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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. [email protected]
Hoja 1 de 11
Capítulo I
LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos
que cumplen la siguiente relación: PF+PF=2a;
donde P es cualquier punto de la elipse, F y F´
son los llamados focos de la elipse ver, figura
1.
Elementos de la Elipse
F, F´: Focos
AA´: Eje mayor = 2a.
OA: Semieje mayor = a.
BB´: Eje menor = 2b.
OB: Semieje menor = b.
e: Excentricidad.
f: Aplanamiento.
La distancia AA´ es llamada eje mayor de la
elipse, con lo que OA = OA´ = AA´/2=a, es
llamado el semieje mayor de la elipse denota-
do con la letra a.
La distancia BB´ es llamada eje mayor de la
elipse, con lo que OB = OB´ = BB´/2=b es
llamado el semieje menor de la elipse denota-
do con la letra b.
De la definición de la elipse se puede escribir:
𝐹𝑃 + 𝐹´𝑃 = 2𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1
𝐴𝐹´ = A𝐹 = 𝐴´𝐹´ = 𝐴´𝐹 = 𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2
Excentricidad.
En el área de las matemáticas y la geometría
la excentricidad se entiende como el paráme-
tro que determina el grado de desviación de
una sección cónica con respecto a una circun-
ferencia [1] ver figura 2. Así:
En el caso de una Elipse, la excentricidad (e)
está dada por relación
𝑂𝐹
𝑂𝐴´ =𝑂𝐹´
𝑂𝐴=
𝑂𝐹
𝑎=e.
Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y los
focos estarán en el centro O, así, la elipse se
convierte en una circunferencia.
Teniendo en cuenta que OF=OF´, y
FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3)
entonces FB=a
P
F´ F
a
b
O
2a
2b
Figura 1. Elementos geométricos de la Elipse
A´ A
B´
B
e=1
e=2
e=∞
e=0
e=0,5
Figura 2. La excentricidad de las
cónicas. Fuente:.wikipedia.
La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).
La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e < 1).
La excentricidad de una parábola es 1 (e = 1).
La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e > 1). [1]
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Hoja 2 de 11
Por definición la excentricidad está dada por
la ecuación 3.
𝑒 =𝑂𝐹
𝑎=
𝑐
𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3,
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 4
De la ecuación 3 se tiene 𝑐 = 𝑒𝑎, y reempla-
zando este valor en la ecuación 4, tenemos.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑒𝑎 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 − 5
Realizando procesos algebraicos a esta ecua-
ción tenemos:
𝑒𝑎 2 = 𝑎2 − 𝑏2 ,
𝑒2𝑎2 = 𝑎2 − 𝑏2,
𝑒2 =𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 ,
𝑏2 = 𝑎2 1 − 𝑒2 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 6
𝑒 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 7
La ecuación 6 se conoce como la primera
excentricidad de la elipse.
De manera similar se deriva la segunda excen-
tricidad de la elipse, la cual se muestra en la
ecuación 1-8.
𝑒´ = 𝑏2 − 𝑎2
𝑏2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 8
El aplanamiento f, (de las iníciales del voca-
blo en ingle flat), está dado por la ecuación 8
𝑓 =𝑎−𝑏
𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 9.
Nota: Una elipse desde el punto de vista ge-
ométrico queda definida, cuando se conoce el
semieje mayor y el inverso del aplanamiento.
Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide de
Referencia Geodésico GRS80, tiene paráme-
tros geométricos básicos, los siguientes:
a=6378137 m
f= 1/298,2572221008827.
Otros parámetros de una elipse:
𝐸 = 𝑎2 − 𝑏2 ∶ Excentricidad lineal [2].
𝑝´ =𝑎2
𝑏 ∶ Radio de curvatura polar [2].
Ecuación de la Elipse
Se requiere hallar una expresión matemática
que permita describir una elipse en un plano
XY.
De la figura 4, tomando los triángulos F´PM,
y FMP, aplicando el teorema de Pitágoras
para dichos triángulos tenemos:
F´ F O
Figura 3. Elementos de la Elipse
A
P=B
a b
F´ F O
Figura 4. Elipse en el plano XY
X
P(x, y) Y
x
y
c c
a
b
M
c
c c
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Hoja 3 de 11
Para el triangulo: F´PM.
𝐹´𝑃 2 = 𝐹´𝑀 2 + 𝑦2 ,
𝐹´𝑀 = 𝑐 − 𝑥 ,
𝐹´𝑃 2 = 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 10
Para: FMP.
𝐹𝑃 2 = 𝐹𝑀 2 + 𝑦2 ,
𝐹𝑀 = 𝑐 + 𝑥 ,
𝐹𝑃 2 = 𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 11
Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en ésta,
los términos de la derecha de las ecuaciones
1-10 y 1-11, resultando la siguiente ecuación.
𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 = 2𝑎
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 11,
Transponiendo el primer termino de la dere-
cha en la ecuación 1-11, y elevando todo al
cuadrado, tenemos:
𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2,
𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 2,
Expandiendo los trinomios cuadrados, tene-
mos:
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
= 4𝑎2 − 4𝑎 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2
+ 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
Agrupando y suprimiendo términos tenemos:
4𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2,
Eliminando el numero 4 y transponiendo
términos se tiene:
𝑎 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥,
Elevando al cuadrado a ambos lados de la
ecuación tenemos.
𝑎2 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥 2,
Extendiendo los trinomios cuadrados y reali-
zando operaciones tenemos:
𝑎2𝑐2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 −2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2,
Suprimiendo términos tenemos:
𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 𝑐2𝑥2,
Transponiendo términos tenemos:
𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2,
Agrupando términos se tiene:
𝑥2 𝑎2 − 𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 𝑎2 −𝑐2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1−13,
De la ecuación 3 se tiene que:
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 , por tanto la ecuación 1-12
de convierte en:
𝑥2 𝑏2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2,
Y dividiendo por 𝑎2𝑏2 , a ambos lados de la
ecuación tenemos:
𝑥2 𝑏2
𝑎2𝑏2 +𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2 =𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2 ,
Simplificando tenemos la ecuación de la elip-
se con focos en los puntos F´(0, -x) y F(0, x),
eje mayor 2a, y, eje menor 2b, figura 4, la cual
se muestra en la ecuación 13:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 13
EJERCICIOS 1:
1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y p´,
de las elipses con semieje mayor (a) igual a
los números n, con n perteneciendo a los
divisores propios de los números amigos1
(220, 284). Y c =n1/3, siendo n1, igual a
los números primos impares y menores a
41.
2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una
cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una regla.
Comprobar empíricamente las ecuaciones
1 y 2.
3. Investigar el valor de los parámetros ge-
ométricos de la elipse generadora del elip-
soide de Hayford o elipsoide internacional.
1 Dos números amigos son dos enteros positivos a y b
tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.
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Hoja 4 de 11
4. Investigar el valor de los parámetros ge-
ométricos de la elipse generadora del elip-
soide GRS80.
Capítulo 2
El desarrollo de la geometría de la elipse y del
elipsoide, es una herramienta fundamental en
la conceptualización, desarrollo y aplicación
de la geodesia geométrica.
El Elipsoide de Revolución
Al hacer girar una elipse sobre uno de sus
ejes a, ó, b, (figura 2-1) cada fracción infini-
tesimal (muy pequeña) de giro, genera una
nueva elipse, con orientación distinta a la
anterior, ver figura 2-2. La suma de estas elip-
ses da como resultado una superficie denomi-
nada Elipsoide Revolución.
Sobre la superficie del elipsoide de revolución
se ubican “n” puntos. A fin de explicitar las
coordenadas X, Y de un punto sobre el elip-
soide, decimos que por cada punto sobre la
superficie del elipsoide pasa una elipse, como
se muestra en la figura 2-3.
La Elipse Meridiana.
La elipse que pasa por cada punto de la super-
ficie del elipsoide, se le denomina elipse me-
ridiana. Ver figura 2-4.
Coordenadas Geográficas Latitud y Longi-
tud.
O
Figura 2-1. Elipse
X
Y
a
b
Figura 2-3. Superficie del elipsoide
X
Y
P1(x, y)
O
Figura 2-2. Elipsoide de revolución
X
Y
a
b
O
Figura 2-4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)
X
Y
a
b
P(x,y)
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Los elementos vistos hasta acá, nos permite
introducir el concepto más importante y estu-
diado en la geodesia y sobre el cual descansa
el desarrollo de las ciencias cartográficas,
topográficas, y en general todas las disciplinas
que están involucradas en la Geomática y las
disciplinas que tienen que ver con las ciencias
de la tierra, e indirectamente con el desarrollo
espacial, las comunicaciones y en general la
vida cotidiana del hombre moderno.
Ese concepto es el de las coordenadas geográ-
ficas Latitud y Longitud. A continuación se
desarrolla lo referente a la latitud, en razón de
que geométricamente es un poco complejo su
conceptualización y su desarrollo matemático
sobre el elipsoide.
Cuando se trata de definir una magnitud en
topografía o geodesia se debe tener muy pre-
sente el siguiente principio: Cuando se va a
realizar una medición se debe siempre reali-
zar las siguientes tres preguntas básicas, des-
de donde mido, sobre que mido y hasta donde
mido.
Latitud
En general la Latitud de un punto es el arco
medido desde el ecuador terrestre sobre el
meridiano o la meridiana que pasa por el pun-
to, hasta el punto.
Como se ve en la grafica (2-5) un punto en la
vida real no está sobre la superficie ideal elip-
soidal, sino que está en la superficie amorfa lo
que se denomina la topografía, es decir el
paisaje sobre el cual nos movemos.
Como esta superficie es completamente amor-
fa, sobre ella no es posible realizar cálculos
matemáticos ni geodésicos, todos los cálculos
se realizan es sobre la superficie del elipsoide.
De acuerdo a lo que se ve en la figura 2-6, por
un punto que este sobre la superficie terrestre
pasan tres verticales, dependiendo a cual su-
perficie se quiere referir dicho punto. Así
mismo se generan ángulos distintos de latitud.
Latitud geodésica 𝜑 : Es el ángulo que
forma la vertical al elipsoide con el plano del
ecuador, como se observa en la figura 2-6.
Geoide Elipsoide
Topografía P(x, y)
Vertical al Geoide
Vertical al Elipsoide
Figura 2-6. Verticales que se generan en un
mismo punto sobre la superficie terrestre.
Geoide
Elipsoide
Topografía
P(x, y)
Figura 2-5 Superficies fundamentales en los
estudios geodésicos
Y
O X
𝝋
P
90𝑜 + 𝜑
A
B Q
Figura 2-7. Latitud geodésica 𝜑
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Latitud reducida 𝛽 : Es el ángulo en el
centro de la circunferencia tangente a la elipse
en los extremos del eje mayor (2a) formado
entre el ecuador y el radio de la circunferencia
que va al punto interceptado en ella por la
línea recta perpendicular al semieje mayor de
la elipse que pasa por el punto en considera-
ción, como se ve en la figura 2-8. Se denomi-
na también latitud paramétrica o latitud ge-
ométrica.
Latitud Geocéntrica 𝜓 : Es el ángulo en el
centro de la elipse entre con el plano del ecua-
dor y el radio geocéntrico del punto en consi-
deración. Como se ve en la figura 2-9.
Relación entre la latitud Geocéntrica y la
latitud reducida.
𝑡𝑔𝛽 =𝑏
𝑎𝑡𝑔𝜓 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 1
Relación entre la latitud Geodésica y la lati-
tud reducida.
𝑡𝑔𝜓 =𝑏
𝑎𝑡𝑔𝜑 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 2
Longitud Geodésica.
Longitud geodésica de un punto es el ángulo
formado por el plano meridiano geodésico
(elipse meridiana) del punto y el plano meri-
diano geodésico origen o meridiano de Gre-
enwich, se mide sobre el ecuador terrestre,
positiva al este de Greenwich y negativa al
oeste de Greenwich, ver figura 2-10.
Coordenadas Rectangulares X Y de un punto
sobre la Elipse.
A cada punto sobre la elipse meridiana le
corresponde unas coordenadas X, Y, las cua-
les están en función de la latitud geodésica y
los parámetros geométricos de la elipse. A
continuación se derivan la métrica de dichas
coordenadas.
De la figura 2-7, se deduce que la línea AB, es
la tangente a la elipse meridiana en un punto
P(x, y), de la gráfica tenemos que el ángulo
Figura 2-8 Latitud Reducida
Y
O
X 𝜷
P
Figura 2-9 Latitud Geocéntrica
Y
O
X 𝝍
P
O
Figura 2-10. Longitud Geodésica
E
Z
W
Meridiano
Origen
𝜆𝑊 𝜆𝐸
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que forma la tangente con el ecuador es
90 + 𝜑, así, se puede plantear la siguiente
ecuación.
𝑡𝑔 90 + 𝜑 =𝑑𝑦
𝑑𝑥, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝑐𝑜𝑡𝑔𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
1
𝑡𝑔𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 5
De la ecuación 1-13, conocida como la ecua-
ción de la elipse.
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1,
Derivando parcialmente, la ecuación de la
elipse respecto a y, tenemos:
2𝑥
𝑎2+
2𝑦
𝑏2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0,
2𝑦
𝑏2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
𝑎2,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥𝑏2
2𝑦 𝑎2 , 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 6
Igualando las ecuaciones 2-5 con 2-6, se tiene:
−1
𝑡𝑔𝜑= −
𝑥𝑏2
𝑦 𝑎2 ,
1
𝑡𝑔𝜑=
𝑥𝑏2
𝑦 𝑎2 ,
𝑦 =𝑥𝑏2𝑡𝑔𝜑
𝑎2 ,
Sustituyendo el término 𝑏2 de la ecuación 1-
6, tenemos:
𝑦 =𝑥𝑎2 1 − 𝑒2 𝑡𝑔𝜑
𝑎2,
𝑦 = 𝑥 1 − 𝑒2 𝑡𝑔𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 7
Tomando la ecuación de la elipse y reempla-
zando la ecuación 2-7 en la tenemos.
𝑥2
𝑎2+
𝑥2 1 − 𝑒2 2
𝑡𝑔2𝜑
𝑎2= 1,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 8
Desarrollando la ecuación 2-7, a fin de obte-
ner una ecuación de X en función de 𝜑 , a y
𝑒2
𝑥2 + 𝑥2 1 − 𝑒2 2
𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,
Se factoriza 𝑥2,
𝑥2 1 + 1 − 𝑒2 2
𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,
𝑥2 1 + 𝑡𝑔2𝜑 − 𝑒2𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,
1 + 𝑡𝑔2𝜑 = 𝑠𝑒𝑐2𝜑
𝑥2 𝑠𝑒𝑐2𝜑 – 𝑒2𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,
𝑥2 1
𝑐𝑜𝑠2𝜑 − 𝑒2
𝑠𝑒𝑛2𝜑
𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 𝑎2 ,
𝑥2
𝑐𝑜𝑠2𝜑 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 = 𝑎2 ,
𝑥2 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 = 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑,
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Hoja 8 de 11
𝑥2 =𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝑥 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 , 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9
Reemplazando en la ecuación 2-6, la ecuación
2-8, tenemos:
𝑦 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 1 − 𝑒2 𝑡𝑔𝜑,
𝑦 =𝑎 1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 10
Así, las ecuaciones 2-8 y 2-9 permiten obtener
las coordenadas x, y sobre la elipse meridiana
teniendo en cuanta una latitud geodésica dada
y los parámetros geométricos de la elipse.
EJERCICIOS 2:
1) Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2
= 0.00672267002233
Calcular las coordenadas x, y sobre dicha
elipse para los siguientes valores de latitud:
𝜑 = 4𝑜35` 46.3215``𝑁 , 𝜑 = 0𝑜0` 0``.0
𝜑 = 15𝑜0` 0``.0 𝑁
𝜑 = 15𝑜0` 0``.0 𝑆
𝜑 = 45𝑜0` 0``.0 𝑁
𝜑 = 45𝑜0` 0``.0 𝑆
𝜑 = 75𝑜0` 0``.0 𝑁
𝜑 = 75𝑜0` 0``.0 𝑆
𝜑 = 90𝑜0` 0``.0 𝑁
𝜑 = 90𝑜0` 0``.0 𝑆
Radios principales de la elipse meridiana.
En la figura 2-11, la recta QP, se denomi-
na la gran normal, es el mayor de los
posibles radios de curvatura de la elipse
meridiana en el punto en consideración,
así mismo de dicha figura se deduce que:
𝑠𝑒𝑛 90 − 𝜑 =𝑥
𝑄𝑃
𝑐𝑜𝑠 𝜑 =𝑥
𝑄𝑃
𝑄𝑃 = 𝛶, 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝛶 .
Y
O X
𝝋
P
90𝑜 + 𝜑
A
B Q
x
y
90 − 𝜑
Figura 2-11 Esquema de la Gran Normal
M
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Hoja 9 de 11
𝛾 =𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9
Tomando la ecuación 2-8 y para reemplazar el
término x en la ecuación 2-10, se tiene:
𝛶 =
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑
𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝛶 𝜑 =𝑎
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 1/2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 11
La ecuación 2-11, permite el cálculo del radio
mayor de la elipse meridiana en un punto
dado, en función de la latitud geodésica y los
parámetros geométricos de la elipse meridia-
na.
El otro radio de gran importancia en geodesia
geométrica es el llamado radio meridiano de
la primera vertical, se denota con la letra grie-
ga 𝜌.
Seguidamente se deriva la ecuación de radio
meridiano de la primera vertical.
De la figura 2-12 tenemos que:
𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝜑,
𝜌 = 𝑑𝑠
𝑑𝜑 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 12
Como ds se supone un arco infinitesimal, se
puede asimilar a una recta, por tanto,
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 13
De otra parte la tangente del ángulo 𝜑 se ex-
presa mediante:
𝑡𝑔 𝜑 = 𝑑𝑦
𝑑𝑥, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 14
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑑𝑦/𝑑𝑥 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 15
Derivando la ecuación 2-12 respecto a x, te-
nemos:
𝑑𝜑
𝑑𝑥=
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2
1 + 𝑑𝑦𝑑𝑥
2 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 16
Tomando la ecuación 2-12 y multiplicando y
dividiendo por dx en el término derecho de la
ecuación, tenemos:
𝜌 =
𝑑𝑠𝑑𝑥𝑑𝜑𝑑𝑥
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 17
Tomado la ecuación 2-13 y dividiendo a cada
lado de la ecuación por dx, tenemos
𝑑𝑠
𝑑𝑥=
𝑑𝑥2
𝑑𝑥2+
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 18
Simplificando al interior del radical se tiene:
𝑑𝑠
𝑑𝑥= 1 +
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 19
Reemplazando en la ecuación 2-17, las ecua-
ciones 2-16 y 2-19, tenemos:
𝜌 = 1 +
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2
1 + 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 20
Y
O
X
𝒅𝝋
ds
Figura 2-12. Esquema de la radio de la pri-
mera vertical
𝝆
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Hoja 10 de 11
Haciendo producto de medios y extremos
tenemos
𝜌 =
1 +𝑑𝑦2
𝑑𝑥2 1/2
1 + 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
2/2
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 21
Agrupando el numerador,
𝜌 =
1 + 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
3/2
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 22
Tomando la ecuación 2-3, y derivando se
tiene
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜑)
𝑑𝜑
𝑑𝑥,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 23
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2=
1
𝑠𝑒𝑛2𝜑 𝑑𝜑
𝑑𝑥 , 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 24
Luego se debe hallar el valor de 𝑑𝜑
𝑑𝑥 , para
ello tomamos la ecuación 2-9 y derivamos
𝑑𝑥
𝑑𝜑
=
−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12 − 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
12 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 −
12 −2𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 25
Eliminado el 2, y agrupando 𝑐𝑜𝑠𝜑, enviando
el radical negativo al denominador, tenemos
𝑑𝑥
𝑑𝜑
=
−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12 −
𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝜑 −𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 26
Sacando común divisor y factorizando 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 , tenemos:
𝑑𝑥
𝑑𝜑
=
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 − 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 − 𝑐𝑜𝑠2𝜑 −𝑒2
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 27
Agrupando el numerador y haciendo producto
de medios y producto de extremos tenemos.
𝑑𝑥
𝑑𝜑=
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 −1 + 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 + 𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 28
Factorizando 𝑒2, y sabiendo que 𝑠𝑒𝑛2𝜑 +𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 1, y sacando el signo menos del
paréntesis, tenemos:
𝑑𝑥
𝑑𝜑= −
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 29
Transponiendo términos tenemos,
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𝑑𝜑
𝑑𝑥= −
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 30
Reemplazando esta ecuación en la ecuación 2-
24, se tiene:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2= −
1
𝑠𝑒𝑛2𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 31
Reemplazando en el denominador de la ecua-
ción 2-22, se tiene:
𝜌 = 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 3/2
1𝑠𝑒𝑛2𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2
− 32
Reemplazando 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 3/2 por su equiva-
lente 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 3/2 y efectuando producto de
medios y extremos, tenemos
𝜌
= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 3/2𝑎 1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛3𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2
− 33
Como 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 = 1/𝑠𝑒𝑛2𝜑
𝜌 =
1𝑠𝑒𝑛3𝜑
𝑎 1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛3𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2
− 34
Simplificando en el numerador se tiene final-
mente la ecuación del Radio de curva-
tura de la sección normal meri-
diana
𝜌 𝜑 =𝑎 1 − 𝑒2
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 3/2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 35
EJERCICIOS 3:
Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2
= 0.00672267002233
e´2 = 0.00673949677548
b =6356752.31414 m
3.1). Calcular las coordenadas x, y, 𝜌 y 𝛾
sobre dicha elipse para los siguientes valores
de latitud:
𝜑 = 4𝑜35` 46.3215``𝑁 , 𝜑 = 45𝑜0` 0``.0 𝑁
𝜑 = 90𝑜0` 0``.0 𝑁
3.2). Calcular los valores de 𝜌 y 𝛾 sobre
la elipse generadora del elipsoide GRS80,
para los valores de latitud de cero a no-
venta grados, cada diez grados, realizar la
grafica comparativa y realizar el análisis
cuantitativo y cualitativo de los dos radios
principales.
Coordenadas Cartesianas Geocéntricas elip-
soidales (X,Y,Z)
O
Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z
geocéntricas
Y
Z
X Y
X
Z
γ
P(X,Y,Z)
h
𝜆 𝜑
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Las coordenadas cartesianas geocéntricas
elipsoidales (x, y, z), para un punto cualquie-
ra sobre la superficie terrestre vienen dadas
por la siguiente métrica, donde los parámetros
son de la figura 2-13, es posible derivar dicha
métrica:
𝜑 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝜆 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
h= altura del punto desde la superficie del
elipsoide.
x= Coordenada X geocéntrica del punto P
y= Coordenada Y geocéntrica del punto P
z= Coordenada Z geocéntrica del punto P
Para un punto sobre el elipsoide.
𝑥𝑦𝑧
=
𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆
𝛾 1 + 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑
ecuación 2-36.
Para un punto a una altura dada (h), sobre el
elipsoide
𝑥𝑦𝑧
=
𝛾 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆
𝛾 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆
𝛾 1 + 𝑒2 + 𝑠𝑒𝑛𝜑
ecuación 2-37
Así, mismo se derivan
𝜑 = 𝑡𝑔−1 𝑍 + 𝑒`2𝑏𝑠𝑒𝑛3𝜗
𝑋2 + 𝑌2 + −𝑒2𝑎𝑐𝑜𝑠3𝜗
ecuación 2-38
𝜗 = 𝑡𝑔−1 𝑍𝑎
𝑋2+𝑌2∗𝑏
ecuación 2-39
𝜆 = 𝑡𝑔−1 𝑌
𝑋 ecuación 2-40
= 𝑋2 + 𝑌2
𝑐𝑜𝑠𝜑− 𝛾 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 41
EJERCICIOS 4:
Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2
= 0.00672267002233
Resolver los siguientes ejercicios:
4.1). Calcular las coordenadas X, Y , Z para
el punto sobre la superficie elipsoidal que
tiene coordenadas elipsoidales:
𝜑 = 4𝑜35` 46.3215``𝑁 ,
𝜆 = 74𝑜04` 39.0285``𝑊 h= 2620 m
4.2). Calcular las coordenadas 𝜑, 𝜆, h para el
punto sobre la superficie elipsoidal que tiene
coordenadas cartesianas geocéntricas:
X=1744890.24 m
Y= - 6116370.86 m
Z= 507899.216 m.
4.3). Suponiendo la tierra un modelo episódi-
co con parámetros:
a =6378.137 km
f = 1/298,2572221008827
e2
= 0.00672267002233
e´2 = 0.00673949677548
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b =6356.75231414 km
y un satélite artificial con órbita polar. Calcu-
lar:
a) La altitud del satélite sobre el polo
norte, para un observador ubicado en
una latitud, 𝜑 = 37𝑜𝑁.
b) La superficie terrestre observada
desde la posición del satélite (con-
siderando el área del elipsoide
aproximada a la esfera local o cas-
quete esférico)
Notas Bibliográficas:
[1]. http://es.wikipedia.org .
[2]. Asenjo Villamayor, Luis García -
Hernández López, David. Universidad Po-
litécnica de Valencia. Geodesia - 2003 - 530
páginas
[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia
Geométrica.