores de la ase

can!nica respecto de esta base.

;as coordenadas de los vectores de la ase can!nica respecto de

la base son"
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html


52/83


8eterinar el valor del par7etro M para #ue los vectores = M

2 - 3 , = - M - sean"

'oluciones(

1 "rto#onales

ara #ue los vectores seanorto#onalessu producto escalar t iene

#ue ser i'ual a cero.

2 $aralelos

ara #u! dos vectoressean paralelos , sus coponentes tienen #ue

ser proporcionales .


53/83

El sistea no adite solucin.


8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"

'oluciones(


4i A, $ y 6 est7n alineados los vectores y tienen la misma

direcci!n , por lo #ue son linealmente dependientes y tienen

sus componentes proporcionales .


v!rtices de un paralelo'rao de 7rea 3 y, en caso a*irativo,

calcularlos.

El dulo del producto vectorial de los vectores y es

i'ual al rea del paralelo#ramo construido sobre y .


54/83


allar dos vectores de m!dulo la unidad y orto#onales a (2, 2,3) y (3, 3, 2).


allar un vector perpendicular a y , y#ue sea unitario .


55/83

PROBLEMAS DE PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

1 8ados los vectores , y

Gallar"

1 , , ,

2 , , ,

3 ,

4 , ,

5 ,

2 8ados los vectores y , Gallar"

1 ;os m!dulos de y

2 El producto vectorial de y

3 Un vector unitario orto#onal a y


56/83

4 El rea del paralelo#ramo #ue tiene por lados los vectores

y

3 allar el n#ulo #ue *oran los vectores

y .

4 allar los cosenos directoresdel vector .

5 8ados los vectores y , Gallar el

producto y coprobar #ue este vector es orto'onal a y a .

allar el vector y copararlo con .


8ados los vectores , y Gallar"

'oluciones(

1 , , ,

2 , , ,


57/83

3 ,

4 , ,


58/83

5 ,


8ados los vectores y , Gallar"

'oluciones(

1 ;os m!dulos de y

2 El producto vectorial de y

3 Un vector unitario orto#onal a y


59/83

4 El rea del paralelo#ramo #ue tiene por lados los vectores

y


allar el n#ulo #ue *oran los vectores

y .


allar los cosenos directores del vector .



60/83

8ados los vectores y , Gallar el

producto y coprobar #ue este vector es orto'onal a y a .

allar el vector y copararlo con .

MAS PROBLEMAS DE PRODUCTO

1 6alcular el producto mi*to" .

2 8ados los vectores , y ,

Gal lar el producto mi*to . 6u7nto vale el volumen del

paralelep+pedo #ue tiene por aristas los vectores dados


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3 4ean A(3, %, /), $(3, , 3) y 6(1, 2, 1) los tres v!rtices de un

tri7n'ulo. 4e pide"

1 6alcular el coseno de cada uno de los tres 7n'ulos del tri7n'ulo.

2 6alcular el 7rea del tri7n'ulo.

4 6onsiderar la si'uiente *i'ura"

4e pide"

1 6oordenadas de 8 para #u! A$68 sea un paralelo#ramo .

2 ,rea de este paralelo#ramo .

5 8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"




calcularlos.


6alcular el producto mi*to" .


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8ados los vectores , y , Gallar

el producto mi*to . 6u7nto vale el volumen delparalelep+pedo #ue tiene por aristas los vectores dados


4ean A(3, %, /), $(3, , 3) y 6(1, 2, 1) los tres v!rtices de un

tri7n'ulo. 4e pide"

1 6alcular el coseno de cada uno de los tres 7n'ulos del tri7n'ulo.


63/83

2 6alcular el 7rea del tri7n'ulo.


64/83


6onsiderar la si'uiente *i'ura"

4e pide"

1 6oordenadas de 8 para #u! A$68 sea un paralelo#ramo .

or ser la *i'ura un paralelo'rao, los vectores y

son e-uipolentes .

2 ,rea de este paralelo#ramo .
http://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.html


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8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"


4i A, $ y 6 est7n alineados los vectores y tienen la misma

direcci!n , por lo #ue son linealmente dependientes y tienen

sus componentes proporcionales .



calcularlos.

El dulo del producto vectorial de los vectores y es

i'ual al rea del paralelo#ramo construido sobre y .


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PROBLEMAS EN EL ESPACIO

1 ;as coordenadas de los v!rtices consecutivos de un

paralelo'rao son A (1, /, /) y $(/, 1, /). ;as coordenadas

del centro F son F(/, /, 1). allar las coordenadas de los

v!rtices 6 y 8.

2 8ado el tri7n'ulo de v!rtices A(2, 3, %), $(1, 1, 5) y 6(5,

5, %), Gallar"

1 ;as ecuaciones de las edianas del tri7n'ulo

2 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo.

3 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo cuyos v!rtices

son los puntos edios de los lados del tri7n'ulo anterior.

3 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por los puntos A (2,

3, %) y $(, 2, 3). Estudiar si el punto 6(2, 1, 3) est7

alineado con A y $.

4 8eterinar los valores de para #ue los puntos A(, 2,

3), $(2, , 1) y 6(5, 3, 2) est!n alineados y Gallar las

ecuaciones de la recta #ue los contiene.

5 8eterinar el valor de + para #ue los puntos A(/, /, 1), $(/,

1, 2), 6(2, 1, 3) y 8(+, +1, 2) sean coplanarios.


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6 9u! en relacin se Ga de veri*icar entre los par7etros a, b

y c para #ue los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, /), 6(/, 1, 1) y

8(a, b, c) sean coplanarios

7 6alcular el valor de a para #ue los puntos (a, /, 1), (/, 1,

2), (1, 2, 3) y (, 2, 1) sean coplanarios. 6alcular tabi!n la

ecuacin del plano #ue los contiene.


;as coordenadas de los v!rtices consecutivos de un paralelo'rao

son A (1, /, /) y $(/, 1, /). ;as coordenadas del centro F son F(/,

/, 1). allar las coordenadas de los v!rtices 6 y 8.


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8ado el tri7n'ulo de v!rtices A(2, 3, %), $(1, 1, 5) y 6(5, 5, %),

Gallar"

1 ;as ecuaciones de las edianas del tri7n'ulo


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2 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo.

3 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo cuyos v!rtices son

los puntos edios de los lados del tri7n'ulo anterior.

;os baricentros de los dos tri7n'ulos coinciden.


allar la ecuacin de la recta #ue pasa por los puntos A (2, 3, %) y

$(, 2, 3). Estudiar si el punto 6(2, 1, 3) est7 alineado con A y $.


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ara #ue el punto 6 este alineado con A y $, debe pertenecer a

la recta #ue pasa por A y $.

6oo 6 no satis*ace las ecuaciones de la recta, no est7 alineado

con A y $.


8eterinar los valores de para #ue los puntos A(, 2, 3), $(2,

, 1) y 6(5, 3, 2) est!n alineados y Gallar las ecuaciones de la

recta #ue los contiene.

O


8eterinar el valor de + para #ue los puntos A(/, /, 1), $(/, 1, 2),

6(2, 1, 3) y 8(+, +1, 2) sean coplanarios.


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ara #ue los puntos sean coplanarios, los vectores deterinados por

ellos tabi!n Gan de ser coplanario s, es decir, #ue el ran'o de los

vectores sea 2.

ara #ue el ran'o sea i'ual a 2, el deterinante de las

coponentes de los vectores Ga de ser i'ual a cero.

E>ercicio resuelto

9u! en relacin se Ga de veri*icar entre los par7etros a, b y c

para #ue los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, /), 6(/, 1, 1) y 8(a, b, c)

sean coplanarios

;os puntos A, $, 6 y 8 son coplanarios si"


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6alcular el valor de a para #ue los puntos (a, /, 1), (/, 1, 2), (1, 2,

3) y (, 2, 1) sean coplanarios. 6alcular tabi!n la ecuacin del

plano #ue los contiene.


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@B$;EFA4 8E U:B4 E E; E4A6B

1 Bbtener la ecuacin de la recta #ue, siendo paralela la recta dada

por + = 3Q, y = Q, C = 2Q - 2, contiene al punto (/, 1, 1).

2 Una recta es paralela a los planos + - y = / , + - C = / y pasa po r

por el punto (2, /, /). allar sus ecuaciones.

3 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto (, 2, 3) y

lleva la direccin del vector .

4 8ados los puntos A(2, , 3) y $(3, 3, 2), Gallar los puntos de

la recta A$ #ue tienen al enos una coordenada nula.

5 allar una ecuacin continua de la recta #ue es paralela a los

planos" + 3y - C = / y 2+ y - 3C 5 = /, y pasa por el punto

(2, 1, 5).

6 8eterinar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto A(1, 1,

/) y corta a las rectas"


Bbtener la ecuacin de la recta #ue, siendo paralela la recta dada

por + = 3Q, y = Q, C = 2Q - 2, contiene al punto (/, 1, 1)..



74/83

Una recta es paralela a los planos + - y = /, + - C = / y pasa por

por el punto (2, /, /). allar sus ecuaciones.


allar la ecuaci!n de la recta #ue pasa por el punto (, 2, 3) y

lleva la direccin del vector .


8ados los puntos A(2, , 3) y $(3, 3, 2), Gallar los puntos de la

recta A$ #ue tienen al enos una coordenada nula.


75/83


allar una ecuacin continua de la recta #ue es paralela a los

planos" + 3y - C = / y 2+ y - 3C 5 = /, y pasa por el punto

(2, 1, 5).

El vector director de la recta es perpendicular a los vectores

norales de cada plano.


8eterinar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto A(1, 1,/) y corta a las rectas"


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;a recta pedida es la interseccin de los dos planos #ue pasan por A

y contienen a las rectas r y s.

lano #ue contiene a A y r.

lano #ue contiene a A y s.

;a recta perdida es"

PROBLEMAS EN EL PLANO


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1 allar la ecuacin del plano #ue pasa por los puntos A(1, 2, %),

$(/, 3, 2) y es paralelo a la recta .

2 8adas las rectas"

8eterinar la ecuaci!n del plano #ue contiene a r y esparalelo a s.

3 4ea R un plano #ue pasa por (1, 2, 1) y corta a los seie>es

coordenados positivos en los puntos A, $ y 6. 4abiendo #ue el

tri7n'ulo A$6 es e#uil7tero, Gallar las ecuaciones de R.

4 allar la ecuacin del plano #ue contienen a las rectas"

5 allar las ecuaciones de los e>es coordenados y de los planos

coordenados.

6 allar las coordenadas del punto coPn al plano + - 2y C 2 =

/ y a la recta deterinada por el punto (1, 3, 2) y elvector .

7 allar la ecuacin iplcita del plano #ue pasa por el punto (1,

1, 1) y es paralelo a"

8 allar la ecuacin del plano #ue contiene al punto A(2, 5, 1) y a

la recta de ecuacin"


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9 allar la cual del plano #ue contiene a la

recta y es paralelo a la recta .

10 allar la ecuacin del plano paralelo a las rectas de ecuaciones"

y #ue pasa por el punto (1, 1, 2).


allar la ecuacin del plano #ue pasa por los puntos A(1, 2, %),

$(/, 3, 2) y es paralelo a la recta"


8adas las rectas

8eterinar la ecuacin del plano #ue contiene a r y es paralelo a s.


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4ea R un plano #ue pasa por (1, 2, 1) y corta a los seie>es

coordenados positivos en los puntos A, $ y 6. 4abiendo #ue el

tri7n'ulo A$6 es e#uil7tero, Gallar las ecuaciones de R.

6oo el tri7n'ulo es e#uil7tero, los tres se'entos son i'uales.


2.allar la ecuacin del plano #ue contienen a las rectas"


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allar las ecuaciones de los e>es coordenados y de los planos

coordenados.


81/83


allar las coordenadas del punto coPn al plano + - 2y C 2 = /

y a la recta deterinada por el punto (1, 3, 2) y el

vector .


allar la ecuacin iplcita del plano #ue pasa por el punto (1, 1,

1) y es paralelo a"


82/83


3.allar la ecuacin del plano #ue contiene al punto A(2, 5, 1) y a larecta de ecuacin"


allar la cual del plano #ue contiene a la recta y

es paralelo a la recta .

El punto A(2, 2, %) y el vector pertenecen al plano, ya

#ue la priera recta est7 contenida en el plano.

El vector es un vector del plano, por ser paralelo a la

recta.


83/83


allar la ecuacin del plano paralelo a las rectas de ecuaciones"

y #ue pasa por el punto (1, 1, 2).

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