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ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA
CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.).
1
SI ENCUENTRAS ALGÚN ERROR COMUNÍCALO, POR FAVOR, AL
CORREO DE LA PÁGINA WEB.
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO.
PUNTOS, RECTAS Y PROBLEMAS MÉTRICOS.
La ecuación de la recta. VER VIDEO https://youtu.be/BaEbKtFYN7E
Vectorial.
(x, y)
= (1, 2) + t. (− 2, 3)
{
Punto: (1,2)
Otros puntos: doy valores a t. si t = 1; P = (−1,5)
vector director: (−2,3)
pendiente:m =3
−2=2ªcomponente del vector director
1ªcomponente del vector director
Paramétricas.
{x = 2 − 3ty = 3 + 2t
→
{
Punto: (2,3)
Otros puntos: doy valores a t. si t = 1; P = (−1,5)
vector director: (−3,2)
pendiente:m =2
−3=2ªcomponente del vector director
1ªcomponente del vector director
Continua.
x − 1
2=y + 2
5→
{
Punto: (1, −2)Otros puntos: doy valores a x.
vector director: (2,5)
pendiente:m =5
2=2ªcomponente del vector director
1ªcomponente del vector director
Implícita o general. Ax + By + C = 0
ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA
CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.).
2
2x + 7y − 3 = 0 →
{
puntos: doy valores a x.
si x = 1; y =1
7vector director: (−B, A) = (−7,2)
pendiente:m =5
2=2ªcomponente del vector director
1ªcomponente del vector director
Explícita. y = m.x + n
y = 2. x − 3 → {
puntos: doy valores a x.si x = 1; y = −1pendiente:m = 2
vector director: (1,m) → (1,2)
Pasar de una ecuación a otra.
VER VIDEO https://youtu.be/p5AIUURVg5U
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1,−2)⏞ punto
+ t. (2,3)⏞
vectordirector
{
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {
x = 1 + 2ty = −2 + 3t
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1
2=y + 2
3operando la continua:3x − 3 = 2y + 4
𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: 3x − 2y − 7 = 0despejando la y:
𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y =3x − 7
2
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 2 + 3ty = −3 + 4t
⏞ punto:(2,−3)
⏟ vector director
(3,4)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (2, −3) + t. (3,4)
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 2
3=y + 3
4operando la continua:4x − 8 = 3y + 9
𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: 4x − 3y − 17 = 0despejando la y:
𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y =4x − 17
3
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 3
1=y − 2
−1
⏞ Punto (3,2)
⏟ vector director
(1,−1)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (3,2) + t. (1, −1)
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 3 + ty = 2 − t
operando la continua:−x + 3 = y − 2
𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: x + y − 5 = 0despejando la y:
𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −x + 5
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𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: x + 2y − 5 = 0⏟ 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫=(−𝐁,𝐀)=(−𝟐,𝟏)
⏞ 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨:𝐱=𝟏→𝐲=𝟐;𝐏=(𝟏,𝟐)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1,2) + t. (−2,1)
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 − 2ty = 2 + t
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1
−2=y − 2
1despejando la y:
𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y =−x + 5
2
𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = 2x − 5⏟ si x=1→y=−4P=(1,−4)
⏞ m=2→v⃗⃗ =(1,2)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1, −4) + t. (1,2)
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 + ty = −4 + 2t
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1
1=y + 4
−2operando la continua:−2x + 2 = y + 4
𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 2x + y + 2 = 0
Ejercicios básicos.
1. Hallar el vector que une los puntos A=(1, – 3) y B=(2, 1).
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B − A = (2,1) − (1,−3) = (1,4)
2. Hallar la ecuación de la recta en todas sus formas.
a. Recta que pasa por A = (1, – 2) y B = ( 0, 3) VER VIDEO https://youtu.be/HdoMCr5gLyQ b. Recta que pasa por A = (1, – 3) y es paralela a 2x + y – 1 = 0 VER VIDEO https://youtu.be/ZEMMltEGzQk c. Recta que pasa por A = ( 2, 4) y tiene pendiente – 2 VER VIDEO https://youtu.be/uPl0aegcRbE
a.
{Pasa por A = (1,−2)
Tiene como vector AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,5)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1, −2) + t. (−1,5)
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 − ty = −2 + 5t
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1
−1=y + 2
5operando la continua:5x − 5 = −y − 2
𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 5x + y − 3 = 0𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −5x + 3
b. Dos rectas paralelas tiene el mismo vector director.
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4
2x + y – 1 = 0⏞
vector director=(−B,A)
(−1,2)
{Pasa por A = (1, −3)
Tiene como vector v⃗ = (−1,2)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1, −3) + t. (−1,2)
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 − ty = −3 + 2t
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1
−1=y + 3
2operando la continua:x − 2 = −y − 3
𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: x + y + 1 = 0𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −x − 1
c.
{Pasa por A = (2,4)
Tiene como vector v⃗ = (1,m) = (1,−2)
{
𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (2,4) + t. (1, −2)
𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 2 + ty = 4 − 2t
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 2
1=y − 4
−2operando la continua:−2x + 4 = y − 4
𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 𝟐x + y − 8 = 0𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −2x + 8
Comprobar si un punto pertenece a una recta
3. Comprobar que los siguientes puntos pertenecen a las rectas que se indican.
a. A(1, 2) a la recta (x, y) = (1, 3) + t. (1, -1).
b. B = (2, 3) a la recta {𝐱 = 𝟏 + 𝐭𝐲 = 𝟓 − 𝟐𝐭
VER VIDEO https://youtu.be/XqPSf9Avd8g
Si pasamos la recta a explícita, basta sustituir la x del punto y ver si me da la misma y. A = (1, 2) a la recta (x, y) = (1, 3) + t. (1, -1)
(x, y) = (1, 3) + t. (1, –1) → y = – x + 4 ; sustituimos la x = 1 → y = 3 → A no
pertenece a la recta.
B = (2, 3) a la recta {x = 1 + ty = 5 − 2t
{x = 1 + ty = 5 − 2t
→ y = −2x + 7; sustituimos la x = 2 → y = 3 →
→ B sí pertenece a la recta.
Puntos alineados
4. Estudiar si los puntos A = (1, 2), B = (2, - 1) y C = ( 0, 3) están alineados. VER VIDEO https://youtu.be/edlvnbckeWw
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5 Hallamos la recta AB y comprobamos si C pertenece a dicha recta.
Recta AB:
{
Pasa por A = (1,2)
Vector director AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∶ (1, −3)→ y = −3x + 5; sustituimos x = 0: y = 5⏞
Comprobamos si C pertenece a larecta AB
→
C no pertenece a la recta AB, por tanto, A, B y C no están alineados, forman un
triángulo.
Otra forma de hacer el ejercicio.
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,−3)
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,1)}
1
−1≠−3
1
⏞
Si la igualdad secumple,estánalineados.
→ NO alineados.
5. Hallar k para que los puntos A(1, 3), B(2, 4) y C(k, 1) estén alineados.
{AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,1)
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (k − 1,−2)→
1
k − 1=1
−2→ k − 1 = −2 → k = −1
6. Hallar el punto medio de A = (1, 2) y B = (2, – 3) y el simétrico de A respecto de B. VER VIDEO https://youtu.be/e6hSKtiiYAM
Punto medio de A, B = MA,B =A + B
2= (
1 + 2
2,2 − 3
2) = (
3
2,−1
2)
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = BA′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ → (1,−5) = (x − 2, y + 3) {1 = x − 2 → x = 3
−5 = y + 3 → y = −8→ A′ = (3,−8)
Dividir un segmento en partes iguales.
7. Divide el segmento A = (1 , 3) B = (0, - 2) en tres partes iguales. VER VIDEO https://youtu.be/9dE2-f6xxjk
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3. AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ → (−1,−5) = 3. (x − 1, y − 3){−1 = 3x − 3 → x =
2
3
−5 = 3y − 9 → y =4
3
→ C = (2
3,4
3)
A = (1,3)
•
B = (0, - 2)
•
C = (x, y)
•
D = (x, y)
•
A = (1,2)
•
A’ = (x, y)
•
B = (2,-
3)
• 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
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6 D es el punto medio de C y B = (
23 + 0
2,
43 − 2
2) = (
1
3,−1
3)
8. Recta que pasa por A = ( 1, 4) y es perpendicular a x + 2y – 1 = 0 VER VIDEO https://youtu.be/x24LePsCERU
{
Pasa por A = (1,4)⊥ a x + 2y − 1 = 0⏟
vector director(−2,1)
→ Vector perpendicular a (−𝟐, 𝟏) = (𝟏, 𝟐)⏞
𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐲
𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐧𝐨𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐥𝐚𝐬
→x − 1
1=y − 4
2
⏞ continua.
Posición relativa de dos rectas.
Explicita {y = m. x + n
y = m′. x + n′ Implícita {
Ax + By + C = 0
A′x + B′y + C′ = 0
Se cortan m ≠ m′ A
A′≠B
B′
Paralelas m = m’ y distinta ecuación A
A′=B
B′≠C
C′
Coincidentes Tiene la misma ecuación A
A′=B
B′=C
C′
9. Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas. VER VIDEO https://youtu.be/FHa1UbRsgmg
a. {x + y − 2 = 02x + 2y − 5 = 0
→1
2=1
2≠−2
−5→ paralelas
b. {y = 2x − 3y = 3x + 1
→ 2 ≠ 3 → m ≠ m′ →
se cortan. Si resuelvo el sistema tendre el punto de corte → 2x – 3 = 3x + 1 → x = - 4; y = - 11 → P = (- 1, - 11)
c. {(x, y) = (1,−1) + t. (1,3) → y = 3x − 4
y = 3x + 1→ m = m′ y distinta ecuació n
→ paralelas.
d. {(x, y) = (2, −3) + t. (−1,2) → y = −2x + 1
{x = 1 − αy = −1 + 2α
→ y = −2x + 1→ misma ecuació n explí cita
→ coincidentes.
10. Dada la recta x + ky – 1 = 0, hallar k:
a. Para que la recta pase por A = (2, - 1)
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7 b. Para que la recta tenga pendiente 3.
c. Para que la recta sea paralela a (x, y) = (1, 3) + t.(2, 3)
d. Para que la recta forme un ángulo de 45 grados con el eje positivo de las X. VER VIDEO https://youtu.be/8HQydsjW3-U
a.
Sustituimos x por 2 e y por – 1 y hallamos k → 2 – k – 1 = 0 → k = 1 b.
x + ky– 1 = 0 → vector director = (− k, 1) → m = 1
−k= 3 → k =
−1
3
c.
{x + ky– 1 = 0 → v⃗ = (− k, 1)
(x, y) = (1, 3) + t. (2, 3) → v⃗ = (2,3) → m =3
2
→1
−k=3
2→ k =
−2
3
d.
x + ky– 1 = 0 → vector director = (− k, 1) → m = 1
−k
La pendiente es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje positivo de las
X → m = tag α → 1
−k= tag 45 = 1 → k = −1
Ángulo que forman dos rectas.
cosα = |vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗
|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| tanα = |
m1 −m21 +m1.m2
|
11. Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas: VER VIDEO https://youtu.be/zM4b5H-aCW4
a
{
r: (x, y) = (1,−2) + t. (2,3)
vr = (2,3)s: x − 2y + 1 = 0
vs = (2,1)
→
{
cosα = |
vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗
|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| = |
(2,3). (2,1)
√13√5| =
7
√65→ α = 29′74º
tanα = |m1 −m21 + m1. m2
| = |
32 −
12
1 +32 .12
| =4
7
→ α = 29′74º
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b
{
r: {x = 3 − 2ty = 2 − t
→ vr = (−2,−1)
s:x − 2
3= y − 1 → vs = (3,1)
→
{
cosα = |
vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗
|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| = |
(−2,−1). (3,1)
√5√10| =
7
√50→ α = 8′13º
tanα = |m1 −m21 + m1. m2
| = |
12 −
13
1 +12 .13
| =1
7
→ α = 8′13º
12. Hallar k para que la recta x + ky + 2 = 0 forme un ángulo de 35º con la recta x + y + 1 = 0. VER VIDEO https://youtu.be/TZuHFVC7MOU
{r: x + ky + 2 = 0 → vr = (−k, 1)
s: x + y + 1 = 0 → vr = (−1,1)→ cosα = |
vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗
|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| = |
(−k, 1). (−1,1)
√k2 + 1√2| = cos35
|k + 1
√2k2 + 2| = cos35⏞
0′82
→k2 + 2k + 1
2k2 + 2= 0′67 → {k = 5
′71k = 0′18
13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, - 1) y forma un ángulo de 45º con la recta
y = 2.x + 2. VER VIDEO https://youtu.be/9mHaGkNtcf0
y = 2x + 2 → m1 = 2, Hallaremos m2 con la fórmula:
tanα = |m1 −m21 + m1. m2
| → tan 45⏞ 1
= |2 − m21 + 2.m2
| ; |1 + 2m2|
= |2 − m2|;
{
1 + 2m2 = 2 −m2
m2 =1
31 + 2m2 = −2 +m2
m2 = −3
Recta que pasa por (1, - 1) y tiene pendiente 1/3 → vr = (1, 1/3); {x = 1 + t
y = −1 +1
3t
Recta que pasa por (1, - 1) y tiene pendiente - 3 → vr = (1, - 3); {x = 1 + ty = −1 − 3t
14. Hallar un punto que pertenece a la recta x + 2y – 1 = 0 y que está alineado con A = ( 1, 2) y
B = ( 2, - 1). VER VIDEO https://youtu.be/LZ3HeRKTjDI
C = (x, y) {
Pertenece a la recta x + 2y − 1 = 0
está alineado con A y B.→ {AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,−3)
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x − 1, y − 2)→
1
x − 1=
−3
y − 2
→ Resolviendo
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9 el sistema {
x + 2y − 1 = 01
x − 1=
−3
y − 2→ y − 2 = −3x + 3
→C = (1
5,−2
5)
Distancias. Distancia punto – punto. d(A - B) = |𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐏 = (𝐚, 𝐛) 𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂 = 𝟎 → 𝐝(𝐏, 𝐫)
= |𝐀𝐚 + 𝐁𝐛 + 𝐂
√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐|
Distancia recta - recta. Si se cortan o son coincidentes, la distancia es cero. Si son paralelas hacemos distancia punto recta.
15. Hallar k para que la recta x + ky + 2 = 0 diste 3 unidades del origen. VER VIDEO https://youtu.be/k5BHu-LqUwk
Distancia de [O = (0, 0)a r: x + ky + 2 = 0] = 3 → |1.0 + k. 0 + 2
√12 + k2| = 3 →
4
1 + k2
= 9 → ∄k La recta dada no puede distar 3 unidades del origen.
16. Hallar k sabiendo que el triángulo de vértices A, B y C es isósceles. A = (1, 2), B = (2, - 3) y C = (k, 0)
siendo BC el lado desigual. VER VIDEO https://youtu.be/H0h4m6TFjxs
Distancia de A a C igual distancia de B a C.
|AC⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |BC⃗⃗⃗⃗ ⃗| → |(k − 1,−2)||(k − 2,3)| → √(k − 1)2 + 4 = √(k − 2)2 + 9 → k = 4
17. Hallar un punto C de la recta r: x + 2y – 3 = 0 que diste 2 unidades del punto P = (1, 2)
C = (x, y) {x + 2y − 3 = 0
|PC⃗⃗ ⃗⃗ | = 2 → |(x − 1, y − 2)| = 2 → √(x − 1)2 + (y − 2)2 = 2
Resolviendo el sistema {x + 2y − 3 = 0
√(x − 1)2 + (y − 2)2 = 2→ {
C = (−1,2)
C = (11
5,2
5)
Estudio de los elementos de un triángulo.
18. Dado el triángulo de vértices A = ( - 1, 2), B = ( 3, - 2) y C = ( 1, 4).
a. Perímetro.
b. Clasifica el triángulo según los lados y según los ángulos.
c. Ecuación de la altura que pasa por A.
d. Ortocentro.
e. Ecuación de la mediana que pasa por B.
f. Baricentro.
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10 g. Ecuación de la mediatriz del lado BC.
h. Circuncentro.
i. Área del triángulo. VER VIDEO https://youtu.be/XP3Yv4btTBk VER VIDEO https://youtu.be/gFC8CrITRQk VER VIDEO https://youtu.be/BaQgqsV_wHk VER VIDEO https://youtu.be/Makz5hydTNo
a.
Longitud de los lados: {
AB → |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |(4,−4)| = √32
AC → |AC⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |(2,2)| = √8
BC → |BC⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |(−2,6)| = √40
→ perimetro = 2√10 + 6√2
b.
Los lados son distintos, el triángulo es escaleno.
Se cumple (√40)2= (√32)
2+ (√8)
2→ 40 = 32 + 8 → El tria ngulo es recta ngulo
Si hubiera dado > sería obtusángulo y si hubiera dado < sería acutángulo. c.
Una altura pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
{Pasa por A = (−1,2)
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,6) →⊥ BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6,2)→x + 1
6=y − 2
2→ x − 3y + 7 = 0
d.
El ortocentro es el punto donde se cortan las alturas. Buscamos otra altura y resolvemos el sistema formado por las dos alturas.
{Pasa por B = (3, −2)
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,2) →⊥ AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2)→x − 3
−2=y + 2
2→ x + y − 1 = 0
Ortocentro {x − 3y + 7 = 0x + y − 1 = 0
→ (−1,2)
e.
Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
{Pasa por B = (3,−2)
Pasa por MAC = (0,3) → BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3,5)→x − 3
−3=y + 2
5→ 5x + 3y − 9 = 0
f.
El baricentro es el punto donde se cortan las medianas. Buscamos otra mediana y resolvemos el sistema formado por las dos medianas.
{Pasa por A = (−1,2)
Pasa por MBC = (2,1) → BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,−1)→x + 1
3=y − 2
−1→ x + 3y − 5 = 0
Bariocentro {5x + 3y − 9 = 0x + 3y − 5 = 0
→ (1,4
3)
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11 Otra forma de hallar el baricentro (A + B + C
3)
g.
Una mediatriz es la perpendicular al lado en su punto medio.
{Pasa por MBC = (2,1)
Es ⊥ a BC: BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,6) ⊥ BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6,2)→x − 2
−2=y + 1
6→ 3x + y − 5 = 0
h.
El circuncentro es el punto donde se cortan las mediatrices. Buscamos otra mediatriz y resolvemos el sistema formado por las dos mediatrices.
{Pasa por MAC = (0,3)
Es perpendicular a AC: AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,2) ⊥ AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2)→
x
−2=y − 3
2→ x + y − 3 = 0
Circuncentro {3x + y − 5 = 0x + y − 3 = 0
→ (1,2)
i.
Base = |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √40 = 2√10
Altura.
{
Recta BC {
Pasa por B = (3,−2)
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,6)→x − 3
−2=y + 2
6→ 3x + y − 7 = 0
Distancia de A a BC = |3. (−1) + 1. (2) − 7
√32 + 1| =
8
√10
Área =base x altura
2=dist. de B a C x dist. de A a la recta BC
2=
2. √10.8
√102
= 8 u2
19. Dado el triángulo cuyo lados se encuentra sobre las rectas r: 2x + y – 3 = 0; s:3x – y – 7 = 0 ;
t:x – 2y + 1 = 0 Hallar sus vértices. VER VIDEO https://youtu.be/GtajUaMCGzs
20. Si A = ( 1, 3) , B = ( 2 , - 1) y C = (- 2, 3) son los vértices de un paralelogramo, halla el cuarto vértice
y el área del paralelogramo. VER VIDEO https://youtu.be/zNJYPIbVILo
21. Hallar un punto A de la recta y = x cuya distancia a B = (1, 2) se el doble que a C = ( - 1, - 3) VER VIDEO https://youtu.be/Yj6Zz6P7Hkg
A = (x, y) = (x, x)
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2 · |AC⃗⃗⃗⃗ ⃗| → |(1 − x, 2 − x)| = 2 · |(−1 − x, −3 − x)| →
→ √(1 − x)2 + (2 − x)2 = 2 · √(−1 − x)2 + (−3 − x)2…
22. Un triángulo isósceles tiene por lados iguales AB y AC. Se sabe que el vértice A es un punto de la
recta x + y = 6 y que las coordenadas de los otros dos vértices son A(1,-1) y B(5, 1). Halla las
coordenadas del punto A y el área del triángulo.
ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA
CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.).
12 VER VIDEO https://youtu.be/GEuZmeLYvLI
23. Calcula el punto simétrico de P = ( 3, 3) respecto de la recta r : x + y = 3 VER VIDEO https://youtu.be/W0PdAJZ5JWc
24. Halla el P punto de la recta r: y = 2x – 1 que forma con A = ( 1, 2) y B = ( 2, - 1) un triángulo
rectángulo con el ángulo recto en A. VER VIDEO https://youtu.be/8PVe-6eMoMg
25. Hallar los puntos de corte con los ejes de la recta x – y + 1 = 0. Calcula el área del triángulo que
forma la recta con los ejes. VER VIDEO https://youtu.be/8PXQ8oBx00E
26. Hallar k sabiendo que la recta x + ky + 2 = 0 forma con los ejes un triángulo de 1 u2. VER VIDEO https://youtu.be/BrexKdrAR4U
27. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y forma con los ejes un triángulo de 4 u2. VER VIDEO https://youtu.be/Xa90aFShqIg