Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Generalitat de Catalunya Departament d’Ensenyament Departament de Matemàtiques Institut Jaume Balmes MA - 2n de Batx Funcions i límits Nom: Grup:
1.- Trobeu totes les solucions de les equacions següents:
a) 4 tan (5x) = 16
b) 5 220 3 100· x+ =
(1 punt) 2.- Defineix la funció y= arctan(x), dibuixa la seva gràfica, indica quin és el seu domini, el seu
recorregut i si té asímptotes indica quines són. (1,25 punts)
3.- A la vista de la gràfica de la funció y=f(x) trobeu:
a) Domini (f) = b) Recorregut (f)= c) les imatges del –6, – 4, – 3, 0 i 1 d) Les antiimatges del
—1, +1, 4 i 5
e) ( )4
lim−→−
=x
f x ( )4
lim+→−
=x
f x ( )3
lim→−
=x
f x ( )0
lim−→
=x
f x
( )0
lim+→
=x
f x ( )lim→+∞
=x
f x
f) On la funció és contínua. g) Indica en els punts on Y = f(x) no és contínua, el tipus de discontinuïtat de cada cas i les
asímptotes que presenta.
(0,25 · 3 + 0,4 +0,6 +0,25 +0,5 = 2,5 punts)
4.- Calcula els límits següents:
a) 3
23
7 62 3
limx
x xx x→
− −− −
b) 3 2 4 3
3 4
3 22 4 10x
x x x xlím
x x x→ +∞
+ ++ − + −
c) 2
3log( )
x
xlím
x→ +∞
d)
81
1
54 1
−
→
+
x
x
xlím
x e) ( )4 2 4 22 8
→+∞− − +
xlím x x x x f)
3 2
7 2
3 143 ln( )xx
x xlím
x−→ −∞
+−
(1+0,75·2+1·2+0,75= 5,25 punts)
Generalitat de Catalunya Departament d’Educació Departament de Matemàtiques Institut d’Educació Secundària MA - 2n de Batx Jaume Balmes Funcions i límits Nom: Grup:
1.- Trobeu totes les solucions de les equacions següents:
a) 4 tan (5x) = 16
5 4 5 4 1804 1805
4 18015 19 36
5
0 275
tan( ) arctan( ) · ºarctan( ) · º
arctan( ) · º, º · º
·,
x x k k Zk
x k Z
kx k Z x k k Z
ko x rad rad k Z
π
= ⇒ = + ∀ ∈ ⇒+
⇒ = ∀ ∈ ⇒
+⇒ = ∀ ∈ ⇒ = + ∀ ∈
= + ∀ ∈
b) 5 220 3 100· x+ =
( )5 2 5 2 5 220 3 100 3 5 3 5
5 55 2 3 5 5 2 5 2
3 35 2
0 10705 3 5
· ln ln( )
ln( ) ln( )( )ln( ) ln( )
ln( ) ln( )ln( )
,·ln( )
x x x
x x x
x
+ + += ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒
⇒ = − −;
(1 punt) 2.- Defineix la funció y= arctan(x), dibuixa la seva gràfica, indica quin és el seu domini, el seu
recorregut i si té asímptotes indica quines són. (1,25 punts)
És la funció inversa de la funció y=tan(x) considerada amb domini = (–90º, 90º) =
2 2,rad rad
π π−
Per dibuixar la gràfica de la funció inversa de Y=tan(x) només cal recordar la gràfica de la tangent en el domini anterior
i fer la seva simetria respecte la recta Y=X Així doncs, la gràfica de la funció Y=arctan(x) és la següent
Domini = R, Recorregut = (–90º, 90º) =2 2
,rad radπ π−
i té dues asímptotes
per x → −∞ la recta 2/Y π= − i per per x → +∞ la recta 2/Y π=
3.- A la vista de la gràfica de la funció y=f(x) trobeu:
h) Domini (f) = =[–6,0)∪ (0,+∞ ) i) Recorregut (f)= =(–1,+ ∞ ) j) les imatges del – 6, – 4, —3, 0 i 1 f(–6)= 0; f(–4)=2, f(–3)=4; ∃/ f(0); f(1)=1 k) Les antiimatges del
—1, +1, 4 i 5 Anti (–1) no hi ha Anti (1)= {–5, –2,5, 1 } Anti (4) = { –3, 0,2} Anti (5) = 0,1
l) ( )4
lim−→−
=x
f x 2 ( )4
lim+→−
=x
f x 1 ( )3
lim→−
=x
f x –1 ( )0
lim−→
=x
f x 2
( )0
lim+→
=x
f x +∞ ( )lim→+∞
=x
f x 0+
m) On la funció és contínua.
f(x) és contínua 6 4 4 3 3 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x∀ ∈ − − ∪ − − ∪ − ∪ +∞ , n) Indica en els punts on Y = f(x) no és contínua, el tipus de discontinuïtat de cada cas i les
asímptotes que presenta. En X= – 4 té una discontinuïtat de salt En X= – 3 té una discontinuïtat evitable En X = 0 té una discontinuïtat asimptòtica per la dreta. La recta X=0 és asímptota per la dreta i la recta Y=0 és asímptota quan x → +∞
(0,25 · 3 + 0,4 +0,6 +0,25 +0,5 = 2,5 punts)
4.- Calcula els límits següents:
a) 3
23
7 62 3
limx
x xx x→
− −− −
3 2 2
23 3 3
7 6 0 ( 3)· ( 3 2) ( 3 2) 20lim lim lim 5
2 3 0 ( 3)·( 1) ( 1) 4→ → →
− − − + + + += = = = =
− − − + +x x x
x x x x x x xx x x x x
b) 3 2 4 3
3 4
3 22 4 10x
x x x xlím
x x x→ +∞
+ ++ − + −
3 2 4 3 3 4
3 4 3 4
3 2 3 2 3 21
2 4 10 2 4 2 4x x
x x x x x xlím lím
x x x x x→ +∞ → +∞
+ ++ = + = − + = − − + − −
c) 2
3log( )
x
xlím
x→ +∞
2
3log( )
x
xlím
x→ +∞
+∞= +∞
però com l'ordre de l'infinit del numerador és major que el de
l'infinit del denominador podem dir que 2
3log( )
x
xlím
x→ +∞
= +∞
d)
81
1
54 1
−
→
+
x
x
xlím
x
81
1
51
4 1
− ∞
→
= ⇒ +
x
x
xlím
x així doncs anem a fabricar el número e
1
8 8 81 1 1
1 1 1
8 1·4 1 8 1 4 1 1 4 1· ·
1 1 4 1 18lim
4 1
1 1
5 5 5 4 11 1 1
4 1 4 1 4 1
1 11 1
4 1 4 11 1
→
− − −
→ → →
−+ − + − +
− − + −
+
→ →
− − = + − = + = + + +
= + = + = + + − −
x
x x x
x x x
xx x x x x
x x x x
x
x x
x x x xlím lím lím
x x x
lím lím ex x
x x
8 / 5 = e
e) ( )4 2 4 22 8→+∞
− − +xlím x x x x ∞ − ∞
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
2 24 2 4 2
2
4 2 4 2 4 4
2
2
2 82 8
2 8
2 8 10
2 8
105 5
2
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
− + +− − + =
− + +
− − + −= = =
− + + +
−= = − = −
x
x x
x x
x x x xlím x x x x
x x x x
x x x x xlím lím
x x x x x x
xlím lím
x
f) 3 2
7 2
3 143 ln( )xx
x xlím
x−→ −∞
+−
Aquí primer fem el canvi de variable de x per – x per tal que els límit sigui de x → +∞
3 2 3 2 3 2 3
7 2 7 2 7 7
3 14 3 14 3 14 30
3 3 3 3ln( ) ln( )x x x xx x x x
x x x x x x xlím lím lím lím
x x−
−→ −∞ → +∞ → +∞ → +∞
+ − + − + −= = = =
− − I posteriorment:
q al denominador utilitzem que Ordre(exponencial)> Ordre (logaritme) q al numerador ens quedem amb el monomi de major grau i finalment q que Ordre (potència)<Ordre (exponencial)
(1+0,75·2+1·2+0,75= 5,25 punts)